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专题17.11 勾股定理（全章知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】勾股定理
1.勾股定理：
a、b c a2 b2 c2
直角三角形两直角边 的平方和等于斜边 的平方.（即： ）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为 的线段.
【知识点二】勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把
其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
a、b、c a2 b2 c2
如果三角形的三边长 ，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
c
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为 ；
c2 a2 b2 a2 b2 c2
（2）验证 与 是否具有相等关系，若 ，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形，
反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
x2 y2 z2
满足不定方程 的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以
x、y、z
为三边长的三角形一定是直角三角形.
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
a、b、c at、bt、ct
如果( )是勾股数，当t为正整数时，以 为三角形的三边长，此三角形必为直角三
角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.a、b、c abc a2 bc
3.假设三个数分别为 ，且 ，那么存在 成立.
【知识点三】勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【考点目录】
【考点1】勾股定理及逆定理的应用；
【考点2】勾股定理与其他知识结合应用三角形的形状；
【考点3】方程思想在勾股定理中的运用；
【考点4】勾股定理的应用.
【考点一】勾股定理及逆定理的应用；
【例1】（2019下·湖北孝感·八年级校联考阶段练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方
向600km的B处，以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动，距台风中心500km的范围内是受台风
影响的区域．
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？
【答案】（1）A城受到台风的影响；（2）4.
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BC作垂线，垂足为M，若AM＞500则A
城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BC的长为500千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于
AM⊥BC，则M是DG的中点，在Rt△ADM中，解出MD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台
风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．解：
（1）A城受到这次台风的影响，
理由：由A点向BC作垂线，垂足为M，
在Rt△ABM中，∠ABM=30°，AB=600km，则AM=300km，
因为300＜500，所以A城要受台风影响；
（2）设BC上点D，DA=500千米，则还有一点G，有
AG=500千米．
因为DA=AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分线，MD=GM，
在Rt△ADM中，DA=500千米，AM=300千米，
由勾股定理得，MD= =400（千米），
则DG=2DM=800千米，
遭受台风影响的时间是：t=800÷200=4（小时），
答：A城遭受这次台风影响时间为4小时．
【点拨】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等，构造出直角三角形是解
题关键．
【变式1】（2023下·山东临沂·八年级统考期末）如图，一块铁皮（图中阴影部分），测得 ，
， ， ， ，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．36 C．48 D．12
【答案】A【分析】连接 ，先根据勾股定理求出 的长，再由勾股定理的逆定理判断出 是直角三角
形，进而可得出结论．
解：如图，连接 ．
在 中， ，即 ， ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，三角形的面积等知识，先根据题意判断出
是直角三角形是解答此题的关键．
【变式2】（2023下·黑龙江大庆·八年级校考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流
点A，B．其中 ，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个
漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路 ，测得 千米， 千米， 千米．
则原路线 千米．
【答案】 /
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明 是直角三角形且 ，设 千米，则
千米，最后在 运用勾股定理即可解答．解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形且 ；
设 千米，则 千米，
在 中，由已知得 ，
由勾股定理得： ，
∴ ，解得x= ．
故答案为 ．
【点拨】本题主要考查勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，掌握勾股定理的逆定理和定理是解决本
题的关键．
【考点二】勾股定理与其他知识相结合的应用；
【例2】（2024上·湖南长沙·八年级校考期末）如图，在 中，过点A作 ，交 于点
D．
（1）若 ，求 的长；
（2）在（1）的条件下， ，求 的面积；
（3）若 ，求 的面积．
【答案】（1）4；（2） ；（3）
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质， 角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．
（1） 角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求解；
（2）作 于E，求出 的底和高即可求出面积；
（3）作 于E，利用勾股定理求出 的高即可求出面积．
（1）解： ， ，
，
，即 ，
，
．
（2）解：作 于E，
，
，
，
，
．
（3）解：作 于E，在 中，
在 中, ，
,
，
即 ，
,
,
【变式1】（2024上·陕西西安·八年级高新一中校考期末）如图，在 中， ， ，
是 的角平分线，若 ，则 的长为（ ）
A．7 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，解题关键是利用勾股定理直接计算边长．过
点作 于 ，利用角平分线的性质得到 ，再判断 为等腰直角三角形，从而
得到 ，从而可得答案．
解：过 点作 于 ，如图，
是 的平分线， ，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
∴ ．
故选：D．
【变式2】（2023·安徽·模拟预测）如图，四边形 的对角线 相交于点
，过点 作 于点 ，与 交于点 ．请完成下列问题：
（1） ；
（2）若 ，则 的长为 ．【答案】 45
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等知识．
（1）设 ，由等腰三角形的性质可得 ， ，再根据三角形外角的
性质求解即可；
（2）连接 ，则易得 ， ；由勾股定理求出 ，再由等腰三角形性质及勾
股定理求得 ，即可得结果．
（1）解：设 ，
， ，
．
， ，
∴ ，
．
（2）解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ；
∵ ，
∴ ，
∴ ；
，
；
， ，由勾股定理得： ，
．
【例3】（2024上·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期末）如图，在四边形 中，
， ， ．
（1）求证： ：
（2）如果 平分 ，且 ，求 的面积．
【答案】（1）见分析；（2）
【分析】（1）利用勾股定理的逆定理证明 是直角三角形，从而可得 ，即可解答；
（2）过点A作 ，垂足为E，先利用角平分线的性质可得 ，然后在 中，
利用勾股定理求出 的长，再在 中，利用含30度角的直角三角形的性质求出 的长，从而求
出 的长，最后利用三角形的面积公式进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，根据题
目的逐一条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
解：（1）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴ ．
（2）解：过点A作 ，垂足为E，，∵ 平分 ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为： ，
∴ 的面积为 ．
【变式1】（2022上·浙江金华·八年级校考阶段练习）如图所示， ， ， ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，连接 ，求解 ，证明 ，延长 至 ，使，连接 ， 证明 为等边三角形，可得 ，从而可得答案．
解：如图，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
延长 至 ，使 ，连接 ，而
∴ ，而 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选C
【点拨】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，等边三角形的判定与性质，等腰三角形
的三线合一的应用，线段的垂直平分线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
【变式2】（2023下·安徽宿州·八年级校考期末）如图，在 中，点D为 的中点，
，则：
（1） 的度数为 ；
（2） 的面积是 ．【答案】 /90度 30
【分析】（1）延长 至 ，使 ，连接 ，证明 ，得 ，
， ，从在，是得 ，再由勾股定理逆定理得出 ，即可求
解；
（2）根据 ，利用 求解即可．
解：（1）延长 至 ，使 ，连接 ，
为 的中点，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
∴ ，
；
故答案为： ．
（2）
的面积是30．
故答案为：30．【点拨】本题考查全等三角的判定与性质，勾股定理逆定理，倍长中线，构造全等三角形是解题的关
键．
【考点三】勾股定理在折叠中的应用；
【例4】（2023上·湖南长沙·八年级校联考期末）如图，把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，
点 落在点 处， 交 于点 ，重合部分是 ， ，点 是对角线 上一点， 于
点 ， 于点 ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）求 的值；
（3）若 ．求 的面积．
【答案】（1）证明详见分析；（2） ；（3） ．
【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得到 ，即可证明出 是等腰三角形；
（2）连接 ，根据 代数求解即可；
（3）设 ，则 ， ，在 中根据勾股定理求出 ，然后利用三角形
面积公式求解即可．
解：（1）证明： 把一张长方形 纸片沿对角线 折叠，点 落在点 处，
又 长方形 ，
，
，是等腰三角形
（2）如图所示，连接 ，
，
（3）设 ，则 ，
在 中，由勾股定理可知：
，
，
．
【点拨】此题考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键
是熟练掌握折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定定理．
【变式1】（2023上·江苏连云港·八年级期末）如图，等腰直角三角形 中，
，点M，N在边 上，且 ，若 ，则 的长为
（ ）．A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，把
沿 翻折至 ，连接 ，则 ， ， ， ，再证
明 得到 ， ，接着证明 ，则
，．
解：把 沿 翻折至 ，连接 ，
∴ ， ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，在 中， ，
，
故选：C．
【变式2】（2024上·四川成都·八年级校考期末）如图，三角形纸片 中， ， ，
．沿过点 的直线 将纸片折叠，使点 落在边 上的点 处；再沿直线 将纸片折叠，使点
与点 重合．若直线 与 的交点为 ，则 的长是 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知 ，
， 进一步可知 ，设 ，在 中，根据勾股定理列方程，求解即可，熟
练掌握折叠的性质是解题的关键．
解：根据折叠，可知 ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中，根据勾股定理，得： ，解得： ，
∴ ，
故答案为：．
