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专题17.14 勾股定理（全章直通中考）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2021·山东滨州·统考中考真题）在 中，若 ， ， ，则点C到直线
AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
2．（2021·西藏·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，点P是线段AC
上一动点，点M在线段AB上，当AM＝ AB时，PB＋PM的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．2 ＋2 D．3 ＋3
3．（2021·山东临沂·统考中考真题）如图，边长为1的正方形网格图中，点 ， 都在格点上，若
，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·四川凉山·统考中考真题）如图， 中， ，将 沿DE翻
折，使点A与点B重合，则CE的长为（ ）A． B．2 C． D．
5．（2020·四川巴中·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵
地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），
虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？
（ ）
A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺
6．（2020·广西贺州·统考中考真题）如图，将两个完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中
点A′与点B重合，点C'在边AB上，连接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，则B′C的长为（
）
A．2 B．4 C．2 D．4
7．（2018·山东淄博·统考中考真题）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C
的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（ ）A． B． C． D．
8．（2022·广西桂林·统考中考真题）如图，在 ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则 ABC
的面积是（ ）
A． B．1+ C．2 D．2+
9．（2022·内蒙古·中考真题）如图，在 中， ，以B为圆心，适当长为半径画弧交
于点M，交 于点N，分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧相交于点D，射线 交
于点E，点F为 的中点，连接 ，若 ，则 的周长是（ ）
A．8 B． C． D．
10．（2020·山东烟台·统考中考真题）如图， 为等腰直角三角形，OA ＝1，以斜边OA 为直角
1 2
边作等腰直角三角形OA A ，再以OA 为直角边作等腰直角三角形OA A ，…，按此规律作下去，则OA 的
2 3 3 3 4 n
长度为（ ）A．（ ）n B．（ ）n﹣1 C．（ ）n D．（ ）n﹣1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭
生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的
正方形，一棵芦苇 生长在它的中央，高出水面部分 为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向
岸边，则水深为 尺．
12．（2023·辽宁·统考中考真题）如图，在 中， ，点D为 的中点，过点C作
交 的延长线于点E，若 ， ，则 的长为 ．
13．（2023·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，在 中， ， ，点 在直
线 上， ，过点 作 直线 于点 ，连接 ，点 是线段 的中点，连接 ，则
的长为 ．14．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ， ， ，
按下列步骤作图：①在 和 上分别截取 、 ，使 ．②分别以点D和点E为圆心，以大
于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M．③作射线 交 于点F．若点P是线段 上的
一个动点，连接 ，则 的最小值是 ．
15．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为 ，底面周长为 ，在杯内
壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿 ，且与蜂蜜相对
的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ．（杯壁厚度不计）
16．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）如图，AB⊥BC于点B，AB⊥AD于点A，点E是CD中点，
若BC＝5，AD＝10，BE＝ ，则AB的长是 ．17．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在 中， ，点D为 的中点，
将 绕点D逆时针旋转得到 ，当点A的对应点 落在边 上时，点 在 的延长线上，连
接 ，若 ，则 的面积是 ．
18．（2023·四川遂宁·统考中考真题）如图，以 的边 、 为腰分别向外作等腰直角 、
，连结 、 、 ，过点 的直线 分别交线段 、 于点 、 ，以下说法：①当
时， ；② ；③若 ， ， ，则 ；④当直线
时，点 为线段 的中点．正确的有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023·四川甘孜·统考中考真题）如图，在 中， ，点 在 边
上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得到 ，连接 ， ．
（1）求证： ；
（2）若 时，求 的长；
（3）点 在 上运动时，试探究 的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如
果不存在，请说明理由．20．（8分）（2023·山东聊城·统考中考真题）如图，在四边形 中，点E是边 上一点，且
， ．
（1）求证： ；
（2）若 ， 时，求 的面积．
21．（10分）（2023·四川达州·统考中考真题）如图，在 中， ．
（1）尺规作图：作 的角平分线交 于点 （不写做法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求 的面积．22．（10分）（2023·山东临沂·统考中考真题）如图， ．
（1）写出 与 的数量关系
（2）延长 到 ，使 ，延长 到 ，使 ，连接 ．求证： ．
（3）在（2）的条件下，作 的平分线，交 于点 ，求证： ．
23．（10分）（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
将 因式分解．
【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：
解法一：原式
解法二：原式
【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公
因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值
及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
【类比】
（1）请用分组分解法将 因式分解；
【挑战】
（2）请用分组分解法将 因式分解；
【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由
四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是
a和 ，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将 因式分
解，再求值．
24．（12分）（2022·辽宁锦州·统考中考真题）在 中， ，点D在线段 上，连接
并延长至点E，使 ，过点E作 ，交直线 于点F．
（1）如图1，若 ，请用等式表示 与 的数量关系：____________．
（2）如图2．若 ，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示 之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若 ，请直接写出 的长．参考答案：
1．D
【分析】根据题意画出图形，然后作CD⊥AB于点D，根据勾股定理可以求得AB的长，然后根据面积
法，可以求得CD的长．
解：作CD⊥AB于点D，如右图所示，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
∵ ，
∴ ，
解得CD=2.4，
故选：D．
【点拨】本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾
股定理和面积法解答．
2．B
【分析】作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，则PB＋PM的最小值为B'M的长，过点
B'作B'H⊥AB交H点，在Rt△BB'H中，B'H＝3 ，HB＝3，可求MH＝1，在Rt△MHB'中，B'M＝2 ，
所以PB＋PM的最小值为2 ．
解：作B点关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，
∴BP＝B'P，BC＝B'C，
∴PB＋PM＝B'P＋PM≥B'M，∴PB＋PM的最小值为B'M的长，
过点B'作B'H⊥AB交H点，
∵∠A＝30°，∠C＝90°，
∴∠CBA＝60°，
∵AB＝6，
∴BC＝3，
∴BB'＝BC＋B'C＝6，
在Rt△BB'H中，∠B'BH＝60°，
∴∠BB'H＝30°，
∴BH＝3，
由勾股定理可得： ，
∴AH＝AB－BH＝3，
∵AM＝ AB，
∴AM＝2，
∴MH＝AH－AM＝1，
在Rt△MHB'中， ，
∴PB＋PM的最小值为2 ，
故选：B．
【点拨】本题考查轴对称—最短路线问题，涉及到解直角三角形，解题的关键是做辅助线，找出PB＋
PM的最小值为B'M的长．
3．B【分析】利用勾股定理求出AB，再减去BC可得AC的长．
解：由图可知：
AB= = ，
∵BC= ，
∴AC=AB-BC= = ，
故选B．
【点拨】本题考查了二次根式的加减，勾股定理与网格问题，解题的关键是利用勾股定理求出线段AB
的长．
4．D
【分析】先在RtABC中利用勾股定理计算出AB=10，再利用折叠的性质得到AE=BE，AD=BD=5，设
AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，在Rt△BCE中根据勾股定理可得到x2=62+（8-x）2，解得x，可得CE．
解：∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= =10，
∵△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，
∴AE=BE，AD=BD= AB=5，
设AE=x，则CE=AC-AE=8-x，BE=x，
在Rt△BCE中
∵BE2=BC2+CE2，
∴x2=62+（8-x）2，解得x= ，
∴CE= = ，
故选：D．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了勾股
定理．
5．B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10-x）尺．利用勾股定理解题即可．
解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为 尺，
根据勾股定理得： ，
解得： ．
所以，原处还有4.55尺高的竹子．
故选：B．
【点拨】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定
理解题．
6．A
【分析】先根据直角三角形的性质可得 ，再根据勾股定理和角的和差可
得 ，最后在 中，利用勾股定理即可得．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
则在 中， ，
故选：A．
【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角
三角形的性质是解题关键．
7．A
解：分析：将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，
∠PBE=60°，则△BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△AEP中，AE=5，延长BP，作AF⊥BP
于点F．AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB
的度数，在直角△APF中利用三角函数求得AF和PF的长，则在直角△ABF中利用勾股定理求得AB的长，
进而求得三角形ABC的面积．
详解：∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，
可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，连EP，且延长BP，作AF⊥BP于点F．如图，∴BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，
∴△BPE为等边三角形，
∴PE=PB=4，∠BPE=60°，
在△AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，
∴AE2=PE2+PA2，
∴△APE为直角三角形，且∠APE=90°，
∴∠APB=90°+60°=150°．
∴∠APF=30°，
∴在直角△APF中，AF= AP= ，PF= AP= ．
∴在直角△ABF中，AB2=BF2+AF2=（4+ ）2+（ ）2=25+12 ．
则△ABC的面积是 •AB2= •（25+12 ）=9+ ．
故选A．
点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理以及旋转的性质：旋转前后的两个图
形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．
8．D
【分析】如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，先证明 ADC是等腰直
△
角三角形，得AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，再证明AD＝BD，计算AE和BC的长，根
据三角形的面积公式可解答．
解：如图，过点A作AD⊥AC于A，交BC于D，过点A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝ AC＝2 ，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，
∴∠DAB＝22.5°，
∴∠B＝∠DAB，
∴AD＝BD＝2，
∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴DE＝CE，
∴
∴△ABC的面积 ．
故选：D．
【点拨】本题考查的是勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，熟知掌握等腰三角形的性
质是解本题的关键．
9．D
【分析】由尺规作图可知，BE为∠ABC的平分线，结合等腰三角形的性质可得BE⊥AC，AE= CE=
AC= 2，利用勾股定理求出AB、 BC的长度，进而可得EF= AB=2 ， CF= BC= ，即可得出答案．
解：由题意得，BE为∠ABC的平分线，
∵ AB= BC，
BE⊥AC， AE= CE= AC = 2，
由勾股定理得，
AB= BC= ，
∵点F为BC的中点，∴EF= AB= ， CF= BC= ，
∴ CEF的周长为： +2= 2 + 2．
∆
故选：D．
【点拨】本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及等腰
三角形的性质是解答本题的关键．
10．B
【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．
解：∵△OA A 为等腰直角三角形，OA ＝1，
1 2 1
∴OA ＝ ；
2
∵△OA A 为等腰直角三角形，
2 3
∴OA ＝2＝ ；
3
∵△OA A 为等腰直角三角形，
3 4
∴OA ＝2 ＝ ．
4
∵△OA A 为等腰直角三角形，
4 5
∴OA ＝4＝ ，
5
……
∴OA 的长度为（ ）n﹣1，
n
故选：B．
【点拨】此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．
11．12
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，我们可以将其转化为数学几何图形，根据题意，可知
的长为10尺，则 尺，设出 尺，表示出水深 ，在 中，根据勾股定理建立
方程，是解题的关键．
解：依题意画出图形，设芦苇长 尺，则 尺，尺，
尺
在 中， ，
解得 ，
即芦苇长13尺，
水深为 （尺），
故答案为：12．
12． / /1.5
【分析】先根据 证明 ，推出 ，再利用勾股定理求出 ，最后根据中
点的定义即可求 的长．
解： ，
，
点D为 的中点，
，
又 ，
，
，
中， ， ，
，
．
故答案为： ．【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质等，证明 是解
题的关键．
13． 或
【分析】分两种情况当 在 延长线上和当 在 上讨论，画出图形，连接 ，过点 作
于 ，利用勾股定理解题即可
解：当在线段上时，连接 ，过点 作 于 ，
当 在线段 上时，
，
，
，
，
点 是线段 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，，
当 在 延长线上时，则 ，
是线段 的中点， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
14．
【分析】过点P作 于点Q，过点C作 于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出 ，然后利用含 的直角三角的性质得出 ，则 ，
当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，利用含 的直角三
角的性质和勾股定理求出 ， ，最后利用等面积法求解即可．
解：过点P作 于点Q，过点C作 于点H，
由题意知： 平分 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当C、P、Q三点共线，且与 垂直时， 最小， 最小值为 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 最小值为 ．故答案为： ．
【点拨】本题考查了尺规作图-作角平分线，含 的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握
利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
15．10
【分析】如图（见分析），将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可
知 的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
解：如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接
，
由题意得： ，
，
∵底面周长为 ，
，
，
由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ，
故答案为：10．
【点拨】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计
算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
16．12
【分析】延长BE交AD于点F，由“ASA”可证△BCE≌△FDE，可得DF＝BC＝5，BE＝EF，由勾股定
理可求AB的长．
解：如图，延长BE交AD于点F，∵点E是DC的中点，
∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD，
∴AD∥BC，
∴∠ D＝∠BCE，∠FED＝∠BEC，
∴ △BCE≌△FDE（ASA），
∴DF＝BC＝5，BE＝EF，
∴BF＝2BE＝13，AF=5,
在Rt△ABF中，由勾股定理可得AB＝12．
故答案为：12．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的
关键．
17．
【分析】先证明 是等边三角形，再证明 ，再利用直角三角形 角对应的边是斜边
的一般分别求出 和 ，再利用勾股定理求出 ，从进而即可求解．
解：如下图所示，设 与 交于点O，连接 和 ，
∵点D为 的中点， ，∴ , ， 是 的角平分线， 是 ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∵ ，
∴
∴ ,
∴ ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质，证明 是等边三角形是解本
题的关键．
18．①②④
【分析】①当 时， 是等边三角形，根据等角对等边，以及三角形的内角和定理即
可得出 ，进而判断①；证明 ，根据全等三角形的性质
判断②；作直线 于点 ， 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明
， ， ，即可得 是 的中点，故④正确，证明，可得 ，在 中， ，在 中，
，得出 ，在 中，勾股定理即可求解．
解：①当 时， 是等边三角形，
∴
∴
∵等腰直角 、 ，
∴
∴
∴ ；故①正确；
②∵等腰直角 、 ，
∴ ，
∴
∴
∴ ；故②正确；
④如图所示，作直线 于点 ， 过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∵ ，
∴ ，
又 ，
∴
又∵ ，
∴
同理得， ，∴ ， ， ，
∵ ， ，，
∴ ，
∴ ，即 是 的中点，故④正确，
∴ ，
设 ，则
在 中，
在 中，
∴
∴
解得：
∴ ，
∴ ，
∴
∴
在 中，
∴ ,故③错误
故答案为：①②④．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性
质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
19．（1）见分析；（2） ；（3）存在，
【分析】（1）由 即可证明 ；
（2）证明 （ ），勾股定理得到 ，在 中，勾股定理即可求解；（3）证明 ，即可求解．
（1）解：由题意，可知 ， ， ．
．
即 ．
．
（2） 在 中， ，
．
．
，
， ．
．
．
在 中， ．
（3）由（2）可知， ．
当 最小时，有 的值最小，此时 ．
为等腰直角三角形，
．
．
即 的最小值为 ．
【点拨】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定
与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
20．（1）见分析；（2）
【分析】（1）由 求出 ，然后利用 证明 ，可得 ，
再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作 于F，根据等腰三角形的性质和含 直角三角形的性质求出 和 ，然后利用勾股定理求出 ，再根据三角形面积公式计算即可．
解：（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点E作 于F，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含 直角
三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）
【分析】（1）以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们长度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求；
（2）过点P作 ，根据 和题中条件可求出 的面积，再结合角平分线
的性质即可求解．
（1）解：以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 ，在以两交点为圆心，以大于它们 长
度为半径画弧，交于一点，过A于该点作射线交 于点P，则 即为所求．
（2）解：过点P作 ，如图所示，
由（1）得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【点拨】本题主要考查作图—基本作图，解题关键是掌握角平线的尺规作图及角平分线的性质．
22．（1） ；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）勾股定理求得 ，结合已知条件即可求解；（2）根据题意画出图形，证明 ，得出 ，则 ，即可得证；
（3）延长 交于点 ，延长 交 于点 ，根据角平分线以及平行线的性质证明 ，
进而证明 ，即可得证．
（1）解：∵
∴ ，
∵
∴
即 ；
（2）证明：如图所示，
∴
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ， ,
∴
∴
∴
∴
（3）证明：如图所示，延长 交于点 ，延长 交 于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ 是 的角平分线，
∴ ，
∴
∴
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
又 ，则 ，
在 中，，
∴ ，
∴
【点拨】本题考查了全等三角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与判
定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
23．（1） ；（2） ；（3） ，9
【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；
（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到 ，
，整体代入得出答案即可．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：，
∴根据题意得 ， ，
∴原式 ．
【点拨】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正
确分组再运用公式法分解因式是解题关键．
24．（1） ；（2）① ；② 或 ；
【分析】（1）过点C作CG⊥AB于G，先证明△EDF≌△CDG，得到 ，然后等腰三角形的性
质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，与（1）同理，证明△EDF≌△CDH，然后证明 是等腰直角三角
形，即可得到结论；
②过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理，得△EDF≌△CDG，然后得到 是等腰直角三角形，利用
勾股定理解直角三角形，即可求出答案．
（1）解：过点C作CG⊥AB于G，如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴△EDF≌△CDG，
∴ ；
∵在 中， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）解：①过点C作CH⊥AB于H，如图，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ；
②如图，过点C作CG⊥AB于G，与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴ ，
∵ ，
当点F在点A、D之间时，有
∴ ，
与①同理，可证 是等腰直角三角形，
∴ ；
当点D在点A、F之间时，如图：
∴ ，
与①同理，可证 是等腰直角三角形，
∴ ；
综合上述，线段 的长为 或 ．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角
形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全
等．
