文档内容
专题18.37 平行四边形题型分类专题（作图问题）（分层练习）
一、单选题
1．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：
①以点C为圆心，以 长为半径作弧，交 于点F；②分别以点D，F为圆心，以 长为半径作
弧，两弧相交于点G，作射线 交 于点E，则 的长为（ ）
A．4 B． C． D．
2．如图，在 中， ，BE是AC边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点B，C为圆心，
大于线段BC长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线MN，交BC于点D；③连
接DE．则线段DE的长为（ ）．
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知：如图， ，小静进行了以下作图：①在 的两边上分别截取 ， ，使
；②分别以点 ， 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ；③连接 ， ， ， ．
若 ， ，则 的长为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
4．在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 为线段 的中点，矩形 的顶点
， ，连接 按照下列方法作图： 以点 为圆心，适当的长度为半径画弧分别交 、 于点
、 ； 分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧交于点 ； 作射线 交 于 ，则
线段 的长为（ ）
A． B．1 C． D．
5．如图，在 中， ， 的面积等于 ．根据作图痕迹，计算出
的面积为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形 中，按以下步骤作图，下列结论中错误的是（ ）
（1）分别以 ， 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧分别交于点 ， ；（2）作直线 ，且直线 恰好经过点 ，且与边 交于点 ；
（3）连接 ．
A． B．
C． D．
7．如图， 中， ， 平分 交 于点D，按下列步骤作图．
步骤1：分别以点C和点D为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点；
步骤2：作直线 ，分别交 ， 于点E，F；
步骤3：连接 ， ．
若 ， ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在 中，按以下步骤作图：①分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两
弧相交于 ， 两点， 和 交于点 ；②以点 为圆心， 长为半径画弧，交 于点 ；③分别
以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 ， 和 相交于点 ，
连接 ．若 ， ，则 的长为（ ）A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
9．如图， 中， ， ，按以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长为半径画弧，
分别交 于点 ，交 于点 ；②分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在
内相交于点 ；③画射线 ，交 于点 ，交对角线 于点 ．若 ，则 的长度为（ ）
A．3 B． C． D．
10．如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交 ，
于点N，M；②分别以M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在矩形内交于点G；③作射线
，若 ，F为 边的中点，E为射线 上一动点，则 的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．5
11．如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧，交边AD于点；②再分别以B，F为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD内部的点G处；③连接AG并延长交BC于
点E，连接BF，若BF＝3，AB＝2.5，则AE的长为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．5
12．如图，在 中， ， ，按以下步骤作图：（1）分别以点 为圆心，
以大于 的长为半径作弧，两弧相交于 两点（点M在 的上方）；（2）作直线 交 于点
O，交 于点D；（3）用圆规在射线 上截取 ．连接 ，过点O作 ，垂足
为F，交 于点G．下列结论：
① ；② ；③ ；④若 ，则四边形 的
周长为25．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①分别以点 和 为圆心，以大于 的长为半径作
弧，两弧相交于点 和 ；②作直线 分别与 ， ， 交于点 ， ， ．若 ， ，
则 ．14．如图，在菱形 中， ，分别以点A，B为圆心，大于 的长为半径作弧相交于
M，N两点，过M，N两点的直线交 边于点E（作图痕迹如图所示），连接 ， ．则 的度数
为 ．
15．如图，在正方形 中， ，E是 的中点，按以下步骤作图．分别以点A和点E为圆
心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于点G，H．作直线 交 于点F．则 的长为
．
16．如图， 的顶点 ，按下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交
OA、OB于点D、E；②分别以点D、E为圆心，大于DE的一半长为半径作弧，两弧交于点F；③作射线
OF，交边AC于点G．则AG的长度为 ．17．如图，在平行四边形 中，按如下步骤作图：①以点 为圆心，以适当长为半径
画弧，分别交 ， 于点 ， ；②分别以点 ， 为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在
内交于点 ；③作射线 交 于点 ．若 ，则 为 ．
18．如图，矩形 中 ， ，连接 ，按下列方法作图：以点C为圆心，适当长为半
径画弧，分别交 、 于点E、F；分别以点E、F为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点
G；作射线 交 于点H，则 的长度为 ．
19．如图，在菱形 中， ，按以下步骤作图： 分别以点 和点 为圆心，大于 的
长为半径画弧，两弧交于点 ， ； 作直线 ，且 恰好经过点 ，与 交于点 ，连接 ，
则 的值为 ．20．（1）如图，点 ， 分别是锐角 两边上的点， ，分别以点 ， 为圆心，以 的
长为半径画弧，两弧相交于点 ，连接 ， ．则根据作图过程判定四边形 是菱形的依据是
．
（2）如图，在菱形 中， ， 为 的中点，将 沿 翻折得到 ，射线
交 于点 ，若 ，则 ．
21．如图，在 中，按以下步骤作图：①以点A为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F；
②分别以点F，B为圆心，以大于 的长为半径画弧，两弧在 内交于点G；③作射线 ，交边
于点E，交 于点O，连接 ．若 ， ，则四边形 的面积为 ．
22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°.按以下步骤作图，分别以点A和点B为圆心，大于 的长为半
径作圆弧，两弧交于点E和点F；作直线EF交AB于点D；连结CD，若AC=8，BC=6，则CD的长为 .23．如图，在矩形 中，分别以点B、D为圆心，大于 长为半径画弧，两弧分别交于点M、
N，过点M、N作直线 分别交 、 于点E、F．若 ， ，则 的长是 ．
24．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交
AC，BC于点E、F，分别以点E、F为圆心，大于 长为半径画弧，两弧交于点G，连接CG，并延长
交DB于M点，若 ，则线段 ．
三、解答题
25．如图，在菱形 中，对角线 和 相交于点 ．
（1）实践与操作：过点 作 交 的延长线于点 ．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
（2）猜想与证明：试猜想线段 与 之间的数量关系，并证明你的猜想．
26．数学活动课上，小明想取平行四边形的对角线上一点构造一个新平行四边形，具体的做法是：如
图，在□ 的对角线 上取一点 ，连接 ， ，再过点 作 ，交 于点 ，连接
，得到四边形 ，进一步证明四边形 是平行四边形．按以上思路完成下面的作图与填空．
证明：用直尺和圆规过点 作 ，交 于点 ，连接 ． 保留作图痕迹
在 和 中，
四边形 是平行四边形，
， ① ，
② ．
，
③ ．
．
④ ，
四边形 是平行四边形．27．如图，在 中， 是 的角平分线．
（1）请用圆规和无刻度的直尺作 的垂直平分线，分别交 ， 于点 ， ；（保留作图痕迹，
不写作法）
（2）连接 ， ，试判断四边形 的形状，并证明．
28．学习过程中，小胡发现：四边形 是平行四边形， 平分 交 于点 ，若过点
作 的垂线，交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则必有四边形 为菱形． 为验证此规律的
正确性，小胡思路是：在下图中，过点 作 的垂线 ，再通过证明全等得出结论． 请完成以下作
图与填空：
（1）用直尺和圆规在下图的基础上过点 作 的垂线 ，交 于点 ，交 于点 ，再连接
．（只保留作图痕迹）
（2）求证：四边形 为菱形 请补全下列过程 ．证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ① ，
∴ ② ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴在 和 中，
∴ （ ），
∴ ③ ．
∴ ．
又∵ ，
∴ ④
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
29．在 中， ， 为 的角平分线．作线段 的垂直平分线 ，分别交 、
于点 、 ，垂足为 ．连接 、 ．则四边形 是正方形．补全图形（保留作图痕迹，不写
作法）并完成以下证明．
证明：∵ 平分 ，且∴ 又 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，同理
∴
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ① ， ② ．（③写推理依据 ）
∴ ，
∴四边形 是④ ．
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
30．教材呈现
例：如图（1），在 中， ， 是斜边 上的中线．求证： ．
证明：延长CD至点E，使 ，连接 ．
……
（1）请根据教材提示，结合图（1）写出完整的证明过程．
（2）初步探究
如图（2），在四边形 中， ， ， ， 于点P，
连接 ， ，且 ．
① 的度数为______．
②求 的长．
（3）拓展运用
如图（3），在 中， ， ，F是 边上一点，且 ；按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 ， 于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大
于 的长为半径作弧，两弧交于点E，作射线 ．过点F作 交 于点P，过点P作
于点G，Q为射线 上一动点，连接 ， ．若 ，请直接写出 的值．参考答案：
1．C
【分析】由平行四边形的性质可得 ，由勾股定理即可求解．
解：四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴
由题意可得 ，
∴
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，基本作图，掌握平行四边形的性质是解
题的关键．
2．C
【分析】根据作法得∶点D为BC的中点，然后根据三角形中位线定理，即可求解．
解：解∶根据作法得∶MN为BC的垂直平分线，即点D为BC的中点，
∵BE为AC边上的中线．即点E为AC的中点，
∴ ．
故选：C
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线，熟练掌握三角
形中位线定理，尺规作图——作已知线段的垂直平分线的作法是解题的关键．
3．B
【分析】根据作法判定出四边形 是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即
可得解．
解：由作图可得， ，∴四边形 是菱形，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的判定与性质，解题时注意：菱形的面积等于对角线乘积的一半，判定出四
边形 是菱形是解题的关键．
4．C
【分析】由作图可知， 是 的平分线，如图，过 作 于 ，由角平分线的性质可
知 ， ，由题意得 ，设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，计算求解即可．
解：由作图可知， 是 的平分线，如图，过 作 于 ，
由角平分线的性质可知 ，由勾股定理得： ，
∵矩形 的顶点D ，O为线段 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，即 ，
解得 ，∴ ，
故选：C．
【点拨】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握以上知
识是解题的关键．
5．A
【分析】根据线段垂直平分线性质得到 ，得到 ，得到 ，根据
，得到 ，得到 ，得到 ．
本题主要考查了线段垂直平分线，平行四边形，三角形面积．熟练掌握线段垂直平分线性质，平行四
边形性质，等高三角形面积比等于底边比，是解决问题的关键．
解：由作图知， 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是中心对称图形，对称中心是点O，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
6．B
【分析】连接 ， ，先根据菱形的性质可得 ，即可判断选项C正确；再证
是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一即可判断选项A正确；根据菱形的性质可得 ，
根据 即可判断选项B错误；根据 和三角形的面积公式即可判断选项D正确．解：如图，连接 ， ，
由题意可知， 垂直平分 ，
，
四边形 是菱形，
，
， ，选项C正确；
是等边三角形，
，
（等腰三角形的三线合一），选项A正确；
又 四边形 是菱形，
， ，
的边 上的高等于 的边 上的高， ，选项B错误；
，
，选项D正确；
故选：B．
【点拨】本题考查了菱形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，
熟练掌握菱形的性质是解题关键．
7．B
【分析】由作图可知，四边形 是正方形，根据 ，可得
，由此即可解决问题．
解：∵ 平分 ， ，
∴ ，
由作图可知， 是 的垂直平分线，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查线段的垂直平分线的性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用面
积法构建方程解决问题．
8．A
【分析】本题考查作图 基本作图，三角形中位线定理，线段的垂直平分线的性质等知识，利用三角
形中位线定理以及线段的垂直平分线的性质求解．
解：由作图可知 垂直平分线段 ， 平分 ， ，
， ，
，
， ，
，
．
故选：A．
9．A
【分析】先根据平行四边形的性质得到BC＝AD＝10，再利用勾股定理计算出AC＝8，利用基本作图
得到BQ平分∠ABC，则根据角平分线的性质得到点O到BA的距离等于点O到BC的距离，接着利用三角
形的面积公式得到S ABO：S BCO＝AB：BC＝OA：OC，所以OA AC．
△ △
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC＝AD＝10，
∵BA⊥CA，
∴∠BAC＝90°，
在Rt△ABC中，AC 8，
由作法得BQ平分∠ABC，
∴点O到BA的距离等于点O到BC的距离，
∴S ABO：S BCO＝AB：BC＝6：10＝3：5，
△ △
∵S ABO：S BCO＝OA：OC，
△ △
∴OA：OC＝3：5，
∴OA：AC＝3：8，
∴OA AC 8＝3．
故选：A．
【点拨】本题考查了作角平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，掌握角平分线的
性质是解题的关键．
10．B
【分析】在 上截取 ，连接 ，可证 （ ），可得 ，当 、 、
三点共线时， 最小，即 最小，由 即可求解．
解：如图，在 上截取 ，连接 ，
由作法可得 平分 ，
，
在 和 中，
（ ），
，
，
当 、 、 三点共线时， 最小，
即 最小，
四边形 是矩形，
，
是 的中点，
，
，
的最小值 ；
故选：B．
【点拨】本题考查了线段和最小值的典型问题，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，
找出取得最小值的条件是解题的关键．
11．B
【分析】连接EF，先证AF=AB=BE，得四边形ABEF是菱形，据此知AE与BF互相垂直平分，继而得
OB的长，由勾股定理求得OA的长，继而得出答案．
解：由题意得：AF=AB，AE为∠BAD的角平分线，则∠BAE=∠FAE．
又∵四边形ABCD是平行四边形，则AD∥BC，∠BAE=∠FAE=∠BEA，
∴AF=AB=BE．
连接EF，则四边形ABEF是菱形，
∴AE与BF互相垂直平分，
设AE与BF相交于点O，OB 1.5．在Rt△AOB中，OA 2，
则AE=2OA=4．
故选：B．
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角
平分线的尺规作图方法等．
12．D
【分析】证明四边形ADBE是菱形，推出FG是△ACD的中位线，即可得到 ，由此判断①；
根据菱形的性质得到AD=BD，再利用Rt△ACD得到 ，即可判断②；根据FG是△ACD的中
位线，证得 ，即可判断③；设OA=x，则OF=9-x，根据 ，求出OA=5得到
AB=10，BC=8，再根据 ，求出BD= ，即可判断④.
解：由题意知：MN垂直平分AB，
∴OA=OB，ED⊥AB，
∵OD=OE，
∴四边形ADBE是菱形，
∵ ， ，
∴OF∥BC，AF=CF，
∴FG是△ACD的中位线，
∴ ，故①正确；
∵四边形ADBE是菱形，
∴AD=BD，
在Rt△ACD中， ,
∴ ，故②正确；∵FG是△ACD的中位线，
∴点G是AD的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵AC=6，
∴AF=3，
设OA=x，则OF=9-x，
∵ ，
∴ ，
解得x=5，
∴AB=10，
∴BC=8，
∵ ，
∴ ，
解得BD= ，
∴四边形 的周长为 .
故选：D.
【点拨】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，菱形的判定及性质定理，勾股定理，三角形的中位
线的判定及性质，三角形中线的性质，这是一道四边形的综合题.
13．
【分析】题目欲求 的长度，得先知道 和 的长度是否相等，若相等求出 得长度即可．
构造 所在的 ，连接 ，利用勾股定理求出 ．由于 是未知，在 中求出 后通
过勾股定理求出 ．根据矩形的性质求出角相等，利用 进行 和 全等求出 和 相
等．解：连接 ，
由题意可知， 的垂直平分线段 ，
，
四边形 为矩形，
，
，
，
在 中， ，
，
又 ，
在 中， ，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查的是矩形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理和三角形全等的判定．在解题过程中需要注意的是是否熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．是否做对辅助线是解题的重要步
骤．
14． /80度
【分析】本题考查了作图—垂直平分线，菱形的性质，根据题意得，点E在 的垂直平分线上，则
，即可得 ，根据四边形 为菱形得 ， ，可得
，即可得；掌握作图—垂直平分线，菱形的性质是解题的关键．
解：根据题意得，点E在 的垂直平分线上，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
15． /
【分析】本题考查正方形的性质，作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握
线段垂直平分线的作法和性质、勾股定理是解题的关键．先由作法得出 且平分 ，从而得到
，在 中，设 ，则 ，由勾股定理，得 ，
求解即可．
解：连接 ，
由作图可知， 且平分 ，
，∵正方形 ，
∴ ， ，
∵E是 的中点，
，
在 中，设 ，则 ，
由勾股定理，得 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
16．
【分析】如图，先利用勾股定理计算出OA＝ ，再利用基本作图和平行线的性质得到∠AOG＝
∠AGO，则AG＝AO＝ ，从而求解．
解：如图，∵ AOBC的顶点A的坐标为 ，
▱
∴AC OB，OA＝ ，
由作法得OG平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠BOG，
而AC OB，
∴∠AGO＝∠BOG，
∴∠AOG＝∠AGO，
∴AG＝AO＝ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图−基本作图，解题的关键是熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也
考查了平行四边形的性质．
17．
【分析】先利用基本作图得 ，再根据平行四边形的性质和平行线的性质得到
，从而得到 ．
解：由作法得 平分 ，
，
四边形 为平行四边形，
，
，
，
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．
18．
【分析】证明 ， ， ，如图，过H点作 于M，可得
，证明 ，求解 ，从而可得答案．
解：∵矩形 中 ， ，
∴ ， ， ，
如图，过H点作 于M，
由作法得 平分 ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，而 ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，角平分线的作图与角平分线的性质，证明
是解本题的关键．
19．
【分析】本题考查了作图 基本作图：熟练掌握基本作图 作一条线段等于已知线段；作一个角等于已
知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 ．
利用基本作法得到得 垂直平分 ，即 ， ，再利用菱形的性质得到
， ，则利用勾股定理先计算出 ，然后计算出 ．
解：由作法得 垂直平分 ，即 ， ，
四边形 为菱形，
， ，
， ，
在 中， ，
在 中， ．
故答案为 ．20． 四条边都相等的四边形是菱形
【分析】（1）由AE＝AF＝ED＝DF，根据四条边都相等的四边形是菱形，即可证得：四边形AEDF
是菱形．
（2）DE和CB的延长线相交于G'点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，根据菱形的性质得A＝
180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC，则∠1＝∠G，再利用折叠的性质得∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG
＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，则∠4＝60°，在Rt△EHG中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HG＝
EG＝ ，EH＝ EH＝ ，则在Rt△DEH中利用勾股定理可计算出DE＝ ，再证明∠2＝∠G'得到
FG'＝FD，证明△AED≌△BEG'得到DE＝G'E，所以FE⊥DG'，然后证明Rt△DEF∽Rt△DHE，利用相似比计
算出DF＝ ，则FG＝FD﹣DG＝ ，于是得到BF＝FG＝ ．
解：（1）根据作图过程判定四边形ABDC是菱形的依据是：四边相等的四边形是菱形，
理由如下：
∵根据题意得：AE＝AF＝ED＝DF，
∴四边形AEDF是菱形，
（2）DE和CB的延长线相交于G'点，连结EF，作EH⊥DF于H点，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠A＝180°﹣∠B＝120°，AB＝AD＝2，AD∥BC
∴∠1＝∠G'，
而E为AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∵△AED沿DE翻折得到△GED，
∴∠1＝∠2，DG＝DA＝2，EG＝EA＝1，∠3＝∠A＝120°，
∴∠4＝60°，∴在Rt△EHG中，HG＝ EG＝ ，EH＝ ，
∴在Rt△DEH中，DE＝ ，
∵AD∥BG'，
∴∠1＝∠G'，
∴∠G'＝∠2，
∴FG'＝FD，
在△AED和△BEG'中，
，
∴△AED≌△BEG'，
∴DE＝G'E，AD＝BG'＝2，
∴FE⊥DG'，
∴∠FED＝90°，
∵∠HDE＝∠EDF，
∴Rt△DEF∽Rt△DHE，
∴ ，即 ，
∴DF＝ ，
∴FG＝FD﹣DG＝ ﹣2＝ ，
∵FG'＝FD，BG'＝DG＝2，
∴FG'－BG'＝FD－DG，
∴BF＝FG＝ ．
故答案为：（1）四条边都相等的四边形是菱形，（2） ．
【点拨】本题考查了菱形的判定和性质，菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别
是两条对角线所在直线．也考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．
21．24．
【分析】根据作图可知AG是角平分线，根据等腰三角形的性质判断四边形AFEB是菱形，求出对角
线长即可求面积．
解：由作图可知，AG平分∠BAF，AB=AF，
∴AG垂直平分BF，∠FAG=∠BAE，
∴EF=EB，
∵AD∥BE，
∴∠FAE=∠AEB，
∴∠BAE =∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，
∴四边形ABEF是菱形，
∴BO=FO=4，
∴ ，
AE=6，
菱形 的面积为 ；
故答案为：24．
【点拨】本题考查了角平分线的作法、菱形的判定与性质、勾股定理和平行四边形的性质，解题关键
是明确角平分线作法，证出四边形 是菱形．
22．5
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再由作图的方法得出EF是线段AB的垂直平分线，故可得出
点D是线段AB的中点，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝ ＝ ＝10．
∵由题意可知，EF是线段AB的垂直平分线，
∴点D是线段AB的中点，∴CD＝ AB＝5．
故答案为5．
23．
【分析】设 与 交于点G，连接 ，首先根据作图过程可知： 是 的垂直平分线，
， ，可得 ，再根据矩形的性质及勾股定理可求得 ，设
，则 ，利用勾股定理即可求得 、 的长，再根据全等三角形的
判定，可证得 ，可得 ，据此即可求解．
解：如图：设 与 交于点G，连接 ，
根据作图过程可知： 是 的垂直平分线，
， ，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
得 ，
解得 ，， ，
，
，
在 与 中，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了作图−基本作图、线段垂直平分线的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、
矩形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
24．1
【分析】过点N作 于点H，由四边形ABCD是正方形，得到 是等腰直角三角形，继
而求出 ，再根据角平分线的性质定理得出 ，再由外角的性质得到
，最后由等角对等边得出BM的长度即可．
解：
如图，过点N作 于点H四边形ABCD是正方形
是等腰直角三角形
由作图可知，CM平分
，
故答案为：1
【点拨】本题考查了角平分线的作图、角平分线的性质定理、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、
三角形外角的性质、等角对等边，能够综合应用上述知识是解题的关键．
25．（1）见分析；（2） ，见分析
【分析】（1）以点 为圆心， 为半径，画弧交 的延长线于点 ，连接 ，再根据菱形的性
质，平行四边形的判定，即可；
（2）根据菱形的性质，得 ， ；根据 ， ，即可．
解：（1）如下如： 即为所求，
以点 为圆心， 为半径，画弧交 的延长线于点 ，连接 ，
证明：
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ．（2）∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 上的中线，
∴ ．
【点拨】本题考查菱形、平行四边形和直角三角形的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，直角三角
形的中线，平行四边形的判定和性质．
26．见分析
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的
性质与判定；先过点 作 ，交 于点 ，连接 ．进而证明 ，得出
，即可得证四边形 是平行四边形．
解：如图所示，
在 和 中，
四边形 是平行四边形，
， ，
．
，
．
．，
四边形 是平行四边形．
故答案为： ； ； ； ．
27．（1）见分析；（2）四边形 是菱形，证明见分析
【分析】本题考查作图 基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，
正确作出图形．
（1）根据要求作出图形；
（2）结论：四边形 是菱形．证明四边相等可得结论．
解：（1）图形如图所示：
（2）结论：四边形 是菱形．
理由：设 交 于点 ．
垂直平分线段 ，
， ，
平分 ，
，
， ，
，
，
四边形 是菱形．
28．（1）见分析；（2）①∠ ；② ；③ ；④四边形 为
平行四边形．
【分析】（1）根据尺规作垂线，作 于点 ，交 于点 即可；
（2）先证 ，从而得 ．进而证四边形 为平行四边形．最后再由
，即可证明结论成立．
（1）解：如图所示，（2）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴在 和 中，
∴ （ ），
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形．
又∵ ，
∴四边形 是菱形．
故答案为：① ；② ；③ ；④四边形 为平行四边形．
【点拨】本题主要考查了尺规作垂线、角平分线的定义、全等三角形的判定及性质、平行四边形的判
定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键．
29．作图见分析；① ；② ；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④菱形
【分析】如图，完成作图后，先利用垂直平分线的性质证明 ，从而证得四边形
是菱形，然后根据 ，证明四边形 是正方形．
解：作图如图所示，证明：∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
又∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
同理
∴ ，
∴ ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）
∴ ，
∴四边形 是菱形，
又∵ ，
∴四边形 是正方形．
故答案为：① ；② ；③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；④菱形．
【点拨】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图，菱形的判定，正方形的判定，牢记特殊四边形的判
定方法是解题的关键．
30．（1）证明见分析；（2）① ，②2；（3） 或3
【分析】（1）延长 至点E，使 ，连接 ， ，先证明四边形 是平行四边形，再
证明 是矩形即可；
（2）①题意可证明 ， ，再利用三角形内角和得到
，代入后可求得 ；
②过点D作 于点G．由题意可得 ， ，进而得到 ，，设 ，则 ， ．由 ，代入得到 ，求
出m则 可求；
（3）过点Q作 于点H．再分：点Q在线段 上和点Q在线段 的延长线上两种情况分别
求 即可．
解：（1）证明：延长 至点E，使 ，连接 ， ，
则 ．
∵ 是斜边 上的中线，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ．
（2）①∵ ， ， ，
∴P为 中点，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：
②如图（1），过点D作 于点G．由题意 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ．
由①知 ，
∴ ．
设 ，则 ， ．
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
（3） 或3．
解：过点Q作 于点H．
∵ ，
∴ ．
由作图可知， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
分两种情况：①如图（2），当点Q在线段 上时，连接 ，
则 ，
∴由勾股定理得： ；∵ ， ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中， ，
②如图（3），当点Q在线段BP的延长线上时，
由题意， ， ．
在 中， ，
∴ ， ，
∴ ．
在 中，
，综上可知， 的值为 或3．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定、矩形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线以及勾
股定理的应用，解答关键是根据题意合理构造直角三角形应用勾股定理求出未知数据．
