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专题 18.4 解题技巧专题：矩形、菱形、正方形中定值、最值、
新定义、中点四边形问题之五大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】............................................................................................1
【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】......................................................................................10
【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】......................................................................................19
【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】......................................................................................24
【考点五 矩形、菱形、正方形中新定义型问题】......................................................................................31
【典型例题】
【考点一 矩形、菱形、正方形中求定值问题】
例题：（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）如图所示，矩形 中， ， 为 上的
一动点，过点 作 于点 ， 于点 ，试问当 点在 上运动时， 的值是否
发生变化？若不变，请求出定值．
【答案】当 点在 上运动时， 的值不发生变化，为24
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据勾股定理求出 ，求出 ， ，求
出 的面积，根据三角形面积公式得出 ，由此即可得出答案，熟练掌
握矩形的性质是解此题的关键．
【详解】解：当 点在 上运动时， 的值不发生变化，理由是：连接 ，
，
∵在矩形 中， ，
，
由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即当 点在 上运动时， 的值不发生变化，为24．
【变式训练】
1．（2023上·四川德阳·九年级统考期末）如图，边长为定值的正方形 的中心与正方形 的顶点
重合，且与边 、 相交于 、 ，图中阴影部分的面积记为 ，两条线段 、 的长度之和记
为 ，将正方形 绕点 逆时针旋转适当角度，则有（ ）
A． 变化， 不变 B． 不变， 变化 C． 变化， 变化 D． 与 均不变
【答案】D
【分析】如图，连接 ， ．证明 ，可得结论．
【详解】解：如图，连接 ， ．∵四边形 和四边形 均为正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 定值，
定值，
故选：D．
【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找
全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
2．（2023下·江苏徐州·八年级统考期末）如图，已知四边形 为正方形， ，点E为平面内一动
点（不与点D重合），连接 ，以 为边作正方形 ，连接 ．
(1)如图1，当点E在对角线 上移动时：
①求证： ；②探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
③求证：点F在直线 上．
(2)如图2，连接 ，则 的最小值等于_______．
【答案】(1)①证明见解析；② 的值为定值， ；③证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据正方形的性质，利用 证明 ；②根据 可得 ，
进而可得 ；③过点E分别做 ， ，垂足分别为点P、点Q，通过
证明 ，推出 ，结合 ，可证点F在直线 ．
（2）连接 ， ，同（1）①可证 ，推出 ，进而可得
．
【详解】（1）①证明：∵四边形 、四边形 均为正方形，
∴ ， ， ．
∴ ，
即 ，
∴ ；
② 的值为定值．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∵正方形 中， ，
∴ ，
∴ ；
③如图，过点E分别做 ， ，垂足分别为点P、点Q．， ， 平分 ，
∴ ， ，
又 ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
即 ．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
又∵ ，
∴点F在直线 ．
（2）解：如图，连接 ， ，
∵四边形 、四边形 均为正方形，∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴当E，F在线段 时， 取最小值，最小值为 的长，即最小值为 ．
【点睛】本题考查正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段的最值问题等，解题
的关键是正确作出辅助线，熟练运用等量代换思想．
3．（2023上·吉林长春·八年级吉林省第二实验学校校考期末）如图①，在矩形 中， ，
，点E在边 上，且 ，动点P从点E出发，沿折线 以每秒1个单位长度的速
度运动．作 ， 交边 或边 于点Q，连接 ．当点Q与点C重合时，点P停止运动．
设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P和点B重合时，线段 的长为______；
(2)当点Q和点D重合时，求 的值；
(3)当点P在边 上运动时，如图②，求证： 为定值，并求这个值；
(4)作点E关于直线 的对称点F，连接 、 ，当四边形 和矩形 的重叠部分为轴对称四
边形时，直接写出t的取值范围．【答案】(1)
(2)
(3) 为定值，且这个值为1
(4) 或 或
【分析】（1）证明四边形 是矩形，进而在 中，勾股定理即可求解；
（2）利用矩形的性质及角之间的互余关系求出 ，根据勾股定理求出 ，证明
，得出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出结果；
（3）过 作 于点 ，利用矩形的性质及角之间的互余关系可证明 得出 ，
即可得出结论；
（4）分三种情况讨论，①如图所示，当点 在 上时，②当 点在 上时，当 ，A重合时符合题意，
此时如图，③当点 在 上，当 ， 重合时，此时 与点 重合，则 是正方形，即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
当点 和点 重合时，
∴ ， ，在 中， ，
即： ；
故答案为： ．
（2）解：当点 和点 重合时，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
则 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：过 作 于点 ，则有 ， ，又∵矩形 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
即 为定值，且这个值为1；
（4）解：①如图所示，当点 在 上时，
∵ ， ，
在 中， ，
则 ，
∵ ，
∴ ， ，
在 中， ，∴ ，
解得： ，
当 时，点 在矩形内部，
∴ 符合题意；
②当 点在 上时，当 ，A重合时符合题意，此时如图，
则 ， ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ，
当 且 时，点 在矩形外部，不符合题意；
③当点 在 上，当 ， 重合时，此时点 与点 重合，则 是正方形，此时 ；
当 时，点 在矩形外部，不符合题意；
综上所述， 或 或 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质与判定，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及
性质，勾股定理，求正弦值，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键．【考点二 矩形、菱形、正方形中求最小值问题】
例题：（2024上·山东烟台·八年级统考期中）如图，菱形 的边长为2， ，E是 的中
点，P是对角线 上的一个动点，则 的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】由菱形的性质可知A、C两点关于 对称，连接 ， ， 与 的交点即为点P，此时
的值最小，求出 的长即可求解．
【详解】解：连接 ，连接 与 交于点P，
∵菱形 的边长为2， ，
∴A、C两点关于 对称， ， ，
∴ 为等边三角形， ，
此时 ，值最小．
∵E是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，确定点P的位置
是解题的关键．
【变式训练】1．（2024上·广东茂名·九年级统考期末）如图，P是 的斜边 （不与点A、C重合）上一动点，
分别作 于点M， 于点N，O是 的中点，若 ， ，当点P在 上运动
时， 的最小值是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识．连接 ，证四边形 是矩
形，得 ．再根据当 时， 最小，然后由面积法求出 的最小值，即可解决问题．
【详解】解：连接 ，如图，
∵ ， ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， 与 互相平分．
∵点O是 的中点，
∴点O在 上， ．
∵当 时， 最小，
又∵此时 ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为： ．
2．（2024上·陕西榆林·九年级统考期末）如图，在矩形 中，点P在边 上运动（可与端点重合），
连接 ，E、F分别为 、 的中点，连接 ，若 ，则线段 的最小值为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查矩形性质、三角形中位线的判定和性质、垂线段最短等知识点，求得当P、D重合
时， 最小，即可求得 有最小值是解题的关键．
如图：连接 ，根据矩形性质可得 ，根据三角形中位线的判定和性质可得 ，继而根
据两点之间线段最短可得当P、D重合时， 最小，即可求得 最小值．
【详解】解：如图，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵E、F分别为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当 最小时， 有最小值，
∵当P、D重合时， 最小， 有最小值，
∴ ,∴ 的最小值为3．
故答案为：3．
3．（2024上·贵州遵义·九年级校联考期末）如图，正方形 ，边长 ，对角线 相交于
点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与 交于E、F两点，当三角板
绕点O旋转时，线段 的最小值为 ．
【答案】
【分析】证明 ，得到 ，要使 有最小值，即求 的最小值，当 时，
有最小值，由等腰三角形的性质可求出．
【详解】解： 正方形 ，
，
，
，
，
，
，
故要使 有最小值，即求 的最小值，
当 时， 有最小值，，
，
，
线段 的最小值为 ．
故答案为： ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟
练掌握旋转的性质是解题的关键．
4．（2023下·四川宜宾·八年级统考期末）如图，已知在 中， ， ，垂足为点D，
是 外角 的平分线， ，垂足为点E， ， ．
(1)求证：四边形 为矩形．
(2)当 满足什么条件时，四边形 是一个正方形？并证明．
(3)在矩形 中内部有一动点P，满足 ，求 的最小值．
【答案】(1)见解答
(2)当 是等腰直角三角形时，四边形 是一个正方形，理由见解答
(3)
【分析】（1）根据双角平分线可得 即可得证；
（2）四边形 要变成一个正方形，则 ，即 即可；
（3）先根据题意求出 的面积，从而求出 边上的高，即可确定点P的位置，再利用轴对称即可求
出最小值．
【详解】（1）证明：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 外角 的平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 为矩形；
（2）解：当 是等腰直角三角形时，四边形 是一个正方形，
由（1）知四边形 为矩形，
∵ 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∴四边形 是正方形；
（3）解： ，
∴ ，
即 ，解得 ，
即点P在平行于 且到 的距离为4的直线上，如图：
作点C关于点P所在直线的对称点F，连接 ，此时 的值最小为 的长，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ．
【点睛】本题考查角平分线的性质，矩形的判定，正方形的判定，线段和的最小值，熟练掌握以上知识是
解关键．
5．（2023下·广东广州·八年级统考期末）如图，菱形 中， ， ，点P为 边上
任意一点（不包括端点），连结 ，过点P作 边 点Q，点R线段 上的一点．(1)若点R为菱形 对角线的交点， 为 的中位线，求 的值；
(2)当 的值最小时，请确定点R的位置，并求出 的最小值；
(3)当 的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出 的最小
值．
【答案】(1)4
(2)当点 为 中点，点 关于 对称的点 与点 坐在直线垂直于 时， 有最小值
(3)作图见解析， 的最小值为6
【分析】（1）由菱形的性质可得 ， 均为等边三角形，点 为 的中点，连接 ， ，利
用三角形中位线定理即可求解；
（2）由题可知 ， ， 为等边三角形，由菱形性质可知， 与 关于 对称，在
上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ， ，连接 ，交 于点 ，过点 作垂直于
的直线交 于 ，交 于 ，可得 ，可得 ，则点 为
中点，利用含 的直角三角形可得 ， ，由三角形三边关系及垂线段最短可知
，当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号， 即当点
为 中点，点 关于 对称的点 与点 坐在直线垂直于 时， 有最小值 ；
（3）同（2）， 与 关于 对称，在 上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，连接，交 于点 ，由（2）可得点 为 中点，作 关于 对称的线段 ，取点 的对应点 ，
连接 ，则 ，由对称可知： ，则 ，当 ，
， ， 在同一条直线上时取等号，
此时点 为 中点，可知 ， 为等边三角形，进而即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形 是菱形， ， ，
∴ ， ，则 ， 均为等边三角形，
∴ ，
∵点 为菱形 对角线的交点，
∴点 为 的中点，
连接 ， ，
∵ 为 的中位线，
∴ ， 也为 的中位线，
则 ， ，
∴ ；
（2）由（1）可知 ， 均为等边三角形，
则 ，
∵ ，
∴ ，则 为等边三角形，
∴ ，则 ，
由菱形性质可知， 与 关于 对称，在 上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，
，连接 ，交 于点 ，过点 作垂直于 的直线交 于 ，交 于 ，∵ ，则 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，则点 为 中点，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，由勾股定理可得： ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，当 ， ， 三点在同一直线上，且 与 重合时取等号，即：
与点 重合（点 为 中点）， 与 重合时取等号，
综上，当点 为 中点，点 关于 对称的点 与点 坐在直线垂直于 时， 有最小值 ；
（3）同（2）， 与 关于 对称，在 上，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，连接
，交 于点 ，由（2）可得点 为 中点，
作 关于 对称的线段 ，取点 的对应点 ，连接 ，则 ，
∵ 为等边三角形，
∴ ，由对称可知： ，则 ，当 ， ， ， 在同一条直线上时取等号，
此时点 为 中点，
∵ ，则
∴ 过点 （点 ），且 ，
可知 ， 为等边三角形， ， ， ，即 ， ， ，
分别为 ， ， 的中点，
∴此时 ，
作图，如下：
作法：取 的中点为 ，作 交 于 ；
综上， 的最小值为6．
【点睛】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含 的直角三角形，轴对称等知识，利用轴
对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．
【考点三 矩形、菱形、正方形中求最大值问题】
例题：（2023上·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，在边长为2的正方形 中， ， 分别是边
， 上的动点（可与端点重合）， ， 分别是 ， 的中点，则 的最大值为 ．【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，确定何时 有最大值是解题关键．
连接 ，则 是 的中位线， ，当 最大时， 有最大值求出即可．
【详解】解：连接 ，如图：
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线， ，
当 最大时， 有最大值，
， 分别是边 ， 上的动点，
当 与 重合时， 最大为 的长，
正方形边长为2，
，
的最大值为 ，
故答案为： ．
【变式训练】
1．（2023下·江苏南京·八年级校考期中）如图，矩形 中， ， ，E为 边的中点，P
为 边上的一动点（含端点），F为 的中点，则 长度的最大值为 ．【答案】
【分析】连接 ，根据矩形的性质和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵E为 中点，F为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
当 取得最大值时， 的值最大，
故当点P与点B重合时， 最大，
∴ ，
∴ 长度的最大值为 ，
故答案为： ．
【点晴】本题考查了矩形的性质和中位线的性质，解题的关键是连接 ，构造三角形中位线．
2．（2023·陕西西安·统考三模）如图，在菱形 中， ， ，点 分别在边 ，
上，连接 ，点 关于 的对称点在线段 上，则 的最大值为 ．【答案】
【分析】如图所示，作 于点 ，连接 、 ，根据菱形的性质可得 ，在 中
可求出 的长，根据折叠的性质，可得 是 的垂直平分线，可得 ，当 时，
的值最小，则 的值最大，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，作 于点 ，则 ，连接 、 ，
∵四边形 是菱形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵点 关于 的对称点在线段 上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵由垂线段最短可知，当 时， 的值最小，
∴ 的最小值为 ，
∵当 最小时， 最大，
∴ 的最大值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，折叠的性质，特殊角的三角函数的综合，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2023下·北京海淀·八年级清华附中校考期中）矩形 中， ，点A是y轴正半轴上
任意一点，点B在x轴正半轴上．连接 ．则线段 的长度最大值是 ．【答案】9
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，当 、 成一条直线时， 有最大值，利用勾股定理及
直角三角形斜边中线的性质可得答案．
【详解】解：取 的中点 ，连接 、 ，当 、 成一条直线时， 有最大值，
在矩形 中， ， ， ，
∴ ，
在 中， ，
在 中， ，
的最大值是 ，
故答案为：9．
【点睛】此题考查的是矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质及勾股定理，正确作出辅助线是解决
此题的关键．
4．（2022上·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在菱形 中， ， ，
为正三角形，点 ， 分别在菱形的边 ， 上滑动，且 ， 不与 ， ， 重合．当点 在 ，
上滑动时，求 面积的最大值．【答案】
【分析】连接 ，根据菱形的性质以及等边三角形的性质可得 和 为等边三角形，可证明
，从而得到 ，进而得到 ，是定值由“垂线段最短”可知：当
正三角形 的边 与 垂直时，边 最短， 的面积会随着 的变化而变化，且当 最短
时，正三角形 的面积会最小，此时点E与点H重合，过点A作 于点G，根据
，可得 的面积就会最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ．
四边形 为菱形， ， 为正三角形，
∴ ， ，
，
，
，
和 为等边三角形，
， ，
在 和 中，
，
，
，是定值．
作 ，垂足为 点，则 ，∴ ，
．
由“垂线段最短”可知：当正三角形 的边 与 垂直时，边 最短，
的面积会随着 的变化而变化，且当 最短时，
正三角形 的面积会最小，此时点E与点H重合，
过点A作 于点G，
∴ , ，
∴ ,
∴ ．
又 ，则此时 的面积就会最大，
．
【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证 是解
题的关键，有一定难度．
【考点四 矩形、菱形、正方形中点四边形问题】
例题：（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，E、F分别是 、 的中
点，G、H分别是 、 的中点．
(1)请判断四边形 的形状，并说明理由．(2)四边形 满足什么条件时，四边形 是菱形，请说明理由．
(3)四边形 满足什么条件时，四边形 是矩形，请说明理由．
【答案】(1)四边形 是平行四边形，理由见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理，进行判断即可；
（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形，进行判断即可；
（3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，进行判断即可．
【详解】（1）解：∵E、F分别是 、 的中点，G、H分别是 、 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
（2）当四边形 满足 时，四边形 是菱形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
（3）当四边形 满足 时，四边形 是矩形，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
【点睛】本题考查中点四边形．解题的关键是掌握三角形的中位线定理，以及菱形和矩形的判定定理．
【变式训练】
1．（2023下·河北承德·八年级统考期末）顺次连接四边形 各边中点得到四边形 ，下列说法正
确的是（ ）
A．只有四边形 为平行四边形，四边形 才可能为平行四边形
B．只有四边形 为正方形，四边形 才可能为正方形
C．如果四边形 为矩形，则四边形 一定是菱形
D．如果四边形 为菱形，则四边形 一定是菱形【答案】C
【分析】根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理得到四边形 为平行四边形，根据矩形、菱
形、正方形的判定定理判断即可．
【详解】解：如图，
∵点E、F、G、H分别为 、 、 、 的中点，
∴ ， ， ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形， 故A不符合题意；
当 ， 时，
∴ ， ，
∴平行四边形 为正方形，故B不符合题意；
当四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 为菱形，C选项符合题意；
当四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 为矩形，D选项说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、正方形、矩形、菱形的判定定
理是解题的关键．
2．（2022下·云南昭通·八年级统考期中）如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG，GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．
(1)四边形EFGH的形状是______，当四边形ABCD的对角线满足______（填入位置关系或数量关系）时，
四边形EFGH是矩形．
(2)当AC＝BD时，四边形EFGH的形状是______．
(3)若AC⊥BD且AC＝BD，求证：四边形EFGH为正方形．
【答案】(1)平行四边形，AC⊥BD
(2)菱形
(3)见解析
【分析】（1）根据三角形的中位线定理和平行四边形判定定理可得EFGH是平行四边形，当AC⊥BD时，
由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合EFGH是平行四边形即可解答；
（2）当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合EFGH是平行四边形即可得到四边形
是菱形；
（3）当AC=BD时，由（2）可得四边形 是菱形，由EF⊥EH和EFGH是平行四边形即可得到四边形
是矩形即可证明结论；
【详解】（1）解： ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EH，FG分别是∆ADC，∆ABC的中位线，
∴EH//AC，EH= AC，FG//AC，FG= AC，
∴EH//FG，EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形；
∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是∆ABD的中位线，
∴EF//BD，∵EH//AC，AC⊥BD，
∴EF⊥EH，
∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形 是矩形；
故答案是：平行四边形，AC⊥BD．
（2）∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，
∴线段EF是∆ABD的中位线，
∴EF= BD，EH= AC
∵AC=BD，
∴EF=EH
∵四边形EFGH是平行四边形；
∴四边形 是菱形．
故答案：菱形．
（3）解：由（2）可得当AC=BD时，四边形 是菱形
∵EH//AC，EF∥BD，AC⊥BD，
∴EF⊥EH
∵四边形EFGH是平行四边形
∴四边形 是矩形
∴四边形 是正方形．
【点睛】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边形，矩形，
菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键．
3．（2022下·福建泉州·八年级统考期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC
的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE BC，且DE BC．(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，
连接FC．求证：DE BC，DE BC．
(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次
连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求
解下列问题：
①证明：四边形EFGH是平行四边形；
②当AC、BD满足 时，四边形EFGH是矩形；
③当AC、BD满足 时，四边形EFGH是正方形．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②垂直；③垂直且相等
【分析】（1）先根据“SAS”证明 ，得出 ， ，根据平行线的判定得出
，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出 ， ，即可证明结论；
（2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出 ， ，即可得证明四边形EFGH为平行四边
形；
②根据矩形的判定方法，得出结论即可；
③根据正方形的判定方法，得出结论即可．
【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点，
∴AE=CE，
∵在△AED和△CEF中 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点D为AB的中点，
∴AD=BD，
∴BD=CF，
∴四边形BCFD为平行四边形，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
即DE BC，DE BC．
（2）①连接AC、BD，如图所示：
∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，
∴四边形EFGH为平行四边形；
②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形；
根据解析①可知， ， ，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形EFGH是矩形；故答案为：垂直；
③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形；
根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形，
根据解析①可知， ， ，
∵AC=BD，
∴ ，
∴四边形EFGH是正方形．
故答案为：垂直且相等
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和
性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定方法，是解题的关键．
【考点五 矩形、菱形、正方形中新定义型问题】
例题：（2022·江西赣州·统考二模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：
如图①， ，则四边形 为“等邻角四边形”．
(1)定义理解：以下平面图形中，是等邻角四边形的是___________．
①平行四边形；②矩形；③菱形；④等腰梯形．
(2)深入探究：
①已知四边形 为“等邻角四边形”，且 ，则 ________．
②如图②，在五边形 中， ，对角线 平分 ，求证：四边形 为等邻角四边
形．(3)拓展应用：如图③，在等邻角四边形 中， ，点P为边BC上的一动点，过点P作
，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中， 的值是否会发生变化？请说明
理由．
【答案】(1)②④
(2)① 或 或 ；②见解析
(3)不会发生变化，理由见解析
【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形的性质即可解答；
（2）①分当 和 、 时三种情况求解；
②由 得 ，根据对角线 平分 ，得 ，故 ，
即证得四边形 为等邻角四边形；
（3）过C作 于H，过P作 于G，由 ， ，得四边形
是矩形，得 ，可证明 ，得 ，即有 ，从
而说明在点P的运动过程中， 的值总等于C到 的距离，不会变化．
【详解】（1）解：①平行四边形的邻角互补，不是等邻角四边形；
②矩形四个角都是直角，则邻角相等，是等邻角四边形；
③菱形的邻角互补，不是等邻角四边形；
④等腰梯形的两个底角相等，是等邻角四边形．
综上，②④是等邻角四边形．
故答案为：②④；
（2）解：①当 时，四边形 为“等邻角四边形”，
∵ ，
∴ ；
当 时，四边形 为“等邻角四边形”，
当 时，四边形 为“等邻角四边形”，
；
故答案为： 或 或 ；
②∵ ，
∴ ，
∵对角线 平分 ，
∴ ，∴ ，
∴四边形 为等邻角四边形；
（3）解：在点P的运动过程中， 的值不会发生变化，理由如下：
过C作 于H，过P作 于G，如图：
∵ ， ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
即在点P的运动过程中， 的值总等于C到AB的距离，是定值．
【点睛】本题考查多边形综合应用，涉及新定义、多边形内角和、三角形全等的判定及性质等知识，解题
的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式训练】
1．（2023上·山西太原·九年级山西实验中学校考阶段练习）定义：有一组对角是直角的四边形叫做“准矩
形”；有两组邻边（不重复）相等的四边形叫做“准菱形”．
知图①，在四边形 中，若 ，则四边形 是“准矩形”；如图②，在四边形 中，若 ，则四边形 是“准菱形”．
(1)如图，在边长为1的正方形网格中， 在格点（小正方形的顶点）上，请分别在图③、图④中画
出“准矩形” 和“准菱形” （要求： 在格点上）；
(2)如图⑤，在 中， ，以 为一边向外作“准菱形” ，且
交于点 ．若 ，求证：“准菱形” 是菱形；
(3)在（2）的条件和结论下，连接 ，若 ，请直接写出菱形 的边
长为__________．
【答案】(1)作图见解析
(2)证明见解析
(3)2
【分析】（1）根据“准矩形”和“准菱形”的特点画图即可；
（2）先根据已知得出 ，再结合 可推出 ， ，则证明了“准
菱形” 是平行四边形，又因为 即可得出“准菱形” 是菱形；
（3）取 的中点M，连接 、 ，证明 和 为直角三角形，根据M为 的中点，利用
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求出 ，求出
，说明 为直角三角形，根据勾股定理求出 ，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，四边形 和 即为所求．（2）证明：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴“准菱形” 是平行四边形，
∵ ，
∴“准菱形” 是菱形；
（3）如图：取 的中点M，连接 、 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 和 为直角三角形，
∵M为 的中点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
，
∴ ，
∴ 为直角三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，负值舍去，
∴ ，
即菱形 的边长为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形
的判定和性质，平行线的判定，勾股定理，作出辅助线，熟练掌握各知识点并熟练应用是解题关键．
2．（2023下·广东广州·八年级校考期中）我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
(1)在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是 （填序
号）；
(2)如图1，在正方形 中，E为 上一点，连接 ，过点B作 于点H，交 于点G，连
、 ．
①求证：四边形 是“神奇四边形”；
②如图2，点M、N、P、Q分别是 、 、 、 的中点．试判断四边形 是不是“神奇四边
形”；
(3)如图3，点F、R分别在正方形 的边 、 上，把正方形沿直线 翻折，使得 的对应边
恰好经过点A，过点A作 于点O，若 ，正方形的边长为6，求线段 的长．【答案】(1)④
(2)①见解析；②四边形 是“神奇四边形”，理由见解析
(3)
【分析】（1）由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
（2）①证 ，得 ，再由“神奇四边形”的定义即可得出结论；
②由三角形中位线定理得出 ， ，则四边形 为平行四边形，再证四边形 是
正方形，则可得出结论；
（3）延长 交 于S，由勾股定理求出 的长，设 ，则 ，再由勾股定理得
，解得 ，即可解决问题．
【详解】（1） 平行四边形的对角线互相平分，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线互相垂直
平分，正方形的对角线互相垂直平分且相等，
正方形是“神奇四边形”，
故答案为： ；
（2）①证明： 四边形 是正方形，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，又 ，
四边形 是“神奇四边形”；
四边形 是“神奇四边形”，理由如下：
， 为 ， 的中点，
为 的中位线，
， ，
同理： ， ， ， ， ， ，
， ，
四边形 为平行四边形，
，
，
平行四边形 为菱形，
， ，
，
，
，
四边形 为正方形，
四边形 是“神奇四边形”；
（3）如图 ，延长 交 于S，
由翻折的性质可知， ， ， ， ，
四边形 是正方形，边长为 ，
， ，， ，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
，
，
即线段 的长为 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了新定义“神奇四边形”、折叠的性质、正方形的判定与性质、菱
形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，三角形中位线定理等
知识，本题综合性强，理解新定义“神奇四边形”，熟练掌握正方形的判定与性质，解题的关键是正确寻
找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．
