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专题19.38 一次函数几何分类专题（四边形综合问题）
一、单选题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线 与矩形 的边 分别交于点E、D，已
知 ，则 的面积是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．如图，正方形 的顶点 ， 分别在 轴， 轴上，点 在直线 上．直线
分别交 轴， 轴于点 ， ．将正方形 沿 轴向下平移 个单位长度后，点 恰好落在直
线 上．则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，平面直角坐标系中，菱形 的顶点 为原点， 交 轴于点 ，
连接 ，交 于点 ，则点 的坐标为（ ）A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
4．如果点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，则线段AB中点坐标为 ．
这是小白在一本课外书上看到的一种求线段中点坐标的方法，请你利用这种方法解决下面的问题：
如图，在平面直角坐标系 中，矩形 的顶点B的坐标为 ，四边形 是菱形，D
的坐标为 ．若直线l把矩形 和菱形 组成的图形的面积分成相等的两部分，则直
线l的解析式为（ ）．
A．y=2x+11 B．y=-2x+12
C． D．
5．如图，直线 分别与 轴交于点 ，点 在线段 上，线段 沿 翻折，点
落在 边上的点 处．以下结论： ； 直线 的解析式为 ； 点
； 若线段 上存在一点 ，使得以点 为顶点的四边形为菱形，则点
的坐标是 ．正确的结论是（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
6．矩形 在直角坐标系中，直线 过点 ， ，直线 过点A，
C．给出4个结论：①当 时， ；②当 时， ；③ ；④P为x轴上动
点，当点P运动到 中点时， 的值最小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
7．如图，在平面直角坐标系中，四边形 是平行四边形，四边形 为正方形，点C的坐
标是 ，点A的坐标是 ，若直线l把 与正方形 组成的图形分成面积相等的两
部分，则直线l的解析式是( )
A． B． C． D．
8．如图（1），点P为菱形 对角线 上一动点，点E为边 上一定点，连接 ， ，
．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时， 的面积y随 的长度x变化的关系图象
（当点P在 上时，令 ），则菱形 的周长为（ ）A． B． C．20 D．24
9．如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴相交于点A，与 轴相交于点 ，四边形
是平行四边形，直线 经过点 ，且与 轴相交于点 与 相交于点 ，记四
边形 ， 的面积分别为 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点 是菱形 内一点， 轴， 轴， ， ，
，若一次函数 的图象经过 、 两点，则 的值为（ ）
A． B． C．3 D．
二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线 与矩形 的边 、 分别交于点E、F，
已知 ， ，连接 ，则 的面积是 ．
12．在平面直角坐标系中，如图所示，菱形 ，边 交y轴于点D， ， 相交于点E，
点A的坐标为 ， ，则点E的坐标为 ．
13．如图，已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点P在直线 上，点Q在
平面直角坐标系内，且以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以 为对角线的菱形，则P点坐标为
．
14．如图，矩形 在平面直角坐标系中， 轴， 轴，点 坐标为 ，连接 ，
将 沿着 折叠到 ， 与 轴交于点 ，若点 坐标为 ，试写出 关于 的函
数解析式 ．15．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别与 轴、 轴交于点A、 ，点 在坐
标轴上，点 在坐标平面内，若以A、 、 、 为顶点的四边形为矩形，则点 的坐标为
．
16．已知直线 与 轴， 轴分别交于点 ， ，点 是射线 上的动点，点 在第
一象限，四边形 是平行四边形．若点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，则点 的
坐标为 ．
17．如图，边长为2的正方形 分别在x轴、y轴上，D为 中点，过点O的直线
交边 于点E（不与A、B重合），连接 ，当 平分 时，则k的值为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，直线 ： ；直线l： ，直线 上有一点A，且点A的
2
纵坐标是 ．在直线 的右侧作正方形 ， 交直线 于点D， 交x轴于点E，连接
交直线 于点F，交x轴于点G，则下列结论正确的有 ．（填序号）
① 的周长为 ；
② ；
③ ；
④点P为射线 上一动点， 的最小值为 ．
三、解答题
19．如图，已知矩形 的的顶点 分别在 轴的负半轴和 轴的正半轴上，点 ，点
在线段 上．如图，将 沿 折叠后，点O恰好落在 边上点 处．
(1)求线段 的长；
(2)求直线 的解析式；
(3)求出点 的坐标；(4)若点 是直线 上的一个动点，在点 运动的过程中，当三角形 的面积等于8时，
直接写出点 的坐标．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象经过点 ，与y轴交于点 ，
与正比例函数 的图象相交于点C．
(1)求此一次函数的解析式；
(2)求出 的面积；
(3)点D在此坐标平面内，且以O、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件
的点D的坐标．
21．如图在平面直角坐标系中，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线
与直线 交于点P．
(1)A点坐标为________，P点坐标为________；
(2)在线段 上有一个动点M，过M点作直线 轴，与直线 相交于点N，若 的
面积为6，求M点的坐标．(3)若点C为线段 上一动点，在平面内是否存在一点D，使得以点O，A，C，D为顶点的四边形
是菱形，若存在请直接写出D点的坐标，若不存在请说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴，y轴于A，B两点，以
为边作矩形 ，D为 的中点，以 ， 为斜边端点作等腰直角三角形
，点P在第一象限，设矩形 与 重叠部分的面积为S．
(1)求点P的坐标．
(2)当b值由小到大的变化时，求S与b的函数关系式
(3)在b值的变化过程中，若 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的b的值．
23．如图，直线 的解析表达式为 ，与 轴交于点 ，直线 经过定点 ，直线 与
交于点 ．
(1)求直线 的函数关系式；
(2)若点 的横坐标是2，求 的面积；
(3)若存在点 ，使以 四点为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等，试求出点 的坐标．
24．在平面直角坐标系中， 、 ，四边形 是正方形，点 是 轴正半轴上
一动点， ， 交正方形 外角的平分线 于点 ．
(1)如图1，当点 是 的中点时，求证： ；
(2)点 在 轴正半轴上运动，点 在 轴上．若四边形 为菱形，求直线 的解析式．
(3)连 ，点 是 的中点，当点 在 轴正半轴上运动时，点 随之而运动，点 到 的距
离是否为定值？若为定值，求出这个值；若不是定值，请说明理由．参考答案：
1．A
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点E，D的坐标，进而可得出 的长，再利用
三角形的面积公式，即可求出 的面积．
【详解】解：当 时， ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
当 时， ，
解得： ，
∴点D的坐标为 ，
∴ ，
∴ ．
故选：A．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及三角形的面积，利用一次函数图象上
点的坐标特征及各边的长，求出 的长是解题的关键．
2．B
【分析】先待定系数法求出直线 的解析式，过 作 于点 ，过 作 于点 ，易证
，根据全等三角形的性质可得 和 的长，再证 ，易得点
坐标，再根据平移可得平移后的点 坐标，代入直线 解析式即可求出 的值．
【详解】解： 点 在直线 上，
，
，
直线 的解析式为 ，
过 作 于点 ，过 作 于点 ，如图所示：则 ， ，
，
在正方形 中， ， ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
同理可证 ，
， ，
，
，
正方形 沿 轴向下平移 个单位长度后，点 恰好落在直线 上，
设平移后点 的坐标为 ，
，
解得 ．
故选：B．
【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，平移的性
质等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．D
【分析】根据菱形的性质证明 和 都是等边三角形，求出直线 解析式为 ，直线的解析式为 ，联立方程组即可求出点 的坐标．
【详解】解：∵菱形 的顶点 为原点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 和 都是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，直线 的解析式为 ，联立方程组： ，解
得： ，
∴点 的坐标为 ，
故选：D．
【点拨】本题考查菱形的性质，坐标与图形性质，等边三角形的判定与性质，一次函数的性质，解决本题
的关键是掌握菱形的性质．
4．C
【分析】先求得点A的坐标为 ，再求得线段 和 中点坐标，然后根据直线l把矩形 和菱
形 组成的图形的面积分成相等的两部分可知两中点在直线l上，然后运用待定系数法即可解答．【详解】解：如图：∵矩形 的顶点B的坐标为 ，
∴点A的坐标为 ，
∴线段 中点坐标为 ，即 ；线段 中点坐标为 ，即 ,
∵直线l把矩形 和菱形 组成的图形的面积分成相等的两部分，
∴直线l过点 ， ,
设直线l的解析式为 ，
则 ，解得： ，
∴直线l的解析式为 ．
故选C．
【点拨】本题主要考查了中点的定义、菱形和矩形的性质、待定系数法求函数解析式等知识点，理解把矩
形 和菱形 组成的图形的面积分成相等的两部分的直线必过它们对角线的交点是解答本题的关
键．
5．B
【分析】先求出点 ，点 坐标，由勾股定理可求 的长，可判断 ；由折叠的性质可得 ，
， ，由勾股定理可求 的长，可得点 坐标，利用待定系数法可求 解析
式，可判断 ；由面积公式可求 的长，代入解析式可求点 坐标，可判断 ；由菱形的性质可得
，可得点 纵坐标为 可判断 ，即可求解．【详解】∵直线 分别与 、 轴交于点 、 ，
∴点 ，点 ，
∴ ， ，
∴ ，故 正确；
∵线段 沿 翻折，点 落在 边上的点 处，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴点 ，
设直线 解析式为: ,
∴
∴ ，
∴直线 解析式为: ，故 正确；
如图，过点 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴当 时， ，
∴ ，
∴点 ，故 正确；
∵线段 上存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，且 ，
∴ ，
∴点 纵坐标为 ，故 错误；
综上可知 正确，
故选： ．
【点拨】此题考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理和菱形的性质等知识，灵
活运用以上知识是解题的关键．
6．D
【分析】利用待定系数法求得直线 的解析式，然后把 代入求得对应的函数值即可判断①；求得直
线 的解析式，两直线解析式联立，求得交点E的坐标，根据图象即可判断②；通过勾股定理逆用，即
可判断③；作点E关于x轴对称的点 ，连接 ，交x轴于点P，求得直线 与x轴的交点即可判断④．
【详解】解：∵直线 过点 ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当 时， ，故①正确；
由题意可知 ，
∵直线 过点A，C，
∴ ，解得 ，∴ ，
由 ，解得 ，
∴ ，
由图象可知，当 时， ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∵ ， ， ，即 ，
∴ ，故③错误；
作点E关于x轴对称的点 ，连接 ，交x轴于点P，此时 的值最小，
∵点 ，
∴点E关于x轴的对称点为 ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，令 ，则 ，解得 ，
∴ ，
∴当点P运动到 中点时， 的值最小，故④正确．
故选：D．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求两条直线的交点，勾股定理的运用，一次函数与
一元一次不等式，矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用数形结合的思想解答问题．
7．A
【分析】由于正方形与平行四边形均为中心对称图形，故过正方形与平行四边形的对称中心点的直线总可
以把各自分成面积相等的两部分，则可以把正方形与平行四边形的组合图形分成面积相等的两部分的直线，
必然是过两个对称中心点的连线．先求得正方形与平行四边形的中心点M、N的坐标，然后用待定系数法
可以求得直线l的解析式．
【详解】设平行四边形 与正方形 的中心为点 ，则直线 就是可以将正方形与平行四
边形组成的图形分成面积相等的两部分的直线l．(如图)
∵点C的坐标为 ，
∴ ．
又∵四边形 为正方形，
∴ ，
∴点N的坐标为 ．
由平行四边形OABC的对边相等知，
，又已知点A的纵坐标为1，
所以点B的纵坐标为3．
点B的坐标为 ，
因此点M的坐标为 ．
设直线l的解析式为 ，
将 、 代入l的解析式得：
．解得 ．
∴直线l的解析式为 ．
故选：A．
【点拨】本题考查了正方形与平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识点，解题的关
键是知晓直线l必经过正方形与平行四边形的对称中心点．
8．C
【分析】根据图象可知，当 时，即点 与点 重合，此时 ，进而求出菱形的面积，当
时，此时点 与点 重合，即 ，连接 ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知：当 时，即点 与点 重合，此时 ，
∴ ，
当 时，此时点 与点 重合，即 ，连接 ，交 于点 ，则： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴菱形 的周长为 ；
故选C．
【点拨】本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，
是解题的关键．
9．C
【分析】求出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，根据平行四边形性质得出点 的坐标为 ，
求出直线 的解析式为 ，得出点D的坐标为 ，求出直线 的解析式为： ，
的解析式为 ，求出点E的坐标为 ，得出 ，求出
， ，即可求出结果．
【详解】解：把 代入 得： ，
解得： ，
∴点A的坐标为 ，
∴ ，
把 代入 得： ，
∴点B的坐标为 ，
∴ ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ， ， ，∴点 的坐标为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入 得： ，
解得： ，
∴点D的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
∵ ，
∴ 的解析式为 ，
联立 ，
解得： ，
∴点E的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 ，故C正确．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数与x轴，y轴的交点问题，直线围成的三角形的
面积，平行四边形的性质，解题的关键是求出点E的坐标．
10．B
【分析】过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，可证明 ，则
，由 ，可得 ，由 ，可知 ，所以
，所以点 的纵坐标为 ，再求出 ，利用勾股定理求出 的长，再利用勾股定理求出
的长，从而求出 、 的坐标，利用待定系数法求出 ， 的值即可．
【详解】解∶过点 作 轴于点 ，延长 交 于点 ，
∵四边形 为菱形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 轴， 轴，
∴ 轴，
∴ ， ，
∴ ，在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 轴，
∴ 轴，
∵ 轴，
∴ ，
又∵ 轴， 轴，
∴四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴点 的坐标为 ，
∴ ，∴点 的坐标为 ，
∵一次函数 的图象经过 、 两点，则
解得 ．
故选∶ B．
【点拨】本题主要考查一次函数函数与几何的综合问题，涉及到菱形的性质，三角形全等的判定与性质，
勾股定理等知识点，求出关键点C、D的坐标是解题的关键．
11．
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是根据直线解析式分别求出点 、 的
坐标，得到 和 ，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解： 当 时， ，解得 ，
点 的坐标是 ，即 ，
，
，点 的横坐标是4，
，即 ，
，
的面积 ，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查了菱形的性质，一次函数的解析式，交点坐标的计算，根据菱形 ， ，
得到 是等边三角形，点D是 的中点，结合点A的坐标为 ，得到 ，勾股定理计算 ,确定直线 ，直线 的解析式，解方程组即可，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的性质，待定
系数法是解题的关键．
【详解】∵菱形 ， ，点A的坐标为 ，
∴ 是等边三角形， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
∴ ， ，
解得 ， ，
故直线 的解析式为 ，直线 的解析式为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
故 ，
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，坐标与图形，菱形性质等知识，先求得点A、B
的坐标，然后根据菱形性质可得 ，进而求解，熟练掌握菱形的对角线互相垂直且平分是解此题的关键．
【详解】解：当 时， ，
，
当 时， ，
解得： ，
，
设 ，
以点A，B，P，Q为顶点的四边形是以 为对角线的菱形，
，
即： ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
14．
【分析】根据折叠和矩形性质得出 ，则可证明 ，再根据勾股定理即可求解．
【详解】∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
，
∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
有折叠性质可知： ， ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
即： ，
整理得： ，
∴ 关于 的函数解析式为 ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了矩形和折叠性质，勾股定理，建立函数关系，解题的关键是熟练掌握矩形和折叠的性
质以及建立函数关系式．
15． 或 或
【分析】分类讨论： 点 在 轴上； 点 在原点； 点 在 轴上，利用相似及平移规律即可求
解．
【详解】解：直线 分别与 轴、 轴交于点A、 ，
当 时， ， 时， ，
点坐标 ，B点坐标 ，
分三种情况：
点 在原点，矩形 中，如图，，
点 坐标为 ；
如图 ，点 在 轴上，如图，
矩形 中， ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
点坐标为 ，
将点 向右平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，
的坐标为 ；
如图 ，点 在 轴上，如图，
矩形 中， ，
由②同理可得： ，
∴∴ ，
点坐标为 ，
将点 向左平移 个单位，向上平移 个单位得到点 ，
的坐标为 ，
点 坐标为 或 或 ，
故答案为： 或 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数与矩形的综合题型，解题关键是分类讨论和利用相似三角形的性质得到对应
线段之间的关系．
16． 或 ．
【分析】先根据题意求得 ， ， ，分 点在第二象限和第一象限两种情
况讨论，根据点 关于直线 的对称点 恰好落在 轴上，根据含30度角的直角三角形的性质，在第一
象限时候，证明 是等边三角形，在第二象限时候证明 是等边三角形，利用等边三角形的性质，
分别求得 点的坐标．
【详解】 与 轴， 轴分别交于点 ， ，
令 ， ， ，
令 ， ， ，
，
，
，
， ，
，
①如图，当 点在第二象限时，设 交 轴于点 ，交 于点 ， 交 轴于点 ，四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
点 关于直线 的对称点为 点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
点为 的中点，
， ，
，
②如图，当 点在第二象限时，延长 交 轴于点 ，
则 ，点 关于直线 的对称点为 点
， ，
，
是等边三角形，
，
，
，
， ，
，
，
，
．
综合①②可知C的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数图象的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角
形的性质，勾股定理，轴对称的性质，此题方法比较多，利用等边三角形的性质是解题的关键．
17．
【分析】如图，作 交 于点F，连接 ；再通过证明三角形全等可得 、 ，然后根据勾股定理求得 ，进而确定点E的坐标，进而求出k的值即可．
【详解】解：如图，作 交 于点F，连接 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵正方形 ，
∴
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵点D是 边的中点，
∴ ，
∴ ；
同理可证： ，
∴ ,
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ，
把点E的坐标代入 得： ，解得： ．故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了一次函数综合题、角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质理、
勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
18．②
【分析】如图所示，过点A作 轴于M，先求出 ，则 ，利用勾股定理
求出 ，如图将 绕点O顺时针旋转90度得到 ，则
， ，证明B、C、H三点共线，
，则可证明 ，得到 ，进而得到 ，则 的周
长 ，故①错误；如图所示，取 中点K，连接 ，证明 是等边三角形，
推出 ，得到 ， ，设 ，则 ，则
，利用勾股定理得到 ，解得 ，则
，故②正确；如图将 绕点O逆时针旋转90度得到 ，连接 ，证明
，得到 ，由 ，得到 ，故③错误；由点P为射线
上一动点， ，则当 时， 最小，即此时 最小，最小值为 ，
故④错误．
【详解】解：如图所示，过点A作 轴于M，
在 中，当 时， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
如图将 绕点O顺时针旋转90度得到 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴B、C、H三点共线，
∵点D在直线 上，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长 ，故①错误；
如图所示，取 中点K，连接 ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴ ，
设 ，则 ，
∴
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
如图将 绕点O逆时针旋转90度得到 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③错误；
∵点P为射线 上一动点， ，
∴当 时， 最小，即此时 最小，最小值为 ，故④错误；
故答案为：②．
【点拨】本题主要考查了正比例函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形三边的关系等等，通过半角模型构成全等
三角形是解题的关键．
19．(1)10
(2)
(3)
(4) 或
【分析】本题考查了用待定系数法求直线解析式，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识：
（1）由矩形的性质可得点 ，点 ，得 ,由勾股定理得 ；
（2）运用待定系数法可求直线AB表达式；
（3）由折叠得 ，得 ，再运用勾股定理求解即可；
（4）运用三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，且 ,
∴
在 中， ，
∴ ，
（2）解：∵四边形 是矩形，且 ,
∴ ， ，
设直线 的解析式为 ，
把 ， 代入 ，得：
，解得， ，
所以，直线 的解析式为 ；
（3）解：由折叠得， ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
解得， ，
∴
∴ ；
（4）解：∵直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
解得， 或 ，
∴ ，或
∴ 或
20．(1)
(2)3
(3)点D的坐标为 或 或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）联立 ，可求出两直线交点坐标为 ，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）分类讨论：①当 为边，且点D位于直线 下方时和②当 为边，且点D位于直线 上方时，
结合平行四边形的性质可求解；③当 为对角线时，过点C作 轴于点E，过点C作 轴于
点F，结合平行四边形的性质可证 ，即得出 ， ，即得出答
案．
【详解】（1）解：将 ， 代入 ，
得： ，解得： ，
∴此一次函数的解析式为 ；
（2）解：联立 ，解得： ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：分类讨论：①当 为边，且点D位于直线 下方时，此时平行四边形为 ，如图，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；②当 为边，且点D位于直线 上方时，此时平行四边形为 ，如图，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
③当 为对角线时，此时平行四边形为 ，如图，过点C作 轴于点E，过点C作 轴
于点F，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵四边形 为平行四边形，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，∴ ， ，
∴ ．
综上可知点D的坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查坐标与图形，求一次函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，三角形全等的判
定与性质，平行四边形的性质等知识．掌握利用待定系数法求函数解析式和平行四边形的性质是解题关键．
21．(1) ， ；
(2) 或 ；
(3)存在，D点坐标为 或 或 ，理由见解析．
【分析】（1）令 ，求解即得到直线 与x轴交点A的坐标；联立两个一次函数解析式即可得
到其交点P的坐标；
（2）作 ，设M点的横坐标为 ，则 ， ，得到 ，又 ，得到
，求解即可得到M点的坐标；
（3）分情况讨论：①若 为对角线，可知根据菱形的性质，得到 ，即可得到点D坐标；②若
为边，设点C的坐标为 ，设D点坐标为 ，当 时，根据菱形的性质和勾股定理
得到 ，求解得到C点坐标 ，进而得到中点G坐标为 ，再利用中点G坐标即可
得到点D坐标；当 时，得到 ，求解得到C点坐标 或，而得到中点H坐标为 或 ，再利用中点H坐标即可得到点D
坐标．
【详解】（1）解： 直线 与x轴交于点A，
令 ，则 ，
解得： ，
点的坐标为 ，
直线 与直线 交于点P
令 ，
解得： ，
，
点的坐标为 ，
故答案为： ， ；
（2）解：过P点作 于点E，
设M点的横坐标为 ，
在线段 上，
，
轴，
、 两点横坐标相同，在直线 上，
，
，
， 轴， ，
，
，
，
整理得： ，
解得： ， ，
点坐标为 或 ；
（3）解：存在，
①若 为对角线，则 、 互相垂直平分，
， ，
的垂直平分线为直线 ，
为线段 上一点，且C在直线 上，，
D点的坐标为 ；
②若 为边，设点C的坐标为 ，设D点坐标为 ，
当 时，连接 ，对角线 、 交于点G，
四边形 为菱形，
、 互相垂直平分，
为 、 的中点，
，
，
，
解得： ， （舍），
，
点G坐标为 ，即
中点坐标为 ，
，，
D点的坐标为 ；
当 时，连接对角线 、 交于点H，
四边形 为菱形，
、 互相垂直平分，
为 、 的中点，
，
，
，
解得： ， ，
（舍去）或 ，
点H坐标为，
中点坐标为 ，
，，
点的坐标为 ，
综上可知，D点坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了一次函数的图象和性质，菱形的性质，两点间的距离，坐标系中点坐标，勾股定理等
知识，熟练掌握一次函数性质和菱形的性质是解题关键．
22．(1)
(2)
(3)4，5或
【分析】（1）因为以 ， 为斜边端点作等腰直角三角形 ，点P在第一象限，所以可作
于K，则 ，进而可求 ，即可得到 ；
（2）需分情况讨论：当 时， ；当 时，重合部分是一个等腰直角三角形，可设
交 于H， ，所以 ；当 时，重合部分是一个四边
形，因此可设 交 于H，四边形的面积=三角形 的面积-三角形 的面积，因为
，，所以 ，当 时，重合部分就是直角三角形 ，
所以 ．
（3）因为 为等腰三角形，所以需分情况讨论，当 时， ．当 时， （舍），．当 时， ．
【详解】（1）解：∵以 ， 为斜边端点作等腰直角三角形 ，点P在第一象限，
∴ ，
∴
作 于K，则 ，
∴ ，
∴ ；
（2）①把点 的坐标代入 得到， ，解得 ，
当点A落在线段 上（可与点M重合）时，如图（一），此时 ， ；
②把点 的坐标代入 得到， ，解得 ，
当点A落在线段 上（可与点K重合）时，如图（二），此时 ，
当 时， ，
∴ ，即点A的坐标为 ，即 ，
设 交 于H， ，∴ ，
③把N点的坐标代入 得到， ，解得 ，
当点A落在线段 上（可与点N重合）时，如图（三），此时 ，设 交 于H，
，
∴ ，
④当点A落在线段 的延长线上时， ，如图（四），
；
∴综上所述，S与b的函数关系式为 ；
（3）∵点C、D的坐标分别为 ，， ，
当 时，即 ，则 ，解得 或 （不合题意，舍
去）；
当 时，即 ，则 ，
解得 （P、C、D三点共线，舍去）， ；
当 时，即 ，则 ，
解得 ．
综上可知，b的值为4，5或 ．
【点拨】本题是一道综合性极强的题目，考查了一次函数的图象和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的
判定和性质、勾股定理等知识，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法．
23．(1)
(2)6
(3) 的坐标为 或 或
【分析】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，
两个一次函数的交点，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
（1）设直线 的解析式为 ，把 与 的坐标代入求出 与 的值，即可确定出 的解析式；
（2）先求出点 与 坐标，再求出 的长，最后求出三角形 面积即可；
（3）分三种情况讨论，分别求出 坐标即可．
【详解】（1）设直线 的解析式为 ，
它经过 两点，，解得 ，
直线 的关系式为
（2）当 时， ，
即点 的坐标为
当 时， ，
解得 ，
即 ，
（3）分三种情况讨论：
①以 为对角线， 为邻边构成平行四边形 ，
轴，且 ，而
②以 为对角线， 为邻边构成平行四边形 ，
轴， ，而
③以 为对角线， 为邻边构成平行四边形 ，
且过 ，
设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ；
且过 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ；
相交于 轴上的 ，
综上所述，点 的坐标为 或 或
24．(1)见解析
(2)
(3)是定值，
【分析】（1）如图1中，取 的中点 ，连接 ．只要证明 即可；
（2）如图2中，作 交 作于 ，则 ，由四边形 是正方形，可证 ，
四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，推出四边形 不
可能是菱形，推出点 在点 的右侧，如图3中，利用全等三角形的性质求出 ，可得当 坐标，致力
于待定系数法即可解决问题；
（3）只要证明点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离即可．
【详解】（1）证明：如图1中，取 的中点 ，连接 ．为正方形的外角平分线，
∴ ，
∴ ，
∵ 分别为 的中点，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：如图2中，作 交 作于 ，由四边形 是正方形，可证 ，
，
∴ ，
由（1）可知 ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，当 点在边 上时， 点在 上， ，
∴四边形 不可能是菱形，
∴点 在点 的右侧，
如图3中，∵四边形 是菱形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，则有 ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
（3）解：如图4或5，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∵ 是 中点，∴ ，
∴点 在 的垂直平分线上，
∵ 垂直平分 ，
∴点 在直线 上，
∵ ，
∴ ，
∴点 到 的距离为定值且等于平行线 之间的距离，
∴点 到 的距离 ．
【点拨】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解
题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于压轴题．
