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专题19.5 函数的图象（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各图象中，不能表示 是 的函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两位同学骑自行车，从各自家出发上学，他们离乙家的距离 与出发时间 之间
的函数关系如图所示，则乙比甲早到几分钟．（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．在某火车站托运物品时，不超过3kg的物品需付1.5元，以后每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增
加托运费0.5元，则下列图象能表示出托运费y与物品重量x之间的函数关系式的是（ ）
A． B． C． D．
4．某农户想要用棚栏围成一个长方形鸡场，如图所示，鸡场的一边靠墙，号外三边用棚栏围成，若
棚栏的总长为 ，设长方形靠墙的一边长为 ，面积为 ，当 在一定范围内变化时， 随 的变化
而变化，则 与 满足的函数关系是（ ）
A． B． C． D．5．如图1，在 中， ，D，E分别是 ， 的中点，连接 ， ，点P从点
C出发，沿 的方向匀速运动到点A，点P运动的路程为 ，图2是点P运动时，
的面积 随 变化的图象，则a的值为（ ）
A．2.5 B．4 C．5 D．10
6．如图，将一个圆柱形无盖小烧杯放置在一个圆柱形无盖大烧杯底部，杯底厚度忽略不计．已知大
烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，现向小烧杯内匀速加水，当大烧杯内的水面高度与小烧杯顶
部齐平时，就停止加水．在加水的过程中，小烧杯、大烧杯内水面的高度差 随加水时间 变化的图象可
能是（ ）
A． B． C． D．
7．李强一家自驾车到离家 的九寨沟旅游，出发前将油箱加满油．下表记录了轿车行驶的路程
与油箱剩余油量 之间的部分数据：
轿车行驶的路程 0 100 200 300 400 …
油箱剩余油量 50 42 34 26 18 …
下列说法不正确的是（ ）
A．该车的油箱容量为
B．该车每行驶100km耗油8LC．油箱剩余油量 与行驶的路程 之间的关系式为
D．当李强一家到达九寨沟时，油箱中剩余 油
8．如图①，在正方形 中，点P从点A出发，沿 的路径匀速运动，到点C停止．过点
P作 ， 与边 （或边 ）交于点Q， 的长度y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数
图象如图②所示．则正方形 的边长是（ ）
A．2cm B．4cm C． cm D．无法确定
9．手机导航不仅可以借助互联网提供道路实况，确定最优路线，还可以提供更详细的衍生信息，如
限速拍照，就近停车场等等．王叔叔驾车到外地出差，出发时手机有 的电量，如果只开手机导航，
每小时耗电 ，则王叔叔手机的剩余电量（%）与行驶时间t（时）之间的函数关系，用下面哪幅图表示
最为合适（ ）
A． B． C． D．
10．飞飞在研究物理学科中的拉力F和重力G的关系时，利用滑轮组及相关器材进行实验，他用电脑把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据绘制成如上图象（不计绳重和摩擦，拉力F和重力G的单位
是N），哪个选项是错误的（ ）
A．点 表示的是当物体的重力是 时，拉力F是
B．当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为
C．物体的拉力随着重力的增大而增大
D．拉力F与重力G成正比例函数关系
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．经过点 且垂直于 轴的直线可以表示为
12．函数 图象上的点 一定在第 象限.
13．如图，小明骑自行车从甲地到乙地，折线表示小明途中行程 与所花时间 之间的函数关
系．出发后5小时，小明离甲地 千米．
14．河北给武汉运送抗疫物资，某汽车油箱内剩余油量Q（升）与汽车行驶路程s（千米）有如下关
系：
行驶路程s（千米） 0 50 100 150 200 …
剩余油量Q（升） 40 35 30 25 20 …
则该汽车每行驶100千米的耗油量为 升．15．如图1，等边 中，点D为 的中点，点P从点A出发，沿 的路径匀速运动到
点C，设点P的运动时间为x， 的面积为y，图2是点P运动时y随 变化的关系图象，则 的长
为 ．
16．某汽车生产厂家对其生产的一款汽车进行耗油量试验，在试验过程中，汽车一直匀速行驶，该汽
车油箱中的余油量 （升）与汽车的行驶时间 （小时）之间的关系如表：
（小时） 0 1 2 3
（升） 120 112 104 96
则用关系式法表示因变量 （升）与自变量 （小时）之间的关系为 ．
17．甲、乙两个工程组同时挖掘成渝高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，
乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和 与甲组挖掘时间x
（天）之间的关系如图所示，则甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 ．
18．如图，一个动点 在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到 ，
第二次从 运动到 ，第三次从 运动到 ，第四次从 运动到 ，第五次从 运动到
，…，按这样的运动规律，经过第 次运动后，动点 的坐标是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）阅读如图所示的函数图象题，请你根据获得的信息解答下列问题：
（1）折线 是某个实际问题的函数图象，请你编写一段符合图象意义的文字描述；
（2）根据你所写出的文字描述分别指出x轴、y轴所表示的意义，并写出A，B，C三点的坐标．
20．（8分）如图， ， 相交于点 ， ， ， ， 点 从点 出发，沿
方向以 的速度匀速运动，点 从点 出发，沿 方向以 的速度匀速运动．
， 两点同时出发，当点 回到点 时， ， 两点同时停止运动．设点 的运动时间为 ．
（1）当 时． ， 当 时， ．
（2）求证： ．21．（10分）有一个长方体玻璃缸，高 ，底面为正方形，玻璃缸内有一个圆柱形杯子，杯子底
面面积为 ．现在向杯子中匀速注水，杯子中的水注满之后，继续注水，直到玻璃缸中的水注满为止，
假设杯子在玻璃缸中的位置固定不变，且杯子本身的质量、厚度、体积都忽略不计．玻璃缸中水面的高度
h的变化情况与注水时间t之间的函数关系如图所示．
（1）写出函数图象中点M、点N的实际意义；
（2）求玻璃缸底面边长；
（3）若杯子的高为 ，求注水的速度及玻璃缸注满水所用的时间．
22．（10分）小朋在学习过程中遇到一个函数 ．下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：
… 0 1 2 …
… 0 …（1）观察这个函数的解析式可知， 的取值范围是________，函数值 的取值范围是________；
（2）进一步研究， 与 的几组对应值如表，请补充完整
（3）结合上表，画出函数图像：
（4）结合函数图像，写出两条性质________．
23．（10分）某公交车每天的支出费用为600元，每天乘车人数 （人）与每天利润（利润＝票款收
入－支出费用） （元）的变化关系，如下表所示（每位乘客的乘车票价固定不变）：
（人） … 200 250 300 350 400 …
（元） … －200 －100 0 100 200 …
根据表格中的数据，回答下列问题：
（1）观察表中数据可知，当乘客量达到______人以上时，该公交车才不会亏损；票价为______
（元/人）；
（2）请写出公交车每天利润 （元）与每天乘车人数 （人）的关系式： ______；
（3）当一天乘客人数为多少人时，利润是1000元？
24．（12分）下图表示一辆汽车在行驶途中的速度 （千米/时）随时间 （分）的变化示意图；
（1）从点A到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车在什么状态？
（2）分段描述汽车在第 分种到第 分钟的行驶情况；
（3）汽车在点A的速度是多少？在点 呢？
（4）司机在第 分钟开始匀速先行驶了 分钟，之后立即以减速行驶 分钟停止，请你在本图中补
上从 分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图．
（5）请你用语言描述这一过程．参考答案：
1．A
【分析】本题考查函数的定义．根据函数的定义可知，满足对于 的每一个取值， 都有唯一确定的
值与之对应关系，据此即可确定函数．
解：由图象得A的图象 不能有唯一的值与之对应，故A符合题意；
B，C，D三个选项均符合函数的定义，
故选：A．
2．A【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确理解题意求出各自的速度，进而求出各自到达的
时间是解题的关键．根据函数图象求出各自的速度，再求出各自到达的时间即可得到答案．
解：由函数图象可知，甲4分钟行驶了 ，乙4分钟行驶了 ，
∴甲的行驶速度为 ，乙的行驶速度为 ，
∴甲到达学校的时间为 ，乙到达学校的时间为 ，
∴乙比甲早到 ，
故选 A．
3．D
【分析】根据题意分析出 托运费y与物品重量x之间的函数关系，画出图像即可．
解：由题意可得，
当 时， ，
∵物品重量每增加1kg（不足1kg按1kg计）需增加托运费0.5元，
∴托运费y与物品重量x之间的函数图像为：
故选：D．
【点拨】此题考查了函数的图像，解题的关键是根据题意正确分析出托运费y与物品重量x之间的函
数关系．
4．D
【分析】本题考查根据实际问题列函数关系式，利用长方形面积等于长乘宽计算即可．
解：由题意得：长方形靠墙的一边长为 ，则平行墙的边长为 ，
∴面积 ，
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，结合图形分析题意并解答是解题关键．
结合图形得，当点P运动到点E处时，运动路程为 ，即 ，由E为 的中点，得到，当点P运动到点D处时，运动路程为 ，得 ，由 为中位线，求出
，根据 的面积s为 ，求出 ，再求出 ，根据勾股定理求出 ，即可求出
长，求出a．
解：结合图形得，
当点P运动到点E处时，运动路程为a，即 ，
∵E为 的中点，
∴ ，
当点P运动到点D处时，运动路程为 ，
∴ ，
∵ 为中位线，
∴ ，
此时 的面积s为 ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了函数的图象．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通
过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．根据题意判断出小烧杯、大烧杯的液面
高度 随时间 的变化情况即可．
解： 大烧杯的底面半径是小烧杯的底面半径的2倍，
小烧杯的容积是大烧杯与小烧杯顶部齐平时下部容积的 ，
注满小烧杯的所需时间是大烧杯下部注水时间的 ，
小烧杯、大烧杯内水面的高度差 随加水时间 变化的图象可能是选项C．
故选：C7．C
【分析】根据表格中信息逐一判断即可．
解：A、由表格知：行驶路程为0km时，油箱余油量为 ，故A正确，不符合题意；
B、 时，耗油量为 ；100——200km时，耗油量为 ；故B正确，
不符合题意；
C、有表格知：该车每行驶 耗油 ，则 ，故C错误，符合题意；
D、当 时， ，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了函数的表示方法，明确题意、正确从表格中获取信息是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查动点的函数图象，正方形的性质，勾股定理．根据图象得到当 时， 点移动到
点， ，进而求出正方形的边长．
解：∵ 是正方形 的对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由图②可知：
当 时， ，
即当点P运动到点B时，点P运动时间是2秒， ，
∵
∴ ．
∴正方形 的边长是 ．
故选：B．
9．B【分析】此题主要考查了函数图象，特别应注意自变量的取值范围，它决定了图象的画法．根据手机
剩余电量=原有的电量-t小时消耗的电量，可列出函数关系式，得出图象．
解：由题意得，手机的剩余电量w（%）与行驶时间t（时）之间的函数关系式为：
，
结合解析式可得出图象：
故选：B．
10．D
【分析】本题考查了一次函数的图像，结合图象进行判断即可．
解：点 表示当 时， ，即当物体的重力是 时，拉力F是 ，
A正确，不符合题意；
由图象可知，当 时， ，即当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为 ，
B正确，不符合题意；
根据图象可知，物体的拉力F随着重力G的增大而增大，
C正确，不符合题意；
正比例函数的图象必过原点，
D不正确，符合题意；
故选：D．
11．直线
【分析】根据垂直于坐标轴的直线解析式的形式解答．
解：∵经过点 且垂直于x轴，
∴直线的解析式是x=2．
故答案为：x=2．
【点拨】本题考查了垂直于x轴的直线的形式，垂直于x轴的直线的形式是x=a（a是常数）．
12．二【分析】根据二次根式有意义的条件得到 解得 得到
即可判断.
解：利用函数 图象上的点P（x,y），可得x<0，y>0，
故P点一定在第二象限，
故答案为二.
【点拨】考查函数的图象与性质，根据二次根式有意义的条件得到x<0，进而得到y>0是解题的关键.
13．30
【分析】本题考查了一次函数的应用，能够正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，即可解题，采用
数形结合的思想是解此题的关键．
解：由图象信息可知，出发后5小时，小明离甲地30千米，
故答案为：30．
14．10
【分析】根据表格中两个变量的变化关系得出函数关系式即可．
解：根据表格中两个变量的变化关系可知，
行驶路程每增加50千米，剩余油量就减少5升，
所以行驶路程每增加100千米，剩余油量就减少10升，
故答案为：10．
【点拨】本题考查函数的表示方法，理解表格中两个变量的变化规律是正确解答的前提．
15．4
【分析】连接 ，利用等边三角形的性质求得 ， ，根据图2得到 ，
列出方程求解即可．
解：连接 ，
∵等边 中，点D为 的中点，∴ ， ，
∴ ，
由图2知， ，
∴ ，
解得 ．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图2得到 ，此题难度一
般．
16．
【分析】根据表格数据即可表示因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系．
解：根据表格数据可知：
因变量y（升）与自变量t（小时）之间的关系为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，解决本题的关键是函数的表示方法．
17．
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据甲组单独工作时30天的时间一共挖掘90米，求
出甲每天挖掘的长度，进而求出甲组挖掘的总长度，再求出乙组挖掘的总长度即可得到答案．
解：由题意得，甲组单独每天可挖掘 ，
∴甲组一共挖掘了 ，
∴乙组一共挖掘了 ，
∴甲组挖掘的总长度比乙组挖掘的总长度多 ，
故答案为： ．
18．
【分析】根据动点 的运动，找出点 横坐标的变化规律，纵坐标的变化规律，由此即可求解．
解：动点 第一次从原点运动到 ，横坐标增加 ，横坐标增加 ，第二次从 运动到 ，横坐标增加 ，纵坐标减少 ，
第三次从 运动到 ，横坐标增加 ，纵坐标增加 ，
第四次从 运动到 ，横坐标增加 ，纵坐标减少 ，
第五次从 运动到 ，横坐标增加 ，纵坐标增加 ，
……
∴第 次运动后，动点 的横坐标为 ，
纵坐标的计算方法是： ，即循环 次后，又运动了 次，
∴动点 的纵坐标为 ，
∴动点 的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查平面直角坐标系中动点的规律，理解动点的运算规律，掌握平面直角坐标系的
特点是解题的关键．
19．（1）张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小
时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家；（2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单
位是千米，那么 ．
【分析】本题考查函数图象的应用：
（1）应选取常见的量，比如横轴表示时间，纵轴表示离家的路程，这段函数大致可理解为到一个地
方去，到后，休息一段时间后返回到家；
（2）x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么 ．
（1）解：张老师从家出发，骑车去学校，骑车的速度是每小时15千米，经过2小时到达，到校2小
时后因家中有事，立即乘车返回，1小时到家；
（2）解：x轴表示时间，单位为时，y轴表示离家的路程，单位是千米，那么
．
20．（1） ， ；（2）见分析
【分析】本题考查了动点距离问题，全等三角形判定与性质和两直线平行的判定，根据已知条件先证
明三角形全等，再利用全等三角形性质即可得出内错角相等，从而得到两直线平行，掌握 判定三角形
全等是解题关键．（1）解： 当 时． ，
当 时． ，
故答案为： ， ．
（2）证明：在 和 中，
，
，
．
21．（1）见分析；（2）20厘米；（3）6分钟
【分析】本题考查了由函数图象获取信息，正确识图是解题的关键．
（1）根据容器的构造分析即可；
（2）设玻璃缸底面边长为a，列方程求解即可；
（3）根据杯子注水情况可求出注水速度，然后用玻璃缸的容积除以注水速度即可求出玻璃缸注满水
所用的时间．
解：（1）M点表示杯子中刚好注满水，N点表示玻璃缸中水面与杯子中水面恰好平齐；
（2）设玻璃缸底面边长为a，则 ，解得 ；
（3）若杯子的高为 ，则注水速度为： ，
玻璃缸注满水所用的时间为： ．
22．（1） 为任意实数， 为任意实数；（2）见详解；（3）见详解；（4）函数关于原点成中心对
称； 随 的增大而增大 （答案不唯一）．
【分析】本题主要考查通过描点画出函数图像，从图像得出相关性质．
（1）由函数表达式即可求解．
（2）将表格的值代入函数表达式，分别求解即可．
（3）结合上表，通过描点然后画出函数图像即可．
（4）观察函数图像可求解．（1）解：从函数表达式看， 的取值范围为∶ 为任意实数， 的取值范围为∶ 为任意实数．
（2）∵函数为：
∴当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
当 ， ，
补充表格如下：
… 0 1 2 …
… 0 4 …
（3）结合上表，画出函数图像如下∶
（4）从函数图像看，函数关于原点成中心对称； 随 的增大而增大 （答案不唯一） ．
23．（1）300；2；（2）y＝2x−600；（3）当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【分析】（1）由表中数据可知，当x＝300时，y＝0，当x＞300时，y＞0，然后根据题意求出票价即可；
（2）根据（1）中结论及题意，列出关系式即可解答；
（3）把y＝1000代入（2）中的关系式进行计算即可解答．
（1）解：观察表中数据可知，当乘客量达到300人以上时，该公交车才不会亏损，
票价为：600÷300=2（元/人）；
故答案为：300；2；
（2）由题意得：
y＝2x−600，
∴公交车每天利润y（元）与每天乘车人数x（人）的关系式：y＝2x−600，
故答案为：2x−600；
（3）把y＝1000代入y＝2x−600中可得：
2x−600＝1000，
解得：x＝800，
答：当乘车人数为800人时，利润为1000元．
【点拨】本题考查了函数关系式，正数和负数，根据表中的数据进行分析计算是解题的关键．
24．（1）A到点 是匀速运动、点 到点 是匀加速运动、点 到点 匀减速运动；（2）从 、
、 是匀加速运动，从 、 是匀减速运动，从 、 、 是匀速运动；
（3）汽车在点A的速度是 千米每小时，在点 的速度为 千米每小时；（4）见分析；（5）汽车首先
匀加速行驶，然后匀速行驶，再匀减速行驶，接着停下来，又匀加速行驶，匀速行驶，再匀加速行驶，匀
速行驶，最后匀减速行驶，匀速行驶，匀减速行驶至停下来
【分析】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题
的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
（1）根据图象可以确定从点 到点 、点 到点 、点 到点 分别表明汽车的运动状态；
（2）根据图象可以得到在第 分种到第 分钟的行驶情况；
（3）根据图象可以直接得到汽车在点A和点 的速度；
（4）结合已知条件利用图象可以画出从 分钟以后汽车速度与行驶时间的关系图；
（5）根据图象可以直接求解．
（1）解：根据图象知道：点A到点 是匀速运动、点 到点 是匀加速运动、点 到点 匀减速运
动；
（2）解：从 、 、 是匀加速运动，
从 、 是匀减速运动，从 、 、 是匀速运动；
（3）解：根据图象知道：汽车在点A的速度是 千米每小时，在点 的速度为 千米每小时；
（4）解：如图所示：
（5）解：<>汽车首先匀加速行驶，然后匀速行驶，再匀减速行驶，接着停下来，又匀加速行驶，匀
速行驶，再匀加速行驶，匀速行驶，最后匀减速行驶，匀速行驶，匀减速行驶至停下来．
