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专题22.31 实际问题与二次函数（分层练习）（提升练）
一、单选题
1．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用
栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．这个矩形花圃的最大面积是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，直线 ： 与 轴和 轴分别相交于 、 两点，平行于直线 的直线 从原点 出
发，沿 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与 轴和 轴分别相交于 、 两点，运动时间
为 秒（ ）．以 为斜边作等腰直角 （ 、 两点分别在 两侧），若 和 的
重合部分的面积为 ，则 与 之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．某水利工程公司开挖的沟渠，蓄水之后截面呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相
关数据（单位： ）．某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ）A．
B．池底所在抛物线的解析式为
C．池塘最深处到水面 的距离为
D．若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的
4．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件，根
据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，若设每
件商品涨 元，销售利润为 元，可列函数为： ．对所列函数中出现的代数式，
下列说法错误的是（ ）
A． 表示涨价后商品的单价 B． 表示涨价后少售出商品的数量
C． 表示涨价后商品的数量 D． 表示涨价后商品的单价
5．农特产品展销推荐会在杨凌举行．某农户销售一种商品，每千克成本价为40元．已知每千克售价
不低于成本价，不超过80元．经调查，当每千克售价为50元时，每天的销量为100千克，且每千克售价
每上涨1元，每天的销量就减少2千克，为使每天的销售利润最大，每千克的售价应定为（ ）
A．20 B．60 C．70 D．80
6．某公司的生产利润原来是a万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是
x，那么y与x的函数关系是（ ）
A．y＝x2+a B．y＝a（x－1）2 C．y＝a（1－x）2 D．y＝a（l+x）2
7．2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰
墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出
300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为 个，销售单
价为 元 ，商家每天销售纪念品获得的利润 元，则下列等式正确的是（ ）A． B．
C． D．
8．如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二
次函数．现以相同的初速度沿相同的方向每隔t秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后1秒
到达相同的最大飞行高度，若整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹
起），则t的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
9．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流量抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x
（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点， ，垂足为A．已知 ， ，
则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：
度） 近似满足函数关系 ．如图记录了某种家用燃气灶烧开同一壶水的
旋钮角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气
的旋钮角度约为（ ）A．18° B．28° C．37° D．58°
二、填空题
11．长方形的周长为 ，其中一边长为 （其中 ），面积为 ，则 与 的关系式为
．
12．如图，在矩形 中， ， ，点P从点A出发，沿线段 以每秒1个单位长度的
速度向终点D运动；点Q从点B出发，沿线段 以每秒2个单位长度的速度向终点A运动． P，Q两点
同时出发，设点P运动的时间为 （单位：秒）， 的面积为 ．则 关于 的函数表达式为 ．
13．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）
离水面2m，水面宽4m．则当水位下降m= 时，水面宽为5m？
14．北仑梅山所产的草莓柔嫩多汁，芳香味美，深受消费者喜爱．有一草莓种植大户，每天草莓的采
摘量为300千克，当草莓的零售价为22元/千克时，刚好可以全部售完．经调查发现，零售价每上涨1元，
每天的销量就减少30千克，而剩余的草莓可由批发商以18元/千克的价格统一收购走，则当草莓零售价为
元时，该种植户一天的销售收入最大．
15．某超市购进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价
x（元）之间满足如图所示的一次函数关系，则该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为 元（利润＝总销售额－总成本）．
16．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是
，则铅球推出的距离 m．
17． 年5月8日， 商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步． 时 分航班
抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，
在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线
的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为 米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，
此时相遇点H距地面 米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退 米，两条水柱的形状
及喷水口 、 到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点 距地面 米．
18．生物学研究表明，在一定的温度范围内，酶的活性会随温度的升高逐渐增强；在最适温度时，酶
的活性最强；超过一定温度范围，酶的活性又随温度的开高逐渐减弱，甚至会失去活性 现已知某种酶的
活性值 （单位： ）与温度 （单位： ）的关系可以近似用二次函数 来表示，
则当温度为最适宜温度时，该种酶的活性值为 ．三、解答题
19．如图，要利用一面墙（长为 ）建羊圈，用100m长的围栏围成两个大小相同的矩形羊圈，每
个羊圈留有个 宽的门（留门部分不需要围栏），若宽用x（m）表示，总面积用y（ ）表示．
（1）写出总面积y（ ）关于宽x（m）的函数关系式：
（2）当面积 时，求羊圈的宽x的值．
20．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为 ，宽为 ，抛物线的最高点 离
路面 的距离为 ．
（1）建立适当的坐标系，求出表示抛物线的函数表达式．
（2）一大型货车装载设备后高为 ，宽为 ，如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安
全通过？21．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，尽快减少库
存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每天衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？
22．嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，
并运动路线为抛物线 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其
运动路线为抛物线 的一部分．
（1）写出 的最高点坐标，并求a，c的值；
（2）若嘉嘉在x轴上方 的高度上，且到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，求符合条
件的n的整数值．23．某公司为城市广场上一雕塑 安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面 ，喷
出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹 上，任意一点与支柱
的水平距离x（单位： ）与广场地面的垂直高度为y（单位： ）满足关系式 ，
且点 在抛物线 上
（1）求该抛物线的表达式；
（2）求水柱落地点与雕塑 的水平距离；
（3）为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为 ，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到 的距离）控制在7 到14 之间，
请探究改建后喷水池水柱的最大高度
24．垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿
化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面
的高度 与到树干的水平距离 之间满足关系式 ．已知这枝垂柳的始端到地面的距
离 ，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离 ．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）求这枝垂柳的最高点P到地面的距离；
（3）踩着高跷的小明头顶距离地面 ，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶
刚好碰到树枝？参考答案
1．C
【分析】根据题意，设花圃的宽为 ，面积为 ，得到 关于 的函数表达式 ，根
据实际意义得到 ，再结合二次函数图像与性质，得到二次函数图像开口向下，当 时，面积
最大为 ．
解：设花圃的宽为 ，面积为 ，则
关于 的函数表达式为：∵ ，
∴ ，
二次函数 中， ，二次函数图像开口向下，
∴当 时，面积最大为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数图像与性质解实际应用题，读懂题意，准确得出二次函数表达式，利用二
次函数图像与性质求出最值是解决问题的关键．
2．C
【分析】分别求出 和 时，S与t的函数关系式即可判断．
解：对于直线 ，当 时， ，当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴
①当 时， 如图1，
∴又 是等腰直角三角形，
∴
∴
又
∴
∴
即： ；
②当 时，如图2，
同理可得： 均为等腰直角三角形，
∴
∴
∴
∴ ，
即 ，
观察图象可知，S与t之间的函数关系的图象大致是C．
故选：C．
【点拨】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
3．C
【分析】利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选
项即可．解：设解析式为 ，抛物线上点 ， ， ，带入抛物线解析式中得
，解得 ，解析式为 ．
选项A中， ，故选项A错误；
选项B中，解析式为 ，故选项B错误；
选项C中，池塘水深最深处为点 ，水面 ， ，所以水深最深处为点P
到水面 的距离为3.2米，故选项C正确；
选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于 轴对称可知，抛物线上点横坐标
，带入解析式算得 ，即到水面 距离为 米，而最深处到
水面的距离为3.2米，减少为原来的 ．故选项D错误．
故选C．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系
中对应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键．
4．A
【分析】根据题意，分析得出涨价后的单价为 元，涨价后销量为 件，再根据利润
等于售价减去进价得出涨价后每件利润为 元即可．
解：A、 表示涨价后单件商品的利润，不是商品的单价，故本选项不符合题意；
B、由销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，得每件商品涨 元后， 表示涨价后少售出商
品的数量，故本选项符合题意；
C、由题可知，原销量为400件，涨价后少售出 件，则涨价后的商品数量为 件，故本选项符合题意；
D、由题可知，每件商品原价为30元，涨 元后单价为 元，故本选项符合题意．
故选：A．
【点拨】本题考查了应用题中的利润问题，根据题意准确得出涨价前后的售价和销量以及熟练掌握利
润的计算公式是本题的重点．
5．C
【分析】设每千克上涨x元，利润为w元，根据利润 （销售单价 进的单价）×数量，列函数关系式，
再根据二次函数最值求法求解即可．
解：设每千克上涨x元，利润为w元，根据题意，得
，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 时，w有最大值，最大值为1800元，
∴每千克的售价应定为 （元）．
故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的应用，根据题意，列出关系式是解题的关键．
6．D
【分析】本题是增长率的问题，基数是a万元，增长次数2次，结果为y，根据增长率的公式表示函数
关系式．
解：依题意，
得y=a（1+x）2．
故选：D．
【点拨】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，在表示增长率问题时，要明确基数，增长
次数，最后的结果．
7．D
【分析】设每天销售量为 个，销售单价为 元 ，商家每天销售纪念品获得的利润 元，
根据题意列出函数关系式即可求解．解：设每天销售量为 个，销售单价为 元 ，商家每天销售纪念品获得的利润 元，
根据题意得 ，
则 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
8．B
【分析】根据题意建立直角坐标系，再分析二次函数的性质即可．
解：以球出发的地方为原点建立直角坐标系，
由题意得，二次函数过原点且对称轴为直线 ，
∴设二次函数解析式为 ，
代入原点得 ，
解得 ，
∴ ，
令 得 ，解得
∴一个球从出发到落地用时2秒，
∵整个过程中同时出现在空中的小球个数最大值为2（不考虑小球落地后再弹起），
∴ ，解得 ，
故选：B．
【点拨】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，根据题意建立方程是解决问题的关键．
9．C
【分析】设抛物线解析式为 ，将点 、 代入求出 、 的值即可．
解：根据题意，设抛物线解析式为 ，将点 、 代入，得： ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
所以当 时， ，即
故选：C．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
10．C
【分析】根据已知的三个点可以大致画出函数图像，并判断对称轴的位置在36和54之间即可选择答
案．
解：根据题意可知抛物线的开口向上，由已知的三个点描点、连线得到函数的大致图像，
由图知抛物线的对称轴的位置在36和54之间，比36 稍大，大约37．
因此可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮角度约为37°．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数图像的对称性，判断对称轴的位置是解
题的关键．
11．
【分析】首先利长方形周长公式表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解.
解：∵长方形的周长为 ，长方形的一边长为 ，
∴另一边长为 ，
则 与 的关系式为 ，故答案为： .
【点拨】本题考查了列函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键.
12．
【分析】根据 ， ， ，得到 ，根据矩形的角是直角，得到
．
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵矩形 中， ，
∴
．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了矩形，三角形面积．解决问题的关键是熟练掌握矩形角的性质和三角形面积
公式．
13．
【分析】以抛物线的顶点为原点建立坐标系，则可以设函数的解析式是y=ax2，然后求得水面与抛物线
的交点坐标，利用待定系数法求解抛物线的解析式，再利用点的坐标特点即可求解．
解：如图，建立如下的坐标系：水面与抛物线的交点坐标是（-2，-2）， ，
设函数的解析式是y=ax2， 则4a=-2， 解得 ，
则函数的解析式是 ．
当水面宽为5米时，把 代入抛物线的解析式可得：
（米），
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，建立合适的平面直角坐标系，
求得水面与抛物线的交点是解题的关键．
14．25
【分析】设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，由题意得y= 30x2+1500x 11880，再根据二
次函数的性质解答即可．
解：设草莓的零售价为x元/千克，销售收入为y元，
由题意得，y=x[300 30（x 22）]+18×30（x 22）= 30x2+1500x 11880，
当 时，y最大，
∴当草莓的零售价为25元/千克时，种植户一天的销售收入最大．
故答案为：25．
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
15．800
【分析】根据函数图象中的数据，可以求得日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式，
设每天的销售利润为w（元），利用利润＝总销售额－总成本求出w关于x的函数关系式，最后利用二次
函数的性质求解即可．
解：设日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ，
∵点 ， 在该函数图象上，∴ ，
解得 ，
即日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为 ，
设每天的销售利润为w（元），
则
，
∵ ，开口向下，
∴当 时， 有最大值为800，
即该超市每天销售这款拼装玩具的最大利润为800元，
故答案为：800．
【点拨】本题考查一次函数、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
16．10
【分析】令 ，则 ，再解方程，结合函数图象可得答案．
解：令 ，则 ，
解得： ， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意令 求解方程的解是解本题的关键．
17．
【分析】根据题意求出原来抛物线的解析式，从而求得平移后的抛物线解析式，再令 求平移后的
抛物线与 轴的交点即可．解：由题意可知：
、 、 ，
设抛物线解析式为： ，
将 代入解析式 ，
解得： ，
，
消防车同时后退 米，即抛物线 向左（右）平移 米，
平移后的抛物线解析式为： ，
令 ，解得： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了待定系数法求抛物线解析式、函数图像的平移及坐标轴的交点；解题的关键是求
得移动前后抛物线的解析式．
18．240
【分析】化为顶点式求解即可．
解： ，
∵ ，
∴抛物线开口向下，
当 时， 的最大值为 ，
故当温度为 时，该种酶的活性值为 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数图象的应用，熟练掌握二次函数 的性质是解答本题的关
键．对于二次函数 （a，h，k为常数， ），当 时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当 时，抛物线开
口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．
19．（1） ；（2）羊圈的宽x的值为26米
【分析】（1）根据长方形面积公式求解即可；
（2）把 代入（1）中的解析式，解一元二次方程求解即可．
解：（1）由题意得， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）当 时，
解得 （不合题意，舍去），
∴羊圈的宽x的值为26米．
【点拨】本题考查了二次函数的应用和解一元二次方程，准确理解题意，熟练掌握解方程的方法是解
题的关键．
20．（1） ；（2）能
【分析】（1）根据题意建立坐标系可得抛物线的顶点坐标为点 ，点 ，设抛
物线的函数表达式为 ，把点 代入，即可求解；
（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．
（1）解：如图：以 的中点为坐标原点，以 所在直线为 轴，以 为一个单位建立坐标系，∵ ， ，
∴ ， ， ，
设抛物线函数表达式为 ，
∴ ，解得： ，
∴抛物线的函数表达式为 ；
（2）解：这辆货车能安全通过，理由如下：
根据题意得：当 时，
，
∴这辆货车能安全通过．
【点拨】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）设每件衬衫降价 元，商场平均每天盈利 元，可得每件盈利 元，每天可
以售 出 件，进而得到商场平均每天盈利 元，依据方程 即
可得到 的值；
（2）用“配方法”即可求出 的最大值，即可得到每件衬衫降价多少元，
解：（1）设每件衬衫降价 元，商场平均每天盈利 元，
则 ，
当 时， ，
解得 ，经检验， 都是原方程的解，但要尽快减少库存，
所以
答：每件衬衫应降价 20 元；
（2）∵ ，
∴当 时， 的最大值为1250 ，
答： 当每件衬衫降价 15 元时，专卖店每天获得的利润最大，最大利润是 1250元
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用以及“配方法"在求函数的最大值的问题中的应用，利用基本
数量关系：平均每天售出的件数 每件盈利=每天销售的利润是解题关键
22．（1） 的最高点坐标为 ， ， ；（2）符合条件的n的整数值为4和5．
【分析】（1）利用顶点式即可得到最高点坐标；点 在抛物线上，利用待定系数法即可求得a的
值；令 ，即可求得c的值；
（2）求得点A的坐标范围为 ，求得n的取值范围，即可求解．
（1）解：∵抛物线 ，
∴ 的最高点坐标为 ，
∵点 在抛物线 上，
∴ ，解得： ，
∴抛物线 的解析式为 ，令 ，则 ；
（2）解：∵到点A水平距离不超过 的范围内可以接到沙包，
∴点A的坐标范围为 ，
当经过 时， ，
解得 ；当经过 时， ，
解得 ；
∴
∴符合条件的n的整数值为4和5．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，联系实际，读懂题意，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征
是解题的关键．
23．（1） ；（2）14米；（3） 米
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可；
（2）求出抛物线 与x轴正半轴交点的横坐标即可；
（3）利用待定系数法求出抛物线 的表达式，化为顶点式，求出最大值，与（2）中水柱喷水的半径
为 时的最大高度比较后即可得到答案．
（1）解：把 ， 代入 ，
得 ，
解得 ，
∴ ；
（2）在 中，
令 ，得 ，
解得 或 （舍去），
∴水柱落地点与雕塑 的水平距离是14米；
（3）当水柱喷水的半径为 时，抛物线经过 ， ，代入 ，得，
解得 ．
∴ ，
∴当 时，喷水池水柱的最大高度是 米；
由（2）知，当水柱喷水的半径为 时， ，
∴当 时，喷水池水柱的最大高度是 米．
∵ ，
∴喷水池水柱的最大高度是 米．
【点拨】此题考查了二次函数的应用，用到了待定系数法、函数的顶点式和最值问题等知识，读懂题
意准确计算是解题的关键．
24．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）由题意得出点点 和点 ，再代入求解即可；
（2）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；
（3）令 ，得 ，求解即可．
（1）解：由题意得，抛物线经过点 和点 ，
解得
该抛物线的函数解析式为 ．
（2）解： ，抛物线的顶点P的坐标为 ，
即这枝垂柳的最高点P到地面的距离为9m．
（3）解：在 中，令 ，得 ，
解得 （不合题意，舍去）， ，
小明走出 远时，头顶刚好碰到树枝
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象
性质是解题的关键．
