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专题22.30 实际问题与二次函数（分层练习）（基础练）
一、单选题
1．如图，用绳子围成周长为 的矩形，记矩形的一边长为 ，矩形的面积为 ．当x在一定范
围内变化时，S随x的变化而变化，则S与x满足的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
2．如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2
m，水面宽4 m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
3．2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻
户晓，成为热销产品．某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件．若该产品每套的售价是
48元时，每天可售出200套；若每套售价每提高2元，则每天少卖4套．设冰墩墩和雪容融套件每套售价
定为x元时，则该商品每天销售套件所获利润w与x之间的函数关系式为（ ）．
A． B．
C． D．4．小明在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的表
达式为 ，其中 是实心球飞行的高度， 是实心球飞行的水平距离，则小明此次郑球过
程中，实心球的最大高度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，动点P在线段 上（不与点A，B重合），分别以 为直径作半圆，记图中所
示的阴影部分面积为y，线段 的长为x．当点P从点A移动到点B时，y随x的变化而变化，则表示y与
x之间关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图所示），桥高为8米，拱高6米，跨度20米．相邻两支柱间的
距离均为5米，则支柱 的高度为（ ）米．
A． 米 B．3米 C． 米 D．4米
7．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量
x（辆）之间分别满足： ， ，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（ ）
A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元
8．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为
，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A． B． C． D．
9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建
立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y=-0.01（x-20）2+4，桥拱与桥墩AC的交点C恰好位于
水面，且AC⊥x轴，若OA=5米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
10．某超市销售一种商品，每件成本为 元，销售人员经调查发现，该商品每月的销售量 （件）与
销售单价 （元）之间满足函数关系式 ，若要求销售单价不得低于成本，为每月所获利润最
大，该商品销售单价应定为多少元？每月最大利润是多少？（ ）
A． 元， 元 B． 元， 元
C． 元， 元 D． 元， 元
二、填空题
11．已知矩形的周长为18cm，绕它的一边旋转成一个圆柱，则旋转成的圆柱的最大侧面积为 m2．
12．数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园
（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为 ，菜园的…
为 ，列出 ．则自变量 的实际意义是 ．13．如图，隧道的截面是抛物线，可以用 表示，该隧道内设双行道，一辆货运汽车载一
长方体集装箱后高为 米，宽为 米，如果要安全通过隧道， 应满足 ．
14．进价为80元的某衬衣定价为100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5
件，那么每月售出衬衣的总件数y（件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ，每月利润w
（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 ．（以上关系式只列式不化简）．
15．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线，
若不考虑空气阻力，小球的飞行高度 （单位： ）与飞行时间 （单位： ）之间具有函数关系：
，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间 ．
16．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线 运行，然后准确落入篮筐内，已知
篮筐的中心离地面的高度为 ，则他距篮筐中心的水平距离 是 ．
17．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度 （单位： ）与它距离喷头的水平距离 （单位： ）之间满足函数关系式 ，喷
出水珠的最大高度是 ．
18．某种型号的小型无人机着陆后滑行的距离 （米）关于滑行的时间 （秒）的函数解析式是
，无人机着陆后滑行 秒才能停下来．
19．某件商品的销售利润y（元）与商品销售单价x（元）之间满足 ，不考虑其他因素，
销售一件该商品的最大利润为 元．
20．跳台滑雪是2022年北京冬奥会比赛项目之一．一名参赛运动员起跳后，他的飞行路线可以看作是
抛物线 的一部分（如图所示），则这名运动员起跳后的最大飞行高度是 m．
三、解答题
21．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．
另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门
（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃 的一边 长为x米．
（1） 长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
（2）若苗圃 的面积为 ，求x的值；
（3）当x为何值时，苗圃 的面积最大，最大面积为多少？22．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状
相同。如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C、D为水柱的
落水点，水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式为 ．
（1）求落水点C、D之间的距离；
（2）若需在OD上离O点10米的E处竖立雕塑EF， ，且雕塑的顶部刚好碰到水柱，求雕塑
EF的高．
23．我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为
每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）设每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月获得最大利润？
（2）如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为多少元？；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月销售单价不低于60元，
那么每月成本最少需要多少元？
24．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一
部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与
点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立
如图2所示的平面直角坐标系．
（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；
（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；
（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．参考答案
1．A
【分析】矩形的周长为2（x+y）＝10，可用x来表示y，代入S＝xy中，化简即可得到S关于x的函数
关系式．
解：由题意得，
2（x+y）＝10，
∴x+y＝5，
∴y＝5﹣x，
∵S＝xy
＝x（5﹣x）
∴矩形面积满足的函数关系为S＝x（5﹣x），
由题意可知自变量的取值范围为 ，
故选：A．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析
式形式是解题的关键．
2．A
【分析】首先设抛物线解析式为y＝ax2，再得出抛物线上一点为（2，﹣2），进而求出a的值．
解：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y＝ax2，且抛物线过（2，﹣2）点，
故﹣2＝a×22，
解得：a＝﹣0.5，
故选：A．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线的解析式是解题关键．
3．C
【分析】根据题意找出等量关系：总利润=单个利润×数量，即可列出函数关系式．
解：根据题意得： ，
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数得实际应用，解题的关键是正确地根据题意找出等量关系列出函数
表达式．
4．B
【分析】由 可得抛物线的顶点坐标为： ，结合函数的性质可得答案．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点坐标为： ，
∵ ，
∴实心球的最大高度是 ，
故选B．
【点拨】本题考查的是抛物线的图像与性质，掌握“利用顶点式求解抛物线的顶点坐标或函数的最
值”是解本题的关键．
5．C
【分析】假设 ，则 ，然后根据 求出y关于x的函数关系式即
可得到答案．
解：假设 ，则 ，
∴，
故选C．
【点拨】本题主要考查了二次函数在几何图形中的应用，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关
键．
6．C
【分析】设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以 所在的直线为x轴，以 的中点O为
坐标原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点 ，点M，N的横坐
标为5，再求出抛物线的解析式，即可求解．
解：如图，设拱桥两端分别为点A、B，拱桥顶端为点C，以 所在的直线为x轴，以 的中点O
为坐标原点， 所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，则点 ，点M，N的横
坐标为5，
设抛物线的解析式为 ，
把点 代入得：
，解得： ，
∴抛物线的解析式为 ，
当 时， ，
∴支柱 的高度为 米．
故选：C
【点拨】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系
式是关键．7．C
【分析】首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式，进而求出最值即可．
解：设在甲地销售x辆，则在乙地销售 辆，总利润为W万元，根据题意得出：
，
∴当 时， 取最大值，且最大值为46，
∴该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为46万元，故C正确．
故选：C．
【点拨】此题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意得出函数关系式，并将函数关系式
化为顶点式．
8．D
【分析】根据二次函数的图象与性质解题．
解：依题意，令 得 ，
得 ，
解得 （舍去）或 ，
即小球从飞出到落地所用的时间为 ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
9．C
【分析】根据OA=5知点C的横坐标为-5，据此求出点C的纵坐标即可得出答案．
解：∵AC⊥x轴，OA=5米，
∴点C的横坐标为-5，
当x=-5时，y=-0.01（x-20）2+4=y=-0.01（-5-20）2+4=-2.25，
∴C（-5，-2.25），
∴桥面离水面的高度AC为2.25米．
故选：C．【点拨】本题考查了二次函数的应用．解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件．
10．B
【分析】设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．
解：设每月总利润为 ，
依题意得：
，此图象开口向下，又 ，
当 时， 有最大值，最大值为 元．
故选：B．
【点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意找到等量关系并掌握二次函数求最值的
方法是解题的关键．
11． π/40.5π
【分析】设矩形的长是a，宽为9-a，旋转形成的圆柱侧面积得到关于a的二次函数，根据二次函数的
性质确定最大值即可．
解：设矩形的长为a，宽为9-a，
∵旋转形成的圆柱侧面积是S=2πa（9﹣a）＝﹣2π（a﹣ ）2+ π，
∴当a＝ 时，侧面积有最大值为 π，
故答案为： π
【点拨】本题考查了二次函数的应用，熟练列出二次函数并掌握求二次函数最值的方法是解题的关键．
12．平行于墙的一边的长度
【分析】根据矩形的面积公式可知 ，是长乘以宽，篱笆30m而根据图可知矩形只需要围
3面，因此可知x是平行于墙的一边的长度．
解：∵矩形的面积∴x或者 是平行于墙的矩形的长
当 是是平行于墙的矩形的长时， +2x≠30 ，不合题意；
当x是是平行于墙的矩形的长时，2（ ）+x=30 ，符合合题意；
故答案为：平行于墙的一边的长度
【点拨】根据函数解析式推导自变量 x 的实际意义，理解函数解析式是解题的关键.
13．
【分析】根据 ，对称轴为 轴，根据汽车宽为 米，则当 时， ，即可．
解：∵ ，汽车宽为 米，
∴当 时， ，
∴ ．
∵ ，
∴
故答案为： ．
【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称性．
14． y＝2000－5（x－100） w＝[2000－5（x－100）]（x－80）
【解析】略
15．
【分析】将函数解析式 配方为： ，可以确定当小球飞行最高时，飞行时
间 的值．
解：∵抛物线的解析式为： ，
∴抛物线的解析式为： ，
∵ ，
∴当 时，抛物线有最大值，最大值为： ．
故答案为：3
【点拨】本题考查了抛物线的性质，根据抛物线解析是确定抛物线的最大值是解题的关键．
16．4【分析】将 代入 中可求出x，结合图形可知 ，即可求出OH．
解：当 时， ，解得： 或 ，
结合图形可知： ，
故答案为：4
【点拨】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值．
17．3
【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．
解：∵ ，
∴当x=1时， ，
故答案是：3．
【点拨】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．
18．16
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出Ｓ取得最大值时的t的值即可得答案．
解：∵ ，
∴当 时，Ｓ取得最大值64，
即飞机着陆后滑行16秒才能停下来．
故答案为：16
【点拨】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为S的最大值是解题的关键．
19．2
【分析】 知 的最大值在 时取得，值为 ．
解：
根据函数图像性质可知在 时， 最大且取值为
故答案为： ．
【点拨】本题考查了二次函数实际应用中的最值问题．解题的关键将二次函数化成顶点式．
20．45
【分析】将抛物线表达式变换为顶点式，确定抛物线的顶点坐标，即可确定运动员起跳后的最大飞行高度．
解：抛物线 ，
∴抛物线顶点C的坐标为（15，45），
∴这名运动员起跳后的最大飞行高度是45m．
故答案为：45．
【点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是能够熟练将抛物线表达式由一般式转换为顶点
式．
21．（1）（36-3x）；（2）8；（3）当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米
【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃 的一边 长为x米，即得
BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得， ，即可解得x的值；（3）设苗圃 的面积
为w， ，由二次函数的性质可得答案．
解：（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃 的一边 长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得， ，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃 的面积为w，
，
∵4<36-3x 14，
∴ ，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当 时，w取得最大值，w最大为 ；答：当x为 米时，苗圃ABCD的最大面积为 平方米．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．
22．（1）22米；（2）雕塑EF的高为 米
【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，进而可得出OD的长度，由喷
出的水柱为抛物线且形状相同，可得出OC的长，结合CD＝OC+OD即可求出落水点C，D之间的距离；
（2）代入x＝10求出y值即可．
（1）解：当y＝0时， ，
解得：x＝﹣1（舍去），x＝11，
1 2
∴点D的坐标为（11，0），
∴OD＝11m．
∵从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同，
∴OC＝OD＝11m，
∴CD＝OC+OD＝22m．
（2）解：∵ ， ，
当x＝10时， ，
∴点F（10， ）
∴雕塑EF的高为 米．
【点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征，求
出点D的坐标；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出抛物线上横坐标为10的点的坐标．
23．（1）当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；（2）如果每月获得8000元的利润，那么销
售单价应定为60元或80元；（3）每月成本最少需要10000元．
【分析】（1）设 ，把 代入即可求出一次函数的解析式，再根据总利润=单
件的利润×件数即可求出每月获得利润 （元）关于销售单价 （元）的函数解析式，利用二次函数的性质
求解即可；
（2）当 时，得到 ，解一元二次方程即可求解；（3）求出x的取值范围，设成本为S，根据成本=进价×销售量，即可求出S与x的函数关系式，然后
利用一次函数的增减性即可求出S的最小值．
（1）解：设 ，把 代入可得 ，
解得 ；
∴ ，
，
∵ ，抛物线的开口向下，二次函数有最大值，
∴当 时，w有最大值为 元，
∴当销售单价定为70元时，每月获得最大利润；
（2）解：当 时，则 ，
解得： ， ；
答：如果每月获得8000元的利润，那么销售单价应定为60元或80元；
（3）解：设成本为S，
依题意得： ，
∴ ，
∵ ，
∴S随x增大而减小，
∴ 时，S有最小值为10000元，
答：每月成本最少需要10000元．
【点拨】此题考查的是二次函数与一次函数的应用，掌握利用待定系数法求一次函数解析式和实际问
题中的等量关系是解决此题的关键．
24．（1）y＝﹣ x2＋x（0≤x≤40）；（2）能飞越，理由见分析；（3）8.1米【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答
案；
（2）把x＝30代入y＝﹣ x2+x，求得y的值，与6作比较即可；
（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝ x，设抛物线上一点P（t，﹣ t2+t），过点P作
PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t， t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性
质可得答案；
（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．
把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣ ．
∴y＝﹣ （x﹣20）2＋10．即y＝﹣ x2＋x（0≤x≤40）．
（2）解：把x＝30代入y＝﹣ x2＋x，得y＝﹣ ×900＋30＝7.5．
∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．
（3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）．
把（30，3）代入，得3＝30k，
∴k＝ ．
故直线OA的解析式为y＝ x．
设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣ t2＋t）．
过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t， t）．
∴PQ＝﹣ t2＋t﹣ t＝﹣ t2＋ t＝﹣ （t﹣18）2＋8.1．
∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．
答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．
【点拨】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
