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专题 22.5 二次函数 y=a（x-h）²(a≠0)和 y=a（x-h）²+k(a≠0)的图
象与性质（专项练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）二次函数 图象的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
2．（23-24九年级上·广西防城港·期末）二次函数 图象的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当 时，y随x的值的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·山西临汾·二模）抛物线 经过点 ， ， ，则 ， ， 的大
小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24九年级下·全国·课后作业）二次函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24九年级下·四川达州·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线 关于 轴对称的
抛物线的解析式为( )
A． B．
C． D．7．（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线 （m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24九年级上·青海西宁·期末）抛物线 经过点 ，且 ，下列结论正确的是
（ ）
A．当 时，y随x的增大而减小
B．抛物线与y轴的交点坐标是
C．
D．函数值 时，自变量x的取值范围是
9．（2021·贵州铜仁·中考真题）已知抛物线 与 轴有两个交点 ， ，抛物线
与 轴的一个交点是 ，则 的值是（ ）
A．5 B． C．5或1 D． 或
10．（20-21九年级上·福建龙岩·期中）如图，点A，B的坐标分别为 和 ，抛物线
的顶点在线段 上运动（抛物线随顶点一起平移，与x轴交于C、D两点（C在D的左
侧），点C的横坐标最小值为 ，则点D的横坐标最大值为（ ）
A． B．1 C．5 D．8
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2024·江苏无锡·二模）一条抛物线的顶点坐标为 ，则该二次函数的函数表达式可以为 ．
12．（2024·上海青浦·二模）如果将抛物线 向右平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是．
13．（23-24九年级下·江苏连云港·阶段练习）已知关于x的二次函数 ，当 时，函
数y的取值范围为 ．
14．（2024·浙江宁波·一模）已知二次函数 的图象上有两点 ， ，
且 ，则 与 的大小关系是 ．
15．（23-24九年级上·吉林四平·阶段练习）若一条抛物线与 图象的形状相同且开口向下，顶点坐
标为 ，则这条抛物线的解析式为 ．
16．（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线 的顶点为 ，与 轴交于点 ，
则直线 的表达式为 ．
17．（23-24九年级下·吉林·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛
物线 经过原点，与x轴负半轴交于点B，点C在抛物线上，且位于点A、B之间（C不与
A、B重合）．若四边形 的周长为14， 的周长大于8，则h的取值范围为 ．
18．（22-23九年级上·浙江台州·期末）我们把对称轩和开口方向都相同的抛物线称作“同向共轴抛物线”．例如抛物线 与 的对称轴都是直线 ，且开口方向都向下，则
这两条抛物线称作“同向共轴抛物线”．若抛物线 与 是“同向共轴抛物线”，
且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线的解析式为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（24-25九年级上·全国·假期作业）已知抛物线 ．
（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ；
（2） 取何值时， 随 增大而增大？
20．（8分）（23-24九年级上·广东佛山·阶段练习）已知二次函数 的图像的顶点坐标为
，且经过点 ．
（1）求这个函数的关系式；
（2）试判断点 是否在此函数图象上．
21．（10分）（23-24九年级上·河北唐山·阶段练习）点 在抛物线 上，且在 的
对称轴右侧．
（1）写出 的对称轴和 的最大值；
（2）求 的值，并求出点 到对称轴的距离．
22．（10分）（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线 分别交x轴、y轴于点A，B，形状相同的抛物线 ： （ ，……）的顶点在直线 上，
其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…，
根据上述规律解决以下问题：
（1）抛物线 的顶点坐标是________；
（2）求抛物线线 中b，c的值．
23．（10分）（22-23九年级上·广西防城港·期中）已知抛物线的顶点坐标为 ，且经过 轴上一点
．
（1）求抛物线解析式；
（2）求抛物线与 轴的交点坐标；
（3）试说明：当 时，函数值 随着 的增大而变化的情况．24．（12分）（23-24九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，二次函数 的图象与
轴交于点 ，与 轴交于点 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上找一点C使得 最小，并求出C点的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：
1．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式 的顶点坐标为 ，对称轴为
直线 ，即可求解．
【详解】解：二次函数 图象的顶点坐标为 ，对称轴是直线 ，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式 的顶点坐标为 ，即可求解．
【详解】解：抛物线 的顶点坐标是 ，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则
y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二
次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，
当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而
增大，据此求解即可．
【详解】解：A、由于 ，则当 时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
B、由于 ，则当 时，y随x的值的增大而增大，符合题意；
C、由于 ，对称轴为直线 ，则当 时，y随x的值的增大而减小，不符合题意；
D、由于 ，对称轴为直线 ，则当 时，y随x的值的增大而增大，当 时，y随x的值
的增大而减小，不符合题意；
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线解析式得出抛物线的对称轴为直线 ，抛物线
开口向上，再结合距离对称轴越远，函数值越大即可得出答案．
【详解】解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向上，，
，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质， 的顶点坐标为 ， ，开口方
向向下； ，开口方向向上；据此即可作答．
【详解】解：二次函数 的图象开口向下，对称轴是 ，顶点坐标为 ，
故选B．
6．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，利用原抛物线上的关于 轴对称的点的特征：
纵坐标相同，横坐标互为相反数就可以解答．
【详解】解：抛物线 关于 轴对称的抛物线的解析式为，
即解析式为： ．
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，然
后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ，
∵抛物线 （m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，
∴ ，
∴ ，
故选：C．8．D
【分析】本题考查二次函数的性质，将点 代入求出 与 的关系，结合性质逐个判断即可得
到答案；
【详解】解：∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，当 时，y随x的增大而增大，故A选项错误，不符合题意，
当 时， ，故抛物线与y轴的交点坐标是 ，故B选项错误，不符合题意，
，故C选项正确，符合题意，
∵对称轴为 ， ，
∴抛物线经过： ，
∴函数值 时，自变量x的取值范围是 或 ，故D 选项错误，不符合题意，
故选：C．
9．C
【分析】将 往右平移m个单位后得到 ，由此即可求解．
【详解】解：比较抛物线 与抛物线 ，
发现：将前一个抛物线往右平移m个单位后可以得到后一个抛物线的解析式，
∵ 与 轴的一个交点是 ， 与 轴有两个交点 ，
，
∴当前一个抛物线往右平移1个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=1，
当前一个抛物线往右平移5个单位时，后一个抛物线与 轴的一个交点是 ，故m=5，故选：C．
【点拨】本题考查二次函数的平移规律，左右平移时y值不变，x增大或减小，由此即可求解．
10．D
【分析】根据图象，当抛物线顶点为 时，C点横坐标最小，根据此时抛物线的对称轴，可判
断出 间的距离；当抛物线顶点为 时，D点横坐标最大，进而可判断出D点横坐标最大值．
【详解】解：根据题意，当抛物线顶点为 时，C点横坐标最小为 ，则抛物线的对称轴为直
线 ，此时点D坐标为 ，则 ，
当抛物线顶点为 时，D点横坐标最大，此时抛物线的对称轴为直线 ，又 ，
∴ ， ，
点D的横坐标最大为8，
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的图象与性质，能够正确地判断出点C横坐标最小、点D横坐标最大时
抛物线的顶点坐标是解答此题的关键．
11． （答案不唯一）
【分析】本题考查了抛物线的顶点式 ，熟练掌握其顶点式是解题的关键．设
抛物线解析式为 ，根据抛物线的顶点坐标为 ，得 ，于是抛
物线解析式为 ，取 的值即可.
【详解】解：设抛物线解析式为 ，
抛物线的顶点坐标为 ，
，
抛物线解析式为 ，取 ，此时二次函数的函数表达式为 ．
故答案为： （答案不唯一）．
12．
【分析】本题考查了二次函数的平移，正确理解二次函数的平移规律是解题的关键．根据函数图像
平移的方法：左加右减，上加下减，即可得到答案．
【详解】将抛物线 向右平移3个单位，所得新抛物线的表达式是 ．
故答案为： ．
13．
【分析】本题考查二次函数的图象及性质，能够根据二次函数解析式判断出抛物线的开口方向、对
称轴，并熟练运用数形结合思想是解题的关键．根据函数解析式得出抛物线的对称轴，抛物线开口
向上，当 时，函数有最小值，距离对称轴越远，函数值越大，由此可解．
【详解】解：∵二次函数解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴在 范围内，当 时，函数有最小值，最小值为1，
当 时，函数有最大值，最大值为： ，
∴ 的取值范围为 ，
故答案为： ．
14． /
【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．求出二次函数的对称轴为直线 ，然后判断出 、
距离对称轴的大小，即可判断 与 的大小．
【详解】
解： ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，且 ，
，
，
，
点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，
．
故答案为： ．
15．
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，根据抛物线与 图象的形状相同
且开口向下得到这条抛物线的二次项系数为 ，再根据顶点坐标即可得到对应的解析式．
【详解】解：∵一条抛物线与 图象的形状相同且开口向下，
∴这条抛物线的二次项系数为 ，
又∵这条抛物线的顶点坐标为 ，
∴这条抛物线的解析式为 ，
故答案为： ．
16． /
【分析】本题考查二次函数的性质，待定系数法求一次函数解析式．求出 、 点的坐标，用待定
系数法求直线 的解析式即可．
【详解】解： ，
顶点 的坐标为 ，
令 ，则 ，的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的表达式为 ，
故答案为： ．
17．
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质；
根据二次函数的性质可知 ， ， ，由题意得出 ，
，等量代换求出 ，然后结合点A在第二象限可得答案．
【详解】解：∵以A为顶点的抛物线 经过原点，
∴ ， ，
∵点B在x轴负半轴，
∴ ，
由题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点A在第二象限，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18． 或【分析】本题考查了 的图象和性质，对于二次函数 ，其顶点坐标
为 ，对称轴为直线 ，据此及可求解．
【详解】解：由题得抛物线 的顶点为 ，抛物线 的对称轴为直线
两抛物线为“同向共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度，
的顶点为 或 ，且
∴该抛物线的解析式为 或 ．
故答案为： 或
19．(1) ，直线
(2)
【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）根据抛物线的解析式即可求解；
（2）由抛物线的解析式可知 ，对称轴为 ，则抛物线在对称轴的右边时 随 增大而
增大．
【详解】（1）解： 抛物线的解析式为 ，
它的顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，
故答案为： ，直线 ；
（2） 抛物线的解析式为 ，
，
当 时， 随 增大而增大．20．(1)
(2) 在此函数图象上，见解析
【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数是本题得关键.
（1）根据题意设出 ，将抛物线的顶点坐标代入可得： .再把 代
入，求出 的值，即可得出二次函数的解析式；
（2）代入 即可判断.
【详解】（1）解：设二次函数的关系式为： ，
∵抛物线顶点坐标为 ，
∴抛物线表达式为： ，
将点 代入函得 ，
解得 ，
∴二次函数的关系式为 ；
（2）解：当 时， ，
∴ 在此函数图象上.
21．(1) ，4
(2)7，1
【分析】（1）根据抛物线的顶点式即可直接求解；
（2）将点 代入 ，根据点 在 的对称轴右侧即可求解．
【详解】（1）解：∵
∴抛物线的对称轴为 ， 的最大值为4；（2）解：将点 代入得， ，解得 或7，
点 在对称轴的右侧，
；
，对称轴为 ，
所以点 到对称轴的距离为1．
【点拨】本题考查了二次函数的顶点式的性质，解题的关键是熟记相关结论即可．
22．(1)
(2) ，
【分析】（1）观察发现顶点的横坐标：每个数都是前两个数的和，进而即可求解．
（2）设抛物线 的解析式为： ，化简即可解得．
【详解】（1）解：∵其对称轴与x轴交点的横坐标依次是2，3，5，8，13，…
∴抛物线 的顶点横坐标是 ，
代入 ，则 ，
∴抛物线 的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
（2） ，当 时， 抛物线 的顶点坐标是 ，
由顶点式得：
，展开得 ．
∴ ， ．
【点拨】本题考查了点与函数关系式的关系，既有数的规律，又有点的关系，掌握二次函数的顶点
式是关键．
23．(1)抛物线的解析式为
(2)抛物线与 轴的交点坐标为
(3) 时，函数值 随着 的增大而减小【分析】（1）设顶点式 ，然后把 代入求出 的值即可；
（2）计算自变量的值为 所对应的函数值即可；
（3）根据二次函数的性质解决问题．
【详解】（1）设抛物线的解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）当 时， ，
抛物线与 轴的交点坐标为 ；
（3）抛物线的对称轴为直线 ，抛物线开口向下，
当 时，函数值 随着 的增大而减小．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式；解题的关键是在利用待定系数法求二次函数
关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，数量掌握二
次函数的性质．
24．(1)
(2)
(3)存在； 或
【分析】（1）令 求出点A的坐标，令 求出点B的坐标即可；
（2）根据二次函数解析式写出对称轴方程，再利用对称性求出点B关于对称轴的对称点 ，再求
出直线 与对称轴的交点即可；
（3）根据平行四边形对边平行且相等可得 ，分点P在点A的上方和下方两种情况讨论求
解．【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： ，
所以点 ，
令 ，则 ，
所以，点 ；
（2）解： 对称轴方程为直线 ；
因为点B的坐标为
所以点B关于对称轴的对称点 ，
设直线 为 ，将 代入，
得， ，
解得： ，
所以 ，
当 时， ，
所以 ；
（3）解：存在，以 为顶点的四边形为平行四边形，
① 时，
当点P在点A的上方时，如下图：点P的坐标为 ，
当点P在点A的下方时，
点P的坐标为 ，
②当 时，点P在第一象限，如下图：
不符合题意.
综上所述，点P的坐标为 或 时，以 为顶点的四边形为平行四边形．
【点拨】本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴交点的求法，平行四边形的对边平
行且相等的性质，要注意（3）有两种情况．
