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专题 23.4 中心对称（知识梳理与考点分类讲解）
第一部分【知识点归纳与题型目录】
【知识点1】中心对称和中心对称图形
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这
两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心
的对称点．
要点提示：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条
件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，
而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形
重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
要点提示：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称
图形.
中心对称 中心对称图形
①指一个图形本身成中心对
①指两个全等图形之间的相互
区 称．
位置关系．
别 ②对称中心是图形自身或内部
②对称中心不定．
的点．
如果将中心对称的两个图形看
如果把中心对称图形对称的部
联 成一个整体（一个图形），那
分看成是两个图形，那么它们
系 么这个图形就是中心对称图
又关于中心对称．
形．
【知识点2】关于原点对称的点的坐标特征
关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P（x,y）关于原点的对称点 坐标为
(-x,-y)，反之也成立.
题型目录：
【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别...................................1
【题型2】由中心对称性质证明.............................................2
【题型3】由中心对称性质求值.............................................4
【题型4】坐标系中的中心对称.............................................5
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】轴对称图形与中心对称图形识别
【例1】（2024·湖南长沙·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知定义：轴对称图形：如果一个平面图形沿着一
条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图
形绕着某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据
此逐项判断即可．
解：A中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C中图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意，
故选：B．
【变式】（2024·湖南长沙·模拟预测）中国城市轨道交通持续稳步发展，线网规模和客流规模继续稳居全
球第一，下列城市轨道交通标志是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的定义．根据定义对图形一一比较，即可选出本题答案．
解：A．既不是中心对称图形也不是轴对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形但不是轴对称图形，符合题意；
C．既是中心对称图形也是轴对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图但是轴对称图形，不符合题意．
故选：B．
【题型2】由中心对称性质证明
【例2】（23-24八年级下·全国·假期作业）如图，线段AC，BD相交于点O， ， ．线段
AC上的两点E，F关于点O中心对称．求证： ．证明：如图，连接AD，BC．
∵ ， ，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴ ．
∵点E，F关于点O中心对称，
∴ ．
在△BOF和△DOE中，
∴ ，
∴ ．
【变式】如图， 与 关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．
求证：FD=BE．
【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据SAS推出△DOF≌△BOE即可．
证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴OB=OD，OA=OC．
∵AF=CE，∴OF=OE．∵在△DOF和△BOE中，
，
∴△DOF≌△BOE（SAS）．
∴FD=BE．
【题型3】由中心对称性质求值
【例3】（2021·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于原点中心对称，且它们的顶点
相距 个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】根据题意，先求出抛物线的对称轴，再根据两条抛物线的顶点相距 个单位长度，则顶点到原点
的距离为5，即可得到顶点的纵坐标的绝对值，然后即可求得 的值．
解 ，
该抛物线的对称轴是直线 ，
有两条抛物线关于原点成中心对称，且它们的顶点相距 个单位长度，
顶点到原点的距离是 ，
顶点的纵坐标的绝对值是： ，
，
解得 ， ，故选：C．
【点拨】本题主要考查了成中心对称的两个图形的性质、二次函数的性质，关键是求得顶点的纵坐标的绝
对值．
【变式】（2020·陕西·三模）如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点E在AB边上，连接CE．若点B与点
O关于CE对称，则CB：AB为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接DB，AC，OE，利用对称得出OE＝EB，进而利用全等三角形的判定和性质得出OC＝BC，进
而解答即可．
解：连接DB，AC，OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝DB，∠ABC＝90°，OC＝OA＝OB＝OD，
∵点B与点O关于CE对称，
∴OE＝EB，∠OEC＝∠BEC，
在 COE与 CBE中，
△ △
，
∴△COE≌△CBE（SAS），
∴OC＝CB，
∴AC＝2BC，
∵∠ABC＝90°，
∴AB＝ CB，
即CB：AB＝ ，
故选：C．【点拨】此题考查中心对称，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，和勾股定理，利用对称得出OE=EB
是解题的关键．
【题型4】坐标系中的中心对称
【例4】（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线 先绕原点旋转
180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右
减”的法则进行解答即可．
解：∵ ，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线 先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为 ，
再向下平移5个单位， 即 ．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
【变式】（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，原点O为 对角线BD的中点，
轴，点B的坐标为 ， ，点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标特征，平行四边形的性质，正确理解题意得到点B和
点D，点A和点C关于原点对称是解题的关键．
解：∵原点O为 对角线BD的中点，
∴点B和点D，点A和点C关于原点对称，
∵点B的坐标为 ，
∴点D的坐标是： ，
又∵ 轴，
∴点A的坐标是： ，
∴点C的坐标为 ，
故选：B．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，小好同学用计算机软件绘制函数 的图象，
发现它关于点(1,0)中心对称．若点 ， ， ，……， ，
都在函数图象上，这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则 的值是（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出 ，进而转化为求 ，根据题意可得 ， ，即可求解．
解：∵这 个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，而 即 ，
∵ ，
当 时， ，即 ，
∵ 关于点(1,0)中心对称的点为(2,1)，
即当 时， ，
∴ ，
故选：D．
【例2】（2024·陕西·中考真题）一个正比例函数的图象经过点 和点 ，若点A与点B关于
原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相
反数，求出 的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可．
解：∵点A与点B关于原点对称，
∴ ，
∴ ， ，
设正比例函数的解析式为：y=kx(k≠0)，把 代入，得： ，
∴ ；故选A．
2、拓展延伸
【例1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知抛物线． 与 轴交于 与 点，
与 轴交于点 ，抛物线 与 关于原点中心对称，且 的对应点为 的对应点为 的对应
点为 ．
(1)求抛物线 的解析式并直接写出 的解析式．
(2)在 轴上方的抛物线 上有一点 ，点 在抛物线 上的对应点为 ，若四边形 的面积为
20，请求出M的点坐标．
【答案】(1)抛物线L的函数表达式是 ，抛物线 的函数表达式是：
(2) 或 ．
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的解析式，二次函数关于原点对称的特征，四边形的
面积转化为三角形的面积问题，其中（2）要注意分类求解，避免遗漏．
（1）先用待定系数法求抛物线 的解析式，再由抛物线 与 关于原点中心对称，两函数图象的顶点关
于原点对称，开口方向相反即可求出 的解析式；
（2）根据 与 关于原点对称可以得到 ，然后得出 ，再把
代入 中，求出x即可．
解：（1）将点 和点 代入 中，得
解得 ，
∴抛物线L的函数表达式是 ，
∵抛物线 与 关于原点中心对称，
∴抛物线 的函数表达式是：
（2）∴点A 的坐标是 ，抛物线 与 关于原点中心对称，
,
∵如图，点 与 关于原点对称，设点 坐标为 ，而且 .
，
∴解得
当 时， ，解得 ，， ；
综上所述，点P的坐标是 ， ．
【例2】（2022·四川资阳·中考真题）已知二次函数图象的顶点坐标为 ，且与x轴交于点 ．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图，将二次函数图象绕x轴的正半轴上一点 旋转 ，此时点A、B的对应点分别为点C、D．
①连结 ，当四边形 为矩形时，求m的值；
②在①的条件下，若点M是直线 上一点，原二次函数图象上是否存在一点Q，使得以点B、C、M、
Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) （或 ）(2)① ，②存在符合条件的点Q，其坐标为 或
或
【分析】（1）根据二次函数的图象的顶点坐标，设二次函数的表达式为 ，再把 代
入即可得出答案；
（2）①过点 作 轴于点E，根据 ，又因为 ，证明出
，从而得出 ，将 ， ， 代入即可求出m的值；
②根据上问可以得到 ，点M的横坐标为4， ，要让以点B、C、M、Q为顶点的平行四边
形，所以分为三种情况讨论：1）当以 为边时，存在平行四边形为 ；2）当以 为边时，存在平行四边形为 ；3）当以 为对角线时，存在平行四边形为 ；即可得出答案．
解（1）∵二次函数的图象的顶点坐标为 ，
∴设二次函数的表达式为 ，
又∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ （或 ）；
（2）①∵点P在x轴正半轴上，
∴ ，
∴ ，
由旋转可得： ，
∴ ，
过点 作 轴于点E，
∴ ， ，
在 中， ，
当四边形 为矩形时， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ；②由题可得点 与点C关于点 成中心对称，
∴ ，
∵点M在直线 上，
∴点M的横坐标为4，
存在以点B、C、M、Q为顶点的平行四边形，
（1）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点C向左平移8个单位，与点B的横坐标相同，
∴将点M向左平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，
（2）、当以 为边时，平行四边形为 ，
点B向右平移8个单位，与点C的横坐标相同，
∴将M向右平移8个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
解得： ，
∴ ，3）、当以 为对角线时，
点M向左平移5个单位，与点B的横坐标相同，
∴点C向左平移5个单位后，与点Q的横坐标相同，
∴ 代入 ，
得： ，
∴ ，
综上所述，存在符合条件的点Q，其坐标为 或 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，中心对称，平行四边形的存在性
问题，矩形的性质，熟练掌握以上性质并作出辅助线是本题的关键．
