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专题24.16 点和圆的位置关系（分层练习）
一、单选题
1．（2023秋·浙江温州·九年级校联考期中）已知 的半径为5，点P到圆心O的距离为 ，则点P
在（ ）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
2．（2023秋·全国·九年级专题练习）在同一平面内，点P到圆上的最大距离为5，最小距离为1，则
此圆的半径为（ ）
A．3 B．4或6 C．2或3 D．6
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，
A，B，C均在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立平面直角直角坐标系，则过A，
B，C三点的圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）下列命题正确的是（ ）
A．任意三点可以确定一个圆 B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 D．相等的圆心角所对的弧相等
5．（2023秋·浙江金华·九年级校考开学考试）用反证法证明，“在 中， 、 对边是 、
．若 ，则 ．”第一步应假设（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·江苏·九年级校考周测）如图， 的半径为2，圆心 的坐标为 ，点 是 上
的任意一点， ，且 、 与 轴分别交于 、 两点，若点 、点 关于原点 对称，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023·浙江杭州·校考二模）如图，O为等腰三角形 的外心， ，连接 ，记
， ，则 满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 是 的直径，点C在 上， ，垂足为D，
，点E是 上的动点（不与C重合），点F为 的中点，若在E运动过程中 的最大值为4，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023秋·浙江·八年级专题练习）能说明命题“若x为无理数，则 也是无理数”是假命题的反例
可以是（ ）
A． B． C． D．10．（2023春·九年级课前预习）矩形 中， ， ，点 在边 上，且 ，
如果圆 是以点 为圆心， 为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）
A．点 ， 均在圆 外 B．点 在圆 外，点 在圆 内
C．点 在圆 内，点 在圆 外 D．点 ， 均在圆 内
二、填空题
11．（2023秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）已知 的半径为 ，点 在 外，则点 到圆心
的距离 的取值范围是 ．
12．（2023秋·江苏徐州·九年级校考阶段练习）在 中， ， ， ，则这个
三角形的外接圆的半径是 ．
13．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）设I为△ABC的外心，若∠BIC=100°，则∠A的度数为
．
14．（2021秋·北京·九年级校考期中）有一种化学实验中用的圆形过滤纸片，如果需要找它的圆心，
请你简要说明你找圆心的方法是
15．（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块
碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块．
16．（2023·上海静安·统考二模）在平面直角坐标系 中，我们定义点 的“关联点”为．如果已知点 在直线 上，点 在 的内部， 的半径长为 （如图所示），
那么点 的横坐标 的取值范围是 ．
17．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系 中，点 为 ，点 为 ，点
为 ．用一个圆面去覆盖 ，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ．
18．（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点D是等边 内部一动点， ，连接 ，
若 ，则 的长度最小值是 ．
19．（2022秋·吉林长春·八年级长春市解放大路学校校考期末）用反证法证明“若 ，则 ”
是真命题时，第一步应该先假设 ．
20．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图， 是 的外接圆， ， ，则的直径等于 ．
三、解答题
21．（2023秋·九年级课时练习）如图，在 正方形网格中，一条圆弧经过 ， ， 三点，那么
所对的圆心角的大小是多少？
22．（2023秋·八年级课时练习）用反证法证明：
（1）已知： ，求证：a必为负数．
（2）求证：形如 的整数k（n为整数）不能化为两个整数的平方和．
23．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）已知 ， ， 是 的三边长，且
．（1）求 ， ， 的值；
（2）求 外接圆的半径．
24．（2022·河北石家庄·校联考三模）如图，在 中， ，点D从点B出发沿 向
点C运动，点E从点C出发沿 向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动
停止．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数；
（3）若 的外心在其内部时，直接写出 的取值范围．参考答案
1．C
【分析】根据 的半径r和点P到圆心的距离 的大小关系判断即可．
解：根据题意可得： 的半径为 ，点P到圆心O的距离为 ，
∵ ，
∴ ，
∴点P在 内，
故选：C．
【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，设 的半径为r，点P到圆心的距离 ，则有：①点
P在圆外 ；②点P在圆上 ；③点P在圆内 ．
2．C
【分析】点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：①当点在圆内时，直径=最小距离+最大距离；
②当点在圆外时，直径=最大距离-最小距离．
解：分为两种情况：
①当点 在圆内时，如图1，
点到圆上的最小距离 ，最大距离 ，
直径 ,
半径
②当点 在圆外时，如图2，
点到圆上的最小距离 ，最大距离 ，直径 ,
半径
故选：C
【点拨】本题主要考查了点与圆的位置关系，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．
3．C
【分析】连接 ，作 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 的坐标即可．
解：连接 ，作 的垂直平分线，如图所示：
在 的垂直平分线上找到一点 ，则满足：
，
点 是过 、 、 三点的圆的圆心，
即 的坐标为 ，
故选：C．
【点拨】此题考查了三角形外接圆的外心、垂径定理、坐标与图形的性质．勾股定理等知识；关键是
根据垂径定理得出外接圆的圆心位置．
4．B
【分析】根据确定圆的条件、圆心角、弧、弦的关系定理、垂径定理、三角形的外心进行判断即可得
到正确结论．
解：A、不共线的三点确定一个圆，故错误，不合题意；
B、三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，故正确，符合题意；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故错误，不合题意；
D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故错误，不合题意；
故选：B．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，垂径定理的推论，半圆与弧的定义，三角形的外心，
熟练掌握定义与性质是解题的关键．
5．C【分析】根据反证法的步骤，直接选择即可．
解：根据反证法的步骤，得
第一步应假设 不成立，即 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了反证法，熟知反证法的步骤是关键．
6．D
【分析】由 中 知要使 取得最小值，则 需取得最小值，连接 ，交 于点
，当点 位于 位置时， 取得最小值，据此求解可得．
解：连接 ，
，
，
，
，
若要使 取得最小值，则 需取得最小值，
连接 ，交 于点 ，当点 位于 位置时， 取得最小值，
过点 作 轴于点 ，
则 、 ，
，
又 ，
，
，
故选：D．
【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半得出 取得最小值时点 的位置．
7．D
【分析】根据等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理即可得到结论．
解：∵ ， ，∴ ，
∴ ，
连接 ，
∵O为等腰三角形 的外心，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的
关键．
8．A
【分析】先判断出点 ， ， ， 四点共圆，判断出 的最大值为 ，再求出 ，然后根据
勾股定理即可求出答案．
解：如图，
连接 ， ，
点 是 的中点，
，
，，
，
，
点 ， ， ， 在以 为直径的圆上，
，
∵ ，
在 中， ， ，
根据勾股定理得 ，
故选A．
【点拨】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点 ， ， ， 四点
共圆是解本题的关键．
9．C
【分析】根据反例满足条件，但不能得到结论的命题为假命题即可解答．
解：A、当 时， ， 是无理数，则命题“若x为无理数，则 也
是无理数”是真命题；
B、当 时， ， 是无理数，则命题“若x为无理数，则 也是无
理数”是真命题；
C、当 时， ，18不是无理数，则命题“若x为无理数，则 也是无理数”是假
命题；
B、当 时， ， 是无理数，则命题“若x为无理数，则 也是
无理数”是真命题．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了反证法、二次根式的运算等知识点，掌握反证法是解题的关键．
10．C
【分析】由 ， 得到 ， ，再根据勾股定理，在 中计算出 ，
在 中计算出 ，则 ，然后根据点与圆的位置关系进行判断．
解：如图，四边形 为矩形，
，
， ，
， ，
在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
，
，
点 在圆 内，点 在圆 外．
故选： ．
【点拨】本题考查了点与圆的位置：设 的半径为 ，点 到圆心的距离 ，则有：点 在圆
外 ；点 在圆上 ；点 在圆内 ．
11．
【分析】若半径为 ，点到圆心的距离为 ，根据当 时，点在圆外即可求解．
解：∵ 的半径为 ，点 在 外，
∴点 到圆心 的距离 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题考查点与圆的位置关系的判断．解题的关键要记住若半径为 ，点到圆心的距离为 ，
则有：当 时，点在圆外；当 时，点在圆上，当 时，点在圆内．掌握点与圆的位置关系的判
断方法是解题的关键．
12．5
【分析】先根据勾股定理求得斜边长为10，再根据直角三角形外接圆半径等于斜边的一半求出即可．解：在 中， ， ， ，
，
其外接圆的直径为10，半径为5．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理等知识，解题关键是熟记直角三角形的斜边就
是外接圆直径．
13．50°或130°
【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心， 是圆心角，可得出∠A的度数．
解：当三角形是锐角三角形
∵I是 的外心，
∴圆心角 与圆周角∠A所对弧是同弧，
∴ ．
．
当三角形是钝角三角形，
同理可得： ．
故答案为：50°或130°．
【点拨】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．
14．在圆形纸片的边缘上任取三点 则线段 的垂直平分线的交点 是圆形纸片的圆心.
【分析】如图，在圆形纸片的边缘上任取三点 连接 再作 的垂直平分线得到
两条垂直平分线的交点即可.
解：如图，在圆形纸片的边缘上任取三点
连接 则 的垂直平分线的交点 是圆形纸片的圆心.故答案为：在圆形纸片的边缘上任取三点 则线段 的垂直平分线的交点 是圆形纸片的
圆心.
【点拨】本题考查的是确定圆的圆心，掌握“作三角形的外接圆的圆心”是解本题的关键.
15．①
【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．
所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①．
故答案为：①．
【点拨】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．
16．
【分析】根据点 在直线 上，可求得点 的“关联点”为 ，根据点与圆的
位置关系可得 ，根据勾股定理即可得答案．
解：∵点A在直线 上，
∴ ，
∴ ， ，
∴点 的“关联点”为 ，
当 时， ，此时点 在 上，
整理得 ，
解得： ，
∵点 在 的内部， ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，点与圆的位置关系及解一元二次方程，点在圆内， ；点在圆上，
，点在圆外， ，正确得出点 坐标，熟练掌握点与圆点位置关系是解题关键．17．
【分析】由题意可得，该圆为 外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解．
解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为 外接圆，
作线段 的垂直平分线，如图，
可得外接圆的圆心 坐标为 ，
半径
故答案为：
【点拨】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心．
18．
【分析】根据等边三角形的性质和 ，求得 ， ，如图，
作 的外接圆 ，连接 、 、 、 ，根据圆周角定理可得 ，从而求
得 ，再根据等腰三角形的性质可得 ， ，再根据垂直平分线
的判定可得 垂直平分 ，从而可得 ，再由直角三角形的性质可得 ，
设 ，则 ，在 中，利用勾股定理求得 ，则 ， ，再
由三角形三边关系可得当点A、D、O在一条直线上时， 最小，即可求解．
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
如图，作 的外接圆 ，连接 、 、 、 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，解得： ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴当点A、D、O在一条直线上时， 最小，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外接圆、等腰三角形的性质、圆周
角定理、勾股定理、三角形三边关系、垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键 ．19．若|a|＜1，则a2≥1
【分析】直接利用反证法的步骤，即可得出答案．
解：用反证法证明“若|a|＜1，则a2＜1”是真命题时，第一步应先假设：若|a|＜1，则a2≥1．
故答案为：若|a|＜1，则a2≥1．
【点拨】此题主要考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注
意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一
一否定．
20．4
【分析】连接 并延长交 于D，连接 ，得到 ，根据圆周角定理得到
，根据含 角直角三角形的性质即可得到结论．
解：连接 并延长交 于D，连接 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：4．
【点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，含 角的直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造
直角三角形是解题的关键．
21．
【分析】连接 ，分别作 的垂直平分线，即可得到圆心 ．分别求出 ，
根据勾股定理的逆定理即可求解．
解：连接 ，分别作 的垂直平分线，即可得到圆心 ，由图可得： ， ，
∴ ，
故 ，
即 所对的圆心角为 ．
【点拨】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键．
22．（1）证明见分析；（2）证明见分析
【分析】（1）首先假设 ，则 ，与已知 矛盾，因此a必为负数．
（2）假设 的整数部分k能化成两个整数的平方和，设这两个整数为 ，则有 ，
因为 ，可得前后矛盾，因此假设结论不成立，进而得出答案．
解：（1）证明：假设 ，则 ，这与已知 相矛盾，
∴假设不成立，
∴a必为负数；
（2）证明：假设 的整数部分k能化成两个整数的平方和，不妨设这两个整数为 ，
则 ，
∵ ，
∴假设不成立，
∴ 的整数k不能化为两个整数的平方和．
【点拨】本题考查了反证法，注意逆命题的与原命题的关系是解题关键．23．（1） ， ， ；（2） 外接圆的半径是 ．
【分析】（1）根据完全平方公式因式分解，进而根据非负数之和为0，即可求解；
（2）先证明 是直角三角形，再根据直角三角形外接圆的圆心即为斜边中点的特点即可求解．
（1）解：∵
∴
即
∴ ， ， ；
（2）解：∵ ， ， ；
∴
∴ 是直角三角形，且 为斜边，
如图所示，取 斜边 上的中点， ，则 即为 外接圆的半径
∴
【点拨】本题考查了因式分解的应用，勾股定理的逆定理，直角三角形的外接圆，熟练掌握以上知识
是解题的关键．
24．（1）见分析；（2） ；（3）
【分析】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出 ，即可用 证明
；
（2）根据 ，得出 ，即可求解；
（3）分别求出当 时，和当 时， 的度数，即可解答．
解：（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：当 时， ，
当 时， ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形
的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；
三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
