文档内容
第 10 练 导数与函数的单调性
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
对于A，函数 的定义域是R，且 ， 是R上的增函数，满足题
意；
对于B，函数 是R上的减函数， 不满足题意；
对于C，函数 的定义域是 ， 不满足题意；
对于D，函数 在定义域R上不是单调函数， 不满足题意．
故选：A．
2．函数 ，则（ ）
A． 为偶函数，且在 上单调递增
B． 为偶函数，且在 上单调递减
C． 为奇函数，且在 上单调递增
D． 为奇函数，且在 上单调递减
【答案】A
【详解】
函数 定义域为R，
且 ，所以 为偶函数，故排除选项C，D；
又当 时， ，则 在 上单调递增，
故选项A正确，选项B错误，
故选：A．
3．函数 的单调递增区间（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为函数 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：C.
4．函数 的导函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
由 图象知，当 或 时， ，函数为增函数，当 或 时，
，函数为减函数，对应图象为A.
故选：A．5．若函数 在 上单调递增，则实数a的取值范围( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
由题可知， 恒成立，
故 ，即 ．
故选：A﹒
6．设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若对任意
恒成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为对任意 ， ， 恒成立，
所以 在 上单调递增，且 在 上单调递减，即 的图象增长得越来越慢，从
图象上来看函数是上凸递增的，所以 ，
又 ，表示点 与点 的连线的斜率，
由图可知即 ，
故选：A
7．若对任意的 ，且 ，都有 成立，则实数m的最小
值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【详解】
由 ，且 ，可得 ，
则 等价于 ，
即 ，所以 ，故 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 在 上为单调递减函数，
又由 ，解得 ，所以 ，
所以实数 的最小值为 .
故选：D.
8．已知关于x的方程 有三个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：令 ，
因为函数 在 上递增，
所以函数 在 上递增，
又 ，
所以存在 ，使得 ，
所以在 上函数 有唯一的零点，即方程 有唯一的解，
又因为关于x的方程 有三个不同的实数根，
所以当 时，原方程要有两个不同的实数根，
当 时，
由 得 ，
则 ，
则 与 的图像有两个交点，
设 ，
，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
结合图像可知， ，则 ．故选：C．
二、多选题
9．已知函数 （e为自然对数的底数， ），则关于函数 ，下列
结论正确的是（ ）
A．有2个零点 B．有2个极值点 C．在 单调递增 D．最小值为1
【答案】BC
【详解】
定义域为R， ，
令 得： 或1，
当 时， ，当 时， ，
如下表：
0 1
- 0 + 0 -
递减 极小值1 递增 递减
极大值
从而判断出函数有两个极值点，在 上单调递增，
BC正确，
由于 恒成立，所以函数 无零点，A错误，
当 时， ，故函数无最小值，D错误；.
故选：BC10．函数 的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．3是 的极小值点
B． 是 的极小值点
C． 在区间 上单调递减
D．曲线 在 处的切线斜率小于零
【答案】AD
【详解】
A：由导函数的图象可知：当 时， 单调递减，当 时，
单调递增，所以3是 的极小值点，因此本选项说法正确；
B：由导函数的图象可知：当 时， 单调递减，当 时，
单调递减，所以 不是 的极小值点，因此本选项说法不正确；
C：由导函数的图象可知：当 时， 单调递减，当 时，
单调递增，所以本选项说法不正确；
D：：由导函数的图象可知： ，所以本选项说法正确，
故选：AD
11．已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B． 的单调递减区间为
C． 的极大值为 D．方程 有两个不同的解
【答案】BC
【详解】
对于A，由 （ ），得 ， ，则 ，所以 在
处的切线方程为 ，所以A错误，
对于B，由 ，得 ， ，所以 的单调递减区间为 ，所以B正确，
对于C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以当
时， 取得极大值 ，所以C正确，
对于D，由C选项可知 的最大值为 ，且当 时， ，当 时，
， 所以函数 与 的交点个数为1，所以 有1个解，
所以D错误，
故选：BC
12．已知函数 ，则（ ）
A． 的极大值为 B． 的极大值为
C．曲线 在 处的切线方程为 D．曲线 在
处的切线方程为
【答案】BD
【详解】
解：因为 ，所以 ，所以当
或 时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 的极大值为
，故A错误，B正确；因为 .所以曲线 在
处的切线方程为 ，即 ，故C错误，D正确；
故选：BD
三、解答题
13．已知函数 ，若 ，求 的单调区间.
【详解】
由 ，
，令 ，得 ， ，
当 时， ，
当 时， ，
所以 单调递增区间为 ；单调递减区间为 .14．已知 .
（1）当 时，讨论 的单调区间；
（2）若 在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
【详解】
（1）当 时，
则 ，
令 ，得
令 ，得
所以 的单调递增区间为
单调递减区间为
（2）由题可知： 在定义域R内单调递增
等价于
由 在 上单调递增，又
则
15．已知函数 ，其中k∈R.当 时，求函数 的单调区间；
【详解】
由题设， ，
当 时， ，令 得 ，令 得 ，故 的单调递增区
间为 ，单调递减区间为 .
当 时，令 得 或 ，
当 ，即 时，当 时 或 ；当 时 ，故
的单调递增区间为 、 ，减区间为 .
当 ，即 时，在R上 恒成立，故 的单调递增区间为 ；
16．已知函数 .讨论 的单调性；
【详解】
函数 的定义域为 ，且 .
①当 时， ，函数 在 上单调递减；②当 时，令 ，可得 ；令 ，可得 ，
此时，函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
