文档内容
专题 24.5 解题技巧专题：圆中辅助线的作法之三大类型
【考点导航】
目录
【典型例题】..................................................................................................................................................1
【类型一 遇弦作弦心距或半径】....................................................................................................................1
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】..................................................................................................10
【类型三 遇切线连接圆心和切点】..............................................................................................................19
【典型例题】
【类型一 遇弦作弦心距或半径】
例题：（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图， 的半径为6cm， 是弦，
于点C，将劣弧 沿弦 折叠，交 于点D，若D是 的中点，则 的长为 ．
【答案】 / 厘米
【分析】连接 ，延长 交弧 于 ，可证 ，从而可求 ，由
，即可求解．
【详解】解：如图，连接 ，延长 交弧 于 ，由折叠得： ，
是 的中点，
，
，
，
，
，
在 中
，
．
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理，勾股定理，掌握相关的性质，构建出由弦、弦心距、半
径组成的直角三角形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023春·北京海淀·九年级北京交通大学附属中学校考开学考试）如图，将半径为 的圆形纸片折叠
后，劣弧中点 恰好与圆心 距离 ，则折痕 的长为 ．
【答案】【分析】取 的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线 ，交 于点
E，连接 ，可知 ， ，根据垂径定理可知 ，在 中，根据勾股定理求
出 ，进而得出答案．
【详解】取 的中点D，根据圆的对称性和折叠的性质可知点O，C，D共线，作直线 ，交 于点
E，连接 ，根据题意可知 ， ，
∵点D是 的中点，
∴ ．
在 中，根据勾股定理，得 ．
∵ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，垂径定理和逆定理等，构造直角三角形是解题的关键．
2．（2023春·北京海淀·九年级校考开学考试）数学活动课上，同学们想测出一个残损轮子的半径，小聪的
解决方案如下：在轮子圆弧上任取两点A，B，连接 ，再作出 的垂直平分线，交 于点C，交弧
于点D，测出 ， 的长度，即可计算得出轮子的半径．现测出 ， ，则轮子的
半径为 ．【答案】
【分析】由垂径定理，可得出 的长；连接 ，在 中，可用半径 表示出 的长，进而可
根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：设圆心为 ，连接 ．
中， ，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得： ；
故轮子的半径为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决
问题．
3．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在 中，已知 是直径， 为 上一点 不与 、 两点重
合），弦 过 点， ．
（1）若 ， ，则 的长为 ；
（2）当P点在 上运动时（保持 不变），则 ．
【答案】
【分析】（1）作 于 ，得到 ，由 ， ，得到圆的半径长，由 是等腰直角三角形，得到 的长，由勾股定理求出 的长，即可得到 的长．
（2）由 ， ，得到
，因此 ，得到
，即可解决问题．
【详解】解：（1）作 于 ，
，
， ，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
．
故答案为： ．
（2）由（1）知 ， ，
， ，
，
，
，
，．
故答案为： ．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，
勾股定理来解决问题．
4．（2023秋·九年级课时练习）某公路上有一隧道，顶部是圆弧形拱顶，圆心为 ，隧道的水平宽 为
， 离地面的高度 ，拱顶最高处 离地面的高度 为 ，在拱顶的 ， 处安装照明
灯，且 ， 离地面的高度相等都等于 ，求 的长．
【答案】
【分析】根据题意和垂径定理得到 ，根据勾股定理求得半径，进而利用勾
股定理求得 ，即可求得 ．
【详解】设 于 交于G，与 交于H，
∵ ，
∴ ，
设圆拱的半径为r，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了垂径定理的应用，作出辅助线构建直角三角形，利用勾股定理求解是解题的关键．
5．（2023秋·九年级课时练习）如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度 为 ，拱高 为 ，当洪水
泛滥到跨度只有 时，就要采取紧急措施．
(1)求拱桥所在圆的半径；
(2)若某次洪水中，拱顶离水面只有 ，即 ，通过计算说明是否需要采取紧急措施．
【答案】(1)
(2)不需要
【分析】（1）由垂径定理可得 ，设拱桥所在圆的半径为 ，则 ，在
中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案；
（2）首先求得 ， ，在 中，由勾股定理可得
，易知 ，即可获得结论．
【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为 ，连接 ，如下图，
由题意易知，点 共线，且 ，则 ，
设拱桥所在圆的半径为 ，则 ，在 中， ，
由勾股定理，可得 ，即 ，
解得 ，
所以，拱桥所在圆的半径为 ；
（2）连接 ，如图，
由（1）知 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理，得 ，
∴ ，
∴不需要采取紧急措施．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱
桥所在圆的半径．
6．（2023·全国·九年级专题练习）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于
运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省
赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝
肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中 ），已知跨度 ，拱高 ，则这条桥主桥拱的
半径是______ ；
(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽 ，拱顶P（抛物线顶点）距离水面 ，求
桥拱抛物线的解析式；(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了 ，求此时两桥的水面宽度．
【答案】(1)25
(2)
(3)此时桥 的水面宽度为 ，桥 的水面宽度为
【分析】（1）设 所在圆的圆心为点 ，连接 ，则 ， ，再设这条桥
主桥拱的半径是 ，则 ， ，然后在 中，利用勾股定理求解即可得；
（2）以水面所在直线为 轴， 的中点为原点 ，建立平面直角坐标系，则 ，再利用待
定系数法求解即可得；
（3）根据（1）可得 ，利用勾股定理可求出 的长，再利用垂径
定理即可得此时桥 的水面宽度；根据（2）的结论求出 时， 的值，由此即可得此时桥 的水面宽
度．
【详解】（1）解：如图，设 所在圆的圆心为点 ，连接 ，
由垂径定理得：点 共线，
则 ， ，
设这条桥主桥拱的半径是 ，则 ，
，
在 中， ，即 ，
解得 ，故答案为：25．
（2）解：如图，以水面所在直线为 轴， 的中点为原点 ，建立平面直角坐标系，
由题意得： ，
则设桥拱抛物线的解析式为 ，
将点 代入得： ，解得 ，
所以桥拱抛物线的解析式为 ．
（3）解：如图，桥 中，由（1）可知： ，
由题意得： ，
，
在 中， ，
由垂径定理得： ，
即此时桥 的水面宽度为 ；
如图，桥 中， ，当 时， ，
5 2
解得 或x ，
2
5 2 5 2
5 2m
所以此时桥 的水面宽度为 2 2 ，
B
A 8 21m B 5 2m
答：此时桥 的水面宽度为 ，桥 的水面宽度为 ．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性
质是解题关键．
【类型二 遇直径构造直径所对的圆周角】
例题：（2023·江苏·九年级假期作业）如图， 为 的直径，D是弦 延长线上一点， ，
的延长线交⊙O于点E，连接CE．
(1)求证 ；
(2)若 的度数为 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，首先证明 ，即可求解；（2）根据 的度数为 ，可得到 ，根据 ，且 ，即可求解．
【详解】（1）如图：连接
是 的直径
，即
又
．
（2） 的度数为
又 ，且
．
【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角，弧、弦的关系，解题关键是灵活运用所学知识解决问题．
【变式训练】
1．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆O，交 于点
D．若 ，则 的度数是 度．
【答案】
【分析】如图所示，连接 ，利用圆周角定理得到 ，则由三线合一定理可得．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键．
2．（2023·山西运城·统考二模）如图， 内接于 ， 是 的直径，若 ，则 的
度数是 ．
【答案】 /28度
【分析】连接 ，由 是 的直径得到 ，由 ，即可得到答案．
【详解】解：连接 ，
∵ 是 的直径，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是 是解题的关
键．
3．（2023·江苏徐州·统考一模）如图， 是 的直径，C为 上一点，连接 ，过点O作
于点D，延长 交 于点E，连接 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解
(2)
【分析】（1）首先根据直径的性质得到 ，然后结合 即可证明出 ；
（2）连接 ，首先根据勾股定理求出 ，然后根据垂径定理得到
，利用三角形中位线的性质得到 ，最后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 的直径，
∴ ．
∴ ．
∵ ．
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，∴ ， ．
∴在 中， ．
∵ ， 是 的半径，
∴ ．
∴ 为 的中位线．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ；
【点睛】此题考查了垂径定理的运用，勾股定理，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识
点．
4．（2023秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以 的边 为直径作 交 于 且 ，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的长度．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由四边形 内接于 ，得出 ，根据已知 ，得出 ，
又 ，得出 ，等量代换得出 ，根据等角对等边，即可得证；
（2）根据 为直径，得出 ，根据已知以及（1）的结论，得出 ， ，
设 ，则 ，在 中，根据 相等，根据勾股定理列出方程，解方程即可
求解．
【详解】（1）证明：∵四边形 内接于 ，
∴ ，
又
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图所示，连接 ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ， ，
由（1） ， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由（1）可得 ， ，
则 ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性质与
判定，综合运用以上知识是解题的关键．
5．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）如图，以 的边 为直径的 分别交 ， 于点 ，
，且点 是 的中点，连接 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求线段 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角为直角，得出 ，再根据同弧或等弧所对的圆周角
相等，得出 是 的角平分线，然后再根据等腰三角形的判定定理，即可得出结论；（2）连接 ，根据勾股定理，得出 ，再根据三角形的面积公式，结合等腰三角形的性质，得出
，再根据三角形的面积公式，得出 ，解得 ，
再根据勾股定理，得出 ，然后根据线段之间的数量关系，即可得出答案．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的角平分线，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：如图，连接 ，
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， 是等腰三角形，
∴ 是 的中线， ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角、同弧或等弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定与性质、
勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理和等面积法．
【类型三 遇切线连接圆心和切点】
例题：（2023秋·河南·九年级校联考期末）如图， 为 的直径， ， 是 上不同于 ， 的两点，
过点 的切线垂直于 交 的延长线于点 ，连接 ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，则 的长为__________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，可证 ，从而可证 ，即可求证．
（2）过 作 交 于 ，可求 ， ， ，接可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ，
为 的切线，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：过 作 交 于 ，由（1）得： ，
，
，
，
是 的直径，
，
，
，
，
解得： ，
；
故答案： ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，切线的性质，角平分线的性质定理，勾股定理等，作出适当的辅
助线，掌握相关的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图， 是 的直径， 为 上一点，过点 的切线与 的延
长线交于点 ，若 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连结 ，根据切线的性质得到 ，根据 ，得到 ，根据 ，
得到 ，在 中，根据三角形内角和定理可求得 ．
【详解】解：如图，连结 ，
是 的切线，
，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，体现了方程思想，在
中，根据三角形内角和定理求 是解题的关键．
2．（2023·山东临沂·统考一模）如图，菱形 的顶点A， ， 在 上，过点 作 的切线交
的延长线于点 ，若 的半径为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据菱形的性质得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 ，
即可得到结论．
【详解】解：连接 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
是 的切线，
∴ ，
，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练切线的性质定理是解题的
关键．
3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A是 外一点， 分别与 相切于点B，C，点D
在 上．已知 ，则 的度数是 ．【答案】 /65度
【分析】连接 ，根据切线的性质得到 ，求得 ，根据圆周角定理即可得
到结论．
【详解】解：如图，连接 ，
∵ 分别与 相切于点B，C，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解题的关键是求出 的度数．
4．（2023秋·九年级课时练习）如图， 是 的直径， 是 的弦，过点 的切线交 的延长线
于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】连接 ，根据 为 的切线，得出 ，又因为 ，得出 ，再根
据 ，可得到 ，最后根据 ，即可求解．
【详解】解：连接 ，为 的切线
又
又 ，
，
而 ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握过切点的半径与切线垂直．
5．（2023·海南省直辖县级单位·校考三模）如图，在 中， 是直径，弦 垂直 于点 ，过点
作 的切线，与 的延长线相交于点 ．若 ，则 等于 ．
【答案】36
【分析】连接 ，根据直角三角形的性质求出 ，根据切线的性质得到 ，根据直角三角
形的性质计算，得到答案．
【详解】解：连接 ，弦 ，
．
，
，
由圆周角定理得， ，
是 的切线，
，
；
故答案为：36．
【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
6．（2023·辽宁沈阳·校考一模）如图， 为 的直径，半径 ， 的切线 交 的延长线于
点 ， 的弦 与 相交于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ，且 为 的中点，求 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】（1）连接 ，根据切线的性质得到 ，求得 ，根据等腰三角形的
性质得到 ，求得 ，得到 ，根据等腰三角形的判定定
理即可得到结论；
（2）设 的半径为 ，则 ，求得 ，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：连接 ，
，
的切线 交 的延长线于点 ，
，
，即 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：设 的半径为 ，
则 ，
， 为 的中点，
， ，
在 中， ，
，
解得： 或 （舍去），
的半径长为6．
【点睛】本题主要考查了切线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
7．（2023春·北京西城·九年级北师大实验中学校考开学考试）如图， 是 的直径，点C在 上，
过点C作 的切线l，过点B作 于点D．(1)求证： 平分 ；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，求得 ，得到 ，即可求得 平分 ．
（2）连接 ，求得 ，在 中，求得 ；在 中， ， ；
在 中，利用勾股定理可求得 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
∵直线 与 相切于点 ，
∴ 于点 ．
∴ ．
∵ 于点 ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ 平分 ．
（2）解：连接 ．
∵ 是 的直径，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中，
∵ ， ，
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
在 中，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题是圆与三角形综合题，考查了切线的性质、角平分线的判定和和勾股定理，作出恰当的辅助线是解决问题的关键
8．（2023·广东惠州·校考二模）如图1， 是 的直径，点C是 上一点（不与点A，B重合），连
接 ．
(1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作出 的中点．（点C，D在线段AB异侧）；（保留作图痕迹，不
写作法）
(2)如图2，在（1）的条件下，过点D作 的切线，分别交 的延长线于点E，F．
①求证： ；
②过C作 于M， 交 于点N，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据角平分线的画法求解即可；
（2）①连接 ，由圆周角定理证出 ，由切线的性质得出 ，则可得出结论；
②过点 作 于 ， 交 于 ，证出四边形 是矩形，得出 ，求出 的长，
则由 可得出答案．
【详解】（1）解：如图1，
；
（2）①证明：连接 ，平分 ，
，
，
，
又 是 的切线，
，
，
∴ ；
②过点 作 于 ， 交 于 ，
， ，
，
又 ，
四边形 是矩形，
，
是 的直径， ， ，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的性质、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积等知识，熟记掌
握切线的性质是解题的关键．
