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专题 4.4 二次函数与区间最值必考三大类型
【人教版】
【类型1 定轴定区间】..............................................................................................................................................1
【类型2 定轴动区间】..............................................................................................................................................4
【类型3 动轴定区间】............................................................................................................................................11
【类型1 定轴定区间】
1．（2023秋•内黄县校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当0≤x≤3时，y的最大值和最小值分别是
（ ）
A．0，﹣4 B．0，﹣3 C．﹣3，﹣4 D．1，﹣4
【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和x的取值范围，即可求得y的最大
值和最小值．
【解答】解：将y＝x2﹣2x﹣3配方，得y＝（x﹣1）2﹣4，
由二次项系数1＞0可知抛物线开口向上，对称轴为x＝1．
由二次函数图象的性质可得，当0≤x≤1时，y随x的增大而减小；当1≤x≤3时，y随x的增大而增
大．
故当x＝1时，存在最小值且最小值为﹣4，当x＝3时，存在最大值且最大值为0．
故选：A．
1
2．（2023秋•扶绥县校级月考）已知0≤x＜ ，那么函数y＝﹣2x2+8x﹣6的最大值是（ ）
2
A．﹣6 B．﹣2.5 C．2 D．无最大值
【分析】先求解抛物线的对称轴，再结合 a＝﹣2＜0，可得当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大，
从而可得答案．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+8x﹣6，
8
∴抛物线的对称轴是直线x=− =2，而a＝﹣2＜0，
2×(−2)
∴当x＜2时，函数y的值随x的增大而增大，1 1
∴当0≤x＜ ，当x= 时，函数值最大，
2 2
1
∴此时0≤x＜ ，函数y＝﹣2x2+8x﹣6没有最大值．
2
故选：D．
3．（2023秋•阜阳月考）已知函数y＝ax2+2ax+1在﹣3≤x≤2上有最大值9，则常数a的值是（ ）
8 8
A．1 B． C． 或﹣8 D．1或﹣8
3 3
【分析】根据y＝ax2+2ax+1可得出对称轴x＝﹣1，利用最值，分a＞0，a＜0两种情况讨论计算．
【解答】解：∵二次函数解析式y＝ax2+2ax+1，
∴二次函数对称轴为x＝﹣1．
①当a＜0时，二次函数开口向下，x＝﹣1时，函数有最大值9．
∴a﹣2a+1＝9，解得a＝﹣8．
②当a＞0时，二次函数开口向上，在﹣3≤x≤2上有最大值9，
∴当x＝2时，函数最大值为9，即4a+4a+1＝9，解得a＝1．
综上分析，a的值为﹣8或1．
故选：D．
4．（2024•港南区四模）已知二次函数y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x＜2时有最小值﹣2，则m＝（
）
1 1 1 1
A．﹣4或− B．4或− C．﹣4或 D．4或
2 2 2 2
【分析】先求出对称轴为x＝1，分m＞0，m＜0两种情况讨论解答即可求得m的值．
【解答】解：∵二次函数y＝mx2﹣2mx+2＝m（x﹣1）2﹣m+2，
∴对称轴为直线x＝1，
①m＞0，抛物线开口向上，
x＝1时，有最小值y＝﹣m+2＝﹣2，
解得：m＝4；
②m＜0，抛物线开口向下，
∵对称轴为直线x＝1，在﹣2≤x≤2时有最小值﹣2，
∴x＝﹣2时，有最小值y＝9m﹣m+2＝﹣2，
1
解得：m=− ；
2故选：B．
5．（2023秋•凉州区月考）当0≤x≤3，函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值之差是 ．
【分析】依据题意，由y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，从而再根据对称轴距离的远近，结合开口方
向，取值范围即可判断得解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝2，函数有最大值9，且点与对称轴的距离越大，函数值越小，
∵x＝2在0≤x≤3的范围中，
∴y的最大值为9．
∵|2﹣0|＝2＞|3﹣2|＝1，
∴x＝0时，函数取得最小值，且为y＝﹣（0﹣2）2+9＝5．
∴函数y＝﹣x2+4x+5的最大值与最小值之差是9﹣5＝4．
故答案为：4．
1
6．（2024•凉州区三模）y关于x的二次函数y＝ax2+a2，在−1≤x≤ 时有最大值6，则a＝ ．
2
【分析】分类讨论：a＜0，a＞0，根据函数的增减性，可得答案．
【解答】解：当a＜0，函数的最大值为y＝a2＝6，
解得：a =❑√6（不合题意舍去），a =−❑√6，
1 2
当a＞0，x＝﹣1时，y最大值 ＝a+a2＝6，
解得：a＝2或a＝﹣3（舍去）．
综上所述，a的值是2或−❑√6．
故答案为：2或−❑√6．
7．（2023秋•南宁月考）已知二次函数，当﹣1≤x≤2时，函数y＝mx2﹣2mx+2（m＜0）的最大值为y＝
4，则m的值是 ．
【分析】将二次函数的解析式配方成顶点式，求出当m＜0的情况即可．
【解答】解：y＝mx2﹣2mx+2＝m（x2﹣2x+1）+2﹣m＝m（x﹣1）2+2﹣m，
故该抛物线的对称轴为直线x＝1，
当m＜0时，抛物线开口向下，且﹣1≤x≤2时，函数的最大值为y＝4，
即x＝1时，y＝4，
代入y＝m（x﹣1）2+2﹣m，求得m＝﹣2，
∴m的值为﹣2，
故答案为：﹣2．8．（2023秋•武昌区期中）已知二次函数y＝ax2+4ax+3a在﹣3≤x≤1时有最大值3，则a的值为 ．
【分析】分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
【解答】解：y＝ax2+4ax+3a＝a（x+2）2﹣a，
∵二次函数在﹣3≤x≤1时有最大值3，
①当a＞0 时，开口向上，
∴当x＝1时，y有最大值8a，
∴8a＝3，
3
∴a= ；
8
②当a＜0 时，开口向下，
∴当x＝﹣2时，y有最大值﹣a，
∴﹣a＝3，
∴a＝﹣3，
3
综上，a= 或a＝﹣3．
8
3
故答案为： 或﹣3．
8
【类型2 定轴动区间】
1．（2024春•九龙坡区校级期末）当a﹣2≤x≤a时，二次函数y＝x2﹣4x+3的最小值为15，则a的值为（
）
A．﹣2或8 B．8 C．6 D．﹣2或6
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝15时x的值，结合当a﹣2≤x≤a时函数有最小值
15，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：当y＝15时，有x2﹣4x+3＝15，
解得：x ＝﹣2，x ＝6．
1 2
∵当a﹣2≤x≤a时，函数有最小值15，
∴a﹣2＝6或a＝﹣2，
∴a＝8或a＝﹣2，
故选：A．
2．（2023秋•龙马潭区期末）已知抛物线 y＝﹣x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函
数值y的最小值为﹣7，求此时t的值为（ ）
A．1或﹣2 B．2或﹣2 C．3或﹣1 D．﹣1或﹣2【分析】①当t≤﹣1时，抛物线在x＝t时，取得最小值，即可求解；②当﹣1＜t＜1时，再分﹣1＜t
＜0、0≤t＜1两种情况分别求解；③当t≥1时，同理可解．
【解答】解：对于y＝﹣x2+2x+1，
当x＝t时，y＝﹣t2+2t+1，
当x＝t+2时，y＝﹣（t+2）2+2（t+2）+1＝﹣t2﹣2t+1；
①当t≤﹣1时，
抛物线在x＝t时，取得最小值，
即y＝﹣t2+2t+＝﹣7，
解得：t＝4（舍去）或﹣2，
故t＝﹣2；
②当﹣1＜t＜1时，
当﹣1＜t＜0时，
抛物线在x＝t时，取得最小值，
即y＝﹣t2+2t+1＝﹣7，
解得：t＝﹣4（舍去）或2（舍去），
当0≤t＜1时，
抛物线在x＝t+2时，取得最小值，
即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7，
解得：t＝4或﹣2（舍去）；
③当t≥1时，
抛物线在x＝t+2时，取得最小值，
即y＝﹣t2﹣2t+1＝﹣7，
解得：t＝﹣4（舍去）或2，
即t＝2，
综上，t＝2或﹣2．
故选：B．
3．（2023•越城区三模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），在a≤x≤6范围内有
最大值为4，最小值为﹣5，则a的取值范围是（ ）
A．a≥6 B．3≤a≤6 C．0≤a≤3 D．a≤0
【分析】先将点（1，0），（2，3）代入y＝﹣x2+bx+c求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，
对称性和增减性，分析在a≤x≤6时的最大值和最小值即可．【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点（1，0），（2，3），
{−1+b+c=0
)
∴
−4+2b+c=3
{ b=6 )
解得： ，
c=−5
∴二次函数为y＝﹣x2+6x﹣5，
∵y＝﹣x2+6x+5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，函数有最大值4，
把y＝﹣5代入y＝﹣x2+6x﹣5得，﹣5＝﹣x2+6x﹣5，即﹣x2+6x＝0，
解得x ＝0，x ＝6，
1 2
在a≤x≤6范围内有最大值为4，最小值为﹣5，
∴0≤a≤3．
故选：C．
4．（2024•义乌市模拟）已知关于x的二次函数y＝ax2﹣6ax+9a+5（a＜0），在m≤x≤6的取值范围内，
若0＜m＜3，则（ ）
A．函数有最大值9a+5 B．函数有最大值5
C．函数没有最小值 D．函数没有最大值
【分析】抛物线的对称轴为直线x＝3则在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则x＝m和x＝6在对
称轴的两侧，则抛物线在顶点处取得最大值，即可求解．
−6a
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=− =3，
2a
则在m≤x≤6的取值范围内，若0＜m＜3，则x＝m和x＝6在对称轴的两侧，
则抛物线在顶点处取得最大值，
即x＝3时，y＝9a﹣6a×3+9a+5＝5，
故选：B．
5．（2024•滨江区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，
k），C（2，k）．当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，则p﹣q（ ）
1
A．有最大值 B．无最大值
24
1
C．有最小值 D．无最小值
24
1
【分析】由题意可知对称轴为 y 轴，则函数为 y＝ax2+c，利用待定系数法求得 y=− x2+c，由当
61 1
0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，即可得出p=− m2+c，q=− （m+1）2+c，进一步
6 6
1 1 2 1
求得p﹣q=− m2+ （m+1）2= m+ ，得到p﹣q无最大值．
6 6 3 6
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣4，k﹣2），B（﹣2，k），C（2，
k），
−2+2
∴对称轴为直线x= =0，
2
b
∴− =0，
2a
∴b＝0．
∴y＝ax2+c．
{16a+c=k−2)
把点A、B的坐标代入得 ，
4a+c=k
1
解得a=− ，
6
1
∴y=− x2+c，
6
∵当0≤m≤x≤m+1时，该函数有最大值p和最小值q，
1 1
∴p=− m2+c，q=− （m+1）2+c，
6 6
1 1 1 1
∴p﹣q=− m2+ （m+1）2= m+ ，
6 6 3 6
∵0≤m，
∴p﹣q无最大值．
故选：B．
6．（2023秋•奉化区期末）二次函数y＝﹣x2+6x﹣7当x取值为t﹣2≤x≤t时有最大值y＝﹣（t﹣3）2+2，
则t的取值范围为（ ）
A．t≤0 B．t≥3
C．t≤3 D．以上都不对
【分析】将标准式化为顶点式为y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t≤3时，函数有最大值y＝﹣（t﹣
3）2+2，当x≤3时，y随x的增大而增大，由此即可求出此题．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6x﹣7＝﹣（x﹣3）2+2，当t﹣2≤3≤t时，即3≤t≤5时，函数有最大值y＝2，
当t≤3时，函数有最大值y＝﹣（t﹣3）2+2，
当t﹣2≥3，即t≥5时，函数有最大值y＝﹣（t﹣2﹣3）2+2＝﹣（t﹣5）2+2，
故t的取值范围t≤3，
故选：C．
7．（2023•江北区一模）已知抛物线y＝（x﹣b）2+c经过A（1﹣n，y ），B（n，y ），C（n+3，y ）三
1 2 3
点，y ＝y ．当1﹣n≤x≤n时，二次函数的最大值与最小值的差为16，则n的值为（ ）
1 3
19
A．﹣5 B．3 C． D．4
6
【分析】根据y ＝y ，可得A，C两点关于对称轴对称，从而得到抛物线解析式为 y＝（x﹣2）2+c，再
1 3
1
由1﹣n≤x≤n，可得点B在点A的右侧，n≥ ，然后分两种情况讨论，即可求解．
2
【解答】解：∵y ＝y ，
1 3
∴A，C两点关于对称轴对称．
1−n+n+3
∴b= =2，
2
即抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+c．
∵1﹣n≤x≤n，
∴点B在点A的右侧，且有1﹣n≤n，
1
∴n≥ ．
2
情况1：如图1，当点A与点B均在对称轴的左侧时，此时n＜2；
当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）2+c；
当x＝n时，二次函数取到最小值为y＝（n﹣2）2+c，
19
∴（n+1）2+c﹣（n﹣2）2﹣c＝16，解得n= （舍去）．
6
情况2：如图2，当点A与点B在对称轴的两侧时，此时n≥2；A到对称轴的水平距离为2﹣（1﹣n）＝
1+n．B到对称轴的距离为n﹣2，当x＝1﹣n时，二次函数取到最大值为y＝（1﹣n﹣2）2+c＝（n+1）
2+c；
当x＝2时，二次函数取到最小值为y＝c，
∴（n+1）2+c﹣c＝16，解得n＝3或﹣5（舍）．
综上，n＝3．故选：B．
8．（2023秋•钢城区期末）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已
知二次函数y＝ax2﹣3x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，函数y＝
5 1 11
ax2﹣3x+c− （a≠0）的最小值为 ，最大值为 ，则m的取值范围是（ ）
4 2 4
3 3 3 3
A．0≤m≤ B． ≤m≤3 C．1≤m≤ D． ≤m≤4
2 2 2 2
【分析】由完美点的概念可得：ax2﹣3x+c＝x，即ax2﹣4x+c＝0，由只有一个完美点可得根的判别式 Δ
5 11
＝16﹣4ac＝0，得方程根为2，从而求得a＝1，c＝4，所以函数y＝ax2﹣3x+c− =x2﹣3x+ ，由此解
4 4
析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：令ax2﹣3x+c＝x，即ax2﹣4x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴Δ＝16﹣4ac＝0，则4ac＝16．
b −4
又方程根为x=− =− =2，
2a 2a
∴a＝1，c＝4．
5 11
∴函数y＝ax2﹣3x+c− =x2﹣3x+ ，
4 4
3 1
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（ ， ），
2 2
11
与y轴交点为（0， ），根据对称规律，
411
点（3， ）也是该二次函数图象上的点．
4
3 3
在x= 左侧，y随x的增大而减小；在x= 右侧，y随x的增大而增大；且当0≤x≤m时，函数y＝ax2
2 2
5 1 11 3
﹣3x+c− （a≠0）的最小值为 ，最大值为 ，则 ≤m≤3．
4 2 4 2
故选：B．
9．（2023秋•淮南月考）已知关于x的二次函数y＝x2+2x+2．
（1）当﹣1≤x≤t时，y有最大值4，则t的值为 ；
3
（2）当t≤x≤t+1时，y有最小值 ，则t的值为 ．
2
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质解答即可；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，分类讨论x＝t，x＝t+1时y取最小值．
【解答】解：（1）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1），
∵当﹣1≤x≤t时，y有最大值4，
∴x＝t（t＞﹣1）时，y＝（t+1）2+1有最大值4，
∴4＝（t+1）2+1
解得t=−1−❑√3（舍）或t=−1+❑√3，
故答案为：−1+❑√3；
（2）∵y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，1），
当t+1＜﹣1时，t＜﹣2，
3
当x＝t+1时，y＝（t+2）2+1最小值为 ，
2
3
=(t+2) 2+1
2
❑√2 ❑√2
解得t=−2+ （舍）或t=−2− ，
2 2
3
当t＞﹣2时，x＝t时，y＝（t+1）2+1最小值为 ，
2
3
=(t+1) 2+1
2❑√2 ❑√2
解得t=−1+ 或t=−1− （舍），
2 2
❑√2 ❑√2
故答案为：−2− 或−1+ ．
2 2
10．（2023秋•玄武区校级月考）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P
为相反点．已知二次函数y＝ax2+3x﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个相反点，且当﹣2≤x≤m时，二
7
次函数y＝ax2+3x﹣4（a≠0）的最小值为﹣14，最大值为− ，则m的取值范围是 ．
4
3 2 7
【分析】先根据“相反点”的定义，得出a的值，即y=x2+3x−4=−(x− ) − ，结合函数的开口
2 4
方向以及对称轴，即可作答．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+3x﹣4（a≠0）的图象上有且只有一个相反点，
∴﹣x＝ax2+3x﹣4，
整理的ax2+4x﹣4＝0，
故Δ＝b2﹣4ac＝16+16a＝0，
解得a＝﹣1，
3 2 7
∴二次函数y=x2+3x−4=−(x− ) − ，
2 4
3 7
则开口向下，当x= 时，y最大值为− ，
2 4
49 7
当x＝﹣2时，y=− − =−14，
4 4
根据二次函数的对称性，还有一个x 值能使y＝﹣14，
1
x +(−2) 3
1 = ，
2 2
解得x ＝5V，
1
7
∵﹣2≤x≤m时，二次函数y＝ax2+3x﹣4（a≠0）的最小值为﹣14，最大值为− ，
4
3
∴m的取值范围是 ≤m≤5．
2
3
故答案为： ≤m≤5．
2
【类型3 动轴定区间】
1．（2023•旌阳区二模）函数y＝x2﹣2ax﹣2在﹣1≤x≤2有最大值6，则实数a的值是 ．【分析】先求出而二次函数的对称轴，再分a≤﹣1，﹣1＜a＜2，a≥2三种情况讨论，根据函数最大值
时列方程求出a的值．
−2a
【解答】解：二次函数y＝x2﹣2ax﹣2的对称轴为x=− =a，
2
由题意，分以下三种情况：
（1）当a≤﹣1时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而增大，
则当x＝2时，y取得最大值，最大值为4﹣4a﹣2＝2﹣4a，
∴2﹣4a＝6，
解得：a＝﹣1，符合题设；
（2）当﹣1＜a＜2时，
在﹣1≤x≤2内，当﹣1≤x≤a时，y随x的增大而减小，
当a＜x≤2时，y随x的增大而增大，
则当x＝﹣1或x＝2时，y取得最大值，
因此有1+2a﹣2＝6或22﹣4a﹣2＝6，
7
解得：a= 或a＝﹣1 （均不符题设，舍去）；
2
（3）当a≥2时，
在﹣1≤x≤2内，y随x的增大而减小，
则当x＝﹣1时，y取得最大值，最大值为1+2a﹣2＝2a﹣1，
7
因此有2a﹣1＝6，解得a= ，符合题设；
2
7
综上，a＝﹣1或a= ．
2
7
故答案为：﹣1或 ．
2
1 1
2．（2024•阳新县一模）已知二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a，当− ≤x≤ ，y有最大值为﹣3，则a的值
3 3
为 ．
【分析】先计算二次函数的对称轴，再分三种情况进行讨论：
a 1 1 1 1
①当− ≤− 时，即a≥1，如图1，确定当− ≤x≤ ，y随x的增大而减小，得当x=− 时，y＝﹣
3 3 3 3 3
3，代入可得a的值；1 a 1
②当− ＜− ＜ 时，即﹣1＜a＜1，如图2，同理可得a的值；
3 3 3
a 1
③当− ≥ 时，即a≤﹣1，如图3，同理可得a的值．
3 3
−6a a
【解答】解：对称轴：x=− =− ，
2×(−9) 3
分三种情况：
a 1
①当− ≤− 时，即a≥1，如图1，
3 3
1 1
当− ≤x≤ ，y随x的增大而减小，
3 3
1
∴当x=− 时，y＝﹣3，
3
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1+2a﹣a2+2a，
解得：a ＝2+❑√6，a ＝2−❑√6（舍）；
1 2
1 a 1
②当− ＜− ＜ 时，即﹣1＜a＜1，如图2，
3 3 3
a
当x=− 时，y＝﹣3，
3
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣a2+2a2﹣a2+2a，
3
解得：a=− （舍），
2
a 1
③当− ≥ 时，即a≤﹣1，如图3，
3 3
1 1
当− ≤x≤ ，y随x的增大而增大，
3 3
1
∴当x= 时，y＝﹣3，
3
代入y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a中，得：﹣3＝﹣1﹣2a﹣a2+2a，
解得：a =−❑√2，a =❑√2（舍）；
1 2
故答案为：2+❑√6或−❑√2．3．（2024•榆阳区三模）已知二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3（m＞0）在自变量﹣1≤x≤3时，其对应的函数值
y的最大值为1，则m的值为（ ）
13
A．4 B． C．2 D．1
6
2m
【分析】依据题意，由二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，从而可得对称轴是直线x=− =m，且抛物线
2×(−1)
开口向下，再由二次函数的性质分﹣1＜0＜m＜3和m≥3两种情形进行讨论即可判断得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝﹣x2+2mx﹣3，2m
∴对称轴是直线x=− =m，且抛物线开口向下，当x＜m时，y随x的增大而增大，当x＞m
2×(−1)
时，y随x的增大而减小．
①当﹣1＜0＜m＜3时，此时x＝m时，y取最大值为﹣m2+2m2﹣3＝m2﹣3＝1，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去）．
②当m≥3时，当x＝3时，y取最大值为﹣9+6m﹣3＝1，
13
∴m= ＜3，不合题意．
6
综上，m＝2．
故选：C．
4．（2023•宁波模拟）当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（ ）
5 13
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
2 6
【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．
【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．
∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，
∴4﹣2a＝﹣1，
5
∴a= ，
2
不合题意，舍去．
当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．
∴3﹣a2＝﹣1．
∴a2＝4，
∵1≤a≤3，
∴a＝2．
当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．
∴12﹣6a＝﹣1．
13
∴a= ．
6∵a≥3．
∴不合题意，舍去．
综上：a＝2．
故选A．
5．（2023•鹿城区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，即可得到当 x＝﹣1时，y最小值 ＝﹣3+c，当x＝1时，y最大
值
＝c+1，从而求得结论．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为c+1，
∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝﹣3+c，
∴函数的最大值与最小值的差为c+1﹣（﹣3+c）＝4．
故选：D．
6．（2023秋•让胡路区期末）若二次函数 y＝﹣x2+mx在﹣1≤x≤2时的最大值为 3，那么 m的值是
（ ）
7 7
A．﹣4或 B．﹣2❑√3或 C．﹣4 或2❑√3 D．﹣2❑√3或2 ❑√3
2 2
【分析】表示出对称轴，分三种情况，找出关于m的方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵y＝﹣x2+mx，
m m
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x=− = ，
2×(−1) 2
m
①当 ≤−1，即m≤﹣2时，当x＝﹣1时，函数最大值为3，
2
∴﹣1﹣m＝3，
解得：m＝﹣4；
m
②当 ≥2，即m≥4时，当x＝2时，函数最大值为3，
2
∴﹣4+2m＝3，7
解得：m= （舍去）．
2
m m
③当﹣1＜ ＜2，即﹣2＜m＜4时，当x= 时，函数最大值为3，
2 2
m2 m2
∴− + =3，
4 2
解得m＝2❑√3或m＝﹣2❑√3（舍去），
综上所述，m＝﹣4或m＝2❑√3，
故选：C．
7．（2023•来安县一模）已知抛物线y＝x2+bx+c过（1，m），（﹣1，3m）两点，若﹣4≤m≤2，且当﹣
2≤x≤1时，y的最小值为﹣6，则m的值是（ ）
A．4 B．2 C．﹣2 D．﹣4
【分析】将点（1，m），（﹣1，3m）代入抛物线，得出b＝﹣m，c＝2m﹣1，再根据m的取值范围确
4c−b2
定出最小值在对称轴处取得，从而得出 =−6，化简得出b2＝4c+24，然后得出m的一元二次方
4
程求解即可．
【解答】解：将点（1，m），（﹣1，3m）代入抛物线，
{ 1+b+c=m )
得 ，
1−b+c=3m
解得：b＝﹣m，c＝2m﹣1，
b
则﹣2≤− ≤1，
2
b
对称轴为x=− ，
2
∵a＝1＞0，
b
∴最小值在x=− 处，
2
4c−b2
∴ =−6，
4
即b2＝4c+24，
将b＝﹣m，c＝2m﹣1代入，得，
m2﹣8m﹣20＝0，
解得：m＝﹣2或m＝10，∵﹣4≤m≤2，
∴m＝﹣2，
故选：C．
8．（2023春•鼓楼区校级月考）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝（x+m）2+m+1有最大值5，则m的值为（
）
1+❑√13 ❑√29−7 1−❑√13 ❑√29+7
A． 或 B． 或−
2 2 2 2
1−❑√13 ❑√29−7 1+❑√13 ❑√29+7
C． 或 D． 或−
2 2 2 2
【分析】分类讨论，①对称轴在x＝1左侧，②对称轴在x＝1右侧，求得m的值，即可解题．
【解答】解：∵二次函数y＝（x+m）2+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣m，
①当对称轴x＝﹣m≤1时，x＝3，二次函数有最大值，此时m≥﹣1，
代入x＝3得：m2+6m+9+m+1＝5，
化简得：m2+7m+5＝0，
❑√29−7 −❑√29−7
解得：m= ，或m= （舍去）；
2 2
②当对称轴x＝﹣m≥1时，x＝﹣1，二次函数有最大值，此时m≤﹣1，
代入x＝﹣1得：m2﹣2m+1+m+1＝5，
化简得：m2﹣m﹣3＝0，
1−❑√13 1+❑√13
解得：m= ，或m= （舍去）；
2 2
1−❑√13 ❑√29−7
综上所述，m的值为： 或 ．
2 2
故选：C．
9．（2023秋•龙泉市期中）若b≤x≤b+3时，二次函数y＝x2+bx+b2的最小值为15，则b的值为（ ）
−3+❑√17 −3−❑√17
A．−❑√5或 B．❑√5或
2 2
−3+❑√17
C．2❑√5或 D．−2❑√5或❑√5
2
【分析】分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+b2；b
∴图象开口向上，对称轴为直线x=− ，
2
b
①当b＜− ＜b+3时，即﹣2＜b＜0，
2
b b b 3
∴当x=− 时，y＝（− ）2+b•（− ）+b2= b2为最小值，
2 2 2 4
3
∴ b2＝15，
4
解得b＝±2❑√5（不合题意，舍去）；
b
②当− ≤b，即b≥0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
2
∴当x＝b时，y＝x2+bx+b2＝3b2为最小值，
∴3b2＝15，
解得，b =−❑√5＜0（舍去），b =❑√5；
1 2
b
③当− ＞b+3，即b＜﹣2，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
2
∴当x＝b+3时，y＝（b+3）2+b•（b+3）+b2＝3b2+9b+9为最小值，
−3+❑√17 −3−❑√17
∴3b2+9b+9＝15．解得，b = （舍去），b = ；
1 2
2 2
−3−❑√17
综上所述：b的值为❑√5或 ．
2
故选：B．
