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专题 4.8 轴对称最值问题必考两大类型（30 题）
【人教版】
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值】.........................................................................................1
【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值】...................................................................17
【类型1 根据“两点之间，线段最短”原理求最值】
【模型一】
如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
B
B A
A
P
P A'
作点A关于直线的对称点A’，连接PA’，则PA’=PA，所以PA+PB=PA’+PB
当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）
【模型二】
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．
A A
P'
M M
P P
B B
O N O N
P''
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折
线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．
【模型三】在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。
A A
P'
M P M P
Q Q
B B
O N O N
Q'
考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化
折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。
【必刷真题】
1．（2024春•汉中期末）如图，等边△ABC中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，BP＝AQ
＝4，QD＝3，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 1 0 ．
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小
值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，∠A＝60°
∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，
作点 Q 关于 BD 的对称点 Q′，连接 PQ′交 BD 于 E，连接 QE，此时 PE+EQ 的值最小．最小值
PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵BP＝AQ＝4，QD＝3，∴AD＝DC＝AQ+QD＝7，QD＝DQ′＝3
∴CQ′＝CD﹣DQ′＝4＝BP，
∴AP＝AQ′＝10，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝10，
∴PE+QE的最小值为10．
故答案为：10．
2．（2023秋•莘县期末）如图，已知∠AOB＝30°，P为∠AOB内一定点；M，N分别是射线OA，射线OB
上的点，若△PMN的周长最小值为6，则OP＝ 6 ．
【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点F、E在CD上时，△PEF的周长
最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点E、F，连接
OP、OC、OD、PE、PF．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD．
∴△PEF的周长的最小值＝PE+EF+PF＝CE+EF+DF≥CD＝6．∴OP＝6．
故答案为：6．
3．（2024秋•香坊区校级月考）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内的一个定点，OP＝12cm，C，D分别
是OA，OB上的动点，连接CP，DP，CD，则△CPD周长的最小值为 1 2 cm ．
【分析】分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，则有CP＝CE，DP
＝DF，要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值即可，然后问题可求解．
【解答】解：分别作点P关于OA，OB的对称点E，F，连接CE，DF，EF，OF，OE，如图所示：
由轴对称可知：CP＝CE，DP＝DF，OF＝OP＝OE＝12cm，∠FOD＝∠POD，∠EOC＝∠POC，
∵∠AOB＝30°，即∠AOB＝∠POD+∠POC＝30°，
∴∠FOD+∠COE＝30°，
∴∠EOF＝60°，
∴△EOF是等边三角形，
∴EF＝OE＝12cm，
∵C△CPD ＝DP+CP+CD＝CE+DF+CD，
∴要使△CPD周长的最小值，即使DP+CP+CD＝CE+DF+CD为最小值，所以当点E、F、D、C四点共
线时，取得最小值，为EF的值，
∴△CPD周长的最小值为12cm；
故答案为：12cm．
4．（2024秋•新吴区校级月考）如图，∠AOB＝20°，M，N分别为OA，OB上的点，OM＝ON＝3，P，Q
分别为OA，OB上的动点，则MQ+PQ+PN的最小值为 3 ．【分析】作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于点P′，交
OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N，根据轴对称的性质，得到MP+PQ+QN的最小值为M′N′，
推出△M′ON′为等边三角形，进一步得出结果．
【解答】解：如图，作点M关于OB的对称点M′，点N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于
点P′，交OB于点Q′，连接PN′、QM′，P′N，
则MQ＝M′Q，PN＝PN′，
∴MQ+PQ+PN＝M′Q+PQ+PN′≥M′N′，
∴MQ+PQ+PN的最小值为M′N′的长．
∵OM＝OM′，ON＝ON′，MM′⊥OB，NN′⊥OA，
∠M′OB＝∠AOB＝20°，∠N′OA＝∠AOB＝20°，
∴∠M'ON'＝60°，
∴△M′ON′为等边三角形，
∴M′N′＝OM′＝3，
即MP+PQ+QN 的值最小为3；
故答案为：3
5．（2024秋•望城区校级月考）如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E点是AC边的中点，
P是AD上的一个动点，连接PE、PC，当PC+PE的值最小时，则∠APE的度数为 60 ° ．【分析】作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，由轴对称的性质及两点
之间线段最短可得CF即为PC+PE的最小值，进而由等边三角形的性质可求解．
【解答】解：作点E关于AD的对称点F，然后连接CF，交AD于点H，连接HE，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，∠B＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵AD⊥BC，
∴AD平分∠BAC，BD＝DC，
∵点E是AC的中点，AD垂直平分EF，
∴点F是AB的中点，
∴CF⊥AB，CF平分∠ACB，
∴∠BCF＝30°，
∴当点P与点H重合时，根据轴对称的性质及两点之间线段最短可得此时 PC+PE为最小值，即为CF
的长，
∴∠DHC＝∠FHP＝60°，
∵AD垂直平分EF，
∴FH＝HE，
∴∠FHP＝∠PHE＝60°，
即∠APE＝60°，
故答案为：60°．
6．（2023秋•赤壁市期末）如图，在四边形ABCD中，∠C＝50°，∠B＝∠D＝90°，E，F分别为BC，DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为 80 ° ．
【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC
和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，进而得出∠AEF+∠AFE＝2
（∠AA′E+∠A″），即可得出答案．
【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则
A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，
∵∠C＝50°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠HAA′＝50°，
∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝50°，
∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，
∴∠EAA′+∠A″AF＝50°，
∴∠EAF＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
7．（2024春•太平区期末）如图，在锐角△ABC中，∠ACB＝50°；边上有一定点P，M、N分别是AC和
BC边上的动点，当△PMN的周长最小时，∠MPN的度数是 80 ° ．【分析】作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交AC
于M，交BC于N，连接PM，PN，根据对称的性质，易求得∠C+∠EPF＝180°，由∠ACB＝50°，易求
得∠D+∠G＝50°，继而求得答案．
【解答】解：作点P关于AC，BC的对称点D，G，连接PD，PG分别交AC，BC于E，F，连接DG交
AC于M，交BC于N，连接PM，PN．此时△PMN的周长最小．
∵PD⊥AC，PG⊥BC，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴∠C+∠EPF＝180°，
∵∠C＝50°，
∴∠EPF＝130°，
∵∠D+∠G+∠EPF＝180°，
∴∠D+∠G＝50°，
由对称可知：∠G＝∠GPN，∠D＝∠DPM，
∴∠GPN+∠DPM＝50°，
∴∠MPN＝130°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
8．（2023秋•滨城区期末）已知：如图，∠AOB＝30°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分
别是边OB，OA上的动点，记∠MPQ＝ ，∠PQN＝ ．当MP+PQ+QN最小时，则 ﹣ ＝ 60 ° ．
α β β α
【分析】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于
P，则MP+PQ+QN最小，易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论．
【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，
交OB于P，则MP+PQ+QN最小，
1 1
∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ= ∠M′PM，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN= ∠NQN′，
2 2
1 1 1
∴∠QPN= ∠M′PM= (180°−∠MPQ)= （180°﹣ ）
2 2 2
α
∵∠QPN＝∠AOB+∠OQP
＝∠AOB+∠AQN'
1
＝∠AOB+ ∠NQN′
2
1
＝30°+ ×（180°﹣ ），
2
β
1 1
∴ （180°﹣ ）＝30°+ ×（180°﹣ ），
2 2
α β
∴180°﹣ ＝60°+（180°﹣ ），
∴180°﹣α＝240°﹣ ， β
∴ ﹣ ＝α240°﹣180β°，
∴β﹣α＝60°，
故β答案α为60°．
9．（2024•乐山模拟）如图，等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，点N为BD上一点，点M为
BC上一点，且BN＝MC，若当AM+AN的最小值为4时，AB的长度是 4 ．
【分析】作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM，依据△ABN≌△ECM（SAS），即可得到AN＝EM，进而得出当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，再根据△ACE是等边三
角形，即可得到AB的长．
【解答】解：如图所示，作∠BCE＝∠ABD＝20°，使得CE＝AB，连接EM，
在△ABN和△ECM中，
{
AB=EC
)
∠ABN=∠ECM ，
BN=CM
∴△ABN≌△ECM（SAS），
∴AN＝EM，
∴AN+AM＝EM+AM，
当A，M，E三点共线时，AN+AM的最小值等于AE的长，
又∵AM+AN的最小值为4，
∴AE的长为4，
∵∠BAC＝100°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∵CE＝AB＝AC，∠ACE＝40°+20°＝60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AC＝AE＝4，
∴AB＝4，
故答案为：4．
10．（2023秋•临潼区期末）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，△ABD是等边三角形，点
P是∠BAC的角平分线上一动点，连接PC、PD，则PC+PD的最小值为 1 0 ．【分析】连接BP，根据AP垂直平分BC，即可得到CP＝BP，再根据当B，P，D在同一直线上时，
BP+PD的最小值为线段BD长，即可得出PD+PC的最小值为10．
【解答】解：如图，连接BP，
∵点P是∠BAC的角平分线上一动点，AB＝AC，
∴AP垂直平分BC，
∴CP＝BP，
∴PD+PC＝PD+PB，
∴当B，P，D在同一直线上时，BP+PD的最小值为线段BD长，
又∵△ABD是等边三角形，AB＝BD＝10，
∴PD+PC的最小值为10，
故答案为：10．
11．（2023秋•华容区期末）如图，等边△ABC中，AD为BC边上的高，点M、N分别在AD、AC上，且
AM＝CN，连BM、BN，当BM+BN最小时，∠MBN＝ 3 0 度．
【分析】如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．证明△ABM≌△CHN（SAS），推出
BM＝HN，由BN+HN≥BH，可知B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，求出此时∠MBN即可
解决问题．
【解答】解：如图1中，作CH⊥BC，使得CH＝BC，连接NH，BH．∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，CH⊥BC，
∴∠DAC＝∠DAB＝30°，AD∥CH，
∴∠HCN＝∠CAD＝∠BAM＝30°，
∵AM＝CN，AB＝BC＝CH，
∴△ABM≌△CHN（SAS），
∴BM＝HN，
∵BN+HN≥BH，
∴B，N，H共线时，BM+BN＝NH+BN的值最小，
如图2中，当B，N，H共线时，
∵△ABM≌△CHN，
∴∠ABM＝∠CHB＝∠CBH＝45°，
∵∠ABD＝60°，
∴∠DBM＝15°，
∴∠MBN＝45°﹣15°＝30°，
∴当BM+BN的值最小时，∠MBN＝30°，
故答案为30．12．（2023•大连一模）在△ABC中，若AB＝AC，∠A＝40°，点E、F分别为AC和AB上的动点，BE与
CF相交于G点，当BE+EF+CF的值最小时，则∠ABE＝ 3 0 °．
【分析】将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于点E，在AB
边上截取AF＝AF′，连接EF，根据垂线段最短即可解决问题．
【解答】解：如图，将△ABC沿着AC翻折，再沿着AB′翻折，连接BC′交AB′于点F′，交AC于
点E，
在AB边上截取AF＝AF′，连接EF，
∴EF＝EF′，
∴BE+EF+CF＝BE+EF′+F′C″＝BC″最小，
∵AB＝AC，∠A＝40°，
由翻折可知：∠BAC＝∠B′AC＝∠B′AC″＝40°，AB＝AB′＝AC″，
在△ABC′中，3×40°+2∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝30°，
故答案为：30．
13．（2023秋•蓬江区校级月考）如图，在等边△ABC中，D为AC中点，点P，Q分别为AB，AD上的
点，BP＝AQ＝3，QD＝2，在BD上有一动点E，则PE+QE的最小值为 7 ．
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最小
值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，求出PQ′即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵D为AC中点，
∴BD⊥AC，
∵AQ＝3，QD＝2，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝5，
如图，作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，
PE+QE＝PE+EQ′
当点P，E，Q′共线时，PE+EQ的值最小．最小值为PQ′，
∵AQ＝3，AD＝DC＝5，
∴QD＝DQ′＝2，
∴CQ′＝BP＝3，
∴AP＝AQ′＝7，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝7，
∴PE+QE的最小值为7．
故答案为：7．
14．（2023秋•汉川市期末）如图，∠BAC＝38°，点D，点P分别是AB，AC上的定点，∠DPA＜14°，点
E，点F分别是AC，AB上的动点，当DE+EF+FP的值最小时，∠EFP﹣∠DEF＝ 76 ° ．
【分析】作点 P 关于 AB 的对称点 P'，点 D 关于 AC 的对称点 D'，如图，由此可知 DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'，可得当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，根据轴对称的性质及
三角形内角和定理可得，∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP，进而得∠PAP'+∠DEF
＝∠EFP，即可得答案．
【解答】解：作点P关于AB的对称点P'，点D关于AC的对称点D'，如图，
则：FP＝FP'，DE＝D′E，
∴DE+EF+FP＝D'E+EF+FP'≥D'P'，
∴当D'，E，F，P'在同一直线上时，DE+EF+FP的值最小，如图，连接AP′，AD'
由轴对称可知，∠BAP'＝∠ABC＝38°，即：∠PAP'＝76°，∠AED＝AED'＝∠FEP，∠P'＝∠APF，
由三角形的内角和可得：∠PAP'+∠P'+∠AED+∠DEF＝∠FEP+∠APF+∠EFP，
则：∠PAP'+∠DEF＝∠EFP，
∴∠EFP﹣∠DEF＝∠PAP'＝76°，故答案为：76°．
15．（2023秋•夏邑县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝80°，AC＝BC，点C在直线MN上，∠BCN＝
30°，点P为MN上一动点，连接AP，BP．当AP+BP的值最小时，∠CBP的度数为 2 0 度．
【分析】作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点时，AP+BP
的值最小．由轴对称易证∠CBP＝∠CDP，结合∠BCN＝30°证得△BCD是等边三角形，可得 AC＝
CD，结合已知根据等腰三角形性质可求出∠CDP，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点B关于直线MN的对称点D，连接AD，BD，CD，当点P为AD与MN的交点
时，AP+BP的值最小．
由轴对称可得：∠DCN＝∠BCN＝30°，CB＝CD，PB＝PD，
∴∠CBD＝∠CDB，∠PBD＝∠PDB，
∴∠CBD﹣∠PBD＝∠CDB﹣∠PDB，
即∠CBP＝∠CDP，
∵∠BCD＝∠DCN+∠BCN＝30°+30°＝60°，CB＝CD，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵AC＝BC，
∴AC＝CD，
∴∠CAD＝∠CDA，
∵∠CAD+∠CDA＝180°﹣∠ACD＝180°﹣（∠ACB+∠BCD）＝180°﹣（80°+60°）＝40°，
∴∠CAD＝∠CDA＝20°，
∴∠CBP＝∠CDA＝20°．
故答案为：20．【类型2 根据“点到直线的连线中，垂线段最短”原理求最值】
【模型】在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。
A A
P'
M
P M P
B B
O N O N
此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线
分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）
【必刷真题】
1．（2024秋•江阴市校级月考）如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，AD＝8，AD垂直平分BC，若E，
48
F分别是AD和AC上的动点，则EC+EF的最小值是 ．
5
【分析】连接BE，过B作BG⊥AC于G；由AD垂直平分BC，得AB＝AC＝10，BE＝CE，则EC+EF＝
BE+EF≥BF，当B、E、F三点共线，且BF⊥AC即BF，BG重合时，BF最小，从而EC+EF最小；利
用面积相等关系即可求得最小值．
【解答】解：如图，连接BE，过B作BG⊥AC于G；
∵AD垂直平分BC，
∴AC＝AB＝10，BE＝CE，
∴EC+EF＝BE+EF≥BF，
∴当B、E、F三点共线时，BF最小，
此时BF⊥AC，即F、G重合，
∴BF与BG重合，
从而EC+EF最小，最小值为线段BG的长；1 1
∵ AC×BG= BC×AD，
2 2
BC×AD 12×8 48
∴BG= = = ．
AC 10 5
48
故答案为： ．
5
2．（2024秋•高新区校级月考）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝8，CD平分∠ACB，如
果点P，点G分别为CD，AC上的动点，那么AP+PG的最小值是 2❑√3 ．
【分析】过点A作AE⊥BC交于E点，交DC于P点，过点P作PG⊥AC交于G点，此时AP+PG的值
最小，再由三角形的面积求出BC边上的高即为所求．
【解答】解：过点A作AE⊥BC交于E点，交DC于P点，过点P作PG⊥AC交于G点，
∵CD平分∠ACB，
∴PE＝PG，
∴AP+PG＝AP+PE＝AE，
此时AP+PGQ的值最小，
∵∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝8，
∴AB=❑√BC2−AC2=❑√82−42=4❑√3，1 1
∵△ABC的面积= ×4❑√3×4= ×8×AE，
2 2
∴AE＝2❑√3，
∴AP+PG的值最小为2❑√3，
故答案为：2❑√3．
3．（2023秋•岳阳期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝6，△ABC的面积为12，CD⊥AB于点D，
直线EF垂直平分BC交AB于点E，交BC于点F，P是线段EF上的一个动点，则△PBD的周长的最小
值是 7 ．
【分析】如图，连接PC．利用三角形的面积公式求出CD，由EF垂直平分AB，推出PB＝PC，推出
PB+PD＝PC+PD，由PC+PD≥AD，推出PC+PD≥4，推出PC+PD的最小值为4，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，连接CP，
∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴BD＝AD＝3，
1
∵S△ABC =
2
•AB•CD＝12，
∴CD＝4，
∵EF垂直平分BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PD＝PC+PD，
∵PC+PD≥CD，
∴PC+PD≥4，
∴PC+PD的最小值为4，∴△PBD的最小值为4+3＝7，
故答案为：7．
4．（2023秋•黑龙江期末）如图，点 E在等边三角形ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为
C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝6，则AB的长为 8
．
【分析】根据题意，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB
时，EP+FP的值最小，由此即可求解．
【解答】解：如图所示，作点E关于CD的对称点E′，连接PE′，
∴PE＝PE′，CE＝CE′，
∴EP+FP＝PE′+PF≥E′F，
当点E′，P，F三点共线，E′F⊥AB时，EP+FP的值最小，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60，AB＝BC＝AC，
∵E′F⊥AB，
∴∠FE′B＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴BE′＝2BF，
∵BF＝6，BE＝4，
∴BE′＝2BF＝12，∵CE＝CE′，
∴12＝2CE+BE＝2CE+4，
解得，CE＝4，
∴AB＝BC＝4+4＝8，
故答案为：8．
5．（2023秋•旌阳区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是18，腰AC的垂直平分线MN
分别交AB，AC边于M，N点．若点D为BC边上一动点，点P为直线MN上一动点，当PC+PD的值最
小时，△CDP周长为 1 1 ．
【分析】作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，由AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18，求得BE＝CE＝
2，AE＝9，由MN垂直平分AC，得PC＝PA，由PA+PD≥AD，可知当PD与AE重合，且A、P、D三
点在同一条直线上时，PC+PD的值最小，求得PC+PD+CE＝AE+CE＝11，于是得到问题的答案．
【解答】解：作AE⊥BC于点E，连接AP、AD，则∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，BC＝4，△ABC的面积是18，
1 1
∴BE＝CE= BC＝2， ×4AE＝18，
2 2
∴AE＝9，
∵MN垂直平分AC，
∴PC＝PA，
∴PC+PD＝PA+AD，
∵PA+PD≥AD，
∴当PA+PD＝AD，且AD的值最小时，PA+PD的值最小，
∴当PD与AE重合，且A、P、D三点在同一条直线上时，PC+PD＝PA+AD＝AE，此时PC+PD的值最
小，
∴PC+PD+CE＝AE+CE＝9+2＝11，∴当PC+PD的值最小时，△CDP周长为11，
故答案为：11．
6．（2024春•临渭区期末）如图，在△ABC中，BC＝BA＝36，∠C＝15°，AD平分∠BAC，点E、F分别
是射线AD和线段AC上的动点，连接CE、EF，则CE+EF的最小值为 1 8 ．
【分析】根据题意画出符合条件的图形，作 F关于 AD的对称点为 M，作 AB边上的高 CP，求出
EM+EC＝MC，根据垂线段最短得出EM+EC＝MC≥PC，求出PC即可得出CE+EF的最小值．
【解答】解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，连接CM交射线AD于E，
∵AD平分∠BAC，
∴M必在AB上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME＝EF，
∴EF+EC＝EM+EC，
即EM+EC＝MC≥PC（垂线段最短），
∵BC＝BA＝36，∠C＝15°，
∴∠BAC＝∠BCA＝15°，
∴∠PBC＝∠BAC+∠BCA＝30°，
1
∴PC= BC＝18，
2
即CE+EF的最小值为18
故答案为：18．7．（2023秋•宝塔区校级期末）如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P
是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为 1 0 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到 AC＝BC，∠B＝60°，作点E关于直线CD的对称点G，过G作
GF⊥AB于F，交CD于P，则此时，EP+PF的值最小，根据直角三角形的性质得到BG＝2BF＝14，求
得EG＝8，于是得到结论．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝60°，
作点E关于直线CD的对称点G，过G作GF⊥AB于F，交CD于P，
则此时，EP+PF的值最小，
∵∠B＝60°，∠BFG＝90°，
∴∠G＝30°，
∵BF＝7，
∴BG＝2BF＝14，
∴EG＝8，
∵CE＝CG＝4，
∴AC＝BC＝10，
故答案为：10．8．（2023秋•丹江口市期末）如图，△ABC中，BC＝20，∠ABC＝15°，点F、E分别是AB，BC上的动点，
则EF+FC的最小值＝ 1 0 ．
【分析】作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，当C′E⊥BC时，
EF+FC有最小值C′E，据此即可求解．
【解答】解：作点C关于AB的对称点C′，连接BC′，作C′E⊥BC交AB于点F，如图所示：
则CF＝C′F，BC′＝BC＝20，∠C′BA＝∠ABC＝15°，
∴EF+FC＝EF+C′F，∠CBC′＝30°，
∵点E别是BC上的动点，
∴C′E⊥BC时，EF+FC有最小值C′E，
∵∠CBC′＝30°，
1
∴C′E= BC′=10，
2
故答案为：10．
9．（2023秋•淮北期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，BD平分∠ABC交
AC于点D，点E，F分别是BD，AB上的动点，则
3
（1）AD的长为 ；
2
12
（2）AE+EF的最小值为 ．
51
【分析】（1）作DG⊥BC于点G，由BD平分∠ABC，DG⊥BC，AD⊥BA，得DG＝AD，则 ×3AD
2
1 1 3
+
2
×5AD=
2
×3×4＝S△ABC ，求得AD=
2
，于是得到问题的答案；
1 1 12
（2）在BC上截取BL＝BF，连接AL，作AH⊥BC于点H，由
2
×5AH =
2
×3×4＝S△ABC ，求得AH =
5
，由 BL＝BF，BD 平分∠FBL，得 BD 垂直平分 FL，所以 EF＝EL，则 AE+EF＝AE+EL，而
AE+EL≥AL，所以当AE+EL＝AL，且AL的值最小时，AE+EL的值最小，此时AE+EF的值最小，因为
12 12
AL的最小值为 ，所以AE+EF的最小值为 ，于是得到问题的答案．
5 5
【解答】解：（1）作DG⊥BC于点G，
∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AD⊥BA，
∵BD平分∠ABC，DG⊥BC，AD⊥BA，
∴DG＝AD，
1 1 1
∵
2
AB•AD +
2
BC•DG =
2
AB•AC＝S△ABC ，
1 1 1
∴ ×3AD+ ×5AD= ×3×4，
2 2 2
3
解得AD= ，
2
3
故答案为： ．
2
（2）在BC上截取BL＝BF，连接AL，作AH⊥BC于点H，
1 1
∵
2
BC•AH =
2
AB•AC＝S△ABC ，1 1
∴ ×5AH = ×3×4，
2 2
12
解得AH= ，
5
∵BL＝BF，BD平分∠FBL，
∴BD垂直平分FL，
∴点L与点F关于直线BD对称，
∴EF＝EL，
∴AE+EF＝AE+EL，
∵AE+EL≥AL，
∴当AE+EL＝AL，且AL的值最小时，AE+EL的值最小，此时AE+EF的值最小，
∵当AL与AH重合时，AL的值最小，
12
∴AL的最小值为 ，
5
12
∴AE+EF的最小值为 ，
5
12
故答案为： ．
5
10．（2023秋•团风县期中）如图，等边△ABC和等腰△ABD，AB＝BD，点E，F分别为边AB，AD的中
点，若△ABD的面积为16，AD＝4，点M是CE上的动点，则△AMF的周长的最小值为 1 0 ．
【分析】连接BF交CE于点M，根据三线合一，得到A，B关于CE对称，根据△AMF的周长等于
AF+AM+MF＝AF+BM+MF≥AF+BF，当B，M，F三点共线时，△AMF的周长最短，再根据△ABD的
面积为16，求出BF的长，进而求出△AMF的周长的最小值即可．【解答】解：连接BF交CE于点M，连接AM，
∵△ABC是等边三角形，点E为边AB的中点，
∴A，B关于CE对称，
∴AM＝BM，
∴AF+AM+MF＝AF+BM+MF≥AF+BF，
即：当B，M，F三点共线时，△AMF的周长最短，
∵△ABD是等腰三角形，F为边AD的中点，
1
∴BF⊥AD，AF= AD=2，
2
1 1
∴S = AD⋅BF= ×4BF=16，
△ABD 2 2
∴BF＝8，
∴△AMF的周长的最小值为AF+BF＝2+8＝10；
故答案为：10．
11．（2023秋•千山区期中）如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，
1
连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是 a + b （用含a，b的式
2
子表示）．
【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），作点A关于直线CE的对称点M，连接FM
交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小．
【解答】解：如图，∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC＝a，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
1
∵AF＝CF= a，BF＝b，
2
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ACE＝30°，BF⊥AC，
∴点E在射线CE上运动（∠ACE＝30°），
作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，
∵CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM是等边三角形，
∴AM＝AC，
∵BF⊥AC，
∴FM＝BF＝b，
1
∴△AEF周长的最小值＝AF+FE′+AE′＝AF+FM= a+b．
2
1
故答案为： a+b．
2
12．（2023秋•临平区月考）如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，AD是∠BAC的平分线．
若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是 4 ．
【分析】在AB上截取AE＝AC，连接EQ交AD于点P′，连接CE，作EF⊥AC于点F，因为∠ACB＝
1
120°，AC＝BC＝8，所以∠CAB＝∠B＝30°，AE＝AC＝8，则EF= AE＝4，而AD平分∠BAC，则AD
2
垂直平分CE，当点P与点P′重合时，PC+PQ＝EQ，所以当EQ的值最小时，则PC+PQ的值最小，由
EQ≥4，求得EQ的最小值是4，则PC+PQ的最小值是4，于是得到问题的答案．【解答】解：在AB上截取AE＝AC，连接EQ交AD于点P′，连接CE，作EF⊥AC于点F，则∠AFE
＝90°，
∵∠ACB＝120°，AC＝BC＝8，
1
∴∠CAB＝∠B= ×（180°﹣120°）＝30°，AE＝AC＝8，
2
1
∴EF= AE＝4，
2
∵AE＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD垂直平分CE，
∴点E与点C关于直线AD对称，
∴当点P与点P′重合时，PC+PQ＝P′E+P′Q＝EQ，
∴当EQ的值最小时，则PC+PQ的值最小，
∵EQ≥EF，
∴EQ≥4，
∴EQ的最小值是4，
∴PC+PQ的最小值是4，
故答案为：4．
13．（2023秋•九龙坡区校级期中）在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，BC＝b，BD平分
1
∠ABC交AC于点D，则S△ABC 为
4
ab ；若动点M在线段BD上，动点N在线段AB上，连接AM、
1
MN，则AM+MN的最小值为 a .（用含a、b的式子表示）
2
【分析】过点A作AE⊥BC于点E，用a的代数式表示出AE，根据三角形面积公式即可求出S△ABC 的值；
在 BC 上取一点 N'，使 BN'＝BN，探究出 AM+MN 最小时，点 A，M，N'三点在一条直线上，且AN'⊥BC，即AM+MN的最小值为AE的长即可解决问题．
【解答】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC＝a，
1
∴∠BAE= ∠BAC＝60°，
2
∴∠ABE＝30°，
1 1
∴AE= AB= a，
2 2
1
∴S△ABC =
4
ab；
在BC上取一点N'，使BN'＝BN，
∵BD平分∠ABC，
∴∠MBN＝∠MBN'，
在△BMN和△BMN'中，
{
BN=BN′
)
∠MBN=∠MBN′ ，
BM=BM
∴△BMN≌△BMN'（SAS），
∴MN＝MN'，
∴AM+MN＝AM+MN'，
即当AM+MN最小时，点A，M，N'三点在一条直线上，且AN'⊥BC，
1
∴AM+MN的最小值为AE的长，即 a．
2
1 1
故答案为： ab， a．
4 2
14．（2023秋•道里区期末）如图，在△ABC中，点E和点D分别在AB和AC边上，∠AED＝∠ACB，ED
＝CD，连接BD，点F和点G分别是线段BD和BC上的两个动点，AB＝4，△ABC的面积是6，则
FG+CF的最小值是 3 ．【分析】过点D作DN⊥AB垂足为N，作DM⊥BC垂足为M，先证明△DEN≌△DCM（AAS），得到
DN＝DM，再利用角平分线性质可求∠DBN＝∠DBM，在BA上取BH＝BG，通过证明△BHF≌△BGF
（SAS），证明CF+FG＝CF+FH，过C作CK⊥AB，垂足为K，利用三角形面积即可得出结果．
【解答】解：如图，过点D作DN⊥AB垂足为N，作DM⊥BC垂足为M，
∴∠DEN＝∠DMC＝90°，
∵∠AED＝∠ACB，ED＝CD，
∴△DEN≌△DCM（AAS），
∴DN＝DM，
∵DN⊥AB，DM⊥BC，
∴BD平分∠ABC，
∴∠DBN＝∠DBM，
在BA上取BH＝BG，
∵BF＝BF，∠HBF＝∠GBF，
∴△BHF≌△BGF（SAS），
∴FG＝FH，
∴CF+FG＝CF+FH，
过C作CK⊥AB，垂足为K，
1
∴S = ×AB×CK=6，
△ABC 2
∴CK＝3，
由垂线段最短可知CF+FH≥CK，即CF+FG≥3，则当C、F、H三点共线，且CF⊥AB，FG+CF最小，最小值是3，
故答案为：3．
15．（2023秋•武昌区期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠BAC＝80°，AD，CD分别平分∠BAC 和
1
∠ACB，P是AC上一点，PH⊥BC，已知AD＝m，BC＝n，m＜n．当PD+PH取最小值时，HC＝
2
（ n ﹣ m ） ．（用含m，n的式子表示）
【分析】作∠ACE＝20°，CE交BA的延长线于点E，在CE上取一点D'，使CD'＝CD，连接AD‘，连
接PD'，过点D'作D'G⊥BC于点G，证明出△BCE和△EAD'是等边三角形，得到CD'＝n﹣m，得到
PD+PH取最小值时，HC＝GC，再求出GC的长即可．
【解答】解：作∠ACE＝20°，CE交BA的延长线于点 E，在CE上取一点D'，使CD'＝CD，连接
AD‘，连接PD'，过点D'作D'G⊥BC于点G，
∵∠B＝60°，∠BAC＝80°，
∴∠ACB＝40°，
∵AD，CD分别平分∠BAC 和∠ACB，
∴∠DAC＝40°，∠DCA＝20°，
∴∠D'CA＝20°，
∴∠DCA＝∠D'CA，∠BCE＝60°，
又∵AC＝AC，PC＝PC，∴△DCA≌△D'CA，△DCP≌△D'CP，
∴AD＝AD'＝m，∠D'AC＝∠DAC＝40°，PD＝PD'，
∴PD+PH＝PD'+PH≥D'G，
即PD+PH的最小值为HC＝GC，
∵∠B＝60°，∠BCE＝60°，
∴△BCE是等边三角形，
∴CE＝BC＝n，∠E＝60°，
∵∠BAC＝80°，∠D'AC＝40°，
∴∠EAD'＝180°﹣∠BAC﹣∠D'AC＝60°，
∴△EAD'是等边三角形，
∴ED'＝AD'＝m，
∴CD'＝CE﹣ED'＝n﹣m，
在Rt△D'CG中，
∵∠D'CG＝60°，
∴∠CD'G＝30°，
1 1
∴CG= CD'= （n﹣m），
2 2
∴HC（n﹣m）．
