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专题7.4 平面直角坐标系（分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2022下·上海嘉定·七年级校考期末）如图，卡通形象“大白”深受大家喜爱，将“大白”放在平
面直角坐标系 中，如果右眼 的坐标是 ，那么这只“大白”的左眼 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·重庆铜梁·七年级铜梁二中校考期中）在平面直角坐标系 中，点 ， ，
，若 平分 ， 轴， 轴，且 ，则 的值为（ ）
A．9 B． C． D．
3．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）已知点Q的坐标为 ，点P的坐标为 ，若
直线 轴，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2019下·浙江杭州·九年级期末）已知点 位于第二象限，并且 ，a，b均为整数，
则满足条件的点A个数有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
5．（2019下·江苏南京·八年级南京市宁海中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中， 的顶
点坐标分别为 ， ， ， ，则 的值为（ ）A．8 B．9 C．12 D．11
6．（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）如图所示，在平面直角 坐标系中，点A、B
分别是坐标轴上的点，将 沿x轴正方向平移 个单位长度得到 ，若 ， ，则
四边形 的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023下·北京海淀·七年级人大附中校考阶段练习）已知 ，点P的坐标为 ，
点Q的坐标为 ，O为坐标原点，则 满足（ ）
A．大于135小于180° B．等于135°
C．大于90°小于135° D．大于0°小于90°
8．（2022下·河南商丘·七年级校考期中）如图，平移线段AB，则平移过程中AB扫过的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
9．（2022下·山东德州·七年级校考阶段练习）下列依次给出点的坐标 ， ， ，…，依此规律，则第 个点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022下·福建龙岩·七年级统考期末）如图，平面直角坐标系 中，点A坐标为 ，过点A
作 轴于点B，过点A作 轴于点C．点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方
向运动，同时，点D从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴负方向运动，设运动时间为 ，当
时，则t应满足（ ）
A． B． C． 或 D． 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022下·四川绵阳·七年级统考期末）法国数学家笛卡尔最早引入坐标系，开始用坐标描述图形
中点的位置．如图，中国象棋棋盘的一部分，若其中 的坐标为 ， 的坐标为 ，则
的坐标为 ．
12．（2021·江苏泰州·校考模拟预测）已知点 、 、 的坐标分别 、 、 若点在 的平分线上，且 ，则点 的坐标为 ．
13．（2021下·广西玉林·七年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ，连
接 ，交y轴于B，且 ， ，则点B坐标为 ．
14．（2021上·陕西西安·八年级西安市曲江第一中学校考期中）已知， 、 ，点C在x
轴上， 的面积为10，请在图中所示的平面直角坐标系内画出 ，并写出C的坐标： ．
15．（2022下·浙江台州·七年级校联考期中）已知 ， ，…， ，…，（k为正整
数），且满足 ， ，则A 的坐标为 .
2022
16．（2023·江苏无锡·模拟预测）已知一平面直角坐标系内有点 ，点 ，点 ，若
在该坐标系内存在一点D，使 轴，且 ，点D的坐标为 ．
17．（2022上·七年级单元测试）如图，点O，M，A，B，C在同一平面内．若规定点A的位置记为
，点B的位置记为 ，则点C的位置应记为 ．18．（2022下·浙江台州·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，A（ ，4），B（ ，3），C
（1，0）， ．
（1）三角形ABC的面积为 ；
（2）将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，则D点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·天津河西·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，已知点 ， ．
如图①，若 ，已知点 ．
（1）连接 ，当 轴，求 的值；
（2）若 的面积是 ，求 的值；20．（8分）（2022下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中， ，
，点 在线段 上，且 ： ： 已知 ．
（1）求点 、 的坐标；
（2）已知点 且 ，平移线段 到 ，点 对应点 ， ，求点 的坐标；
（3）已知点 且 ， ，则 的取值范围是______．
21．（10分）（2023下·辽宁铁岭·七年级校考期末）如图， 点坐标为 点坐标为 ．
（1）作图，将 沿 轴正方向平移4个单位，得到 ，延长 交 轴于点C，过点 作
，垂足为 ；
（2）在（1）的条件下，求证： ；
（3）求运动过程中线段 扫过的图形的面积．22．（10分）（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形 为边
长为8的正方形，点D为 的中点，点E在 上，且 ．点 是线段 和 上的动点，
点 是线段 上的动点，连接PQ．
（1）求三角形 和三角形 的面积；
（2）用等式表示m与x之间的数量关系；
（3）直接写出线段 的长等于3时，点Q的坐标．
23．（10分）（2023下·吉林·七年级统考期末）如图，四边形 是长方形，边 在 轴上，
轴． 已知点 坐标为 ，点 坐标为 ． 动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度
沿折线 向终点 运动，设点 的运动时间为 ．
（1）点 坐标为 ；（2）连接 ，当直线 将长方形 的面积分为 的两部分时，求 的值；
（3）连接 ， ，直接写出三角形 的面积为3时，点 的坐标．
24．（12分）（2023下·天津南开·七年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点B在第一象限
内． 轴交y轴于点A， 轴交x轴于点C，线段 和 的长分别为m和n，且
，点D的坐标为 ．（1）点B的坐标为____________；
（2）点M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，设点M的运动时间为 秒，
连接 ，若记 为 ， 为β， 为 ．
①如图2，点M在线段 （不包含线段的端点O，C）上运动时，直接写出t的取值范围：并证明：
；
②若在点M开始运动的同时，点N从点A出发以每秒4个单位长度的速度沿轴向上运动，当
时，求t的值，并直接写出相应的 ，β， 之间的关系．
参考答案：
1．C【分析】根据右眼 的坐标是 ，向左平移一格即可得出点 的坐标．
解： 的坐标是 ，左移1个单位得到点 的坐标
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的确定，从平移角度考虑点的坐标更简便．
2．D
【分析】由题意可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上即 ，则有 或
（不合题意，舍去）， 在第一象限，结合 轴得 即可求解．
解：由题意可知， 平分 ， 轴， 轴，且 ，
可知 在一、三象限或二、四象限的平分线上，
，
即 或 （不合题意，舍去），
解得： ，
，
故： 在第一象限，
轴，
，
，
故选：D．
【点拨】本题考查了坐标系内点的特点；解题的关键是结合题意得到 在一、三象限或二、四
象限的平分线上，从而求解．
3．C
【分析】利用直角坐标系中垂直于 轴或平行于 轴的直线上的点的纵坐标相同的特点进行计算即可．
解：∵点Q的坐标为 ，点P的坐标为 ，直线 轴，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点P的坐标为 ．
故选：C．
【点拨】本题考查了坐标与图形的性质，解题的关键是掌握坐标系中点的坐标的特点和图形的性质．
4．B
【分析】根据第二象限的点的特点可知 ，即可得 ， ，计算可得
；a，b均为整数，所以 或 ；据此分别可求出A点的坐标，即可得本题答案．
解：∵点 位于第二象限，
∴ ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵a，b均为整数，
∴ 或 ，
当 时， ， ；
当 时， ， 或 或 或 ；
综上所述，满足条件的点A个数有5个．
故选：B．
【点拨】本题主要考查第二象限点的坐标特点及解不等式的知识；熟练掌握个象限点坐标的符号特点，
是解决本题的关键．
5．C
【分析】利用中点坐标公式，构建方程求出a，b的值即可．
解：如图，连接AC、BD交于点F，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF=CF，BF=DF，
∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
【点拨】本题考查的知识点是坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，掌握以上知识点是解此题的
关键．
6．C
【分析】根据平移的性质，求出 ，四边形 的面积等于四边形
的面积，求出四边形 的面积是 ，即可的答案．
解： 沿x轴正方向平移 个单位长度得到 ，
，
四边形 的面积等于四边形 的面积，
，
，
四边形 的面积 ，四边形 的面积是 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了平移的性质，解题的关键是求出四边形 的面积．
7．C
【分析】先判断出 ，则点P在第三象限，再证明 ，即点P到y轴的距
离大于点P到x轴的距离，则点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的下方，由此即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ， ，
∴点P在第三象限，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴点P到y轴的距离大于点P到x轴的距离，
∴点P在第三象限的平分线 的上方，且在x轴的下方，
∵ ，
∴ ，
故选C．【点拨】本题主要考查了坐标与图形，算术平方根和立方根，正确得到点P在第三象限的平分线
的上方，在x轴的下方是解题的关键．
8．C
【分析】先证明四边形 是平行四边形，再求出 和 底边 上的高：2−（−1）=3，
从而即可求解．
解：∵平移线段AB得线段 ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∵B（−2，−1）， （3，−1），A （0，2），
∴ ， 底边 上的高：2−（−1）=3，
∴平移过程中AB扫过的面积为5×3=15，
故选： ．
【点拨】本题主要考查了平移的性质及坐标与图形，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
9．D
【分析】分别找出横坐标的规律与纵坐标的规律即可求出结果；
解：由 ， ， ， 的规律分析可知：
第 个点的横坐标为 ，纵坐标为：
当 时
，
∴第 个点的坐标为
故选：D．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律；分别找出横坐标的规律与纵坐标的规律是解题
的关键．10．D
【分析】分两种情况，利用运动表示出OD，OE，进而表示出△AOD和△AOE的面积，建立不等式求
解，即可得出结论．
解：∵点A坐标为（6，4）， 轴于B， 轴于C，∠COB=90°，
∴四边形ABOC为矩形，
∴AC=OB=6，AB=OC=4，
由运动知， ， ，
当点D在OB上时，即 ，
则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
当点D在BO的延长线上时，即 ，
则 ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，t应满足 或 ．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了动点问题，点的坐标，三角形的面积，理解利用了坐标系中点的坐标与图形
的线段长度的关系来求解是解答关键．
11．【分析】根据题目中马与兵的坐标，在图中确定原点在马上面三格，再向左一格的位置，然后再确定
炮的位置即可．
解：∵马的坐标为 ，兵的坐标为 ，
∴炮的坐标为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查如何运用直角坐标系确定点的位置，正确得出原点位置是解题关键．
12． 或
【分析】先根据 、 、 三点的坐标判断 的位置与大小，再根据点 在 的平分线上，
且 ，判断点 的位置，并写出点 的坐标．
解： 、 、
，且
如图，以 为圆心， 长为半径画弧，交 的平分线于两点
点 在 的平分线上，且
当点 在点 处时， 的坐标为
当点 在第一象限内时，由 是等腰直角三角形，可知 的坐标为
故答案为： 或
【点拨】本题主要考查了坐标与图形性质，解决问题的关键是在平面坐标内根据作图找出点 的位置．
13．
【分析】由立方根及算术平方根、完全平方式求出 ，的值，得出 ， 两点的坐标，连接 ，
设 ，根据三角形 的面积可求出 的值，则答案可求出．解：（1） ， ，
， ， ，
， ，
．
如图，连接 ，设 ，
，
，
，
，
，
点 的坐标为 ，
故答案是： ．
【点拨】本题考查了立方根及算术平方根、完全平方公式、三角形的面积、坐标与图形的性质，解题
的关键是利用分割的思想解答．
14． 或 / 或
【分析】设 利用三角形的面积公式列方程求解x，再在坐标系内描点即可．
解：∵点C在x轴上，设 而 ，
的面积为10， ，解得： 或
或
画图如下：
故答案为： 或
【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的面积的计算，掌握“利用面积公式列绝对值方程”是解
本题的关键．
15． /（0.5，0）
【分析】根据 ，yk＝1﹣yk ，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，
﹣1
根据规律求解即可．
解：∵A（2，1），A（﹣1，0），…，Ak（xk，yk），…，（k为正整数），且满足 ，yk
1 2
＝1﹣yk ，
﹣1
∴A（ ，1），A（2，0），A（﹣1，1），A（ ，0），A（2，1），A（﹣1，0），
3 4 5 6 7 8
通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，
∵2022＝6×337，
∴A 的坐标为（ ，0）．
2022
故答案为：（ ，0）．
【点拨】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．16． 或 / 或
【分析】将点 ，点 ，点 的坐标在平面直角坐标系中标出来，由点A和点B的
坐标可知， 轴，从而可求得 的长；再由点C的坐标及 轴，可知点D的横坐标，设点D
的纵坐标为m；然后根据 ，可得关于m的方程，解得m的值即可．
解：将点 ，点 ，点 的坐标在平面直角坐标系中标出来，如图所示：
∵点 ，点 ，
∴ 轴，
∴ ，
∵点 ， 轴，
∴点D的横坐标为 ，设点D的纵坐标为m，
∵ ，
∴ ，
∴ 或7．∴点D的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点拨】本题考查了平面直角坐标系中的坐标与图形的性质，明确平面直角坐标系中点的坐标特点并
数形结合是解题的关键．
17．
【分析】根据已知点的坐标意义得出横坐标为线段长度，纵坐标为其与 夹角的度数即可解答．
解：∵定点A的位置记为 ，点B的位置记为 ．
∴图中点C的位置应记为 ．
故选： ．
【点拨】本题主要考查了用坐标确定位置，理解已知得出点的坐标意义是解题关键．
18． 5 /
【分析】（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交点 ，根据题意分别求得
的坐标，然后根据 ，即可求解．
（2）设 ，则 ，根据平移可得 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到
，即 ，求得 ，根据三角形面积求得 ，即可求解．
解：（1）过 分别作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线，交于点 ，如图，∵A（ ，4），B（ ，3），C（1，0），
∴ ，
， ，
∴ ，
，
，
故答案为：5；
（2） ，设 ，则 ，
∵将线段AB沿AC方向平移得到线段DP，若P点恰好落在x轴上，
∴ 向下移动了 个单位，向右移动了 个单位，
∴ 向下移动 个单位，向右移动 个单位，得到 ，即 ，
如图，过点 作 轴，于点 ，则 ，
过点 作 轴交 于点 ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
根据题意 是 沿 方向平移得到的，
∴ ，
∵ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
19．（1） ；（2） 或
【分析】（1）根据实数的非负性，确定a，b的值，继而确定点的坐标，根据 轴，判定A，C
的横坐标相同，计算即可．
（2）分 两种情况，利用图形的分割法表示三角形的面积计算即可．
解：（1）∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∵ 轴，
∴ ，∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，
∴ ，
当 时， ，此时点 在第四象限，如图所示，
连接 ，∵ ， 的面积是 ，
∴ ，
解得 ，
故 ；
当 时， ，此时点 在第二象限，如图所示，
连接 ，
∵ ， 的面积是 ，∴ ，
解得 ，
故 ；
故m的值为 或 ．
【点拨】本题考查了实数的非负性，平行坐标轴的直线上点的坐标，坐标系中分割法表示三角形的面
积，分类思想，熟练掌握实数的非负性，分割法表示三角形的面积是解题的关键．
20．（1） ， ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据非负性得出 ， ，进而得出坐标即可；
（2）设 ，根据三角形的面积关系式得出 ，进而根据平移的性质解答即可；
（3）设 交 于点 ，则 ，根据面积公式得出不等式解答即可．
（1）解： ，
， ，
， ，
， ，
（2）解：连接： ： ，
∴ ，设 ，
则 ， ，
∵ ，
∴
∴
∵
即
∴
解得：
∵根据平移可得，
；
（3）解：如图所示，设 交 于点 ，，则
∴
，
，
，
，
，
故 的取值范围是 ．
故答案为： ．
【点拨】本题是三角形的综合题，熟练掌握非负性，线段平移的性质是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）见分析；（3）12
【分析】（1）根据题意画出相应的图形，如图所示；
（2）利用同角的余角相等得到一对角相等，再利用对顶角相等，等量代换即可得证；
（3）运动过程中线段 扫过的图形为平行四边形 ，根据平移的距离及 的坐标求出 与
的长，即可求出运动过程中线段 扫过的图形的面积．
（1）解：如图所示，（2） ， ，
， ，
，
，
；
（3）根据题意得：四边形 为平行四边形，且 ， ，
则运动过程中线段 扫过的图形的面积 ．
【点拨】本题考查了坐标与图形，平移作图，对顶角相等，垂直的定义，根据题意画出图形是解题的
关键．
22．（1） ， ；（2） ；（3） 或
【分析】（1）先求出 ， ，再利用三角形面积公式求解即可；
（2）连接 ，利用三角形面积求解即可；
（3）按照（2）的方法表示n与x之间的数量关系,再根据 求解即可．
（1）解：∵四边形 为边长为8的正方形，点D为 的中点，点E在 上，且 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
．
（2）解：当点 是线段 上的动点时，连接 ，， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
当点 是线段 上的动点时，连接 ，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
综上， ，
（3）解：连接 ，
， ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
当点 是线段 上的动点时， ，
即 ，
解得， ， ，
点Q的坐标为 ．
当点 是线段 上的动点时， ，
即 ，
解得， ．
，
点Q的坐标为 ．
综上，点Q的坐标为 或 ．
【点拨】本题考查图形与坐标，解题关键是熟练运用面积得出点的横纵坐标的关系，列出方程解决问
题．
23．（1） ；（2） 或 ；（3）满足条件的点 的坐标为 或 ．
【分析】（1）利用矩形的性质求出 ， ，可得结论；
（2）分两种情形：如图1中，当点 在线段 上时，如图2中，当点 在线段 上时，分别构建
方程求解；
（3）当点 与 重合时， 的面积为3，此时 ，过点 作 交 于点 ，此时
， 的面积为3，求出 坐标即可．（1）解： 四边形 是矩形， ， ，
， ，
，
故答案为： ；
（2）解：如图1中，当点 在线段 上时，
由题意， ，
，
．
如图2中，当点 在线段 上时，
由题意， ，
，
．
综上所述，满足条件的 的值为 或 ；
（3）解：如图3中，当点 与 重合时， 的面积为3，此时 ，
过点 作 交 于点 ，此时 ， 的面积为3，
，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分
类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．
24．（1） ；（2）①见分析；② ， ； ，
【分析】（1）利用非负性求出 的值，即可得到点B的坐标；
（2）①根据点M在线段 （不包含线段的端点O，C）上运动，求出 的取值范围，过点M作
，利用平行线的判定和性质，进行求解即可；②分点M在点C左侧和点M在点C右侧，两种情
况进行讨论求解即可．
（1）解：∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
故答案： ．
（2）解：①∵D的坐标为 ，M从D点出发，以每秒6个单位长度的速度沿x轴向右运动，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ 到达 的时间为： ， 到达 的时间为： ，
∴当点M在线段 （不包含线段的端点O，C）上运动时： ；
证明∶过点M作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
即 ；
②∵点N从 出发以每秒4个单位长度的速度沿y轴向上运动，
∴
当点M在点C左侧时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
此时 ，如图，点M在点O左侧，过点 作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
当点M在点C右侧时， ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
此时 ，如图3，点M在点C右侧，
同法可得： ．
【点拨】本题考查坐标与图形，平行线的性质和判定．解题的关键是添加辅助线，构造平行线．
