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专题 9.9 不等式与不等式组（全章分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（23-24八年级下·广东深圳·期中）如果 ，那么下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级下·安徽淮北·期中）将不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·陕西西安·期中）不等式 的负整数解有（ ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
4．（23-24八年级下·河北保定·期中）不等式组 的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
5．（23-24八年级下·广东深圳·期中）“迎五一·赞劳模”活动准备中，商场推出定价为每瓶3元的清凉茶
饮料，若购买超过15瓶，则超出的部分按每瓶2元售卖，若顾客现有50元钱，那么他最多能买清凉茶饮
料的瓶数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）下列m的值可以使 成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）小明解不等式 的过程如下：
解： ①
②
③
④⑤
其中，小明出现错误的一步是（ ）
A．从①到② B．从②到③ C．从③到④ D．从④到⑤
8．（21-22七年级下·河北廊坊·期末）不等式 括号中部分数字和符号被墨水污染，淇
淇查看到该不等式的解为 ，则污染部分的内容为（ ）
A． B． C． D．
9．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末） , 为实数,若关于 的方程组 无解,则关于 的不
等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24八年级上·浙江舟山·期末）定义运算：对于实数 ， ．例如
， ， ．若 ，对于某个确定的
，有且只有一个 使等式成立，则 的取值范围是（ ）
A． 或 B． C． D． 或
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24七年级下·安徽滁州·期中）不等式 的解集为 ．
12．（23-24七年级下·陕西汉中·期中）已知关于x、y的方程组 的解满足 ，且k为
整数，则k的值最小为 ．
13．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）关于x的不等式组 的解集为 ，则m的取值范围是 ．
14．（23-24七年级下·福建泉州·期中）某种笔记本原售价是每本 元，凡一次购买 本或以上可享受优惠
价格，第 种： 本按原价，其余按七折优惠：第 种：全部按原价的九折优惠，若想在购买相同数量的
情况下，要使第 种比第 种更优惠，则至少买 本笔记本．
15．（23-24九年级下·河南鹤壁·期中）如图所示，在数轴上点A，B分别表示数 ，3，若点P为线段
上不与端点重合的动点，且 ，则x的取值范围是 ．
16．（23-24八年级下·山东青岛·期中）若不等式组 有解，则k的取值范围是 ．
17．（23-24七年级下·广西崇左·阶段练习）在学校读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学
们．如果每人分5本，那么剩余 12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，问勤奋小
组的人数？ 设勤奋小组有x人，则可列不等式组为 ．
18．（23-24七年级下·福建泉州·期中）期中考试时间定在4月28日，初一年段数学组老师设置了如上图
运算程序，规定运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围
是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（23-24八年级下·河北保定·期中）解下列不等式（组）
(1) ； (2) ．20．（8分）（23-24七年级下·湖南衡阳·期中）若关于 、y的方程组 的解满足 ，求
的取值范围．
21．（10分）（2024·山东滨州·一模）（1）解不等式组
（2）若把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来，则其解集在数轴上对应的所有点构成的图
形是（ ）；
A．长方形 B．线段 C．射线 D．直线
（3）请类比以上解答过程，解不等式组 并指出其解集在数轴上对应的所有点构成的图形
是什么图形？
22．（10分）（2024·浙江宁波·一模）有一道题：“如图，数轴上点A，B位于原点O的左侧，分别表示
实数x与 ，且 满足 ，求x的取值范围．”小宁和小波解决此问题的过程分别如下：
小宁： 小波：
解： 解：
① ③
②
④
∵点A在原点左侧(1)不考虑其他，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的
是 ；（填写序号）
(2)请写出正确的解答过程．
23．（23-24八年级下·河北唐山·期中）在同一平面直角坐标系内有 、 两点．点 在第二象限，且到
轴的距离为 ，到 轴的距离为 ；点 在第三象限．
(1)直接写出点 的坐标；
(2)求 的取值范围；
(3)连接 ，且 垂直于 轴，求点 的坐标．
24．（12分）（23-24七年级下·安徽合肥·期中）为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，
我校计划从商场一次性购买一批足球和篮球用于开展课后服务训练，经多方调研，现决定购买A品牌篮
球和B品牌足球共50个，要求采购总费用不超过 万元．若甲、乙两商店销售这两种商品的零售价相
同，其中篮球每个零售价300元，足球每个零售价200元．
(1)若按照商场零售价直接购买，至多可以买篮球多少个？
(2)为促进消费，盘活库存，甲、乙两商店均开展“大订单超值购”活动，推出不同的优惠
方案：甲店篮球按零售价格打8折销售，足球按照零售价格原价销售；乙店按照购买篮球和足球的零售
总价格打9折销售：若学校至少采购篮球18个，请你运用所学知识，帮采购人员算一算：我校从哪家商
店购买篮球和足球更合算？说说你的理由（按照采购规定，篮球和足球只能从同一家商店购买）．参考答案：
1．A
【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个
含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向
不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
根据 ,应用不等式的性质，逐项判断即可．
【详解】解： ，
，故选项A符合题意；
，
，故选项B不符合题意；
，
，故选项C不符合题意；
，
∴ ，故选项D不符合题意．
故选：A．
2．B
【分析】此题主要考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，关键是正确计算出不等式
的解集．首先解出不等式的解集，再在数轴上表示解集即可．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
把解集在数轴上表示如下：
．
故选：B
3．D
【分析】先求出不等式的解集，然后得出负整数解，即可得出答案．本题主要考查了求一元一次不等式的
整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，注意不等式两边同除以一个负数，不等号方向发生改变．
【详解】解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
移项合并同类项得： ，
不等式两边同除以 得： ，
不等式的负整数解有 ， ， 共3个，故D正确．
故选：D
4．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小无法找．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得
解不等式②，得
不等式组 的解集为
故选C．
5．B
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，利用“总价=单价×数
量”，结合总价不超过50元可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再取其中的最大
整数值，即可得出结论．
【详解】设该顾客可以购买x瓶清凉茶饮料，
根据题意得： ，
解得： ，
又 x为整数，
x的最大值为17，即该顾客最多能购买17瓶清凉茶饮料，
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查解一元一次不等式．依次系数化为1、移项、合并同类项即可得出答案．
【详解】解： ，
，
解得 ，
观察四个选项，只有 符合题意．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查解一元一次不等式．其关键是掌握相关法则和解一元一次不等式的一般步骤，要注意去
分母时两边都要乘及两边乘以或除以负数时，不等号要改变方向，运用不等式性质、去括号法则、移项法
则，合并同类项法则逐步检查，发现错误．
【详解】解：
①去分母得 ，
②去括号得 ，
③移项得 ，
④合并同类项得 ，
⑤未知数的系数为1得 ，
故选：D．
8．C
【分析】设污染的部分为 ，根据不等式的解集为 ，进行求解即可．
【详解】解：设污染的部分为 ，则不等式为 ，
解得： ，
∵不等式的解集为 ，
∴ ，解得： ；
∴污染部分的内容为 ；
故选C．
【点睛】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查解二元一次方程组及一元一次不等式性质．熟练运算是解出本题的关键．
【详解】解:∵ ,整理得： ,
∴把 代入 得,
,解得 ,
∵该方程组无解,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴关于 的不等式 的解集为 ,
∴ ,
故选:C．
10．A
【分析】本题考查新定义运算，分情况讨论，列出不等式组，根据不等式组的解的情况进行判断取值范围
即可．
【详解】由题意可知,分三种情况：
①若 ,则 ,对于某个确定的 ,有且只有一个 使等式成立,
;②若 ,则 ,对于某个确定的 ,有且只有一个 使等
式成立, ；③若 ,则 ,对于某个确定的 ,有且只有一个使等式成立, ，
综上可知， 的取值范围是 或 ；
故选：A．
11． /
【分析】本题考查了解不等式，解题的关键是掌握正确解不等式．去分母，移项，合并即可得．
【详解】解：
，
故答案为： ．
12．2
【分析】本题考查了已知二元一次方程组解的情况求参数，解一元一次不等式， 得到
，再得出关于k的不等式，即可求解．
【详解】解：
得，
∵关于x、y的方程组 的解满足 ，
∴
∴
∵k为整数，
∴k的值最小为2．
故答案为：2．
13． /
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出不等式组中两个不等式的解集，
再根据不等式组的解集得到 ，解之即可得到答案．【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵关于x的不等式组 的解集为 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
14．
【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的实际应用，正确的理解题意，列出一元一次不等式是解题的
关键．设购买 本笔记本，根据题目意思得出第 种所需费用： ，第 种所需费用：
，利用第 种比第 种更优惠，列出不等式求解即可．
【详解】解：设购买 本笔记本，
解得： ，
∵ 取正整数，
∴最少购买 本．
故答案为： ．
15．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
根据题意列出不等式组，解之可得．
【详解】据题意，得 ，
解①，得 ．
解②，得 ．故x的取值范围是 ．
16．
【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小
大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可．
【详解】解：根据不等式组 有解，可直接得出 ．
故答案为： ．
17．
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，设这些图书有x本，根据“如果每人分5本，那么剩
余 12本”可得这些学生的人数为： ，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，
即可列出不等式组，从而得解．
【详解】解：设这些图书有x本，
∵如果每人分5本，那么剩余 12本，
∴这些学生的人数为： ，
∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，
∴可列不等式组为： ，即 ．
故答案为： ．
18．
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，能列出不等式组．根据第二次运算
结果不大于28，且第三次运算结果要大于28，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范
围．
【详解】得：由题意可得： ，
解得： ．
故答案为： ．19．(1) ；
(2)原不等式组无解．
【分析】本题考查的是一元一次不等式（组）的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可；
（2）先解不等式组中的两个不等式，再在数轴上表示其解集，结合数轴确定不等式组的解集即可．
【详解】（1）解： ，
去分母得： ，
去括号得： ，
整理得： ，
∴ ，
解得： ；
（2） ，
解：解不等式①，得 ．
解不等式②，得 ．
在数轴上表示两个不等式的解集如下：
∴原不等式组无解．
20．
【分析】本题是二元一次方程组与一元一次不等式组的综合．解方程组求得x与y的值，根据 ，即
可求得a的取值范围．
【详解】解： ，
解得： ，∵ ，
∴ ，
解得： ，
即 的取值范围为 ．
21．（1） ；（2）B；（3） ，射线
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找
不到”的原则是解答此题的关键．
（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）根据线段的概念求解即可；
（3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后根据射线的概念求解即可．
【详解】（1）
解不等式①得， ；
解不等式②得， ；
∴不等式得解集为 ；
（2）把（1）中不等式组的解用数轴上对应的点表示出来如下，
则其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是线段，
故选：B；
（3）
解不等式①得， ；
解不等式②得， ；
∴不等式得解集为 ；
在数轴上表示如下，
∴其解集在数轴上对应的所有点构成的图形是射线．
22．(1)①③④(2)
【分析】（1）根据解不等式的步骤判断即可；
（2）根据解不等式的步骤去分母，移项，合并同类项，系数化1，进行求解即可．
【详解】（1）解：这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误
的是①③④，
故答案为：①③④；
（2）解： ，
去分母得 ，
移项，合并得 ，
系数化1得 ，
∵点A在原点左侧，
，
．
23．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查点的坐标，坐标与图形，解一元一次不等式；
（1）根据第二象限的点的横坐标为负，纵坐标为正，到 轴的距离为纵坐标的绝对值，到 轴的距离为横
坐标的绝对值，即可求解；
（2）根据第三象限点的横，纵坐标都为负，建立一元一次不等式组，解不等式组，即可求解；
（3）根据 垂直于 轴，则 的横坐标为 ，进而求得 的值，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A在第二象限，且到x轴的距离为3，到y轴的距离为1；
∴（2）依题意，
解得
（3） 垂直于 轴
．
24．(1)至多可以买篮球21个
(2)当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商店一
样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适．
【分析】本题主要考查了不等式的应用，解题的关键是根据不等关系列出不等式，解不等式即可．
（1）设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球 个，根据采购总费用不超过 万元，
列出不等式，解不等式即可；
（2）设学校购买篮球m个 ，购买足球 个，得出到甲商店需要的费用为： 元，
到乙商店需要的费用为： 元，再根据采购总费用不超过 万元分别求出m的取值范围；再
分 、 、 三种情况
解答即可．
【详解】（1）解：设按照商场零售价直接购买可以购买篮球x个，足球 个，根据题意得：
，
解得： ，
答：至多可以买篮球21个．
（2）解：设学校购买篮球m个 ，购买足球 个，根据题意得：到甲商店需要的费用为： 元，解得： ，且
为整数，
到乙商店需要的费用为： 元，解得： ，
且 为整数
当 时，解得： ，此时乙商店划算；
当 时，解得： ，两个商店一样；
当 时，解得： ，即 ，此时甲商店划算；
综上，当设学校购买篮球不低于18个但不超过20个时，到乙商店划算；当学校购买篮球20个时，两个商
店一样；当购买篮球超过20个且不超过52个时，到甲商店比较合适．
