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19.2 二次根式乘法与除法
知识点一 最简二次根式的判断
1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了最简二次根式， 解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质；二次根式的
最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子．
【详解】解： A． ，不是最简二次根式，故错误；
B． ，不是最简二次根式，故错误；
C． ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误；
D． 被开方数3是质数，无平方因子，故正确；
故选：D．
2．（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，
不含分母，进行判断即可．
【详解】解：A、 ，可化简，不是最简二次根式；
B、 ，可化简，不是最简二次根式；
C、 ，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式；
D、 ，可化简，不是最简二次根式．
故选：C．
3．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的
因数是整数，因式是整式；根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握二次根式的定义是解此
题的关键．
【详解】解：A、 被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、 ，被开方数有平方因数4，故不是最简二次根式，不符合题意；
C、 被开方数中 的指数为2，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、 被开方数 不含分母，且因式 和 的指数均为1（都小于2），故是最简二次根式，
符合题意；
故选：D．
4．（24-25八年级下·吉林·期末）在下列四个式子中，最简二次根式为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，
被开方数中不含分母，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 是最简二次根式，故B符合题意；
C、 ，故C不符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：B．
知识点二 化为最简二次根式
1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）将 化成最简二次根式的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可．
【详解】解： ．
故答案为：
2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）将 化为最简二次根式： ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键．根
据二次根式性质，进行化简即可．
【详解】解： ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
3．（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可．
本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键．
【详解】解： ．
故答案为：
4．（24-25八年级下·江西赣州·阶段练习）把 化成最简二次根式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了化简二次根式， ，据此计算求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
知识点三 已知最简二次根式求参数
1．（24-25八年级下·广东惠州·期中）若 和 都是最简二次根式，则 ， ．
【答案】 1 2
【分析】本题考查了最简二次根式，解二元一次方程组，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．如
果一个二次根式符合下列两个条件： 1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数
是整数，因式是整式．那么，这个根式叫做最简二次根式．据此得到关于m、n的二元一次方程组，解之
即可．
【详解】解：∵ 和 都是最简二次根式，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ，
故答案为：1；2．
2．（24-25八年级下·陕西安康·期中）若 （ 为大于1的整数）是最简二次根式，则 的值可以是
．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查最简二次根式的定义．最简二次根式需满足：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或
因式；2、被开方数的因数是整数．根据最简二次根式的定义解答即可．
【详解】解：当 时， ，
是最简二次根式，
故答案为： （答案不唯一）．
3．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知 是最简二次根式，请写出一个满足条件的 的整数值：
．
【答案】 答案不唯一
【分析】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于
等于零是解题的关键．
先根据二次根式有意义的条件求出 的取值范围，据此即可解答．
【详解】解： 是最简二次根式，
∴ ，解得： ，
整数 的值可以是 答案不唯一 ．
故答案为： 答案不唯一 ．
4．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）若最简二次根式 与 可以合并，则a的值为
．
【答案】
【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握这两个知识点是解题的关键．根据题意得出
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学科网（北京）股份有限公司最简二次根式 与 是同类二次根式，由此得出 ，即可求出 的值．
【详解】解：依题意， ，
解得： ，
且 ， 符合题意，
故答案为： ．
知识点四 二次根式的乘法
1．（23-24八年级下·广东广州·期中）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) ；
(2) ．
【分析】本题考查了二次根式的运算，平方差公式，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（ ）根据乘法分配律，二次根式的乘法运算法则即可求出答案；
（ ）根据平方差公式，二次根式的性质即可求出答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
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学科网（北京）股份有限公司2．（24-25八年级下·广东韶关·期末）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，乘方运算，解题的关键是正确运用法则对二次根
式进行化简．先根据二次根式的乘法，积的算术平方根的性质，二次根式的乘方法则化简二次根式，最后
合并同即可．
【详解】解： ，
，
，
．
3．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算： ．
【答案】28
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．先根据乘法
分配律进行二次根式的乘法运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可．
【详解】解：
4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：
(1) ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，熟知二次根式的乘法计算法则是解题的关键．
（1）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可；
（2）直接根据二次根式的乘法计算法则求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
知识点五 二次根式的除法
1．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键；
（1）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的除法法则进行计算即可；
【详解】（1）解： ；
（2）解： ；
2．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)3
(2)2
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
（1）利用二次根式的除法法则计算即可；
（2）利用二次根式的除法法则计算即可；
（3）利用二次根式的除法法则计算即可；
（4）利用二次根式的除法法则计算即可．
【详解】（1）解： ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）解： ；
（3）解： ；
（4）解： ．
3．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键；
（1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解；
（4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：原式 ；
（2）解：原式
（3）解：原式 ；
（4）解：原式 ．
4．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据 进行化简求解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
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学科网（北京）股份有限公司．
知识点六 二次根式的乘除混合运算
1．（24-25八年级上·上海·月考）计算：
【答案】
【分析】先根据二次根式有意义的条件判断a的符号，然后根据二次根式的乘除混合运算，根号里面和外
面分别计算，最后再化简二次根式即可求解．本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是
解题的关键．
【详解】解：由题意可得 ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴
．
2．（24-25八年级下·安徽安庆·阶段练习）计算：
(1) ；
(2) ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键，
（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
3．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算：
(1) ．
(2)
【答案】(1)
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学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
4．（24-25八年级下·广东江门·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘除法的应用，根据二次根式的乘除法法则， 系数相乘除， 被开方数相
乘除， 根指数不变，计算后求出即可 ．
【详解】解：
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学科网（北京）股份有限公司1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）小君想到了一种证明等式 成立的方法．
证明过程如下：
设 ， ，则 ， ．
等号左边 ，等号右边 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴等号右边 ，
∴等号左边 等号右边，
∴等式 成立．
(1)小艳利用同样的方法求出方程 的解．她的想法是：将一个无理方程转化为一个整
式方程（组），再利用乘法公式和二元一次方程组的解法求出方程的解．请你帮助小艳完成她的求解过程．
解：设 ， ，则 ________， ________．将原无理方程
转化为用m、n表示的整式方程（组），并完成原无理方程的求解过程如下：
(2)请直接写出方程 的解为________．
【答案】(1)9；1； ．
(2)
【分析】本题主要考查了无理方程、二次根式的性质与化简、二次根式的乘除法、二元一次方程组的解等
知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）依据题意，由 、 ，则 ， ，又
，则 可求出m，n，进而完成解答；
（2）解法一：依据题意，由 ，从而
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，故 ，然后整理后求解即可．
解法二：设 ，由题意得， ，计算可得 ，
进而可得 ，据此求解即可．
【详解】（1）解：设 ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
联立 ，解得：
∴ ．
∴ ．
故答案为：9；1．
（2）解法一：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，解得： ．
经检验： 是原方程的解．
解法二：设 ，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得： ．
经检验： 是原方程的解．
故答案为： ．
2．（24-25八年级下·湖南湘潭·开学考试）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发
现：当 ， 时，有 ，所以 ，当且仅当 时取等号．请利
用上述结论解决以下问题：
(1)当 时， 的最小值为_______；当 时， 的最大值为________；
(2)当 时，求代数式 的最小值，并求出此时 的值．
【答案】(1)2；
(2)当 时，代数式 的最小值为11，此时 的值为4
【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的乘法、利用平方根解方程，灵活运用完全平方公式和二次
根式的运算是解题关键．
（1）当 时，则 ，由此即可得；当 时， ，
由此即可得；
（2）先将代数式变形为 ，再根据 可得 （当且
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学科网（北京）股份有限公司仅当 时取等号），由此即可得．
【详解】（1）解：当 时，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ （当且仅当 时取等号），
∴当 时， 的最小值为2．
当 时，则 ，
∵ ，
∴ （当且仅当 时取等号），
∴ ，
∴当 时， 的最大值为 ．
故答案为：2； ．
（2）解： ，
当 时，则 ，
∵ ，
∴ （当且仅当 时取等号），
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学科网（北京）股份有限公司∴ （当且仅当 时取等号），
∴ （当且仅当 时取等号），
由 得： ，解得 或 （不符合题意，舍去），
经检验， 是方程 的解，
所以当 时，代数式 的最小值为11，此时 的值为4．
3．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式
子可以写成另一个式子的平方．如 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设
（其中a，b，m，n均为整数），则有 ， ，
这样小明就找到一种把式子 化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若 ，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：
______， ______；
(2)若 ，当a，m，n均为正整数时，求a的值；
【答案】(1) ， ；
(2)13或7 ．
【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．
（1）仿照例题计算即可得；
（2）仿照例题计算，得出 ， ，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入
即可求解；
【详解】（1）解： ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ， ；
（2）解： ，
， ，
，
m，n均为正整数，
， ，或 ， ，
当 ， 时， ，
当 ， 时， ，
综上可知，a的值为13或7；
4．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）定义：我们将 与 称为一对“有理式”．因为
，通过这样一对“有理式”乘积可以有效的去掉根号，所以有
一些题可以通过构造这种“有理式”来解决．
例如：已知 ，求 的值，可以这样解答：
因为 ，所以 ．
已知： ，求：
(1)①求代数式 中 的取值范围
②求代数式的值；
(2)结合已知条件和第（1）问的结果，解方程： ；
【答案】(1)① ，②
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、平方差公式的应用等知识点，掌握二
次根式有意义的条件成为解题的关键．
（1）①根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可；②运用平方差公式进行变形，然后整体代入计
算即可；
（2）根据（1）中②的方法构成方程组求解，然后再检验即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解：① 由二根式有意义的条件得到： ，
解得 ，
即 的取值范围是 ；
②∵
，
而 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
而 ，
两式相加得到 ，
即 ，
则 ，
解得 ，
经检验， 是原方程的根，
即方程 的解是 ；
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