文档内容
2024-2025 学年八年级数学下学期期中专项卷
【计算题篇】
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
考前须知：
1．本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题。
2．测试范围：二次根式（人教版）。
第Ⅰ卷
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。）
1．（3分）（2024春•宜城市期中）下列计算正确的是（ ）
A．3❑√2⋅4❑√2=12❑√2
B．❑√(−9)×(−4)=❑√−9×❑√−4=6
√2 √ 2
C．−3❑ =❑(−3) 2× =❑√6
3 3
D．❑√132−122=❑√(13+12)(13−12)=5
【分析】根据二次根式的性质得到3❑√2•4❑√2=24；对于❑√(−9)×(−4)，先确定符合，再根据二次根式乘
√2 √ 2
法法则得到❑√(−9)×(−4)=❑√9×❑√4=6；、根据二次根式的性质和乘法法得到﹣3❑ =−❑32× =−❑√6
3 3
；对于❑√132−122，先计算根号内的运算得到❑√132−122=❑√(13+12)(13−12)=5．
【解答】解：A、3❑√2•4❑√2=24，所以A选项不正确；
B、❑√(−9)×(−4)=❑√9×❑√4=6，所以B选项不正确；
√2 √ 2
C、﹣3❑ =−❑32× =−❑√6，所以C选项不正确；
3 3
D、❑√132−122=❑√(13+12)(13−12)=5，所以D选项正确．
故选：D．
2．（3分）（2024春•江夏区期中）下列计算错误的是（ ）
A．❑√80−❑√45=❑√5
√3 √ 1
B．❑ ÷❑ =3❑√3
2 18√1
C．❑√3x⋅❑ xy=x❑√y
3
D．(❑√2+3)(−❑√2+5)=13−2❑√2
【分析】根据二次根式的减法运算对A选项进行判断；根据二次根式的除法法则对B选项进行判断；根据
二次根式的乘法法则对C选项进行判断；利用多项式乘以多项式展开，然后合并，则可对D选项进行判
断．
【解答】解：A．❑√80−❑√45=4❑√5−3❑√5=❑√5，所以A选项不符合题意；
√3 √ 1 √3
B．❑ ÷❑ =❑ ×18=3❑√3，所以B选项不符合题意；
2 18 2
√1 √ 1
C．❑√3x•❑ xy=❑3x⋅ xy=x❑√y，所以C选项不符合题意；
3 3
D．（❑√2+3）（−❑√2+5）＝﹣2+5❑√2−3❑√2+15＝13+2❑√2，所以D选项符合题意．
故选：D．
4
3．（3分）（2024春•汉阳区期中）已知 a = ，b=❑√5+3，则a与b的关系是（ ）
❑√5−3
A．互为相反数 B．相等
C．互为倒数 D．互为负倒数
【分析】把a的值分母有理化即可．
4 4(❑√5+3) 4(❑√5+3)
【解答】解：∵a= = = =−（❑√5+3），
❑√5−3 (❑√5−3)(❑√5+3) 5−9
∴a与b互为相反数．
故选：A．
4．（3分）（2024春•湖北期中）化简(❑√3−2) 2023 (❑√3+2) 2024的结果为（ ）
A．﹣1 B．❑√3−2 C．❑√3+2 D．−❑√3−2
【分析】利用积的乘方得到原式=[(❑√3−2)(❑√3+2)] 2023 •(❑√3+2)，然后利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式=[(❑√3−2)(❑√3+2)] 2023 ⋅(❑√3+2)
=(3−4) 2023 (❑√3+2)
=−(❑√3+2)
=−❑√3−2，
故选：D．
√ 1
5．（3分）（2024春•东宝区校级期中）把(x−1)❑− 根号外的因式移入根号内，结果为（ ）
x−1A．❑√1−x B．−❑√1−x C．❑√x−1 D．−❑√x−1
1
【分析】由于被开方数− ＞0，可确定x﹣1的取值范围，然后再按二次根式的乘除法法则计算即可．
x−1
1
【解答】解：由已知可得：− ＞0，
x−1
∴x﹣1＜0，即1﹣x＞0，
√ 1 √ (1−x) 2
∴(x−1)❑− =−❑− =−❑√1−x．
x−1 x−1
故选：B．
6．（3分）（2024春•天河区校级期中）若a=❑√2+1，b=❑√2−1，则❑√a2+3ab+b2=（ ）
A．2 B．❑√5 C．❑√7 D．3
【分析】根据完全平方公式将a2+3ab+b2变形为（a+b）2+ab，再代入a+b，ab的值求解即可．
【解答】解：∵a=❑√2+1，b=❑√2−1，
∴a+b=❑√2+1+❑√2−1=2❑√2，
ab=(❑√2+1)(❑√2−1)=(❑√2) 2 −1=1，
∴❑√a2+3ab+b2
=❑√(a+b) 2+ab
=❑√ (2❑√2) 2+1
=❑√8+1
＝3，
故选：D．
7．（3分）（2024春•海珠区校级期中）已知a、b、c在数轴上的位置如图：化简
❑√a2−|a+b|+❑√(c−a) 2+|b+c|=（ ）
A．a+b﹣c B．2b+2c﹣a C．2c﹣a D．2b﹣a
【分析】先根据数轴判断出a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，再利用二次根式和绝对值的性质进行化简．
【解答】解：由数轴得：a＜b＜0＜c，|a|＞|c|＞|b|，
∴a+b＜0，c﹣a＞0，b+c＞0，
∴原式＝﹣a﹣（﹣a﹣b）+c﹣a+b+c＝﹣a+a+b+c﹣a+b+c＝2b+2c﹣a，
故选：B．
8．（3分）（2024春•硚口区期中）已知x+1=❑√5，则x3+3x2﹣2x+1的值是（ ）A．❑√5 B．2❑√5 C．5 D．6
【分析】求出x=❑√5−1，变形后得出x3+3x2﹣2x+1＝x2（x+2）+（x﹣1）2，再代入，最后根据二次根式的
运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵x+1=❑√5，
∴x=❑√5−1，
∴x2＝（❑√5−1）2＝5+1﹣2❑√5=6﹣2❑√5，
∴x3+3x2﹣2x+1
＝x3+2x2+x2﹣2x+1
＝x2（x+2）+（x﹣1）2
＝（6﹣2❑√5）×（❑√5−1+2）+（❑√5−1﹣1）2
＝（6﹣2❑√5）×（❑√5+1）+（❑√5−2）2
＝6❑√5+6﹣10﹣2❑√5+5+4﹣4❑√5
＝5．
故选：C．
9．（3分）（2024春•来凤县期中）正整数a，b满足a＞b，且❑√a和❑√b是可以合并的二次根式，若
√b
❑√a+❑√b=❑√75，❑√a−❑√b=❑√27，则❑ 的值为（ ）
a
1 1
A． B． C．❑√3 D．1
4 2
【分析】根据题意列出方程组，解方程组求出❑√a、❑√b，进而求出a、b，再根据二次根式的性质计算即
可．
{❑√a+❑√b=5❑√3)
【解答】解：由题意得： ，
❑√a−❑√b=3❑√3
{❑√a=4❑√3)
解得： ，
❑√b=❑√3
∴a＝48，b＝3，
√b √ 3 √ 1 1
则❑ =❑ =❑ = ，
a 48 16 4
故选：A．
10．（3分）（2024春•湖北期中）已知a、b满足
c2−a2
|2023−a|−(b−2024)❑√2024−b=❑√c−2025+❑√2025−c，则 =（ ）
b
A．4 B．8 C．2024 D．4048【分析】根据二次根式有意义的条件以及非负数的性质可得三边a、b、c的值，然后代入可得答案．
【解答】解：∵a、b满足|2023−a|−(b−2024)❑√2024−b=❑√c−2025+❑√2025−c，
{c−2025≥0)
∴ ，
2025−c≥0
∴c＝2025，
∴|2023﹣a|+（2024﹣b）❑√2024−b=0，
∴2023﹣a＝0，2024﹣b＝0，
∴a＝2023，b＝2024，
c2−a2 20252−20232 (2025+2023)(2025−2023)
则 = = =4，
b 2024 2024
故选：A．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024春•黄石期中）已知❑√11−1的整数部分为a，小数部分为b，则(❑√11+a)(b+1)= 7 ．
【分析】由于3＜❑√11＜4，则可得到a＝2，b=❑√11−1﹣2=❑√11−3，代入所求得式中得到（❑√11+2）（
❑√11+1﹣3），然后利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：根据题意得a＝2，b=❑√11−1﹣2=❑√11−3，
∴原式＝（❑√11+2）（❑√11+1﹣3）＝（❑√11）2﹣22＝11﹣4＝7．
故答案为7．
12．（3分）（2024春•崇川区校级期中）我们把形如a❑√x+b（a，b为有理数，❑√x为最简二次根式）的数叫
做❑√x型无理数，如2❑√5+1是❑√5型无理数，则(❑√6−❑√2) 2是 ❑√3 型无理数．
【分析】利用完全平方公式进行化简即可．
【解答】解：(❑√6−❑√2) 2=6+2−4❑√3=8−4❑√3
∴(❑√6−❑√2) 2是❑√3型无理数．
故答案为：❑√3．
1 1
13．（3分）（2024春•江夏区期中）已知a= ，b= ，求3a2+11ab﹣3b2的值是 1 1 ﹣ 2 4❑√3
2+❑√3 2−❑√3
．
【分析】先根据二次根式的混合运算法则进行化简，再代入计算即可．
【解答】解：原式＝3a2+11ab﹣3b2
＝3（a2﹣b2）+11ab
＝3（a+b）（a﹣b）+11ab，
1 1
∵a= ，b= ，
2+❑√3 2−❑√3∴a＝2−❑√3，b＝2+❑√3
∴ab＝1，a+b＝4，a﹣b＝﹣2❑√3，
∴原式＝3×4×（﹣2❑√3）+11×1
＝11﹣24❑√3，
故答案为：11﹣24❑√3．
4
14．（3分）（2024春•武昌区期中）已知x=❑√3−1，则代数式x3−4x−
的值为 ﹣ 8 ．
x
1
【分析】根据二次根式的乘法法则求出x3，利用分母有理化求出 ，代入原式计算得到答案．
x
【解答】解：∵x=❑√3−1，
1 1 ❑√3+1 ❑√3+1
∴x2＝（❑√3−1）2＝3﹣2❑√3+1＝4﹣2❑√3， = = = ，
x ❑√3−1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2
∴x3＝x2•x＝（4﹣2❑√3）（❑√3−1）＝4❑√3−4﹣6+2❑√3=6❑√3−10，
4 ❑√3+1
则x3﹣4x− =6❑√3−10﹣4（❑√3−1）﹣4× =6❑√3−10﹣4❑√3+4﹣2❑√3−2＝﹣8，
x 2
故答案为：﹣8．
15．（3分）（2024春•蔡甸区校级期中）若❑√x−2024−❑√x−2049=1，则❑√x−2024+❑√x−2049= 2 5
．
【分析】根据平方差公式求出（❑√x−2024−❑√x−4049）×（❑√x−2024+❑√x−4049）＝25，再根据题
意计算即可．
【解答】解：（❑√x−2024−❑√x−4049）×（❑√x−2024+❑√x−4049）
＝（❑√x−2024）2﹣（❑√x−4049）2
＝x﹣2024﹣x+4049
＝25，
∵❑√x−2024−❑√x−4049=1，
∴❑√x−2024+❑√x−4049=25，
故答案为：25．
❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
16．（3分）（2024春•恩施州期中）设x= ，y= ，当t为 2 时，代数式
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
20x2+62xy+20y2＝2022．
【分析】根据分母有理化可得xy，x+y的值，由20x2+62xy+20y2，可得20（x+y）2+22xy＝2022，解方程即
可算出t的值，根据题意即可得出答案．❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
【解答】解：∵xy＝（ ）（ ）＝1，
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
❑√t+1−❑√t ❑√t+1+❑√t
x+y= + =4t+2，
❑√t+1+❑√t ❑√t+1−❑√t
∴20x2+62xy+20y2＝20（x+y）2+22xy＝2022，
∴20（4t+2）2+22＝2022，
解得：t＝2或t＝﹣3（舍去）
∴t＝2．
故答案为：2．
三．解答题（共9小题，满分72分，每小题8分）
17．（8分）（2024春•金州区期中）计算：
√1 √32
（1）❑√40÷❑√5−❑ ×❑√72+❑ ×❑√3；
4 3
（2）(❑√3+❑√2) 2−(2❑√3+❑√7)(2❑√3−❑√7)．
【分析】（1）先根据二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可；
（2）先根据完全平方公式和平方差公式计算，然后合并即可．
1 √32
【解答】解：（1）原式=❑√40÷5− ×6❑√2+❑ ×3
2 3
＝2❑√2−3❑√2+4❑√2
＝3❑√2；
（2）原式＝3+2❑√6+2﹣（12﹣7）
＝5+2❑√6−5
＝2❑√6．
18．（8分）（2024秋•铁西区校级月考）计算：
❑√2 −2
（1）|2−❑√8|+(❑√2−1) 2 −( ) +(π−3) 0；
2
√5 √3
（2）(❑ +❑ )×❑√20−(❑√3−❑√5)(❑√3+❑√5)．
3 5
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数幂及零指数幂，再利用完全平方公式计算，最后合并
即可；
（2）利用乘法分配律及平方差公式计算二次根式乘法，再合并即可．
【解答】解：（1）原式=|2−2❑√2|+(2−2❑√2+1)−(❑√2) 2+1
=2❑√2−2+2−2❑√2+1−2+1＝0；
√5 √3
（2）原式=(❑ ×❑√20+❑ ×❑√20)−(3−5)
3 5
√100
=❑ +❑√12+2
3
10❑√3
= +2❑√3+2
3
16❑√3
= +2．
3
2 2 b a
19．（8分）（2024春•十堰期中）已知a = ，b = ，求值：（1） + ；（2）3a2﹣ab+3b2．
❑√7+❑√5 ❑√7−❑√5 a b
b a
【分析】（1）根据二次根式的分母有理化把a、b化简，求出a+b=2❑√7和ab＝2，将 + 通分再根据完
a b
全平方公式转化计算即可；
（2）将3a2﹣ab+3b2化为3（a+b）2﹣7ab，再代入求值即可．
2 2(❑√7−❑√5)
【解答】解：（1）a= = =❑√7−❑√5，
❑√7+❑√5 (❑√7+❑√5)(❑√7−❑√5)
2 2(❑√7+❑√5)
b= = =❑√7+❑√5，
❑√7−❑√5 (❑√7−❑√5)(❑√7+❑√5)
∴a+b=2❑√7，ab=(❑√7−❑√5)(❑√7+❑√5)=2，
b2 a2
原式= +
ab ab
(a+b) 2−2ab
=
ab
(a+b) 2
= −2
ab
(2❑√7) 2
= −2
2
＝14﹣2
＝12；
（2）原式＝3a2+6ab+3b2﹣7ab
＝3（a+b）2﹣7ab
=3×(2❑√7) 2−7×2
＝3×28﹣7×2＝70．
1 ❑√2 ❑√3−1
20．（8分）（2024春•恩施市校级期中）（1）计算： = ， = 2−❑√3 ；
❑√2 2 ❑√3+1
1
（2）已知x= ，求代数式(7+4❑√3)x2+(2+❑√3)x+❑√3的值；
2+❑√3
1
（3）比较大小：❑√2023−❑√2022 ＞ ．
❑√2023+❑√2022+1
【分析】（1）根据二次根式的分母有理化可进行求解；
（2）直接把x的值代入求解即可；
1
（3）由题意得 =❑√2023−❑√2022，进而问题可求解．
❑√2023+❑√2022
1 ❑√2 ❑√3−1 (❑√3−1) 2 4−2❑√3
【解答】解：（1） = ， = = =2−❑√3；
❑√2 2 ❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) 2
❑√2
故答案为： ，2−❑√3；
2
1
（2）∵x= ，
2+❑√3
1 1
∴x2=(
)
2=
，
2+❑√3 7+4❑√3
1 1
∴(7+4❑√3)x2+(2+❑√3)x+❑√3=(7+4❑√3)× +(2+❑√3)× +❑√3=2+❑√3；
7+4❑√3 2+❑√3
1
（3）∵ =❑√2023−❑√2022，
❑√2023+❑√2022
1
∴❑√2023−❑√2022＞ ；
❑√2023+❑√2022+1
故答案为：＞．
1 1 x y
21．（8分）（2024春•蕲春县期中）（1）已知x= （❑√5+❑√3），y= （❑√5−❑√3），求 + 的值
2 2 y x
1 √ x y √ x y
（2）y=❑√1−8x+❑√8x−1+ ，求代数式❑ + +2−❑ + −2．
2 y x y x
(x+ y) 2−2xy
【分析】（1）根据x、y计算出x+y、xy的值，再将其代入到原式变形后的式子 即可；
xy
2x
（2）二次根式的意义得出x的值，继而可得y的值，代入到原式变形后的式子 即可得．
❑√xy1 1
【解答】解：（1）∵x= （❑√5+❑√3），y= （❑√5−❑√3），
2 2
1
∴x+y=❑√5，xy= ，
2
x y x2+ y2
∴ + =
y x xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
1
(❑√5) 2−2×
2
=
1
2
5−1
=
1
2
＝8；
（2）∵1﹣8x≥0且8x﹣1≥0，
1
∴x= ，
8
1 1
当x= 时，y= ，
8 2
√x2+ y2+2xy √x2+ y2−2xy
则原式=❑ −❑
xy xy
√(x+ y) 2 √(x−y) 2
=❑ −❑
xy xy
x+ y y−x
= −
❑√xy ❑√xy
2x
=
❑√xy
1
2×
8
=
√1 1
❑ ×
8 21
4
=
1
4
＝1．
22．（8分）（2024春•天河区校级期中）如图，矩形ABCD内三个相邻的正方形的边长分别为m、n和1．
（1）求图中阴影部分的面积（用含m和n的式子表示）；
1 1
（2）若m=(a+ ) 2+2❑√5，n=a− =❑√5−1，求阴影部分的面积．
a a
【分析】（1）由题意知，AB＝m+n+1，BC＝m，根据S =(n+1)m−n2−12，整理求解即可；
阴影
1 1 1
（2）由n=a− =❑√5−1，可得n2=(a− ) 2=(❑√5−1) 2 ，运算求解得n2=6−2❑√5，a2+ =8−2❑√5，
a a a2
1
由m=(a+ ) 2+2❑√5，可得m＝10，然后将n2、n、m的值代入S =−n2+(n+1)m−1中，计算求解即
a 阴影
可．
【解答】解：（1）由题意知，AB＝m+n+1，BC＝m，
∴S =(n+1)m−n2−12=−n2+(n+1)m−1，
阴影
∴图中阴影部分的面积为﹣n2+（n+1）m﹣1；
1
（2）∵n=a− =❑√5−1，
a
1 1 1
∴n2=(a− ) 2=(❑√5−1) 2 ，即n2=a2+ −2=6−2❑√5，则a2+ =8−2❑√5，
a a2 a2
1
∵m=(a+ ) 2+2❑√5，
a
1
∴m=a2+ +2+2❑√5=10，
a2
将n2=6−2❑√5，n=❑√5−1，m＝10代入S =−n2+(n+1)m−1中得，
阴影
S =−(6−2❑√5)+(❑√5−1+1)×10−1=12❑√5−7，
阴影
∴阴影部分的面积为12❑√5−7．23．（8分）（2024春•沙洋县期中）著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重
要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐
的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：
数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．
例如：❑√3+2❑√2=❑√1+2×1×❑√2+2=❑√12+2×1×❑√2+(❑√2) 2=❑√(1+❑√2) 2=1+❑√2．
解决问题：
（1）在括号内填上适当的数：❑√14+6❑√5=❑√9+2×3×❑√5+①=❑√(3+②) 2=③
①： 5 ，②： ❑√5 ，③ 3+❑√5 ．
（2）根据上述思路，化简并求出❑√28−10❑√3+❑√7+4❑√3的值．
【分析】（1）模仿样例进行解答便可；
（2）把28看成52+(❑√3) 2，7看成22+(❑√3) 2，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便
可开方计算得结果．
【解答】解：（1）由题意得，❑√14+6❑√5=❑√9+2×3×❑√5+5=❑√(3+❑√5) 2=3+❑√5，
则①＝5，②=❑√5，③＝3+❑√5，
故答案为：①5；②❑√5；③3+❑√5；
（2）❑√28−10❑√3+❑√7+4❑√3
=❑√25−2×5×❑√3+3+❑√4+2×2×❑√3+3
=❑√(5−❑√3) 2+❑√(2+❑√3) 2
＝5−❑√3+2+❑√3
＝7．
24．（8分）（2024春•思明区校级期中）定义：我们将（❑√a+❑√b）与（❑√a−❑√b）称为一对“对偶式”．
因为（❑√a+❑√b）（❑√a−❑√b）＝（❑√a）2﹣（❑√b）2＝a﹣b，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效
的将（❑√a+❑√b）和（❑√a−❑√b）中的“❑√❑”去掉，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如
2+❑√2 (2+❑√2) 2
= =3+2❑√2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把
2−❑√2 (2−❑√2)(2+❑√2)
根号中的分母化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）请直接写出❑√7+❑√2的对偶式 ❑√7−❑√2 ；
1 1 m−n
（2）已知m = ，n = ，求 的值；
2−❑√3 2+❑√3 m2n+mn2
（3）利用“对偶式”相关知识解方程：❑√20−x−❑√4−x=2，其中x≤4．
【分析】（1）由定义直接可得答案；（2）先化简m、n，求出m+n、m﹣n，mn，再将所求式子变形，代入即可算得答案；
（3）两边乘❑√20−x+❑√4−x，得到❑√20−x+❑√4−x=8，再相加得❑√20−x=5，即可解出x的值．
【解答】解：（1）根据“对偶式”定义可得，❑√7+❑√2的对偶式是❑√7−❑√2，
故答案为：❑√7−❑√2；
1 2+❑√3
（2）∵m = = = 2+❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
1 2−❑√3
n= = =2−❑√3，
2+❑√3 (2+❑√3)(2−❑√3)
∴m+n＝4，m﹣n＝2❑√3，mn＝1，
m−n
∴
m2n+mn2
m−n
=
mn(m+n)
2❑√3
=
1×4
❑√3
= ；
2
（3）❑√20−x−❑√4−x=2①，
∴（❑√20−x−❑√4−x）（❑√20−x+❑√4−x）＝2（❑√20−x+❑√4−x），
∴❑√20−x+❑√4−x=8②，
①+②得：2❑√20−x=10，
❑√20−x=5，
20﹣x＝25，
∴x＝﹣5，
经检验，x＝﹣5是原方程的解，
∴原方程的解是x＝﹣5．
25．（8分）（2024春•天河区期中）阅读材料：像（❑√5+❑√2）（❑√5−❑√2）＝3、❑√a•❑√a=a（a≥0）、（
❑√b+1）（❑√b−1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两
个代数式互为有理化因式．例如❑√3与❑√3，❑√2+1与❑√2−1，2❑√3+3❑√5与2❑√3−3❑√5等都是互为有理化因
式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
1 ❑√3 ❑√3 ❑√2+1 (❑√2+1) 2
例如： = = ； = =3+2❑√2．
2❑√3 2❑√3×❑√3 6 ❑√2−1 (❑√2−1)(❑√2+1)解答下列问题：
2 ❑√2
（1）3−❑√7与 3+❑√7 互为有理化因式，将 分母有理化得 ；
3❑√2 3
1 6
（2）计算： − ；
2−❑√3 ❑√3
a b
（3）已知有理数a、b满足 + =−1+2❑√2，求a、b的值．
❑√2+1 ❑√2
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
2 2×❑√2 2❑√2 ❑√2
【解答】解：（1）3−❑√7与3+❑√7互为有理化因式， = = = ，
3❑√2 3❑√2×❑√2 6 3
❑√2
故答案为：3+❑√7， ；
3
1 6
（2） −
2−❑√3 ❑√3
=2+❑√3−2❑√3
＝2−❑√3；
a b
（3）∵ + =−1+2❑√2，
❑√2+1 ❑√2
❑√2
∴（❑√2−1）a+ b＝﹣1+2❑√2，
2
b
∴﹣a+（a+ ）❑√2=−1+2❑√2，
2
b
∴﹣a＝﹣1，a+ =2，
2
解得，a＝1，b＝2．
