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2025年秋季九年级开学摸底考试模拟卷（福建专用）
数学·答案及评分参考
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C A D D A D C C B
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，请把答案直接填写在横线上
11．y=− x（答案不唯一）
12．30
13．1
{x=2
)
14．
y=4
15．m<2
16．①②
三、解答题:本大题有9个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【详解】（1）解：(x+2)(x−2)=3(x−2)，
(x+2−3)(x−2)=0，
(x−1)(x−2)=0，
x−1=0或x−2=0，
解得：x =1，x =2；（4分）
1 2
（2）2x2 −5x−3=0，
则a=2，b=−5，c=−3，
则Δ=(−5) 2 −4×2× (−3)=49，
5±❑√49
∴x= ，
2×2
1
解得：x =3，x =− ．（8分）
1 2 2
18．【详解】（1）解：原式=5−2=3；（4分）
（2）解：原式=❑√6−❑√24=❑√6−2❑√6=− ❑√6．（8分）
19．【详解】（1）解：∵正比例函数y=−3x的图象与一次函数y=kx+b的图象交于点P(m,3)，
∴−3 m=3，m=−1，
∴P(−1,3)，
把(1,−1)和(−1,3)代入一次函数y=kx+b，得
{k+b=1
)
，（2分）
−k+b=3{k=−1
)
解得 ，
b=2
∴一次函数解析式是y=− x+2；（4分）
（2）解：由（1）知一次函数表达式是y=− x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，−x+2=0，
解得：x=2，（6分）
∴C(2,0)，D(0,2)，
∴OC=2，
1
∴S ＝ OC⋅|y )
△COP 2 p
1
= ×2×3=3．（8分）
2
20．【详解】（1）证明：∵BF∥DE，EF∥DB．
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，（2分）
∵D，E分别是AB，BC的中点，
1
∴DE是△ABC的中位线，BD= AB，
2
1
∴DE= AC，
2
∴BD=DE，
∴四边形BDEF是菱形；（4分）
（2）补全图形如下图：
∵四边形BDEF是菱形，
1
∴DF⊥BE，BM=EM= BE=2，
2
∴∠DME=90°，（5分）
∵DE是△ABC的中位线，
1
∴CE=BE=4，DE= AC=❑√5，（6分）
2
在Rt△DEM中，DM=❑√DE2 −EM2=❑√5−4=1，
在Rt△CDM中，CM=EM+CE=2+4=6，
∴CD=❑√DM2+CM2=❑√1+36=❑√37．（8分）21．【详解】（1）解：∵甲班中90出现3次，出现的次数最多，
∴甲班10名学生测试成绩的众数是90，即a=90，（1分）
把甲班10名学生测试成绩从小到大排列，第5个数和第6个数分别是90，93，
90+93
故甲班10名学生测试成绩的中位数是 =91.5，即b=91.5，（2分）
2
87+89+92+95+92+92+85+92+96+100
根据乙班10名学生的数据得出乙班10名学生的平均数= =92，即
10
c=92，（3分）
故答案为：90，91.5，92；
15
（2）600× ×100%=450(人)，
20
答：估计参加知识竞赛的600名学生中成绩为优秀的学生共有450人．（5分）
（3）乙班成绩较好，
理由如下：乙班的平均数高于甲班的平均数，说明乙班成绩平均水平高，
乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班成绩比较稳定，
∴乙班成绩较好．（8分）
22．【详解】（1）证明：∵2a+b+c=0，
∴b=−2a−c，
∴Δ=b2 −4ac=(−2a−c)2 −4ac=4a2+c2，（3分）
∵ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，∴a≠0，∴a2>0，
又c2≥0，∴Δ=4a2+c2>0，
∴方程总有两个不相等的实数根．（5分）
（2）解：∵方程ax2+bx+c=0的两实根为x ，x ，
1 2
b c
∴x +x =− ，x x = ， （6分）
1 2 a 1 2 a
又∵x2+x2 −x x =10，
1 2 1 2
∴(x +x )2 −3x x =10，
1 2 1 2
b 3c
∴ ( − ) 2 − =10， （8分）
a a
∵c=− b−2a，
∴ ( −
b
) 2 −
3(−b−2a)
=10，
a a
b 2 b
整理得： ( ) +3⋅ −4=0，
a a
b b
∴ =1或 =−4，
a a
∴a,b之间的数量关系为b=a或b=−4a．（10分）
23．【详解】（1）解：设购买“神舟”模型x个，则购买“天宫”模型(200− x)个，依题意可列函数关系式为：w=18x+30(200− x)，
即w=−12x+6000，
∴w与x的函数关系式为w=−12x+6000；（3分）
（2）解：∵购进“天宫”模型数量不超过“神舟”模型的2倍，且购进这两种模型共200个，
{200− x≤2x
)
∴ ，
x≤199
2
解得66 ≤x≤199，
3
∵在w=−12x+6000中，−12<0，
∴在w=−12x+6000中，w随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x=67时，w =−12×67+6000=5196，
max
此时200− x=133，
∴当购进“神舟”模型和“天宫”模型各67和133个时利润最大，最大利润是5196元；（6分）
（3）解：依题意，得w=(18+m)x+30(200− x)，
2
即w=(m−12)x+6000（66 ≤x≤80且x为整数），
3
①当5≤m<12时，m−12<0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=67时，w值最大．（7分）
2
②当m=12时，在66 ≤x≤80内x取任意整数值，w值恒为6000．（8分）
3
③当12<m≤15时，m−12>0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=80时，w值最大．
2
综上所述，当5≤m<12时，x=67获得利润最大；当m=12时，购进“神舟”模型数量在66 ≤x≤80内x
3
取任意整数值，均获得利润最大；当12<m≤15时，x=80获得利润最大．（10分）
24．【详解】（1）解：过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD
于点R，连接PC，如图所示：
①解：∵ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠CDP=45°，AD=CD，
∴在△ADP和△CDP中：AD=CD
{ )
∠ADB=∠CDP ，
PD=PD
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC；（3分）
②解：∵ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠PBA=∠PBC=45°，∠ABC=∠BAD=90°，
∵GH∥AB，SR∥AD，
∴∠ABC=∠BAD=∠PHB=∠PSB=90°，
∴∠PBA=∠PBC=∠SPB=∠BPH=45°，（4分）
∴△BPH和△BPS为等腰直角三角形，
∴四边形SPHB为正方形，
∴RC=SP=BH=AG=PH，
同理可证四边形GPRD为正方形，（5分）
∴PG=PR，
∵PQ⊥AP，
∴∠APQ=90°，
∴∠APG+∠QPH=90°，
∵∠QPH+∠PQH=90°，
∴∠APG=∠PQH，
在△PGA和△QHP中：
∠APG=∠PQH
{ )
∠PGA=∠PHQ ，
AG=PH
∴△PGA≌△QHP（AAS），（7分）
∴PA=PQ，
由①得：PA=PC，
∴PQ=PC，
∵在Rt△DPR中，PR2+RD2=PD2，
∴2PR2=PD2，
❑√2
∴PR= PD，
2
❑√2
∴CQ=2HC=2PR=2× PD=❑√2PD；（8分）
2
（2）解：解：过点P作AB的平行线交AD于G，交BC于点H，过点P作AD的平行线交AB于S，交CD于点R，
连接PC，如图所示：（9分）
∴根据（1）中的解法同理可得：CQ=❑√2PD，PH=BH，PQ=PC，
1 1 ❑√2
∴QH=HC= CQ= ×❑√2PD= PD，（10分）
2 2 2
∵在Rt△BPH中，PH2+BH2=BP2，
∴2BH2=BP2，
❑√2
∴BH= BP，（11分）
2
∵QH−BH=BQ，
❑√2 ❑√2
∴ PD− BP=BQ，
2 2
∴PD−BP=❑√2BQ．（12分）
25．【详解】（1）设直线AB的表达式为y=kx+b(k≠0)，根据题意，得
3
{b=6，
)
{k=− ，)
解得 4
8k+b=0.
b=6.
3
∴直线AB的表达式为y=− x+6；（4分）
4
（2）当△ABC是直角三角形时，
∵∠BAC≠90°，∴∠ACB=90°或∠CBA=90°．
①当∠ACB=90°时，点C与点O重合，此时m=0．（5分）
②当∠CBA=90°时，点C在x轴负半轴上，设OC=n．
∵OA=8，OB=6，
∴AC=n+8，AB=❑√OB2+OA2=10，BC2=OC2+OB2=n2+36．（7分）
在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2=BC2+AB2，
9
即(n+8)2=(n2+36)+102，解得n= ．
2
9
∴点C的坐标是(− ，0)．（8分）
2
3 3 9 27
∵点C在直线y= x+m上，∴0= ×(− )+m．解得m= ．
4 4 2 8
27
综上，m= 或0；（9分）
83 2
{y=− x+6，) {x=4− m，)
4 3
（3）联立方程 解得
3 m
y= x+m. y=3+ .
4 2
2 m
∴点P的坐标是(4− m，3+ )，．
3 2
3
当x=0时，y= ×0+m=m，∴点D的坐标是(0，m)，
4
3 4
由 x+m=0，解得x=− m．
4 3
4
∴点C的坐标是(− m，0)．（10分）
3
如图2，当点D在x轴下方时，
1 1 1 2 1 4 1 2
S =S −S = BD⋅x − BD⋅x = BD×(4− m)− BD⋅ (− m)= BD⋅(4+ m)，
△PBC △PBD △BCD 2 P 2 C 2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 2 1 2
S =S −S = BD⋅x − BD⋅x = BD×8− BD⋅ (4− m)= BD⋅(4+ m)
△PAD △ABD △PBD 2 A 2 P 2 2 3 2 3
∴S =S （12分）
△PBC △PAD
如图3，当点D在x轴上方时，1 1 1 2 1 4 1 2
S =S +S = BD⋅x + BD⋅ (−x )= BD×(4− m)+ BD⋅ m= BD×(4+ m)，
△PBC △PBD △BCD 2 P 2 C 2 3 2 3 2 3
1 1 1 1 2 1 2
S =S −S = BD⋅x − BD⋅x = BD×8− BD⋅ (4−m)= BD⋅(4+ m)
△PAD △ABD △PBD 2 A 2 P 2 2 3 2 3
∴S =S ．（14分）
△PBC △PAD
