文档内容
期中押题重难点检测卷（提高卷）
【考试范围：一元二次方程、二次函数、旋转、圆】
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题。答卷前，考生务必用 0.5毫米黑
色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·河南商丘·模拟预测）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键．根据中心对称图形的定义：
一个平面图形，绕一点旋转 ，与自身完全重合，进行判断即可．
【详解】A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
2．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）已知 的半径为4，点P到圆心O的距离为4.8，则点P与
的位置关系是（ ）
A．P在圆内 B．P在圆外 C．P在圆上 D．无法确定
【答案】B
【分析】此题考查点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离d的距离与半径r的大小确定点与圆的位
置关系．
点到圆心的距离大于半径，得到点在圆外．
【详解】解：∵点P到圆心O的距离为4.8， 的半径为4，
∴点P在圆外．
故选：B．3．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数 和 的图
像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二
次函数的图象与性质是解本题的关键．
分别对每一个选项进行分析，利用一次函数而二次函数的图象与性质进行分析即可．
【详解】解：A、由一次函数图象可知 ，由抛物线可知 ，则 ，矛盾，故A错误，不符合
题意；
B、由一次函数图象可知 ，由抛物线可知 ，则 ，矛盾，故B错误，不符合题意；
C、由一次函数图象可知 ，由抛物线可知 ，也是 ，由二次函数解析式求得对称轴为直线
，应在 轴左侧，与选项图不符，故C错误，不符合题意；
D、由一次函数图象可知 ，由抛物线可知 ，也是 ，由二次函数解析式求得对称轴为直线
，应在 轴左侧，与选项图相符，故D正确，符合题意．
故选：D．
4．（24-25九年级上·广东茂名·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 且
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，根据判别式 来判
断即可，当 时，方程有两个不相等的实数根，当 时，方程有两个相等的实数根，当 时，方
程没有实数根．
【详解】解：∵x的一元二次方程 有实数根，
∴ 且 ，
解得： 且 ，
故选：D．
5．（23-24九年级上·浙江温州·期中）已知，二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等
于 ，若 有两个相等的值，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质及一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式
是解题的关键，由二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，
得 ，进而根据一元二次方程根的判别式列方程求解即可．
【详解】解：∵二次函数 ，当自变量 取 时，其函数值 也等于 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 有两个相等的值，
∴ ，
解得 ，
故选∶C．
6．（23-24九年级上·广东汕头·期中）如图，在 中， ，将 绕点A顺时针旋转得到 ，当点B的对应点D恰好落在 边上时，则 的长为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】此题考查了旋转的性质、等边三角形判定和性质等知识．由旋转的性质和等边三角形的判定得到
为等边三角形，则 ，即可得到 ．
【详解】解：由旋转的性质可知， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∵点D恰好落在 边上，
∴ ，
故选：A．
7．（23-24九年级下·宁夏银川·期中）如图，将一枚圆形铜钱的模型放入一个矩形袋子 中，铜钱模
型与矩形袋子的下边沿 相切于点E，与上边沿 交于点F、G，若 ， ，则该圆形铜钱
模型的半径为（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接 、 ，设 与 的交点为H，则可得四边形 是矩形．设 的半径为r，则
， ．在 中，根据勾股定理列方程,即可求出r的值．【详解】
如图，连接 、 ，设 与 的交点为H，
∵ 与 相切于点E，
，
．
∵四边形 是矩形，
，
∴四边形 是矩形，
， ，
．
设 的半径为r，则 ， ，
由 得，
，
解得 ，
∴该圆形铜钱模型的半径为 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质、切线的性质、垂径定理及勾股定理．遇切线连半径，是常用
的作辅助线方法，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8．（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知关于 的一元二次方程 的两个实数根分
别为 、 ，且 ，则 的值是（ ）
A． 或 B． 或2 C．2 D．【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系和根的
判别式．由一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，可得 ， ，
即可得 ，解得 或 ，再检验根的判别式是否大于0即可得到答案．
【详解】解： 一元二次方程 的两个实数根分别为 、 ，
， ，
，
，
，
解得 或 ，
当 时，一元二次方程为 ，此时 ，原方程无实数解，这种情况不存在，
△
舍去；
当 时，一元二次方程为 ，此时 ，符合题意；
△
的值是 ；
故选：D
9．（23-24九年级下·四川达州·期中）已知二次函数 （其中x是自变量），当 时
对应的函数值 y 均为正数，则a的取值范围为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次
函数的性质是解题的关键．首先根据题意求出对称轴，然后分两种情况： 和 ，分别根据二次函数的性质求解即可．
【详解】 二次函数 ，
对称轴 ，
当 时
∵当 时对应的函数值均为正数，
∴此时抛物线与x轴没有交点，
∴ ，
解得 ；
当 时，
∵当 时对应的函数值均为正数，
∴当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
解得 ，
；
综上所述：a的取值范围为 或 ．
故选：D．
10．（23-24九年级上·浙江宁波·期中）如图， 中，斜边 ，内切圆I切各边为D，
E，F，连结 ，作 交AB于G，则 长为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】B【分析】连结 ，则 ，由
，根据勾股定理求得 ，再证明四边形 是正方形，由
，求得 ，则 ，所以
，因为 ，所以 ，而 ，则四边形 是平行四
边形，所以 ，于是得到问题的答案．
【详解】连结 ，
∵ 与 分别相切于点 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点 都在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题重点考查切线的性质定理、切线长定理、勾股定理、正方形的判定与性质、线段的垂直平分
线的性质、平行四边形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．（23-24九年级上·江西景德镇·期中）如果方程 的两个根分别是 ， ，则
．
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：
一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ， ．
【详解】解：∵方程 的两个根分别是 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
12．（24-25九年级上·全国·期中）如图，将 绕点O旋转得到 ，若 ， ，
，则下列说法：①点B的对应点是点D；② ；③ ；④ ；⑤旋转中心是点
O；⑥旋转角为 ．其中正确的是 ．
【答案】①③④⑤
【分析】本题考查了旋转的性质，旋转前后图形的对应边相等，对应角相等，根据旋转的性质即可得到结论．
【详解】解： 将 绕点 旋转得到 ， ， ， ，
点 的对应点是点 ，故①正确，
，不一定等于2，故②错误，
，故③正确，
，故④正确，
旋转中心是点 ，故⑤正确，
旋转角不一定为 ，故⑥错误，
故答案为：①③④⑤．
13．（23-24九年级上·浙江湖州·期中）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，其部
分示意图如图2所示，它是以 为圆心， ， 长分别为半径，圆心角 形成的扇面，若
， ，则阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
【答案】 /
【分析】本题考查了求扇形面积．利用扇形面积公式，根据 即可求解．
【详解】解：
，故答案为： ．
14．（23-24九年级上·四川广安·期中）定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且与y轴的交点也
相同的二次函数互为友好同轴二次函数，比如： 与 是友好同轴二次函数，
写出 的友好同轴二次函数为： ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是理解题意，根据已经解析式求出其友好同轴二次函数，
弄清定义是解题的关键．
根据抛物线解析式可得抛物线中a，b，c的值，然后根据定义求解．
【详解】∵ 中 ，对称轴为直线 ， ，
∴ 的友好同轴二次函数中 ，对称轴为直线 ， ，
∴ ．
故答案为： ．
15．（23-24九年级上·山东济宁·期中）已知α，β是关于x的一元二次方程 两个实根，
且满足 ，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是 ，两根之积是
．利用根与系数的关系把求m的问题转化为方程的问题是解决本题的关键．
α，β是关于x的一元二次方程 的两个实数根，有 ， ，且
代入可得 ．即可得到关于m的方程，从而求解．【详解】∵一元二次方程 有两个实数根α，β．
∴ ，
解之得 且 ，
而 ， ，
又 ，
∴ ，
解之得 ，
经检验 都是原方程的根．
∵ ，
∴ 不合题意，舍去，
∴m的值为 ．
故答案为： ．
16．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，半圆 的直径 为15，弦 为9，弦 平分 ，则
的长是 ．
【答案】
【分析】连接 ， 与 相交于 点，根据圆周角定理得到 ，利用勾
股定理计算出 ，再利用垂径定理得出 ，则 ， ，
，再利用勾股定理计算出 ，再计算出 即可．【详解】解：如图，连接 ， 与 相交于 点，
， 为直径，
，
在 中， ，
弦 平分 ，
，
，
，
，
，
，
在 中， ，
在 中， ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的
圆心角的一半，半圆(或直径)所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径，也考查了垂径定理和勾
股定理．
17．（23-24九年级下·全国·期中）如图，O为坐标原点，矩形 中， ，将矩形
绕点O旋转 ，得到矩形 ，此时直线 与直线 相交于P．则点P的坐标为 ．【答案】 或
【分析】此题考查了旋转的性质、含 角直角三角形的性质、关于坐标轴轴对称等知识，分情况求解是
解题的关键．
将矩形 绕点O旋转 ，得到矩形 ，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，分两种情况画出
图形，利用旋转的性质和含 角直角三角形的性质进行求解得到点 的坐标为 ．再根据点 与
点 关于y轴对称求出点 的坐标为 ．
【详解】解：将矩形 绕点O旋转 ，得到矩形 ，可能顺时针旋转，也可能逆时针旋转，
∴有两种可能，
如图，
∵ ， ，
∴ ，在 中，∵ ， ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
∴ ，
∴点 的坐标为 ．
∵点 与点 关于y轴对称，
∴点 的坐标为 ．
故答案为： 或 ．
18．（23-24九年级上·福建龙岩·期中）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，P是以点
为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段 的中点，连接 ，则线段 的最大值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值
问题是解题的关键．连接 、 ，利用勾股定理可得 ，可知 是 的中位线，则
，当B、C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，则此时 最大，求解即可．
【详解】解：如图，连接 、 ，
令 ，则 ，
故点 ，∵ ，
∴ ，
设圆的半径为 ，则 ，
∵点Q、O分别为 、 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
当B、C、P三点共线，且点C在 之间时， 最大，
则此时 最大，
此时 ，
故答案为： ．
三、解答题（8小题，共66分）
19．（23-24九年级上·广东东莞·期中）解方程：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是选择适当的方法解一元二次方程．
（1）直接开方法解方程；
（2）利用配方法解方程．【详解】（1）解： ，
，
，
；
（2）解： ，
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴ ，
．
20．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图，在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为
， ， ， 是 绕点C顺时针旋转90°后得到的图形．
(1)在所给的平面直角坐标系中画出 ，并写出 ， 的坐标： （ ， ）， （ ，
）；
(2)在旋转过程中，点B经过的路径长为 ．
【答案】(1)1；1；3；(2)
【分析】本题考查作图﹣旋转变换、弧长公式，熟练掌握旋转的性质、弧长公式是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（2）利用勾股定理求出 的长，再利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）如图， 即为所求．
由图可得， ， (3，-1)．
故答案为：1；1；3； ．
（2）由勾股定理得， ，
∴点B经过的路径长为 ．
故答案为： ．
21．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有两个不相
等实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为 、 ，且 ，求m的值．【答案】(1) 且
(2) 的值为
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，完全平方公式的
变形求值，灵活运用所学知识是解题的关键．
（1）根据一元二次方程 有两个不相等的实数根、一元二次方程根的判别式得出
、 ，进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ， ，再由完全平方公式的变形
得到 ，由此解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ， ，
即 ，解得 ，
∴ 且 ；
（2）解：由根与系数的关系，得 ， ，
∵ ，
∴ ，
，
，
∴ 或 ，解得 （ 且 ，故舍去）， ，
∴ 的值为 ．
22．（23-24九年级上·广东广州·期中）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元．据市场调查，销
售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单
价不得低于成本．现公司决定降价出售．
(1)求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
(2)如果该企业每天的总成本不超过7000元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？（每天的
总成本＝每件的成本×每天的销售量）
【答案】(1)
(2)当销售单价为82元时，每天的销售利润最大
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用．借助二次函数解决实际问题，根据数量关系列出函数解析式
是关键．
（1）根据“利润=（售价 成本） 销售量”列出二次函数解析式即可；
（2）每天的总成本=每件的成本×每天的销售量列出一元一次不等式，从而可求得x的范围，然后利用二
次函数的性质可求得最大值利润．
【详解】（1）解∶
（2）解∶∵企业每天的总成本不超过7000元，
∴ ，
∴ ，
，
∵抛物线的对称轴为 且 ，
∴抛物线开口向下，在对称轴右侧，y随x增大而减小．
∴当 时，y有最大，最大值 ，
即销售单价为82元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480元．
23．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且于点F．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的直径是
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）垂径定理，得到 ，等腰三角形三线合一 ，即可得出结论；
（2）连接 ，设 的半径是r，根据垂径定理和勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，且 过圆心O
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：连接 ，设 的半径是r，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ ，
∴ 或 （舍去），
∴ 的直径是 ．
24．（23-24八年级下·广东广州·期中）正方形 中， ，E是 中点，M为线段 上一点
（不与D，E重合），连接 ．
(1)如图，将线段 绕点C逆时针旋转 得 ，连接 ．求证： ；
(2)若M为 的中点，在（1）的条件下，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) ．
【分析】（1）利用 证明 ，即可证明 ；
（2）作 交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ，先求得 ，由
，求得 ，证明 ，求得 ， ，再利用勾股定理求
解即可．【详解】（1）证明：由题意得 ， ，
∵正方形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：作 交 的延长线于点 ，取 的中点 ，连接 ，如图，
∵正方形 ， ，E是 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵M为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性
质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
25．（23-24九年级上·宁夏石嘴山·期中）如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线
经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或
【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称性等，其中
（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为 、 ，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则此时 为最小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为 、 ，
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得： ，
故函数的表达式为： ，
令 ，则 或3，故点 ；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则此时 为最小，
函数顶点D坐标为 ，点 ，
设直线 的解析式为 ，将 、D的坐标代入得：
，解得 ，
直线 的表达式为： ，
当 时， ，
故点 ，
则 的最小值为 ；
（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，∵ ，则 ，
过点B作 于点H，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
则 ，
则 ；
②当点P在x轴下方时，
同理可得 ；
故点P的坐标为 或 ．
26．（2024·山东济宁·二模）【初步感知】
（1）如图1，点A，B，P均在 上，若 ，则锐角 的大小为______度；
【深入探究】（2）如图2，小明遇到这样一个问题： 是等边三角形 的外接圆，点P在 上（点P不与点A，
C重合），连接 ， ， ．求证： ；小明发现，延长 至点E，使 ，连接
，通过证明 ．可推得 是等边三角形，进而得证.请根据小明的分析思路完成证明
过程．
【启发应用】
（3）如图3， 是 的外接圆， ， ，点P在 上，且点P与点B在 的两
侧，连接 ， ， ，若 ，则 的值为_____．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可直接得出答案；
（2）延长 至点E，使 ，连接 ，根据圆内接四边形的性质得出 ，再证
，推出 ， ，进而证明 是等边三角形，可得
；
（3）延长 至点E，使 ，连接 ，通过证明 ，可推得 是等腰直角
三角形，结合 与 可得 ，代入 即可求解．
【详解】解：（1） ，
故答案为： ；
（2）证明过程如下：
如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
四边形 是 的内接四边形，
，是等边三角形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等边三角形，
，
即 ；
（3）如图，延长 至点E，使 ，连接 ，
四边形 是 的内接四边形，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直
角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造 ，进行
转换求解．
