28.1[练习·素能拓展]锐角三角函数（第1课时）_初中数学人教版_9下-初中数学人教版_01课件+教案（配套）_课件+教案+分层作业（2024）_分层作业_28.1锐角三角函数（第1课时）（分层作业）

28.1 锐角三角函数（第1课时） 1．如图，在△ABC中，点D在AC上，DE⊥BC，垂足为点E．若AD＝2DC，AB＝4DE， 则sin B＝_________． 2．已知在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，求∠A，∠B的正弦值． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC边上的一点（除端点B，C以外的点）， 设∠ADC＝α，∠B＝β． （1）猜想sin α与sin β的大小关系； （2）试证明你的猜想； （3）猜想锐角大小与其正弦值的规律．4．拓展探究： 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据正弦的定义求sin2A＋sin2B的值．（sin2A表示(sin A)2，即(sin A)·(sin A) ．） 创新应用： 在Rt△ABC中，∠C＝90°， （1）若sin A＝ ，求sin B的值； （2）若关于x的方程25x2－mx＋12＝0的两根是Rt△ABC两锐角的正弦值，求m的值．参考答案 1．【答案】 【解析】如图，过点A作AF⊥BC，垂足为点F． ∵DE⊥BC， ∴DE∥AF． 又∵AD＝2DC， ∴ ＝ ＝ ． 即AF＝3DE， ∴sin B＝ ＝ ＝ ． 2．【答案】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC于点E． ∵AB＝AC， ∴BD＝ BC＝5． 因此，在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝ ＝12， ∴sin∠ABC＝ ＝ ． 又∵S ＝ BC·AD＝ AC·BE， △ABC ∴BE＝ ．∴sin∠BAC＝ ＝ ． 3．【答案】（1）解：sin α＞sin β． （2）证明：∵sin α＝ ，sin β＝ ，AD2＝AC2＋CD2，AB2＝AC2＋CB2，且CD＜ CB， ∴AD＜AB． ∴ ＞ ． ∴sin α＞sin β． （3）解：∵α＞β，sin α＞sin β， ∴猜想锐角越大，它的正弦值也越大． 4．【答案】解：拓展探究：设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c． 由正弦的定义及勾股定理，得sin 2A＋sin 2B＝ ＝ ＝1． 创新应用： （1）由“拓展探究”，知sin2 A＋sin2 B＝1，又sin B＞0， ∴sin B＝ ＝ ＝ ． （2）由根与系数的关系，知sin A＋sin B＝ ，sin A·sin B＝ ． ∵sin2 A＋sin2 B＝(sin A＋sin B)2－2sin A·sin B＝1， ∴ －2× ＝1． 解得m＝±35． 又∠A，∠B都为锐角， ∴sin A＋sin B＝ ＞0，即m＞0． ∴m＝35．