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期末复习之计算题专项训练（30 题）
【人教版】
√1 ❑√24
1．（24-25八年级·福建泉州·期末）计算：(❑√3−1)(❑√3+1)−❑ ×❑√50+ ．
2 ❑√6
【答案】−1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先利用平方差公式、二次根式的乘法和除法法则运算，然后化
简二次根式后进行有理数的加减运算．熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决
问题的关键．
√1 √24
【详解】解：原式=3−1−❑ ×50+❑
2 6
=3−1−❑√25+❑√4
=3−1−5+2
=−1．
2．（24-25八年级·宁夏中卫·期末）计算：
(1)❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
❑√15+❑√60
(2) −3❑√5
❑√3
【答案】(1)4
(2)0
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；
（1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解；
（2）先计算二次根式的除法，然后合并同类二次根式，即可求解．
【详解】（1）解：❑√18×❑
√2
+(❑√3−1) 2
3
√ 2
=❑18× +(3−2❑√3+1)
3
=2❑√3+4−2❑√3
=4；❑√15+❑√60
（2）解： −3❑√5
❑√3
=❑√5+2❑√5−3❑√5
=0
3．（24-25八年级·河北保定·期末）解决下列问题：
(1)计算：❑√25+√3−64+❑√(−3) 2；
(2)计算：(❑√6−❑√12)÷❑√3+(2−❑√2) 2．
【答案】(1)4
(2)4−3❑√2
【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式分别化简❑√25=5，√3−64=−4， ❑√(−3) 2=3，然后再进行加减运算即可；
（2）原式根据多项式除以单项式和完全平方公式进行计算即可得到答案．
【详解】（1）解：❑√25+√3−64+❑√(−3) 2
=5−4+3
=4；
（2）解：(❑√6−❑√12)÷❑√3+(2−❑√2) 2
=❑√2−2+6−4❑√2
=4−3❑√2．
4．（24-25八年级·河南郑州·期末）计算：
❑√8 1
(1) +2❑√18− ❑√32；
2 8
(2)(❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3)−❑√48÷❑√3．
13
【答案】(1) ❑√2
2
(2)−2
【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，平方差公式，解题的关键在于熟练掌握相关运
算法则．
（1）根据二次根式的性质化简各项，再结合二次根式的加减混合运算法则计算求解，即可解题；（2）根据平方差公式，以及二次根式的混合运算求解，即可解题．
2 4
【详解】（1）解：原式= ❑√2+2×3❑√2− ❑√2
2 8
1
=❑√2+6❑√2− ❑√2
2
13
= ❑√2；
2
（2）解：原式=5−3−❑√16
=2−4
=−2．
√1
5．（24-25八年级·山东菏泽·期末）（1）计算：❑√27+❑√(−3) 2−3❑ ；
3
（2）若x=2−❑√3，y=2+❑√3，求代数式❑√3xy的值．
【答案】（1）3+2❑√3；（2）❑√3
【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
（1）先根据二次根式运算法则进行计算，再根据实数的加减法法则计算即可．
（2）根据二次根式的性质化简计算即可；
❑√3
【详解】解：（1）原式=3❑√3+3−3× ，
3
=3❑√3+3−❑√3，
=3+2❑√3；
（2）∵x=2−❑√3，y=2+❑√3，
∴ ❑√3xy，
=❑√3×(2+❑√3)(2+❑√3)，
=❑√3×(4−3)，
=❑√3．
6．（24-25八年级·广东深圳·期末）计算：
(1)❑√32−❑√8
√1
(2)|❑√3−2)+3❑
3
❑√45−❑√5
(3) +(2−❑√3)(2+❑√3)
❑√5
【答案】(1)2❑√2(2)2
(3)3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的加减运算、二次根式的性质等知识点，掌握二次根
式的运算法则成为解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先去绝对值，再根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；；
（3）直接运用二次根式的混合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：❑√32−❑√8
=4❑√2−2❑√2
=2❑√2．
√1
（2）解：|❑√3−2)+3❑
3
❑√3
=2−❑√3+3×
3
=2−❑√3+❑√3
=2．
❑√45−❑√5
（3）解： +(2−❑√3)(2+❑√3)
❑√5
=❑√9−1+[22−(❑√3) 2)
=3−1+(4−3)
=3．
7．（24-25八年级·河北秦皇岛·期末）计算：
(1)❑√2×❑√3−❑√24
(2)(❑√3+❑√2) 2 ×(5−2❑√6)
【答案】(1)−❑√6
(2)1
【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算二次根式的乘法和化简二次根式，然后再合并即可；
（2）原式先计算乘方再计算乘法即可．
【详解】（1）解：❑√2×❑√3−❑√24
=❑√6−2❑√6=−❑√6．
（2）解：(❑√3+❑√2) 2 ×(5−2❑√6)
=(5+2❑√6)×(5−2❑√6)
=25−(2❑√6) 2
=1．
8．（24-25八年级·上海浦东新·期末）计算：
√1
(1)❑√24÷❑√3−❑ ×❑√18+❑√32；
2
2 √1
(2) +❑√27−6❑ ．
❑√3−1 3
【答案】(1)6❑√2−3
(2)2❑√3+1
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式及零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键．
（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1
【详解】（1）解：原式=❑√24÷3−❑ ×18+4❑√2
2
=❑√8−❑√9+4❑√2
=2❑√2−3+4❑√2
=6❑√2−3；
2(❑√3+1) ❑√3
（2）解：原式= +3❑√3−6×
(❑√3−1)(❑√3+1) 3
=❑√3+1+3❑√3−2❑√3
=2❑√3+1．
9．（24-25八年级·辽宁丹东·期末）计算：
(1)(❑√3−❑√2) 2；
❑√80−❑√45 √1
(2) −❑ ×❑√12．
❑√5 3【答案】(1)5−2❑√6
(2)−1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据完全平方公式计算即可；
（2）先算乘除，再算加减即可．
【详解】（1）解：(❑√3−❑√2) 2
=3+2−2❑√6
=5−2❑√6；
❑√80−❑√45 √1
（2）解： −❑ ×❑√12
❑√5 3
√80 √45 √1
=❑ −❑ −❑ ×12
5 5 3
=❑√16−❑√9−❑√4
=4−3−2
=−1．
10．（24-25八年级·山东青岛·期末）计算：
(1)(3❑√3−1)(3❑√3+1)−(2❑√3−1) 2
( √1) ❑√27+❑√12
(2) 2❑√12−❑ ×❑√6−
3 ❑√3
【答案】(1)13+4❑√3
(2)11❑√2−5
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混合
运算法则．
（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；
（2）先计算乘除，再计算加减．
【详解】（1）解：(3❑√3−1)(3❑√3+1)−(2❑√3−1) 2
=(3❑√3) 2 −1−(12−4❑√3+1)
=27−1−12+4❑√3−1=13+4❑√3；
( √1) ❑√27+❑√12
（2）解： 2❑√12−❑ ×❑√6−
3 ❑√3
√1
=2❑√12×❑√6−❑ ×❑√6−❑√27÷❑√3−❑√12÷❑√3
3
=12❑√2−❑√2−3−2
=11❑√2−5．
11．（24-25八年级·四川眉山·期末）计算：
(1)❑√48÷❑√3−❑
√1
×❑√12+❑√24+(❑√2+❑√3) 2
2
❑√3+❑√6
(2)❑√18−(❑√3−2)(❑√3+2)− +❑√ (1−❑√2) 2
❑√3
【答案】(1)9+3❑√6
(2)3❑√2−1
【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
（1）先进行乘除和乘方运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先进行乘除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：❑√48÷❑√3−❑
√1
×❑√12+❑√24+(❑√2+❑√3) 2
2
=4−❑√6+2❑√6+2+2❑√6+3
=9+3❑√6
❑√3+❑√6
（2）❑√18−(❑√3−2)(❑√3+2)− +❑√ (1−❑√2) 2
❑√3
=3❑√2−(3−4)−(1+❑√2)+|1−❑√2)
=3❑√2−(−1)−1−❑√2+❑√2−1
=3❑√2+1−1−❑√2+❑√2−1
=3❑√2−1
❑√24+❑√12 √1
12．（24-25八年级·陕西咸阳·期末）计算： −❑ ×❑√27．
❑√6 3
【答案】❑√2−1
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
❑√24+❑√12 √1
【详解】解： −❑ ×❑√27
❑√6 3
√24 √12 √1
=❑ +❑ −❑ ×27
6 6 3
=2+❑√2−3
=❑√2−1．
√1
13．（24-25八年级·甘肃张掖·期末）计算：❑√3⋅❑ +(❑√2+1)(❑√2−1)．
3
【答案】2
【分析】本题考查的是二次根式的混合运算．熟知二次根式混合运算的法则，平方差公式，是解题的关
键．
先作二次根式乘法，平方差公式展开，化简，再合并即可．
【详解】原式=❑ √ 3× 1 +(❑√2) 2 −1
3
=1+2−1
=2．
14．（24-25八年级·辽宁锦州·期末）计算：
√1
(1)❑√18−❑√2+❑ ；
2
(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)
(2) ．
❑√3
5❑√2
【答案】(1)
2
(2)❑√3
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）先利用平方差公式进行计算，再进行除法运算即可．
❑√2
【详解】（1）解：原式=3❑√2−❑√2+
2
❑√2
=2❑√2+
25❑√2
= ；
2
5−2
（2）解：原式=
❑√3
3
=
❑√3
=❑√3．
√1 1
15．（24-25八年级·上海黄浦·期末）计算：❑√48−2❑√0.75−6❑ − .
3 2−❑√3
【答案】−2
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
√1 1
【详解】解：❑√48−2❑√0.75−6❑ −
3 2−❑√3
=4❑√3−❑√3−2❑√3−(2+❑√3)
=4❑√3−❑√3−2❑√3−2−❑√3
=−2
√x √3
16．（24-25八年级·上海长宁·期末）计算：❑√27x+3❑ +2x❑ ．
3 x
【答案】6❑√3x
【分析】此题考查了二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
把二次根式化简成最简二次根式后，再合并即可．
√x √3
【详解】解：❑√27x+3❑ +2x❑
3 x
=3❑√3x+❑√3x+2❑√3x
=6❑√3x．
2x √2 √x
17．（24-25八年级·上海·期末）计算： ❑√18x+x2❑ +6x❑ ．
3 x 8
9x
【答案】 ❑√2x
2
【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各式，再合并同类二次根式即可．
2x ❑√2x ❑√2x
【详解】解：原式= ⋅3❑√2x+x2 ⋅ +6x⋅
3 x 43x
=2x❑√2x+x❑√2x+ ❑√2x
2
9x
= ❑√2x．
2
18．（24-25八年级·辽宁丹东·阶段练习）计算
(1)❑√8+❑√32−❑√2
(❑√20+❑√5) √1
(2) −❑ ⋅❑√12
❑√5 3
(3)(10❑√48−6❑√27+4❑√12)÷❑√6
(4)(1+❑√3)(2− ❑√3)
(5)(π−1) 0+
(❑√3) −1
+|5− ❑√27)−❑√102 −62
2
(6)(2❑√2+3) 2011 (2❑√2−3) 2012 −4❑
√1
−❑√(1− ❑√2) 2
8
【答案】(1)5❑√2
(2)1
(3)15❑√2
(4)❑√3−1
11❑√3
(5)-12+
3
(6)−4❑√2+4
【分析】（1）先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
（2）先算乘除，再算加减；
（3）根据二次根式除法法则计算即可；
（4）根据二次根式乘法法则计算；
（5）先算零指数幂，负整数指数幂，去绝对值，计算算术平方根，再算乘法，最后算加减；
（6）逆用积的乘方，化为最简二次根式，计算算术平方根，再合并即可．
【详解】（1）解：原式=2❑√2+4❑√2-❑√2
=5❑√2；
√20 √5 √1
（2）原式=❑ +❑ −❑ ×12
5 5 3
=2+1−2
=1；（3）原式=10❑√48÷6−6❑√27÷6+4❑√12÷6
=20❑√2−9❑√2+4❑√2
=15❑√2；
（4）原式=2− ❑√3+2❑√3−3
=❑√3−1；
2❑√3
（5）原式=1+ +(3❑√3−5)-8
3
2❑√3
=1+ +3❑√3-13
3
11❑√3
=-12+ ；
3
（6）原式=(−1)2011×(2❑√2− 3)−❑√2−(❑√2−1)
=−2❑√2+3− ❑√2−❑√2+1
=−4❑√2+4．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
19．（24-25八年级·辽宁大连·阶段练习）计算：
(1)9❑√3−7❑√12+5❑√48；
√ 1 √1
(2)❑√75+2❑5 −3❑√108−8❑ ．
3 3
【答案】(1)15❑√3
(2)−13❑√3
【分析】本题考查二次根式的加减运算，分母有理化；
（1）先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】（1）原式=9❑√3−7×2❑√3+5×4❑√3
=9❑√3−14❑√3+20❑√3
=15❑√3；
4❑√3 ❑√3
（2）原式=5❑√3+2× −3×6❑√3−8×
3 3
8❑√3 8❑√3
=5❑√3+ −18❑√3−
3 3
=−13❑√3．
20．（24-25八年级·宁夏银川·期中）计算：❑√12×❑√6
(1)
❑√2
√1
(2)2❑√20−❑√5+5❑
5
(1 √2 )
(3) ❑√27+❑ −❑√12 ×2❑√3
3 3
(4)(❑√5−2) 2+(❑√5+1)(❑√5+3)
【答案】(1)6
(2)4❑√5
(3)2❑√2−6
(4)17
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可；
（2）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可；
（3）根据二次根式的混合计算法则求解即可；
（4）先根据二次根式的乘法计算法则去括号，再计算加减法即可．
❑√12×❑√6
【详解】（1）解：
❑√2
❑√72
=
❑√2
=❑√36
=6；
√1
（2）解：原式2❑√20−❑√5+5❑
5
=4❑√5−❑√5+❑√5
=4❑√5；
(1 √2 )
（3）解： ❑√27+❑ −❑√12 ×2❑√3
3 3
( ❑√6 )
= ❑√3+ −2❑√3 ×2❑√3
3(❑√6 )
= −❑√3 ×2❑√3
3
=2❑√2−6；
（4）解：(❑√5−2) 2+(❑√5+1)(❑√5+3)
=5−4❑√5+4+5+❑√5+3❑√5+3
=17．
21．（24-25八年级·山东济宁·阶段练习）计算：
√1 2
(1)❑√32−4❑ + ；
8 ❑√2
1 (2 )
(2) ❑√6×4❑√12÷ ❑√2 ．
2 3
【答案】(1)4❑√2
(2)18
【分析】（1）根据二次根式的加减混合运算法则求解即可；
（2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可．
√1 2
【详解】（1）❑√32−4❑ +
8 ❑√2
=4❑√2−❑√2+❑√2
=4❑√2；
1 (2 )
（2） ❑√6×4❑√12÷ ❑√2
2 3
❑√6 3
= ×8❑√3× ❑√2
2 4
3
=4❑√18× ❑√2
4
=3❑√36
=18．
【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则．
22．（24-25八年级·浙江宁波·期中）计算：
(1)❑√25−(−❑√6) 2+❑√(−2) 2；(2)(❑√48−❑√24)÷❑√3+❑√6×2❑√3．
【答案】(1)1
(2)4+4❑√2
【分析】（1）根据二次根式的加减运算可进行求解；
（2）根据二次根式的混合运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式=5−6+2=1；
（2）解：原式=(4❑√3−2❑√6)÷❑√3+6❑√2
=4−2❑√2+6❑√2
=4+4❑√2．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
23．（24-25八年级·重庆铜梁·阶段练习）计算：
(1)❑√12+❑√48−(❑√27−❑√4)；
(2)❑√48÷❑√3−2❑
√1
×❑√30+(2+❑√3) 2 ．
5
【答案】(1)3❑√3+2
(2)11−2❑√6+4❑√3
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
（1）分别化简各项，去括号，再合并；
（2）先计算乘法和除法，将括号展开，再合并．
【详解】（1）解：原式=2❑√3+4❑√3−3❑√3+2
=3❑√3+2；
√1
（2）解：原式=❑√48÷3−2❑ ×30+4+4❑√3+3
5
=4−2❑√6+7+4❑√3
=11−2❑√6+4❑√3．
24．（24-25八年级上海·假期作业）计算：
x √2
(1)x2❑√8x+❑√32x3− ❑ +2❑√2x；
2 x
1 √x √50
(2) ❑√32x3+2x❑ −x2❑ ．
2 2 x【答案】(1) ( 2x2+4x+ 3) ❑√2x
2
(2)−2x❑√2x
【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
x ❑√2x
【详解】（1）解：原式=2x2❑√2x+4x❑√2x− ⋅ +2❑√2x
2 x
= ( 2x2+4x+ 3) ❑√2x；
2
1 ❑√2x ❑√2x
（2）解：原式= ×4x❑√2x+2x⋅ −5x2 ⋅
2 2 x
=2x❑√2x+x❑√2x−5x❑√2x
=−2x❑√2x
【点睛】本题主要考查二次根式的加减运算，注意先化简后合并．
2 √1 √ 1 ❑√2 √ 3
25．（24-25八年级·上海·期末）计算：❑√12+ −4❑ −2+3❑1 ÷ ×❑ ．
❑√3−1 3 7 2 28
53
【答案】 ❑√3−1
21
【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算乘除法，同时分别化简各加数中的二次根式，最后计算加减法.
2 √1 √ 1 ❑√2 √ 3
【详解】❑√12+ −4❑ −2+3❑1 ÷ ×❑
❑√3−1 3 7 2 28
4 √8 1 3
=2❑√3+(❑√3+1)− ❑√3−2+(3×2)❑ × ×
3 7 2 28
4 6
=2❑√3+❑√3+1− ❑√3−2+ ❑√3
3 7
53
= ❑√3−1.
21
【点睛】此题考查二次根式的混合运算，二次根式的化简，正确掌握二次根式的化简法则是解题的关键.
26．（24-25八年级·安徽安庆·专题练习）化简：
(1)❑√12−2❑√35；
(2)❑√5−❑√24；
(3)❑√4+❑√15+❑√4−❑√15．
【答案】(1)❑√7−❑√5(2)❑√3−❑√2
(3)❑√10
【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式，先把各题中的
无理式变成❑√m±2❑√n的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的
式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式．
（1）把被开方数化为完全平方的形式即可得解，
（2）将❑√5−❑√24转化为❑√5−2❑√6，再根据解答过程即可得解，
√ √15 √ √15
（3）将❑√4+❑√15+❑√4−❑√15转化为❑4+2❑ +❑4−2❑ ，再根据解答过程即可得解；
4 4
【详解】（1）解：❑√12−2❑√35
=❑√(5+7)−2❑√5×7
=❑√(❑√7) 2 −2×❑√5×❑√7+(❑√5) 2
=❑√(❑√7−❑√5) 2
=❑√7−❑√5；
（2）解：❑√5−❑√24=❑√5−2❑√6=❑√(❑√3−❑√2) 2=❑√3−❑√2
=❑√(3+2)−2❑√2×3
=❑√(❑√3) 2 −2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2
=❑√(❑√3−❑√2) 2
=❑√3−❑√2；
（3）解：❑√4+❑√15+❑√4−❑√15
√ √15 √ √15
=❑4+2❑ +❑4−2❑
4 4
√5 √15 3 √5 √15 3
=❑ +2❑ + +❑ −2❑ +
2 4 2 2 4 2√ (√5 √3) 2 √ (√5 √3) 2
=❑ ❑ +❑ +❑ ❑ −❑
2 2 2 2
√5 √3 √5 √3
=❑ +❑ +❑ −❑
2 2 2 2
√5
=2❑
2
=❑√10．
27．（24-25八年级·黑龙江绥化·期中）计算
√ n ab n √m √ n
(1)(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑ ；
m m m n m
b−❑√ab a b a+b
(2)(❑√a+ )÷( + − )（a≠b）．
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
a2−ab+1
【答案】(1)
a2b2
(2)−❑√a+❑√b
【分析】
（1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算
即可；
（2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即
可．
【详解】（1）
√ n ab n √m √ n
解：(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )÷a2b2❑
m m m n m
√ n ab n √m 1 √m
=(a2❑ − ❑√mn+ ❑ )⋅ ❑
m m m n a2b2 n
1 √ n m 1 √ m n √m m
＝ ❑ ⋅ − ❑mn⋅ + ❑ ⋅
b2 m n mab n ma2b2 n n
1 1 1
＝ － ＋
b2 ab a2b2
a2−ab+1
= ．
a2b2b−❑√ab a b a+b
（2）解：(❑√a+ )÷( + − )
❑√a+❑√b ❑√ab+b ❑√ab−a ❑√ab
a+❑√ab+b−❑√ab a❑√a(❑√a−❑√b)−b❑√b(❑√a+❑√b)−(a+b)(a−b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b a2−a❑√ab−b❑√ab−b2−a2+b2
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b −❑√ab(a+b)
= ÷
❑√a+❑√b ❑√ab(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)
a+b ❑√ab(❑√a−❑√b)(❑√a+❑√b)
＝ ·
❑√a+❑√b −❑√ab(a+b)
=−❑√a+❑√b．
【点睛】本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键．
28．（24-25八年级·湖北黄冈·阶段练习）计算：
√2 ( 1 ) 1 √2
(1)3❑ × − ❑√15 ÷ ❑ ；
3 8 2 5
√1
(2)2❑√12−6❑ +3❑√48；
3
(3)(❑√2+❑√3) 2 −(❑√5+2)(❑√5−2)；
(4)(2−❑√3) 2022 ×(2+❑√3) 2023 −2
|
−
❑√3)
−(−❑√2) 0 ．
2
15
【答案】(1)−
4
(2)14❑√3
(3)4+2❑√6
(4)1
【分析】（1）根据二次根式的乘法和除法法则运算；
（2）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（4）先根据积的乘方、绝对值和零指数幂的意义计算，然后利用平方差公式计算后合并即可．( 1) √2 5
【详解】（1）解：原式=3× − ×2×❑ ×15×
8 3 2
( 1)
=3× − ×2×5
8
15
=− ；
4
（2）原式=4❑√3−2❑√3+12❑√3
=14❑√3；
（3）原式=2+2❑√6+3−(5−4)
=2+2❑√6+3−1
=4+2❑√6；
2022
（4）原式=[(2−❑√3)(2+❑√3)) ×(2+❑√3)−❑√3−1
=12022×(2+❑√3)−❑√3−1
=1×(2+❑√3)−❑√3−1
=2+❑√3−❑√3−1
=1．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零指
数幂是解决问题的关键．
29．（24-25八年级·四川成都·期中）已知：2a+b+5＝4(❑√2a−2+❑√b−1)，先化简再求值
√a b √a b
❑ + +2−❑ + −2.
b a b a
2❑√15
【答案】 .
5
【分析】用完全平方公式将原方程配方，由平方的非负性求出a、b的值，化简要求的式子，将a、b的值
代入化简后的式子计算出结果即可.
【详解】原方程可化为2a+b+5﹣4❑√2a−2﹣4❑√b−1=0，
即（2a﹣2﹣4❑√2a−2+4）+（b﹣1﹣4❑√b−1+4）=0，
∴（❑√2a−2﹣2）2+（❑√b−1﹣2）2=0，
∴❑√2a−2﹣2=0，❑√b−1﹣2=0，解得a=3，b=5，
√a b √a b
∴❑ + +2-❑ + −2
b a b a
√a2+2ab+b2 √a2−2ab+b2
=❑ ﹣❑
ab ab
√（a+b）2 √（a−b）2
=❑ ﹣❑
ab ab
|a+b| |a−b|
= ﹣
❑√ab ❑√ab
a+b−（b−a）
=
❑√ab
2a
=
❑√ab
2❑√ab
= ，
b
2❑√15
将a、b的值代入得：原式= .
5
【点睛】本题主要考查完全平方公式、平方的非负性.
√1
30．（24-25八年级·安徽合肥·单元测试）计算：（1）❑√48÷❑√3－❑ ×❑√12÷❑√24；
2
（2）❑√27×❑
√2
＋(❑√2−1) 2；
3
√1 √4 6
（3）❑√18－❑ ÷❑ × ；
2 3 ❑√3
1 √1
（4）（3❑√18＋ ❑√50－4❑ ）÷❑√32；
5 2
（5）(❑√3+❑√2−❑√6) 2 −(❑√2−❑√3+❑√6) 2 .
7 3❑√2
【答案】（1） ；（2）3＋❑√2；（3） ；（4）2；（5）4❑√6－8❑√3.
2 2
【分析】根据根式的运算性质即可解题.
√1
【详解】解：（1）❑√48÷❑√3－❑ ×❑√12÷❑√24
2❑√2
=4❑√3÷❑√3- ×2❑√3÷2❑√6
2
1
=4-
2
7
= ;
2
（2）❑√27×❑
√2
＋(❑√2−1) 2
3
❑√6
=3❑√3× +3-2❑√2
3
=3❑√2−2❑√2+3
=3＋❑√2;
√1 √4 6
（3）❑√18－❑ ÷❑ ×
2 3 ❑√3
❑√2 ❑√3
=3❑√2− × ×2❑√3
2 2
3❑√2
=3❑√2−
2
3❑√2
= ;
2
1 √1
（4）（3❑√18＋ ❑√50－4❑ ）÷❑√32
5 2
=（9❑√2＋❑√2－2❑√2）÷4❑√2
=8❑√2÷4❑√2
=2;
（5）(❑√3+❑√2−❑√6) 2 −(❑√2−❑√3+❑√6) 2
2 2
=[❑√2+(❑√3−❑√6)] −[❑√2−(❑√3−❑√6)]
=2+2❑√2(❑√3−❑√6)+(❑√3−❑√6) 2 -[2-2❑√2(❑√3−❑√6)+(❑√3−❑√6) 2 ]
=4❑√2(❑√3−❑√6)
=4❑√6－8❑√3.
【点睛】本题考查了根式的运算,中等难度,熟悉根式的运算性质是提关键.
