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第六章 平面向量、复数章末检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．若复数 是纯虚数，则实数 的值为
A． 或 B． C． D． 或
【答案】C
【详解】试题分析：因为复数 是纯虚数，所以 且 ，因此
注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.
考点：纯虚数
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则 （ ）
A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i
【答案】D
【分析】由点的坐标确定 ，再利用复数乘法法则进行计算
【详解】由题知， ，则 ．
故选：D．
3．在平行四边形 中， 为对角线 上靠近点 的三等分点，延长 交 于 ，则
（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形相似推出 为 的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】易知， ，所以 ，又 ，所以 ，即 为 的中点，
所以 .
故选：A
4．已知 ， ， ， ，若 ，则 与 的夹角为
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】B
【分析】根据向量垂直可得两向量数量积为零，从而构造出关于夹角余弦值的方程，求出余弦值后即可得
到所求角.
【详解】
即： ，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过明确向量垂直与向量数量积之间的关系，利用数
量积为零构造关于夹角的方程.
5． 中，内角 、 所对的边分别为 、 ，若 ，则角 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦定理边角互化思想求出 的值，再结合 的范围可求出角 的值.
【详解】 ，由正弦定理得 ，， ，则 ，可得 .
又 ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运
算求解能力，属于基础题.
6．如图所示；测量队员在山脚A测得山顶 的仰角为 ，沿着倾斜角为 的斜坡向上走 到达 处，
在 处测得山顶 的仰角为 ．若 ， ， ，（参考数据： ， ，
， ， ， ），则山的高度约为（ ）
A．181.13 B．179.88 C．186.12 D．190.21
【答案】C
【分析】在 中，利用正弦定理求 ，进而在Rt 中求山的高度.
【详解】在 中，则
，
因为 ，则 ，
在Rt 中，则 .
故选：C.7．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 ， ， ，则 的面积
为（ ）
A． B． C．12 D．16
【答案】B
【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得 ，再利用余弦定理得 ，从而求出 的面积.
【详解】由正弦定理及 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 .
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，
又 ，所以由余弦定理得
，
解得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
8．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，设 ， ，
因此有
因为 ，
所以有 ，
而 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，
所以 的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知 为虚数单位，复数 ，下列结论正确的有（ ）A．
B．
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.
【详解】A选项， ，A选项正确.
B选项， ，B选项错误.
C选项， ，
，
若 ，则 ，解得 ，所以C选项正确.
D选项，当 时， ，所以D选项错误.
故选：AC
10．已知 为 的外接圆圆心， ，下列说法正确的是（ ）
A． 三点共线
B．
C．
D．向量 在向量 上的投影向量为
【答案】ACD
【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A，利用圆周角的性质判断得 ，再结合 是等边三角形，可判断得 ，从而得 可判断选项B，在直角三角形中，利用
三角函数列式计算可判断选项C，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.
【详解】如图，根据平行四边形法则 ，即 ，
所以 为 的中点，即 为 与 的交点，
所以 为 的中点，所以 三点共线，故A正确；
因为 为 的外接圆圆心，所以 为圆 的直径，
所以 ，所以 ，
又 ，所以 是等边三角形，
所以 ， ，故B错误；
在 中， ，所以 ，故C正确；
作 于点 ，则向量 为向量 在向量 上的投影向量，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即向量 在向量 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：ACD
11．在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则下列判断中正确的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则该三角形有两解
C． 周长有最大值12 D． 面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得
，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，故A正确；
对于B，由正弦定理得 得，所以 ，
因为 ，则 有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由 ，得
，
所以 ，当且仅当 时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C正确；
对于D，由 得 ,
故由于 ，无最小值，
所以 面积无最小值，有最大值为 ，故D错误.
故选：C.
12．已知 的内角 所对的分别是 ，且 ， 是 外一点，若
， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 四点共圆
C． 是等边三角形
D．四边形 面积的最大值为
【答案】CD
【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求 ，再利用 ，可知 是等边三角形，从而
判断A、C；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得 ，利用三角
形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形 的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断D.
【详解】因为 ，
由正弦定理得 ，
即 ，因为 ，所以 ，又 ，且 ，所以 ．
所以 是等边三角形，故C正确，
由于无法得到 的值，故无法判断A；
对于B：
若 ，则 ，
在 中，由余弦定理得 ，则 ，
即 ，所以 ， ， ， 四点不共圆，故B错误；
对于D：
设 ， ，
由余弦定理得
，
所以四边形 面积
即 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，故D正确；
故选：CD.第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知复数 ，则 ．
【答案】
【分析】先化简复数，然后由复数模的公式直接计算可得.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为：
14．已知非零向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 ．
【答案】
【分析】根据向量垂直满足的关系可得 ，进而根据数量积的定义即可求解.
【详解】 ， ， ，
， ，
非零向量 ， 的夹角为 ，
．
故答案为： ．
15．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我
国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得
公里， ， ， ，则M，N两点之间的距离为 公
里．【答案】
【分析】在 中由正弦定理可得 ，在 中等边对等角可得 ，则在 中由余弦定理
可得 .
【详解】在 中 =
由正弦定理可得：
即
在 中
所以 ，则 ,
中由余弦定理可得：
即
故答案为： .
16．设 为单位向量，它们的夹角为 ， ， (x，y∈R)，若 ，则 的最
小值为 ．
【答案】1
【分析】利用模的计算公式得到 和 ，利用基本不等式求出 的最小值.【详解】∵单位向量 的夹角为 ，∴ ，
由 ，得 ，即x2＋y2＋xy=3，①
则 ，②
①＋②得 ，
①−②得 .
又x2＋y2≥2xy，当且仅当x=y时“=”成立，∴ ，解得 因此， 的最小值为1.
故答案为：1.
四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明
过程或演算步骤.
17．在 中，内角 的对边分别为 ，已知 ，且满足 .
（1）求边长 ；
（2）若 是锐角三角形，且面积 ，求 外接圆的半径 .
【答案】（1） ;（2） .
【详解】试题分析：（1）由 结合正弦定理可得 ，可得 .
（2）由 ，和（1）中所得可求 ，又由余弦定理 ，再用正弦定理求得
外接圆的半径 .试题解析：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
（2）∵ ，
∴ ，∴ ，
又 为锐角，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴外接圆的半径 .
18．如图，在 中， ， ， ，P是 内一点，且 .（1）若 ，求线段 的长度；
（2）若 ，设 ，求 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先由中条件，求出 ， ， ，再由余弦定理，即可得出结果；
（2）由 ，得 ，根据题中条件，求出 ，在 中，由正弦定
理，得到 ，进而可求出结果.
【详解】（1）因为 ，
所以在 中， ， ， ，所以 ；
在 中， ， ， ，
由余弦定理，得 ，
所以 ；
（2）由 ，得 ，
在 中， ， ， ，所以 ，
在 中， ， ， ， ，
由正弦定理得 ，所以 ，又 ，所以 ，
由 ，得 ．
【点睛】思路点睛：
平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值，优化设计等问题，通常是转化到三角形中，
利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然
后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使
用函数思想.
19．在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个补充
在下面问题中，并解答．
问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且________．
（1）求C；
（2）若 的面积为 为 的中点，求 的值．
【答案】选择见解析；（1） ；（2） ．
【分析】（1）选①,正弦定理化边为角后，由三角恒等变换求得 ；
选②，由正弦定理化边为角，同时切化弦，转化后可得 ；
选③，由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形求得 ；
（2）由面积求得 ，从而可求得 ，由向量数量积得 ，可计算 ．
【详解】解：选①：
（1）因为 ， ，三角形中 ，
所以 ，
所以 ，又因为C为 的一个内角，所以（2）因为 的面积为
所以 ，所以
因为D为 的中点，所以
，
从而 ，所以
选②：
（1）因为 所以 ，三角形中 ，
所以 ，又因为C为 的一个内角，所以
（2）下同选①．
选③：
（1）因为 ，所以 ，三角形中 ，
所以
所以 ，又因为C为 的一个内角，所以
（2）下同选①．
20．在 中， ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)求证： ；
(2)若 ，求边 的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）根据 ，移项后平方消元，求出 再应用同角三角函数关系求出
即可；
（2）因为 再应用余弦定理结合基本不等式求出 的最小值.
【详解】（1）依题意 ,否则 ，则 ， 矛盾，
由 得 ，即得
故 ，
整理得 ，从而 又因为 可得 ，
从而 .
（2）由 ，由（1）可得
故 为锐角， ，
故 ，
从而 当且仅当 时取等号， 的最小值为 .
21．在 中，角 所对的边分别为 ，且满足.
(1)求角A；
(2)若 为 的中点，且 的角平分线交 于点 ，且 ，求边长 .
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积定义结合正弦定理对已知等式化简可求得角A；
（2）根据已知条件，得 ，两边平方化简，可得 ，再结合等面积法可得，则可求出 ，用余弦定理即可求得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
（2）因为 ， 的角平分线交 于点 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
因为 为 的中点，且 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，解得 或 （舍去），
所以
所以由余弦定理得 ，所以
22．如图，某公园内有两条道路 ， ，现计划在 上选择一点 ，新建道路 ，并把 所在的
区域改造成绿化区域．已知 ， ．
（1）若绿化区域 的面积为 ，求道路 的长度；
（2）若绿化区域 改造成本为10万元 ，新建道路 成本为10万元 ．设 ，
当 为何值时，该计划所需总费用最小？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）根据三角形的面积公式，和余弦定理即可求出，
（2）先根据正弦定理结合三角形的面积可得 ， ，令 ，利
用导数求出函数的最值．
【详解】解：（1） 在 中， ， ，
，
解得 ，
在 中，由余弦定理得： ，
；
（2）由 ，则 ， ，在 中， ， ，由正弦定理得 ，
， ，
记该计划所费用为 ，
则 ， ，
令 ，
则 ，
由 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 ， 时， ， 单调递增，
时，该计划所需费用最小．
