文档内容
专题 01 二次根式及其性质
（六大题型）
【题型1 二次根式的识别】...................................................................................................1
【题型2 求二次根式的值】...................................................................................................3
【题型3 求二次根式中的参数】............................................................................................5
【题型4 二次根式有意义的条件】........................................................................................6
【题型5 利用二次根式的性质化简】....................................................................................8
【 题 型 6 数 轴 与 二 次 根 式 的 化
简】........................................................................................10
【题型1 二次根式的识别】
1．下列各式中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D． ( 1)
❑√−6 √3 9 ❑√x2+3 ❑√2x−1 x<
2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的识别，二次根式有意义的条件，解题关键是掌握上述知
识点并能熟练运用求解．
根据二次根式的定义，需满足被开方数非负且根指数为2．选项A被开方数为负，选项
B根指数不为2，选项D在给定条件下被开方数为负，只有选项C的被开方数恒为正，
符合定义．
【详解】解：二次根式定义为❑√a(a≥0)，且根指数为2．
❑√−6，被开方数−6<0，故A不符合；
√3 9，根指数为3，故B不符合；
，
❑√x2+3
∵x²≥0，∴x²+3≥3>0，且根指数为2，故C符合；
1
❑√2x−1且x< ，则2x−1<0，被开方数小于0，故D不符合．
2
故选：C．
2．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A．❑√x−2 B．❑√a C．❑√−7 D．❑√5
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式，关键是掌握二次根式定义，根据形如❑√a(a≥0)的
式子叫作二次根式进行分析即可．
【详解】解：x−2不一定是非负数，故A选项不符合题意，
a不一定是非负数，故B选项不符合题意，
−7<0，故C选项不符合题意，
5>0，❑√5是二次根式，故D选项符合题意，
故选：D．
3．下列各式中，不一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
❑√−a(a≤0) ❑√a2−2a+1 ❑√a2+1 ❑√a3
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如❑√a(a≥0)的式子叫二次根式．
根据二次根式的定义逐一判断即可．
【详解】A． 当a≤0时−a≥0，即❑√−a(a≤0)是二次根式；
B． ， ，即 是二次根式；
❑√a2−2a+1=❑√(a−1) 2 (a−1) 2≥0 ❑√a2−2a+1
C． ，即 是二次根式；
a2+1>0 ❑√a2+1
D． 当 时 ，即 不一定是二次根式；
a<0 a3<0 ❑√a3
故选：D．
4．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二
① ❑√8 ② ❑√−4 ③ ❑√a2+1 ④ ❑√2a ⑤ √3 x3
次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各
选项即可．
【详解】①❑√8：根指数为2，被开方数8>0，符合二次根式定义．
②❑√−4：被开方数为−4<0，无意义，不是二次根式．
③ ：根指数为2，且 恒成立，无论 取何值均成立，一定是二次根
❑√a2+1 a2+1≥1>0 a
式．
④❑√2a：根指数为2，但被开方数2a需满足2a≥0，即a≥0．由于a的取值未限定，
无法保证恒成立，故不一定是二次根式．
⑤ ：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式．
√3 x3
故选B．
【题型2 求二次根式的值】
1．计算：❑√2025=（ ）
A．25 B．35 C．45 D．55
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简，直接计算❑√2025的值即可．
【详解】解：❑√2025=45，
故选：C．
2．当x=−1时，二次根式❑√3x+7的值为（ ）
A．±2 B．2 C．−2 D．❑√2
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把x=−1代入
原式化简即可．
【详解】解：当 时，原式 ，
x=−1 =❑√3×(−1)+7=❑√4=2
故选：B．
3．❑√19的值在（ ）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【答案】D
【分析】首先确定❑√19的范围，根据二次根式的性质即可得出答案．
【详解】解：∵ ❑√16<❑√19<❑√25，∴4<❑√19<5．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较和二次根式的性质的应用，知道：16<19<25，
❑√16=4，❑√25=5．
4．代数式 的最小值为 ．
❑√n2+4
【答案】2
【分析】根据二次根式成立的条件即可解答．
【详解】解：根据题意可得n2≥0，
∴n2+4≥4
，
∴❑√n2+4≥❑√4=2
∴ 的最小值为2，
❑√n2+4
故答案为：2．
【点睛】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式成立的条件是解决
本题的关键．
5．计算 的结果是 ．
❑√(−8) 2
【答案】8
【分析】根据二次根式去根号法则： 计算即可．
❑√a2=|a)
【详解】 ，
❑√(−8) 2=|−8)=8
故答案为：8．
【点睛】本题考查了二次根式，熟练运用二次根式去根号法则是解题关键．
6．化简：
❑√(❑√3−5) 2=
．
【答案】5−❑√3
【分析】利用 解答即可．
❑√a2=|a)
❑√(❑√3−5) 2
【详解】
=|❑√3−5)
=5−❑√3,故答案为：5−❑√3．
【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，属于基础题，熟练掌握 是解题关
❑√a2=|a)
键．
【题型3 求二次根式中的参数】
1．已知❑√18m是整数，则正整数m的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了求二次根式中的参数，以及二次根式的性质，把18分解成平方数
与另一个因数相乘的形式是解题的关键．
根据二次根式的性质进行整理分析，即可解题．
【详解】解：因为18=32×2，
所以❑√18m=3❑√2m．
因为❑√18m是整数，
所以正整数m的最小值是2．
故选：B．
2．如果❑√3+2m是一个正整数，则整数m的值可以是（ ）
A．0 B．3 C．−6 D．−2
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化
简即可．
【详解】解：A、当m=0时，3+2m=3，❑√3+2m=❑√3，不是一个正整数，故此选
项不符合题意；
B、当m=3时，3+2m=9，❑√3+2m=❑√9=3，是一个正整数，故此选项符合题意；
C、当m=−6时，3+2m=−9，❑√3+2m=❑√−9，没有意义，故此选项不符合题意；
D、当m=−2时，3+2m=−1，❑√3+2m=❑√−1，没有意义，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．若x，y满足|x+1)+❑√2−y=0，则xy= ．
【答案】1
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出
方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵ |x+1)+❑√2−y=0，
∴ x+1=0，2−y=0，
∴ x=−1，y=2，
，
∴ xy=(−1) 2=1
故答案为：1．
4．二次根式❑√2b+1与❑√a−1 的和为0，则a+b的值为 ．
1
【答案】 /0.5
2
【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得❑√2b+1+❑√a−1=0，由
二次根式的非负性得a−1=0，2b+1=0，求出a和b，代值即可求解；理解二次根式
的非负性❑√a≥0（a≥0）是解题的关键．
【详解】解：由题意得
❑√2b+1+❑√a−1=0，
∴ a−1=0，2b+1=0，
1
解得：a=1，b=− ，
2
∴ a+b
1
=1−
2
1
= ；
2
1
故答案： ．
2
【题型4 二次根式有意义的条件】
1．式子❑√a−5在实数范围内有意义，则a的值可以是（ ）
A．−3 B．0 C．4 D．6
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，二次根式在实数范围内有意义的条
件是被开方数非负．据此求解即可．
【详解】解： ❑√a−5在实数范围内有意义，
∵a−5≥0，即 a≥5．
∴选项 A．−3<5，B．0<5，C．4<5，均不满足；
选项D． 6≥5，满足．
故选D．
2．已知❑√a−17+2❑√17−a=b+8，则a−b的算术平方根是（ ）
A．±3 B．3 C．5 D．±5
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握二次根式中被开方数为非负数是解决
问题的关键．
根据二次根式的被开方数非负，确定a的值，进而求出b的值，再计算a−b的算术平
方根．
【详解】解：∵ ❑√a−17和❑√17−a都有意义，
∴ a−17≥0且17−a≥0，
∴ a≥17且a≤17，
∴ a=17．
当a=17时，❑√a−17=0，❑√17−a=0，
∴ 方程左边 =0+2×0=0，
∴ 0=b+8，
∴ b=−8．
∴ a−b=25，
∴a−b的算术平方根为❑√25=5．
故选：C．
❑√2−3x
3．若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
x
2
【答案】x≤ 且x≠0
3
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，二次根式有意义的条
件是被开方数非负，同时分母不能为零，因此需满足2−3x≥0和x≠0，联立求解即可．
❑√2−3x
【详解】解：∵二次根式 有意义，
x
2
∴被开方数2−3x≥0，解得x≤ ；
3
分母x≠0．2
∴x的取值范围是x≤ 且x≠0．
3
2
故答案为x≤ 且x≠0．
3
【题型5 利用二次根式的性质化简】
1．化简
(❑√5) 2
的结果是（ ）
A．5 B．25 C．2.5 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质 计算即可．
(❑√a) 2=a
【详解】解： ．
(❑√5) 2=5
故选：A
2．化简 的结果是（ ）
❑√(−6) 2
A．−6 B．6 C．±6 D．❑√6
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数
是解题的关键．根据算术平方根的定义， ，结果应为非负数．
❑√a2=|a)
【详解】解： ，
❑√(−6) 2=❑√36=6
故选：B．
3．化简 的结果是（ ）
❑√(3−π) 2+❑√(π−4) 2
A．1 B．−1 C．7 D．−7
【答案】A
【分析】本题考查的知识点是二次根式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式性质
．
❑√(a−b) 2=|a−b)
根据二次根式性质即可得解．
【详解】解：∵3<π<4，．
∴❑√(3−π) 2+❑√(π−4) 2=|3−π)+|π−4)=π−3+4−π=1
故选：A．
4．若 ，则 的值可以是（ ）
❑√(a+1) 2=−a−1 a
A．4 B．2 C．0 D．−2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可求得结果，掌握
二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
❑√(a+1) 2=−a−1=−(a+1)
∴a+1≤0，
即a≤−1，
只有选项D符合题意，
故选：D．
5．已知 ，化简： 的结果为（ ）
14 B．a<4 C．a≥4 D．a≤4
【答案】C
【分析】此题考查了二次根式的性质，根据二次根式是非负数得到a−4≥0，即可得
到a的取值范围．【详解】解：∵ ，
❑√(a−4) 2=|a−4)=a−4
∴a−4≥0，
∴a≥4，
故选：C
【题型6 数轴与二次根式的化简】
1．实数 对应的点在数轴上的位置如图，则化简 的结果为（ ）
m ❑√(m−2) 2+❑√(m−7) 2
A．2m−9 B．−5 C．5 D．9−2m
【答案】C
【分析】根据实数m对应的点在数轴上的位置得m的取值范围，即可进行化简求值．
【详解】解：根据实数m对应的点在数轴上的位置得30,m−7<0，
∴ ，
❑√(m−2) 2+❑√(m−7) 2=|m−2)+|m−7)=m−2+7−m=5
故选：C
【点睛】此题考查了算术平方根，熟练算术平方根的性质是解题的关键．
2．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简： 的结果为（ ）
|a−2)+❑√(a−4) 2
A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6
【答案】A
【分析】根据数轴即可确定a的范围，然后根据绝对值和二次根式的性质得出a−2>0，
a−4<0，再化简即可．
【详解】解：根据数轴可以得到：20，a−4<0，
∴
|a−2)+❑√(a−4) 2=a−2+(4−a)=2故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，以及绝对值的性质，得出a−2>0，
a−4<0是解题的关键．
3．如图中是实数a、b在数轴上的对应点的位置，化简 的结果是
|a+b|+❑√(a−b) 2
（ ）
A．−2a−b B．−2a+b C．−2b D．−2a
【答案】D
【分析】根据数轴上点的位置确定出a+b与a-b的正负，原式利用二次根式性质
及绝对值的代数意义化简即可求出值．
❑√a2=|a)
【详解】解：根据数轴上点的位置得：a＜0＜b，
∴a+b＜0，a-b<0，
∴
|a+b|+❑√(a−b) 2=−a−b+b−a=−2a
故答案为：D．
【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握各自的性质
是解本题的关键．
4．实数 、 在数轴上对应点的位置如图，则 的结果是 ．
a b |b−a)−❑√b2
【答案】2b−a/−a+2b
【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握绝对值的性质和二
次根式的性质． 由数轴得出a0，
，
∴|b−a)−❑√b2=b−a−|b)=b−a−(−b)=b−a+b=2b−a
故答案为：2b−a．5．实数 ，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是 ．
a ❑√(a−b) 2−(b−a−2)
【答案】2
【分析】本题考查了数轴上的点位置、化简二次根式、整式的加减运算法则等知识点，
熟练掌握和运用各运算法则是解题的关键．
先由实数a、b在数轴上的位置可得−38 B．x≥8 C．x≥0 D．x≤8
【答案】B
【分析】本题考查二次根式在实数范围内有意义的条件，掌握知识点是解题的关键．
根据二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数非负求解即可．
【详解】解：∵二次根式❑√x−8在实数范围内有意义，
∴x−8≥0，
∴x≥8．
故选：B．
√ 1
2．把a❑− 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
a
A．❑√a B．−❑√a C．−❑√−a D．❑√−a【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条
件判断字母的符号，再正确移动根号外的因式．
先根据二次根式有意义的条件确定a的符号，再将根号外的负因式处理符号后，平方
移入根号内进行化简．
1
【详解】解：∵− >0，
a
∴a<0．
∴ a❑ √ − 1= −❑ √ a2· ( − 1) =−❑√−a ．
a a
故选：C．
3．若3，4，n为三角形的三边长，则化简 的结果为（ ）
❑√(1−n) 2+❑√(7−n) 2
A．6 B．−6 C．2n−8 D．8−2n
【答案】A
【分析】本题考查三角形三条边的数量关系以及根式的化简，掌握三角形两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
由三角形三边关系可以确定n的取值范围为1|b)，据此即可求解．
【详解】解：由数轴可知：a|b)，
∴a+b<0,c−b>0，
∴
❑√a2−|a+b)+❑√(c−b) 2
=−a+a+b+c−b
=c．
故选：A．
