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2022-2023学年人教版七年级数学下册精选压轴题培优卷
专题02 平方根与立方根
一．选择题（共9小题，满分18分，每小题2分）
1．（2分）（2022春•西山区期末）如果a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，则ba＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．3
解：∵a+1的算术平方根是2，27的立方根是1﹣2b，
∴a+1＝4，1﹣2b＝3，
∴a＝3，b＝﹣1，
∴ba＝（﹣1）3＝﹣1．
故选：A．
2．（2分）（2021秋•榕城区期末）下列说法中，正确的是（ ）
①﹣64的立方根是﹣4；
②49的算术平方根是7；
③ 的平方根为± ；
④ 的平方根是 ．
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
解：①﹣64的立方根是﹣4，原说法正确；
②49的算术平方根是7，原说法正确；
③﹣ 没有平方根，原说法错误；
④ 的平方根是± ，原说法错误；
正确的有①②；
故选：A．
3．（2 分）（2022 春•定远县期末）如果 ≈1.333， ≈2.872，那么 约等于
（ ）
A．28.72 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333
解：∵ ≈1.333，∴ ＝ ≈1.333×10＝13.33．
故选：C．
4．（2分）（2021春•武汉月考）一块边长为a厘米的正方形纸片，若沿着边的方向裁出一块面积为 120
平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3，在尽可能节约材料的前提下，a的值可能是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
解：设长方形纸片的长为4x厘米，宽为3x厘米，
则有 4x•3x＝120，整理得，12x2＝120，
化简得，x2＝10，
解得，x＝ （负数舍去）
故长方形纸片的长为 厘米，宽为 厘米，
由于该长方形纸片是从一块正方形纸片上沿着边的方向剪下来的，故正方形的边长至少是 厘米，
＝ ，
，即12＜ ＜13，
且题干中要求“尽可能节约材料”，故正方形的边长应该在满足条件的前提下尽可能取小的数，
故a的值可能是13，
故选：B．
5．（2分）（2021春•饶平县校级期末）已知 ，则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：∵ ，
∴1﹣a＝﹣8，
a＝9，
∴ ＝ ＝3，
故选：C．
6．（2分）（2021春•饶平县校级期末） 的算术平方根是（ ）
A．（x2+4）4 B．（x2+4）2 C．x2+4 D．
解：∵ ＝x2+4，∴ 的算术平方根是 ．
故选：D．
7．（2分）（2020春•合川区期末）已知M＝ 是9的算术平方根，7a+3b﹣1的平方根为±4，N＝
，则M+2N的立方根为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
解：∵9的算术平方根是3，
∴M＝ ＝3，
∴5a+2b＝9，
又∵7a+3b﹣1的平方根为±4，
∴7a+3b﹣1＝16，
∴ ，
解得a＝﹣7，b＝22，
∴N＝ ＝ ＝ ＝﹣2，
∴M+2N＝3+2×（﹣2）＝3﹣4＝﹣1，
而﹣1的立方根为﹣1，
∴M+2N的立方根为﹣1，
故选：A．
8．（2分）（2015•杭州模拟）已知边长为a的正方形面积为10，则下列关于a的说法中：
①a是无理数；②a是方程x2﹣10＝0的解；③a是10的算术平方根； ④a满足不等式组
正确的说法有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：因为边长为a的正方形面积为10，所以可得a＝ ，
则①a是无理数，正确；
②a是方程x2﹣10＝0解，正确；
③a是10的算术平方根，正确；④解不等式组 ，得：3＜a＜4，而 ，正确；
故选：D．
9．（2分）（2014•台湾）已知9.972＝99.4009，9.982＝99.6004，9.992＝99.8001，求 之值的
个位数字为何？（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
解：∵9.972＝99.4009，9.982＝99.6004，9.992＝99.8001，
∴ ＜ ＜ ，
∴9.98＜ ＜9.99，
∴998＜ ＜999，
即其个位数字为8．
故选：D．
二．填空题（共11小题，满分22分，每小题2分）
10．（2分）（2022春•海淀区校级期中）将边长分别为1和2的长方形如图剪开，拼成一个与长方形的面
积相等的正方形，则该正方形的边长最接近整数 1 ．
解：设拼成后的正方形的边长为x（x＞0）．
由题意得，x2＝2．
∴x＝ ≈1.414．
∴该正方形的边长最接近整数1．
故答案为：1．
11．（2分）（2022秋•金台区月考）已知b有两个平方根分别是a+3与2a﹣15，则b为 4 9 ．
解：由题意得：a+3+（2a﹣15）＝0．
解得：a＝4．
∴（a+3）2＝72＝49．
故答案为：49．
12．（2分）（2022春•瑶海区期中）若记[x]表示任意实数的整数部分，例如：[4.2]＝4、[ ]＝
1、…，则[ ]﹣[ ]+[ ]﹣[ ]+……+[ ]﹣[ ]（其中“+”、“﹣”依次相间）的值为 ﹣ 3 ．
解：原式＝1﹣1+1﹣2+2﹣2+2﹣2+3﹣3+••••••+7﹣7＝﹣3．
故答案为：﹣3．
13．（2分）（2022•易县二模）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝ ﹣ 3 ，这个正数是 1 ．
解：∵一个数的平方根是a+4和2a+5，
∴a+4+2a+5＝0，
∴a＝﹣3，
∴这个数的平方根是±1，
这个数是1，
故答案为﹣3，1．
14．（2分）（2022•海州区校级三模）计算： 的值是 3 ．
解： ＝3，
故答案为：3．
15．（2分）（2022•雨花区模拟）面积为2的正方形的边长为 ．
解：面积为2的正方形的边长为 ；
故答案为： ．
16．（2分）（2022春•长葛市期末）已知5x﹣2的立方根是﹣3，则x+69的算术平方根是 8 ．
解：∵5x﹣2的立方根是﹣3，
∴5x﹣2＝﹣27，
解得：x＝﹣5，
∴x+69＝﹣5+69＝64，
∴x+69的算术平方根是8；
故答案为：8．
17．（2分）（2022春•康巴什期末）有一个数值转换器，流程如下：
当输入的x值为64时，输出的y值是 ．
解： ＝8，是有理数，8的立方根是2，是有理数，2的算术平方根是 ．
故答案为： ．
18．（2分）（2022春•河北区校级期中）若5x+19的立方根是4，则2x+7的平方根是 ± 5 ．解：∵5x+19的立方根是4，
∴5x+19＝64，
解得x＝9
则2x+7＝2×9+7＝25，
∴25的平方根是±5
故答案±5．
19．（2分）（2021春•上海期中）求值： ＝ ．
解：∵ ．
∴ ．
故答案为： ．
20．（2分）（2021春•梁子湖区期中）已知 ≈1.2639， ≈2.7629，则 ≈
﹣ 0.1263 9 ．
解：∵ ≈1.2639，
∴ ＝
＝ ×
＝﹣ ×
≈﹣0.12639．
故答案为：﹣0.12639．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022春•鼓楼区期中）一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a．
（1）求ab的值；
（2）求关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解．
解：∵一个正数b的两个平方根分别是a﹣2与1﹣2a，
∴a﹣2+1﹣2a＝0，解得a＝﹣1，
当a＝﹣1时，a﹣2＝﹣3，
∴b＝9，
∴ab＝﹣9，
答：ab的值为﹣9；
（2）当a＝﹣1时，原方程可变为﹣2x2+5＝﹣3，
即x2＝4，
∴x＝ ＝±2，
答：关于x的方程2ax2+5＝﹣3的解为x＝±2．
22．（6分）（2022春•武邑县校级期末）某市在招商引资期间，把已倒闭的油泵厂出租给外地某投资商，
该投资商为减少固定资产投资，将原来400m2的正方形场地改建成315m2的长方形场地，且其长、宽的
比为5：3．
（1）求原来正方形场地的周长；
（2）如果把原来正方形场地的铁栅栏围墙全部利用，围成新场地的长方形围墙，那么这些铁栅栏是否
够用？试利用所学知识说明理由．
解：（1） ＝20（m），4×20＝80（m），
答：原来正方形场地的周长为80m．
（2）设这个长方形场地宽为3am，则长为5am．
由题意有：3a×5a＝315，
解得：a＝ ，
∵3a表示长度，
∴a＞0，
∴a＝ ，
∴这个长方形场地的周长为 2（3a+5a）＝16a＝16 （m），
∵80＝16×5＝16× ＞16 ，
∴这些铁栅栏够用．
答：这些铁栅栏够用．
23．（6分）（2022春•黔西南州月考）已知 是n﹣m+3的算术平方根， 是
m+2n的立方根，求B﹣A的平方根．
解：由题意得：m﹣2＝2，m﹣2n+3＝3，
解得：m＝4，n＝2，则A＝ ＝1，B＝ ，
∴B﹣A＝2﹣1＝1，
则B﹣A的平方根为：±1．
24．（6分）（2022春•江汉区期中）阅读下列材料：
已知59319的立方根是正整数，要得到 的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定 的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜59319＜1000000，所以10＜
＜100，由此得 是两位数；
第二步：确定个位数字，因为 59319的个位上的数是 9，而只有9的立方的个位上的数是 9，所以
的个位上的数是9；
第三步：确定十位数字，划去59319后面的三位319得到59，因为33＝27，43＝64，而27＜59＜64，所
以 的十位上的数字是3；
综合以上可得， ＝39．
请根据上述内容，完成以下问题：
（1）若 为正整数，它的个位上的数是m，x的个位上的数是n，请将下表填写完整；
m 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 8 7 4 5 6 3 2 9
（2）已知262144，474552都是整数的立方，则 ＝ 6 4 ， ＝ 7. 8 ；
（3）已知71289是某正整数a的平方，则a＝ 26 7 ．
解：（1）43＝4×4×4＝64，63＝6×6×6＝216，83＝8×8×8＝512，
故答案为：4，6，2；
（2）①要得到 的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定 的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜262144＜1000000，所以10＜ ＜100，由此得 是两位数；
第二步：确定个位数字，因为 626144的个位上的数是 4，而只有4的立方的个位上的数是 4，所以
的个位上的数是4；
第三步：确定十位数字，划去262144后面的三位144得到262，因为63＝216，73＝343，而216＜262＜
343，所以 的十位上的数字是6；
综合以上可得， ＝64；
②要得到 的结果，即要得到 的结构，也就是 ，
我们可以先求出 的结果，可以按如下步骤思考：
第一步：确定 的位数，因为103＝1000，1003＝1000000，而100＜474552＜1000000，所以10
＜ ＜100，由此得 是两位数；
第二步：确定个位数字，因为 474552的个位上的数是 2，而只有8的立方的个位上的数是 2，所以
的个位上的数是8；
第三步：确定十位数字，划去474552后面的三位552得到474，因为73＝343，83＝512，而343＜474＜
512，所以 的十位上的数字是7；
综合以上可得， ＝78，
所以 ＝ ＝ ＝ ＝7.8，
故答案为：64，7.8；
（3）因为2672＝267×267＝71289，
所以a＝ ＝267，故答案为：267．
25．（6分）（2022春•东湖区期中）为了切实减轻学生的课业负担，各地中小学积极响应，开展一系列形
式多样的课后服务．
某次晚托兴趣活动中：
（1）小红用两个大小一样的小正方形纸片，剪拼出了一个面积400cm2的大正方形纸片．如图，则每个
小正方形的边长是 1 0 c m ；
（2）小美想用这块面积为400cm2的大正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，
使它的长宽之比为6：5，且要求长方形的四周至少留出1cm的边框．请你用所学过的知识来说明，能否
用这块纸片裁出符合要求的纸片．
解：（1）由拼图可知，每个小正方形的面积为200cm2，
所以小正方形的边长为 ＝10 （cm），
故答案为：10 cm；
（2）不能，理由：
设长方形的长为6a，则宽为5a，由长方形的面积可得，
6a•5a＝300，
解得a＝ （a＞0），
所以这个长方形的长为6 ，宽为5 ，
因为6 +2＞20，
所以，不能剪出符合条件的长方形．
26．（8分）（2022春•武昌区校级期中）小丽手中有块长方形的硬纸片，若将该硬纸片的长减少 5cm，宽
增加4cm，就成为一个正方形硬纸片，并且这两个图形的面积相等．
（1）求这块长方形的硬纸片的长、宽各是多少？
（2）现小丽想用这块长方形的硬纸片，沿着边的方向裁出一块长与宽的比为3：2，面积为360cm2的新
长方形纸片，请判断小丽能否裁出，并说明理由．
解：（1）设长方形的长为xcm，宽为ycm，则 ，
解得， ，
答：这个长方形的长、宽分别是25cm，16cm；
（2）小明不能，成功．
设裁出的长为3acm，宽为2acm，
则3a⋅2a＝360，
解得，a＝ ＝2 ，
∴裁出的长为3× ＜25cm，宽为2× ＝4 ＜16cm，
∴小丽能．
27．（8分）（2022春•扶沟县期末）如图，用两个边长为 cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸
片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为 3：2，
且面积为30cm2？请说明理由．
解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（ ）2+（ ）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝ （取正值），
所以3b＝3 ＝ ＞ ，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
28．（6分）（2022春•临洮县期中）已知2a﹣7的平方根是±5，2a+b﹣1的算术平方根是4，求﹣ +b
的值．
解：∵± ＝±5，
∴2a﹣7＝25，
∴a＝16；
∵ ＝4，
∴2a+b﹣1＝16，∴2a+b＝17，
∴b＝﹣15；
∴﹣ +b＝﹣4+（﹣15）＝﹣19．
29．（8分）（2022春•曲阜市期中）探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ 0. 1 ；y＝ 1 0 ；
（2）从表格中探究a与 数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知 ≈3.16，则 ≈ 31. 6 ；
②已知 ＝1.8，若 ＝180，则a＝ 3240 0 ；
（3）拓展：已知 ，若 ，则z＝ 0.01 2 ．
解：（1）x＝0.1，y＝10，故答案为：0.1，10；
（2）① ≈31.6，a＝32400，故答案为：31.6，32400；
（4）z＝0.012，故答案为：0.012
