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专题 02 高频考点精选填空 60 道（35 个
考点）实战训练
一．一元二次方程的解
1．已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣kx＝0的一个根，那么k＝ 1 ．
试题分析：利用一元二次方程解的定义把x＝1代入x2﹣kx＝0得1﹣k＝0，然后解关于k的方程
即可．
答案详解：解：根据题意，将x＝1代入x2﹣kx＝0，得：1﹣k＝0，
解得：k＝1，
所以答案是：1
2．已知x＝2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0的一个根，则k的值为 ﹣ 3 ．
试题分析：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，再解关于k的方程，然
后根据一元二次方程的定义确定k的值．
答案详解：解：把x＝2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4＝0得4k+2k2﹣4+2k+4＝0，
整理得k2+3k＝0，解得k ＝0，k ＝﹣3，
1 2
因为k≠0，
所以k的值为﹣3．
所以答案是﹣3．
3．如果关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个解是x＝1，则2020﹣a﹣b＝ 201 9 ．
试题分析：利用一元二次方程解的定义得到 a+b＝1，然后把 2020﹣a﹣b 变形为 2020﹣
（a+b），再利用整体代入的方法计算．
答案详解：解：把x＝1代入方程ax2+bx﹣1＝0得a+b﹣1＝0，
所以a+b＝1，
所以2020﹣a﹣b＝2020﹣（a+b）＝2020﹣1＝2019．
所以答案是2019．
4．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+3mx+n＝0的解，则6m+2n＝ ﹣ 2 ．
试题分析：先把x＝1代入x2+3mx+n＝0，得到3m+n＝﹣1，再把要求的式子进行整理，然后代
入即可．
答案详解：解：把x＝1代入x2+3mx+n＝0得：
1+3m+n＝0，
3m+n＝﹣1，则6m+2n＝2（3m+n）＝2×（﹣1）＝﹣2；
所以答案是：﹣2．
二．一元二次方程的应用
5．受益于国家支持新能源汽车发展，番禺区某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计 2015
年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．则该企业近2年利润的年平均增长率为 20% ．
试题分析：设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解方程即可．
答案详解：解：设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得
2（1+x）2＝2.88，
解得 x
1
＝0.2＝20%，x
2
＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%．
所以答案是：20%．
三．点的坐标
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），判断在M，N，P，Q四点中，满足到点O和
点A的距离都小于2的点是 点 M 与点 N ．
试题分析：分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，即可得到满足到点 O和点A的距离都小
于2的点．
答案详解：解：如图，分别以点O和点A为圆心，2为半径画圆，
可得满足到点O和点A的距离都小于2的点是点M与点N，
所以答案是：点M与点N．
四．根与系数的关系7．已知方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则它的另一个根是 3 ．
试题分析：利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
答案详解：解：设方程的另一个解是a，则1×a＝3，
解得：a＝3．
所以答案是：3．
五．函数图象上点的坐标特征
8．如图 点P（1，2）在反比例函数的图象上，当x＜1时，y的取值范围是 y ＞ 2 或 y ＜ 0 ．
试题分析：利用函数图象，写出自变量小于对应的函数值的范围即可．
答案详解：解：当x＜1时，y＞2或y＜0．
所以答案是y＞2或y＜0．
2
9．反比例函数y= 的图象经过（2，y ），（3，y ）两点，则y ＞ y ．（填“＞”，“＝”或
x 1 2 1 2
“＜”）
试题分析：根据反比例函数的增减性，结合横坐标的大小关系，即可得到答案．
2
答案详解：解：∵反比例函数y= ，k＝2＞0，
x
∴图象在一、三象限，y随着x的增大而减小，
又∵2＜3，
∴y ＞y ，
1 2
所以答案是：＞．
m
10．若关于x的方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，则反比例函数y= 经过第
x
二，四 象限．
试题分析：关于x的方程有唯一的一个实数根，则Δ＝0可求出m的值，根据m的符号即可判断
m
反比例函数y= 经过的象限．
x答案详解：解：∵方程x2+2x﹣m＝0（m是常数）有两个相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣m）＝4+4m＝0，
∴m＝﹣1；
m
∴反比例函数y= 经过第二，四象限，
x
所以答案是二，四．
六．切割 线
11．如图，点P是 O外一点，PT切 O于点T，PB交 O于A，B两点，连接OT，则PT与OT
的位置关系是 ⊙ PT ⊥ OT ，PA+PB⊙ ＞ 2PT（填“＞⊙”、“＜”或“＝”号）
试题分析：利用切线的性质，切割线定理，完全平方公式即可解决问题．
答案详解：解：∵点P是 O外一点，PT切 O于点T，
∴OT⊥PT． ⊙ ⊙
∵PT2＝PA•PB，
又∵（PB﹣PA）2＞0，
∴（PB+PA）2＞4PA•PB，
PB+PA
∴PT2＜（ ）2，
2
∴PA+PB＞2PT．
所以答案是PT⊥OT，＞．
七．二次函数的性质
12．二次函数y＝（x﹣2m）2+m2，当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是
m ≥ 1 ．
试题分析：由二次函数解析式可求得其对称轴，再结合二次函数的增减性可求得关于m的不等
式，可求得答案．
答案详解：解：
∵y＝（x﹣2m）2+m2，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2m，∴当x＜2m时，y随x的增大而减小，
∵当m＜x＜m+1时，y随x的增大而减小，
∴m+1≤2m，解得m≥1，
所以答案是：m≥1．
13．抛物线y＝x2﹣6x+10的对称轴为 x ＝ 3 ．
试题分析：根据对称轴公式即可解决问题
答案详解：解：对于抛物线y＝x2﹣6x+10，
b −6
对称轴x=− =− =3，
2a 2
所以答案是x＝3
14．已知抛物线y＝﹣x2+6x﹣5的顶点为P，对称轴l与x轴交于点A，N是PA的中点．M（m，n）
在抛物线上，M关于直线l的对称点为B，M关于点N的对称点为C．当1≤m≤3时，线段BC
的长随 m 的增大而发生的变化是 当 1 ≤ m ≤ 3−√2 时， BC 的长随 m 的增大而减小，当 3
−√2＜ m ≤ 3 时， BC 的长随 m 的增大而增大 ．（“变化”是指增减情况及相应m的取值范
围）
试题分析：将二次函数的解析式写成顶点式，得到P的坐标和对称轴，由此写出N点坐标，接
着分别利用对称性质，写出B点和C点坐标，通过画图或者数据，都可以发现 B和C的横坐标
相同，由此得到BC∥y轴，接下来要表示出线段BC的长度，由于无法确定B点和C点谁在上方，
故需要找到B与C重合的位置，即纵坐标为2时，求出此时对应的横坐标，然后展开分类讨论，
用m表示出BC的长度，利用二次函数性质，即可得到结论．
答案详解：解：∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴顶点P（3，4），
对称轴l为直线x＝3，
∴A（3，0），
∵N是PA的中点，
∴N（3，2），
∵M关于直线l的对称点为B，
∴B（6﹣m，n），
∵M点关于N的对称点为C，
∴N是MC的中点，
∴C（6﹣m，4﹣n），∵B和C的横坐标相同，
∴BC∥y轴，
令y＝2，则﹣x2+6x﹣5＝2，
∴x=3±√2，
①当1≤m≤3−√2时，M在N点下方，如图1，
∴B在C下方，
∴BC＝4﹣2n，
∵n＝﹣（m﹣3）2+4，
∴BC＝2（m﹣3）2﹣4，
∵a＝2＞0，
∴当1≤m≤3−√2时，BC的大小随着m的增大而减小，
②当3−√2＜m≤3时，M在N点上方，如图2
∴B在C上方，
∴BC＝n﹣4+n＝2n﹣4，
∴BC＝﹣2（m﹣3）2+4，
∵a＝﹣3＜0，
∴当3−√2＜m≤3时，BC的大小随着m增大而增大，
即当1≤m≤3−√2时，BC的长随m的增大而减小，当3−√2＜m≤3时，BC的长随m的增大而
增大．15．对于实数p，q，我们用符号min{p，q}表示p，q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，因此，
min{−√2，−√3}＝ −√3 ；若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝ 2 或﹣ 1 ．
试题分析：首先理解题意，进而可得min{−√2，−√3}=−√3，min{（x﹣1）2，x2}＝1时再分
情况讨论，当x＝0.5时，x＞0.5时和x＜0.5时，进而可得答案．
答案详解：方法一：
解：min{−√2，−√3}=−√3，
∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，
当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出，最小值为1，
∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，
则（x﹣1）2＝1，
x﹣1＝±1，
x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，
解得：x ＝2，x ＝0（不合题意，舍去），
1 2
当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，
则x2＝1，
解得：x ＝1（不合题意，舍去），x ＝﹣1，
1 2
综上所述：x的值为：2或﹣1．
所以答案是：−√3；2或﹣1．方法二：
解：如图1，在同一坐标系内，作出函数y ＝x2与y ＝（x﹣1）2的图象，
1 2
∵min{p，q}表示p，q两数中较小的数，
令y＝min{（x﹣1）2，x2}，其图象如图2，由图象可知，y＝1时，自变量x的值为2或﹣1．
16．抛物线y＝3（x﹣1）2+2的对称轴是 直线 x ＝ 1 ．
试题分析：根据抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的对称轴，本题得以解决．
答案详解：解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+2，
∴该抛物线对称轴是直线x＝1，
所以答案是：直线x＝1．
八．二次函数图象与系数的关系
17．如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
给出以下结论：
①abc＜0
②b2﹣4ac＞0
③4b+c＜0
5 1
④若B（− ，y ）、C（− ，y ）为函数图象上的两点，则y ＞y
2 1 2 2 1 2
⑤当﹣3≤x≤1时，y≥0，
其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号） ②③⑤ ．
试题分析：根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题．答案详解：解：由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x＝﹣1，与x轴交于A（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
b
∴a+b+c＝0，− =−1，
2a
∴b＝2a，c＝﹣3a，
∴4b+c＝8a﹣3a＝5a＜0，故③正确．
5 1
∵B（− ，y ）、C（− ，y ）为函数图象上的两点，又点C离对称轴近，
2 1 2 2
∴y ＜y ，故④错误，
1 2
由图象可知，﹣3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
所以答案是②③⑤．
九．相似三角形的判定
18．如图， O是△ABC的外接圆，D是^AC的中点，连接AD，BD，其中BD与AC交于点E．写
出图中所⊙有与△ADE相似的三角形： △ CBE ，△ BDA ．
试题分析：根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断．
答案详解：解：∵^AD=C^D，∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠DAE＝∠DBC，
∴∠DAE＝∠ABD，
∵∠ADE＝∠ADB，
∴△ADE∽△BDA，
∵∠DAE＝∠EBC，∠AED＝∠BEC，
∴△AED∽△BEC，
所以答案是△CBE，△BDA．
19．如图，在△ABC中，点E，F分别在AB，AC上，若△AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件
是 EF ∥ BC （写出一个即可）
试题分析：利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
进行添加条件．
答案详解：解：当EF∥BC时，△AEF∽△ABC．
所以答案是EF∥BC．
十．二次函数图象上点的坐标特征
20．抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，4），则代数式4a+2b的值为 1 ．
试题分析：把点（2，4）代入函数解析式即可求出4a+2b的值．
答案详解：解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，4），
∴4a+2b+3＝4，
∴4a+2b＝1，
所以答案是1．
十一．二次函数图象与几何变换
21．将抛物线y＝5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是 y ＝ 5 （ x +2 ） 2
．
试题分析：先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
答案详解：解：抛物线y＝5x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），所以，平移后的抛物线的解析式为y＝5（x+2）2．
所以答案是：y＝5（x+2）2
十二．抛物线与x轴的交点
22．二次函数y＝x2﹣2x+m的图象与x轴只有一个公共点，则m的值为 1 ．
试题分析：根据Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点得到△＝（﹣2）2﹣4m＝0，然后
解关于m的方程即可．
答案详解：解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＝0，
解得m＝1．
所以答案是1．
23．已知点P（x ，m），Q（1，n）在二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a≠0）的图象上，且m
0
＜n下列结论：①该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）；②该二次函数图象的对
1
称轴是直线 x= ； ③该二次函数的最小值是（a+2）2； ④ 0＜x ＜1．其中正确的是
2 0
①②④ ．（填写序号）
试题分析：先求出二次函数的对称轴，然后再分两种情况讨论，即可解答．
答案详解：解：①∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1），
∴当y＝0时，x ＝﹣a，x ＝a+1，即该二次函数与x轴交于点（﹣a，0）和（a+1，0）．
1 2
故①结论正确；
x +x 1
②对称轴为：x= 1 2= ．
2 2
故②结论正确；
1 1 1
③由y＝（x+a）（x﹣a﹣1）得到：y＝（x− ）2﹣（a+ ）2，则其最小值是﹣（a+ ）2，
2 2 2
故③结论错误；
④当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
1
由m＜n，得0＜x ≤ ；
0 2
当P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，1
由m＜n，得 ＜x ＜1，
2 0
综上所述：m＜n，所求x 的取值范围0＜x ＜1．
0 0
故④结论正确．
所以答案是：①②④．
24．抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是 2 个．
试题分析：令x2﹣3x+2＝0，求出△的值，判断出其符号即可．
答案详解：解：令x2﹣3x+2＝0，
∵△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
∴抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴的交点个数是2．
所以答案是：2．
25．已知抛物线y＝x2﹣（t+1）x+c（t，c是常数）与x轴的公共点的坐标为（m，0），（n，0），
且0＜m＜n＜1，则m与t的大小关系为 m ＞ t ．
试题分析：根据二次函数的对称性可得到m、n、t之间的关系式，再结合所给条件消去n，可找
到m与t之间的关系，可判断其大小关系．
答案详解：解：
∵y＝x2﹣（t+1）x+c，
t+1
∴其对称轴为x= ，
2
∵与x轴交于（m，0）、（n，0）两点，
m+n t+1
∴ = ，
2 2
整理可得n＝t+1﹣m，
又0＜m＜n＜1，
∴n＜1，
∴t+1﹣m＜1，
即t＜m，
所以答案是：m＞t．
26．已知抛物线的对称轴是直线x＝n，若该抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，则n的值
为 2 ．
试题分析：利用抛物线与x轴的交点为对称轴，从而得到抛物线的对称轴方程．
答案详解：解：∵抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线＝2．
即n的值为2．
所以答案是2．
十三．二次函数与不等式（组）
27．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y ＝kx+m（k≠0）与抛物线y ＝ax2+bx+c（a≠0）交于
1 2
点A（0，4），B（3，1），当y ≤y 时，x的取值范围是 0 ≤ x ≤ 3 ．
1 2
试题分析：根据函数图象以及点A、B的坐标，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
答案详解：解：∵两函数图象交于点A（0，4），B（3，1），
∴当 y ≤y 时，x的取值范围是0≤x≤3．
1 2
所以答案是：0≤x≤3．
3
28．如图，已知函数y=− 与y＝ax2+bx（a＞0，b＞0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则
x
3
关于x的不等式ax2+bx+ ＞0的解为 x ＜﹣ 3 或 x ＞ 0 ．
x
试题分析：所求不等式变形后，可以看作求二次函数的函数值大于反比例函数值时x的范围，由二次函数与反比例函数图象的交点，利用图象即可得到满足题意的x的范围，即为所求不等式的
解集．
答案详解：解：∵反比例函数与二次函数图象交于点P，且P的纵坐标为1，
3
∴将y＝1代入反比例函数y=− 得：x＝﹣3，
x
∴P的坐标为（﹣3，1），
3
将所求的不等式变形得：ax2+bx＞− ，
x
由图象可得：x＜﹣3或x＞0，
3
则关于x的不等式ax2+bx+ ＞0的解为x＜﹣3或x＞0．
x
所以答案是：x＜﹣3或x＞0．
十四．矩形的性质
29．为了迎接2021年春节，李师傅计划改造一个长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD，如图，他
将画线工具固定在一根4m木棍EF的中点P处．画线时，使点E，F都在花池边的轨道上按逆时
针方向滑动一周．若将点P所画出的封闭图形围成的区域全部种植年花，则种植年花的区域的
面积是 （ 2 4 ﹣ 4 ） m2．
π
试题分析：连接BP，则BP为Rt△BEF的斜边中线，从而当EF在从A滑向B的过程中，点P位
于以B为圆心，2m为半径的四分之一圆弧上，EF在BC线段上滑动时，点P有一段在BC上，
然后会在以C为圆心，2m为半径的四分之一圆弧上，同理可得点 P在CD线段和DA线段上的
运动轨迹，则种植年花的区域的面积可用矩形的面积减去4个四分之一圆弧的面积计算．
答案详解：解：连接BP，如图，由题意可知BP为Rt△BEF的斜边中线，∵EF＝4m，
∴BP＝2m，
∵AB＝DC＝4m，BC＝AD＝6m，
∴点P的运动轨迹为四个圆心分别在点A，B，C，D，半径为2m的四分之一圆，以及BC和AD
上的一段线段．
长为6m，宽为4m的矩形花池ABCD的面积为6×4＝24（m2）．
∴种植年花的区域的面积是：24﹣ ×22＝（24﹣4 ）（m2）．
所以答案是：（24﹣4 ）． π π
十五．垂径定理 π
30．如图，在直角坐标系中，一条圆弧经过网格点A、B、C，其中点B坐标为（4，4），则该圆弧
所在圆的半径是 2√5 ．
试题分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，
交点即为圆心，
答案详解：解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（2，0），
∵A（0，4），
∴圆弧所在圆的半径是AM＝2√5，
所以答案是：2√5．十六．反比例函数与一次函数的交点问题
k
31．在同一平面直角坐标系xOy中，若函数y＝x与y= （k≠0）的图象有两个交点，则k的取值
x
范围是 k ＞ 0 ．
试题分析：联立两函数解析式，消去y得到关于x的一元二次方程，由两函数在同一平面直角坐
标系中的图象有两个交点得到根的判别式大于 0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可
得到k的范围．
{y=x
答案详解：解：联立两解析式得： k，
y=
x
消去y得：x2﹣k＝0，
∵两个函数在同一平面直角坐标系中的图象有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝4k＞0，即k＞0．
故k的取值范围是k＞0．
所以答案是：k＞0．
十七．圆周角定理
32．如图，点A，B，C是 O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的大小为 15 0 度．
⊙
试题分析：根据圆周角定理即可解决问题．
答案详解：解：∵^AC=^AC，
∴∠AOC＝2∠B＝150°，
所以答案是150．33．如图，△ABC内接于 O，∠ACB＝35°，则∠OAB＝ 55 ° ．
⊙
试题分析：由同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，根据∠ACB的度数求出∠AOB的度数，
再由OA＝OB，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理即可求出∠OAB的度
数．
答案详解：解：∵∠ACB与∠AOB都对^AB，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°，
∵OA＝OB，
180°−70°
∴∠OAB＝∠OBA= =55°．
2
所以答案是：55°
34．如图，在 O中，∠BOC＝80°，则∠BAC的度数是 40 ° ．
⊙
试题分析：直接根据圆周角定理即可得出结论．
答案详解：解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝80°，
1
∴∠BAC= ∠BOC＝40°．
2
所以答案是：40°．
35．已知，AB是 O的直径，C、D是 O上的两点，且 AC＝CD．连接BC，BD．如图，若
∠CBD＝20°，则⊙∠A的大小为 7 0 （⊙度）．
试题分析：先利用AC＝CD得到^AC=C^D，再根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CBD＝20°，∠ACB＝90°，然后利用互余计算∠A的度数．
答案详解：解：∵AC＝CD，
∴^AC=C^D，
∴∠ABC＝∠CBD＝20°，
∵AB是 O的直径，
∴∠ACB⊙＝90°，
∴∠A＝90°﹣20°＝70°．
所以答案是70．
十八．圆内接四边形的性质
36．如图，五边形ABCDE内接于 O，若AC＝AD，∠B+∠E＝230°，则∠ACD的度数是 65 °
． ⊙
试题分析：依据圆周角定理，依据圆内接四边形的对角互补即可求解．
答案详解：解：连接OC，OD，CE，DB．
在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC＝180°；
由圆周角定理知，∠AOC＝2∠AEC，
1
∴∠ABC+ ∠AOC＝180°，
2
1
同理∠AED+ ∠AOD＝180°
2
1 1
两式相加有：230°+ ∠AOC+ ∠AOD＝360°，即∠AOC+∠AOD＝260°，
2 2
∴∠COD＝360°﹣（∠AOC+∠AOD）＝100°＝2∠CAD，
∴∠CAD＝50°．
∵AC＝AD，
180°−50°
∴∠ACD= =65°，
2
所以答案是：65°十九．点与圆的位置关系
37．已知∠APB＝90°，以AB为直径作 O，则点P与 O的位置关系是 点 P 在 O 上 ．
试题分析：利用圆周角定理得出当当⊙点P在 O上⊙时，∠APB＝90°，进而得出⊙∠APB＝99°时P
点与圆的位置关系． ⊙
答案详解：解：如图所示：当点P在 O上时，
∵AB是 O的直径， ⊙
∴∠APB⊙＝90°，
又∵∠APB＝90°，则点P在 O上．
所以答案是：点P在 O上．⊙
⊙
二十．直线与圆的位置关系
38．圆的半径为5cm，如果圆心到直线的距离为3cm，那么直线与圆有公共点的个数是 2 ．
试题分析：直接根据直线到圆心的距离与半径之间的数量关系确定位置关系后，再判断公共点
的个数．
答案详解：解：∵圆的半径为5cm，圆心到一条直线的距离是3cm，
3＜5，
即半径大于圆心到直线的距离，
∴直线与圆的位置关系是相交，
即直线与圆有2个交点．
所以答案是：2
二十一．切线的性质
39．如图， O 的半径为1，PA，PB是 O的两条切线，切点分别为A，B．连接OA，OB，AB，
PO，若∠⊙APB＝60°，则△PAB的周长⊙为 3√3 ．试题分析：根据切线的性质得到OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA＝PB，推出△PAB是等
边三角形，根据直角三角形的性质得到PA=√3AO=√3，于是得到结论．
答案详解：解：∵PA、PB是半径为1的 O的两条切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OP平分∠APB，PA⊙＝PB，
而∠APB＝60°，
∴∠APO＝30°，△PAB是等边三角形，
∴PA=√3AO=√3，
∴△PAB的周长=3√3．
所以答案是：3√3．
40．在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧．
√5
（1）弧AC的长为 （结果保留 ）；
2
π π
（2）点B与图中格点的连线中，能够与该圆弧相切的连线所对应的格点的坐标为 （ 5 ， 1 ）
或（ 1 ， 3 ）或（ 7 ， 0 ） ．
试题分析：（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平
分线，交点即为圆心，然后根据弧长的公式即刻得到结论；
（2）由弦AB与弦BC的垂直平分线的交点为圆心，找出圆心O′的位置，确定出圆心坐标，过
点B与圆相切时，根据切线的判定方法得到∠O′BF为直角时，BF与圆相切，根据网格找出满
足条件的F坐标即可．
答案详解：解：（1）根据过格点A，B，C作一圆弧，由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∴半径AO′=√12+22=√5，
连接AO′，CO′，
则∠AO′C＝90°，
90⋅π×√5 √5
∴弧AC的长= = ，
180 2
π
√5
所以答案是： ；
2
π
（2）∵由图形可得：三点组成的圆的圆心为：O′（2，0），
∴只有∠O′BF＝∠O′BD+∠EBF＝90°时，BF与圆相切，
此时△BO′D≌△FBE，EF＝BD＝2，
∴F点的坐标为：（5，1）或（1，3）或（7，0），
则点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（5，1）或（1，3）或（7，0），共3个．
所以答案是：（5，1）或（1，3）或（7，0）．
41．如图，在平面直角坐标系xOy中，P是直线y＝2上的一个动点， P的半径为1，直线OQ切
P于点Q，则线段OQ的最小值为 √3 ． ⊙
⊙
试题分析：连接 PQ、OP，如图，根据切线的性质得 PQ⊥OQ，再利用勾股定理得到 OQ
=√OP2−1，利用垂线段最短，当OP最小时，OQ最小，然后求出OP的最小值，从而得到OQ
的最小值．
答案详解：解：连接PQ、OP，如图，∵直线OQ切 P于点Q，
∴PQ⊥OQ，⊙
在Rt△OPQ中，OQ=√OP2−PQ2=√OP2−1，
当OP最小时，OQ最小，
当OP⊥直线y＝2时，OP有最小值2，
∴OQ的最小值为√22−1=√3．
所以答案是√3．
二十二．三角形的内切圆与内心
42．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的面积为 4 ．
试题分析：先利用勾股定理计算出AB的长，再利用直角三角形内切圆的半π径的计算方法求出
△ABC的内切圆的半径，然后根据圆面积公式即可得出结果．
答案详解：解：∵∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，
∴AB=√C A2+CB2=√82+62=10，
1
∴△ABC的内切圆的半径= （6+8﹣10）＝2，
2
∴△ABC内切圆的面积＝ ×22＝4 ；
所以答案是：4 ． π π
43．如图，点D、πE、F分别在正三角形ABC的三边上，且△DEF也是正三角形，若△ABC的边长
√3
为a，△DEF的边长为b．则△AEF的内切圆半径为 (a−b) ．
6
试题分析：欲求△AEF的内切圆半径，可以画出图形，然后利用题中已知条件，挖掘隐含条件求解．
答案详解：解：如图，由于△ABC，△DEF都为正三角形，
∴AB＝BC＝CA，EF＝FD＝DE，∠BAC＝∠B＝∠C＝∠FED＝∠EFD＝∠EDF＝60°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝120°，∠1＝∠3；
在△AEF和△CFD中，
{∠EAF=∠C
∠1=∠3 ，
EF=FD
∴△AEF≌△CFD（AAS）；
同理可证：△AEF≌△CFD≌△BDE；
∴BE＝AF，即AE+AF＝AE+BE＝a．
设M是△AEF的内心，MH⊥AE于H，MG⊥AC于点G，MN⊥EF于N，
可得：AH＝AG，EH＝EN，FN＝FG，
1 1 1
则AH= （EH+AH+AG+FG﹣FN﹣EN）= （AE+AF﹣EF）= （a﹣b）；
2 2 2
∵MA平分∠BAC，
∴∠HAM＝30°；
1 √3 √3
∴HM＝AH•tan30°= （a﹣b）• = （a﹣b）．
2 3 6
√3
所以答案是： （a﹣b）．
6
二十三．正多边形和圆
44．如图，正方形ABCD内接于 O，其边长为2，则 O的内接正三角形EFG的边长为 √6 ．
⊙ ⊙
试题分析：连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，先求出圆的半径，在Rt△OEM中利用30度角的性质即可解决问题．
答案详解：解；连接AC、OE、OF，作OM⊥EF于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，
∴AC是直径，AC＝2√2，
∴OE＝OF=√2，
∵OM⊥EF，
∴EM＝MF，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF＝60°，
1
在Rt△OME中，∵OE=√2，∠OEM= ∠GEF＝30°，
2
√2 √6
∴OM= ，EM=√3OM= ，
2 2
∴EF=√6．
所以答案是√6．
45．已知正六边形的边心距为√3，则它的周长是 1 2 ．
试题分析：首先由题意画出图形，易证得△OAB是等边三角形，又由正六边形的边心距为√3，
利用三角函数的知识即可求得OA的长，即可得AB的长，继而求得它的周长．
答案详解：解：如图，连接OA，OB，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
1
∴∠AOB= ×360°＝60°，
6
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAH＝60°，
∵OH⊥A，OH=√3，OH
∴OA= =2，
sin60°
∴AB＝OA＝2，
∴它的周长是：2×6＝12．
所以答案是：12．
二十四．弧长的计算
4
46．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ．
3
试题分析：利用底面周长＝展开图的弧长可得．
120π×4 4
答案详解：解： =2πr，解得r= ．
180 3
4
所以答案是： ．
3
二十五．扇形面积的计算
47．一个扇形的面积为6 ，半径为4，则此扇形的圆心角为 13 5 °．
试题分析：直接代入扇π形的面积公式求解即可．
nπr2
答案详解：解：∵S= ，
360
360S 360×6π
∴n = = = 135，
πr2 16π
所以答案是：135．
二十六．圆锥的计算
48．如图，已知圆锥的母线长为2，高所在直线与母线的夹角为30°，则圆锥的侧面积为 2 ．
π
试题分析：根据直角三角形的性质求出OB，根据扇形面积公式计算即可．答案详解：解：∵AO⊥BC，∠BAO＝30°，
1
∴OB= AB＝1，
2
1
∴圆锥的侧面积= ×2 ×1×2＝2 ，
2
π π
所以答案是：2 ．
二十七．翻折变换π（折叠问题）
49．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB、AC上，将△ADE沿DE折叠，使
点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为 2 ．
试题分析：△ABC沿DE折叠，使点A落在点 A′处，可得∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝
A′E，所以，△ACB∽△AED，A′为CE的中点，所以，可运用相似三角形的性质求得．
答案详解：解：∵△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，
∴∠DEA＝∠DEA′＝90°，AE＝A′E，
∴△ACB∽△AED，
又A′为CE的中点，
ED AE
∴ = ，
BC AC
ED 1
即 = ，
6 3
∴ED＝2．
所以答案是：2．
二十八．旋转的性质
50．如图，在△ABC中∠BAC＝60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转20°后，得到△ADE，则∠BAE
＝ 80 °试题分析：根据旋转角可得∠CAE＝40°，然后根据∠BAE＝∠BAC+∠CAE，代入数据进行计算
即可得解．
答案详解：解：∵△ABC绕着点A顺时针旋转20°后得到△ADE，
∴∠CAE＝20°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+20°＝80°．
所以答案是：80°．
51．如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△AB'C'，连接C'C．若
C'C∥AB，则∠BAB'＝ 5 0 °．
试题分析：根据旋转的性质得AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得
∠AC′C＝∠ACC′，然后根据平行线的性质由 CC′∥AB 得∠ACC′＝∠CAB＝65°，则
∠AC′C＝∠ACC′＝65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′＝50°，所以∠B′AB＝50°．
答案详解：解：∵△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，∠B′AB＝∠C′AC，
∴∠AC′C＝∠ACC′，
∵CC′∥AB，
∴∠ACC′＝∠CAB＝65°，
∴∠AC′C＝∠ACC′＝65°，
∴∠CAC′＝180°﹣2×65°＝50°，
∴∠B′AB＝50°，
所以答案是50．
52．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2．将△ABC绕点C顺时针旋转，得到
△A′B′C，连接AB′，且A，B′，A′在同一条直线上，则AA′＝ 6 ．试题分析：根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C
的长，∠A′、∠A′B′C′，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判
定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．
答案详解：解：由在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝2，得
AB＝4，∠BAC＝30°．
由旋转的性质，得
A′B′＝AB＝4，∠A′＝∠BAC＝30°，∠A′B′C＝∠B＝60°，AC＝A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′＝∠A′＝30°．
由邻补角的定义，得
∠AB′C＝180°﹣∠A′B′C＝120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′＝180°﹣∠AB′C﹣∠B′AC＝30°．
∴∠B′AC＝∠B′CA＝30°，
AB′＝B′C＝BC＝2．
A′A＝A′B′+AB′＝4+2＝6，
所以答案是：6．
二十九．关于原点对称的点的坐标
53．点（0，1）关于原点O对称的点是 （ 0 ，﹣ 1 ） ．
试题分析：根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．
答案详解：解：点（0，1）关于原点O对称的点是 （0，﹣1），
所以答案是：（0，﹣1）．
三十．坐标与图形变化-旋转
54．在平面直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，B（2√3，0），OA＝AB，∠AOB＝30°，
把△OAB绕点B顺时针旋转60°得到△MPB，点O，A的对应点分别为M（a，b），P（p，
q），则b﹣q的值为 1 ．试题分析：如图，连接 OM，MA，延长 A 交 OB 于 D．证明△OMB 是等边三角形，推出
MD⊥OB，BP⊥OB，求出DM，PB，可得结论．
答案详解：解：如图，连接OM，MA，延长A交OB于D．
∵BO＝BM，∠OBM＝60°，
∴△OBA是等边三角形，
∴MO＝MB，
∵AO＝AB，
∴MD垂直平分线段OB，
∴OD＝OB=√3，
∵∠AOB＝30°，
∴AD＝OD•tan30°＝1，OA＝AB＝BP＝AM＝2，
∵∠ABP＝60°，∠ABO＝∠AOB＝30°，
∴∠OBP＝90°，
∴M（√3，3），P（2√3，2），
∴b＝3，q＝2，
∴b﹣q＝1．
所以答案是：1．
三十一．平行线分线段成比例
55．如图，直线l ∥l ∥l ，直线AC分别交l ，l ，l 于点A，B，C；直线DF分别交l ，l ，l 于点
1 2 3 1 2 3 1 2 3
DE 3
D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则 的值为 ．
EF 5试题分析：求出AB＝3，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果．
答案详解：解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝AH+BH＝3，
∵l ∥l ∥l ，
1 2 3
DE AB 3
∴ = = ；
EF BC 5
3
所以答案是： ．
5
三十二．相似三角形的判定与性质
56．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，AD＝1，BD＝AE＝2，则
EC的长为 4 ．
试题分析：由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案．
答案详解：解：∵DE∥BC，
AD AE 1 2
∴ = ，即 = ，
BD EC 2 EC
解得：EC＝4；
所以答案是：4．
三十三．位似变换
57．如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0）和B（6，3），以原点O为位似中心，相似比为
1
，把线段AB缩短为线段CD，其中点C与点A对应，点D与点B对应，且CD在y轴右侧，则
23
点D的坐标为 （ 3 ， ） ．
2
试题分析：根据位似变换的性质计算即可．
1
答案详解：解：∵以原点O为位似中心，相似比为 ，把线段AB缩短为线段CD，B（6，
2
3），
1 1 3
∴点D的坐标为（6× ，3× ），即（3， ），
2 2 2
3
所以答案是：（3， ）．
2
三十四．概率公式
58．一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球个
3
数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是 ，则从袋中摸出一个球
10
1
是白球的概率是 ．
4
试题分析：根据红、黄、白三种颜色球共有的个数乘以红球的概率可得红球的个数，再设白球
有x个，得出黄球有（2x﹣5）个，根据题意列出方程，求出白球的个数，再除以总的球数即可．
答案详解：解：根据题意得：
3
红球的个数为：100× =30，
10
设白球有x个，则黄球有（2x﹣5）个，
根据题意得x+2x﹣5＝100﹣30，
解得x＝25．
25 1
所以摸出一个球是白球的概率P= = ，
100 41
所以答案是： ．
4
三十五．列表法与树状图法
59．一个书法兴趣小组有2名女生，3名男生，现要从这5名学生中选出2人代表小组参加比赛，
3
则一男一女当选的概率是 ．
5
试题分析：用列表法或画树状图的求出总的事件所发生的数目，根据概率公式即可求出刚好抽
到一男一女的概率．
答案详解：解：列表如下：
由图可知总有20种等可能性结果，其中抽到一男一女的情况有12种，
12 3
所以抽到一男一女的概率为 = ，
20 5
3
所以答案是： ．
5
60．一个不透明的布袋里装有3个球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同，摸出
1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率是
4
．
9
试题分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球恰
好颜色不同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
答案详解：解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次摸出的球恰好颜色不同的有4种情况，
4
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率是： ．
9
4
所以答案是： ．
9
