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专题 03 一元二次方程的实际应用（课后小练）
满分100分 时间：45分钟 姓名：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题(共24分)
1．(本题4分)（2022·全国·九年级专题练习）小北同学在学习了“一元二次方程”后，改编了苏轼的诗词
《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数，十位恰小
个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，
该数的十位数字比个位小3，个位的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则可列方
程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，然后根据个位的平方恰好等于
该数列出方程即可．
【详解】
解：设周瑜去世时年龄的个位数字为x，则设周瑜去世时年龄的十位数字为x-3，
由题意得 ，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
2．(本题4分)（2022·江苏·九年级专题练习）某中学初三学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕
业留言，全班共写了毕业留言2550份，则全班共有学生（ ）名．
A．52 B．51 C．50 D．49
【答案】B
【解析】【分析】
由题意，每个同学都给其他同学写一份毕业留言，设有x名学生，则每人需要给（x-1）人写毕业留言，共
x（x-1）份毕业留言，列出方程即可．
【详解】
解：设全班共有学生x名，
由题意可得x（x-1）=2550
解得：x=51
故选B．
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，由题意找出等量关系是解题的关键．
3．(本题4分)（2019·天津·南开翔宇学校八年级阶段练习）如图，东西方向上有A，C两地相距10千米，
甲以16千米/时的速度从A地出发向正东方向前进，乙以12千米/时的速度从C地出发向正南方向前进，那
么最快经过( )小时，甲、乙两人相距6千米？
A． B． C．1.5 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意表示出BC，DC的长，进而利用勾股定理求出答案
【详解】
解：设最快经过x小时，甲、乙两人相距6km，根据题意可得：
BC＝（10﹣16x）km，DC＝12xkm，
因为BC2+DC2＝BD2，
则（10﹣16x）2+（12x）2＝62，
解得：x＝x＝0.4．
1 2
答：最快经过0.4小时，甲、乙两人相距6km．
故选A．【点睛】
此题主要考查了勾股定理以及一元二次方程的应用，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
4．(本题4分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面
积扩大了一倍，则小圆形场地的半径为（ ）
A．5m B．（5+ ）m C．（5+3 ）m D．（5+5 ）m
【答案】D
【解析】
【分析】
根据等量关系“大圆的面积=2×小圆的面积”可以列出方程．
【详解】
解：设小圆的半径为xm，则大圆的半径为（x+5）m，
根据题意得：π（x+5）2=2πx2，
解得，x=5+5 或x=5﹣5 （不合题意，舍去）．
故选D．
【点睛】
本题考查了圆的面积计算及一元二次方程的应用，解题关键是根据题意列出方程并求解．
5．(本题4分)（2020·陕西商洛·九年级期末）如图，一农户要建议个矩形花圃，花圃的一边利用长为12 m
的墙，另外三边用25 m长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边留一个1 m宽的门，花圃面积为
80 m2，设于墙垂直的一边长为x m，则可以列出方程是（ ）
A．x（26－2x）＝80 B．x（24－2x）＝80
C．（x－1）（26－2x）＝80 D．x（25－2x）＝80【答案】A
【解析】
【分析】
设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，根据花圃面积为80m2即可列出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【详解】
解：设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（26-2x）m，
根据题意得：x（26-2x）=80．
故选：A．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据花圃的面积列出关于x的一元二次方程是解题的关键．
6．(本题4分)（2022·四川乐山·九年级期末）新冠肺炎病毒传染性很强，一个人感染新冠肺炎病毒后会感
染一批人，我们称为第一轮传播，如果不加控制，这个人与第一批感染的人一起再感染下一批人，我们称
为第二轮传播．某地一人感染后经过两轮传播，被感染的总人数达到121人，设每轮传播中平均一个人会
感染x个人，则下列方程正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
设一个人平均感染x人，再分别表示每轮感染后被感染的人数，根据经过了两轮的传播后被感染的总人数
将达到121人，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】
解：设一个人平均感染x人，则第一轮感染后共有 人被感染，第二轮感染后共有 人
被感染，
∴1+x+（1+x）x=121，
故选：D．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
第II卷（非选择题）二、填空题(共20分)
7．(本题5分)（山东省泰安市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题）市政府为了解决市民看病难的
问题，决定下调药品的价格．某种药品经过连续两次降价后，由每盒300元下调至192元，则这种药品平
均每次降价的百分率为________．
【答案】20%
【解析】
【分析】
因为该药品经过连续两次降价后由每盒300元调至192元，所以可设平均每次的降价率为x，则经过两次
降价后的价格是200（1-x）2，即可列方程求解．
【详解】
设平均每次降价的百分率为x，由题意得300×（1-x）2=192，
解得x=0.2，x=1.8（不合题意舍去），
1 2
答：这种药品平均每次降价率是20%．
故答案为：20%.
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．
8．(本题5分)（2022·江苏·九年级专题练习）已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位
上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是___．
【答案】84
【解析】
【分析】
等量关系为：个位上的数字与十位上的数字的平方和＝这个两位数﹣4，把相关数值代入求得整数解即可．
【详解】
设十位上的数字为x，则个位上的数字为（x﹣4）．可列方程为：
x2+（x﹣4）2＝10x+（x﹣4）﹣4
解得：x＝8，x＝1.5（舍），
1 2
∴x﹣4＝4，
∴10x+（x﹣4）＝84．
答：这个两位数为84．
故答案为：84
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．9．(本题5分)（2022·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利
40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每
件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则
每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．
【答案】
【解析】
【分析】
设每件衬衫降价x元，根据每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件可得销售量为 ，则
每件衬衫的利润为 ，根据销售量乘以每件衬衫的利润等于1200元，列出一元二次方程即可
【详解】
解：设每件衬衫降价x元，根据题意得，
故答案为：
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
10．(本题5分)（2022·山东·烟台市福山区教学研究中心八年级期中）如图都是由同样大小的小球按一定规
律排列的，依照此规律排列下去，第________个图形共有465个小球．
【答案】30
【解析】
【分析】
观察图形，找出图形变化的规律即可．
【详解】解：第1个图中有1个小球，
第2个图中有3个小球， ，
第3上图中有6个小球， ，
第4个图中有10个小球， ，
……
照此规律，第 个图中有 个小球，
当 时，
解得： ， （舍去），
∴第30个图形共有465个小球．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了规律型问题，涉及解一元二次方程．解题的关键是仔细观察图形并找到小球个数的规律．
三、解答题(共56分)
11．(本题10分)（2022·云南红河·九年级期末）截止到2022年1月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控
制，但在全球却持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若
一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有196人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染
了几个人？
【答案】每轮传染中平均每个人传染了13个人
【解析】
【分析】
根据题意设每轮传染中平均每个人传染了 个人，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】
根据题意设每轮传染中平均每个人传染了 个人，根据题意可得：
，
解得 （舍去），
答：每轮传染中平均每个人传染了13个人．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．12．(本题10分)（2021·广东·道明外国语学校九年级阶段练习）东莞市为争创全国文明城市，2019年市政
府对市区绿化工程投入的资金为2000万元，2021年投入的资金是2420万元，
(1)若每年增长的百分率相同，求每年增长的百分率．
(2)若按这个百分率继续增长，该市在2022年需投入多少万元？
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）等量关系为：2019年市政府对市区绿化工程投入的资金×（1＋增长率）2＝2021年市政府对市区绿化
工程投入的资金，把相关数值代入求解即可；
（2）2022年该市政府对市区绿化工程投入的资金＝2021年市政府对市区绿化工程投入的资金×（1＋增长
率）．
（1）解：设每年增长的百分率为 ，根据题意，得： ，解得： ，
（不合题意，舍去），答：每年增长的百分率为 ．
（2）2022年需投入资金： （万元）．答：该市在2022年需投入 万元．
【点睛】
考查一元二次方程的应用．求平均变化率的方法为：若设变化前的量为 ，变化后的量为 ，平均变化率
为 ，则经过 次变化后的数量关系式为 ．
13．(本题12分)（2022·全国·九年级）根据下列提示列方程，并将其化为一元二次方程的一般形式．
(1)已知两个数的和为7，积为6，求这两个数；
(2)如图，在一块正方形纸板的四个角上截去四个相同的边长为2厘米的小正方形，然后把四边折起来，做
成一个没有盖的长方体盒子，使它的容积为32立方厘米．所用的正方形纸板的边长应是多少厘米？
【答案】(1)x2﹣7x+6＝0
(2)x2﹣8x＝0【解析】
【分析】
（1）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题；
（2）根据题意设出未知数，即可列出相应的方程，然后将其化为一元二次方程的一般形式即可解答本题．
(1)
解：设其中一个数为x，则另一个数为（7﹣x），
x（7﹣x）＝6
x2﹣7x+6＝0；
(2)
解：设正方形纸板的边长为x厘米，
（x﹣2×2）2×2＝32
x2﹣8x＝0．
【点睛】
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
14．(本题12分)（2022·湖南长沙·八年级期末）某农户要利用一面25m长的墙建一个长方形的养鸡场，一
边靠墙，另三边用木栅栏围成，木栅栏长40m．
(1)鸡场的面积能达到 吗？如果能，求出与墙平行的边的长；
(2)鸡场的面积能达到 吗？为什么？
【答案】(1)面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米
(2)不能，理由见解析
【解析】
【分析】
(1) 设鸡场的一边为xm，另外两边均为 m，根据矩形的面积公式建立方程求出其解即可；(2)根据题意得出方程， 求出其解的情况就可以得出结论；
(1)
设与墙平行的边的长是x米，
则 ，
整理得x2-40x+400=0，
解得：x=x=20，
1 2
解得 ，
即面积能达到 ，此时与墙平行的边的长是20米．
(2)
由
得 ，
此时 ，
所以面积不能达到 ．
【点睛】
本题考查了运用矩形的面积公式建立一元二次方程求解的运用，一元二次方程根的判别式的运用，解答时
根据矩形的面积公式建立一元二次方程是关键．
15．(本题12分)（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点
P从点C开始沿CA边以4cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q由点C开始以3cm/s的速度沿着CB边
向点B移动，求几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的 ？
【答案】5秒
【解析】
【分析】
设x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ，在 ABC中，∠C=90°，根据面积关系，可得方程，解方程
△ △ △即可求出答案．
【详解】
解：设x秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ，则CP=4xcm，CQ=3xcm，
△ △
由题意得： ×3x×4x= ×30×40× ，
解得：x=5，x=-5（不符合题意，舍去），
1 2
答：5秒后， PCQ的面积等于 ABC面积的 ．
△ △
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据 PCQ与 ABC的面积关系列出方程是解决问题的关键．
△ △
