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期末重难点特训之易错必刷题型（114题33个考点）专练
【精选最新考试题型专训】
易错必刷题一、函数图象识别
1．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）下列图象中，表示 是 的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查的是函数的概念，掌握在一个变化过程中，有两个变量 、 ，若对于 的每一个
值， 都有唯一的一个值与之对应，则 是 的函数是解题的关键．根据函数的定义逐项进行判定解答即
可．
【详解】解：A、每取一个 ， 都有唯一的一个值与之对应，所以 是 的函数，故此选项符合题意；
B、存在一个 值， 有两个值与之对应，所以 不是 的函数，故此选项不符合题意；
C、存在一个 值， 有两个值与之对应，所以 不是 的函数，故此选项不符合题意；
D、存在一个 值， 有两个值与之对应，所以 不是 的函数，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．（2024八年级下·全国·专题练习）以下四种情景分别所描述了两个变量之间的关系：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系.
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系.
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系.
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系.
用图像法依次刻画以上变量之间的关系，排序正确的是
【答案】①④②③
【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生
活经验．①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至 ；②小华在书店买同一单价的作业
本，所付费用与作业本数量成正比例关系；③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数
关系；④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从 开
始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为 ．据此可以得到答案．
【详解】解：①篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0；
②小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；
③李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；
④周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，
到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0．
故顺序为①④②③．
故答案为：①④②③．
3．（23-24八年级下·江西景德镇·期中）下列各情境分别可以用右边哪幅图来近似的刻画？横线上填相应
的字母序号．
(1)一面冉冉上升的旗子________
(2)匀速行驶的汽车________
(3)足球守门员大脚开出去的球________
(4)一杯越晾越凉的水________
【答案】(1)D
(2)B
(3)A
(4)C【分析】主要考查了函数图象的读图能力，弄清楚变量之间变化关系是解题的关键．确定两个变量之间的
变化情况，逐次分析即可求解．
（1）由一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，可得高度的变化情况，从而可得答案；
（2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，可得纵坐标不变，从而可得答案；
（3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后减小，从而可得答案；
（4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小，从而可得答案．
【详解】（1）解：一面冉冉上升的旗子(高度与时间的关系)，旗帜的高度逐步增加到一定的高度，故可以
用D刻画，
故答案为：D；
（2）匀速行驶的汽车(速度与时间的关系)，汽车的速度不变，故可以用B来刻画,
故答案为：B．
（3）足球守门员大脚开出去的球(高度与时间的关系)，球的高度逐步增加然后落地，故可以用A来刻画,
故答案为：A；
（4）一杯越晾越凉的水(水温与时间的关系)，温度逐步减小到环境温度，故可以用图象C刻画,
故答案为：C；
易错必刷题二、方差、标准差、极差
4．（24-25八年级下·江苏泰州·期中）甲、乙两名同学参加少年科技创新选拔赛，六次比赛的成绩如下：
甲：87 93 88 93 89 90
乙：85 90 90 96 89
(1)甲同学成绩的极差是_____；
(2)若甲、乙的平均成绩相同，求 的值；
(3)已知乙的方差是 ，如果要选派一名发挥稳定的同学参加比赛，应该选谁？说明理由．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3)选甲，理由见解析．
【分析】此题考查及极差的定义，根据平均数求一组数据中的未知数据，求数据的方差并依据方差做决定，
熟练求解方差是解题的关键．
（1）将甲的成绩的最大减最小即可得解；
（2）求出甲的成绩总和得到乙的成绩总和，减去其他成绩即可得到a；
（3）求出甲的平均数，计算出方差，根据甲、乙的方差大小即可做出选择．【详解】（1）解：∵甲：87 93 88 93 89 90，最大数为 ，最小数为 ，
∴甲同学成绩的极差是 ，
故答案为： ；
（2）解：∵甲、乙的平均成绩相同，
∴甲、乙的总成绩相同，
∴ ；
（3）解：选甲，理由如下：
甲的平均数 ，
甲的方差 ，
∵ ，
∴甲发挥稳定，应该选甲．
5．（23-24八年级下·浙江·期中）某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行
调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表：
本数（本） 0 1 2 3 4
人数（人） 1 9 21 7 2 0
(1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ；
(2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差．
【答案】(1)2；2
(2)
【分析】本题主要考查了求众数、中位数、标准差：
（1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解；
（2）根据标准差的计算公式计算，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多，
∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2；
∵全班40位同学，
∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2，
∴中位数也是2．故答案为：2；2．
（2）解：平均数为 ，
全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为
．
6．（2025·河北沧州·模拟预测）甲乙两名同学在寒假进行一分钟跳绳的线上打卡活动，下表为一周的打卡
记录及统计数据：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 中位数 平均数
甲 176 170 162 165 172 174 171 171
乙 172 169 170 171 170 167 171 170
(1)直接写出 值并求 值；
(2)甲，乙的方差分别为 ，则 _____________ （选填“ ”“ ”或“ ”）；
(3)第八天统计数据汇总后，甲同学这八天跳绳成绩的平均数增大了但中位数没变，直接写出甲同学第八天
的跳绳成绩．
【答案】(1) ，
(2)
(3)171
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、方差等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．
（1）根据中位数和平均数的定义求解即可；
（2）分别求出甲，乙的方差，即可获得答案；
（3）结合八天跳绳成绩的平均数增大了但中位数没变，即可获得答案．
【详解】（1）解：将乙同学一周打卡记录按照从小到大的顺序排，为167，169，170，170，171，171，
172，排在第4位的为170，
所以，乙同学一周打卡记录的中位数 ；
，
即甲同学一周打卡记录的平均数为 ；
（2），
，
∴ ．
故答案为： ；
（3）将甲同学一周打卡记录按照从小到大的顺序排，为162，165，170，171，172，174，176，排在第4
位的为171，即甲同学一周打卡记录的中位数为171，
由（1）可知，甲同学一周打卡记录的平均数为170，
若第八天统计数据汇总后，甲同学这八天跳绳成绩的平均数增大了但中位数没变，
则甲同学第八天的跳绳成绩为171，
此时甲同学八天打卡记录的平均数为 ，
而中位数为 ，符合题意．
易错必刷题三、利用加权平均数、中位数、众数、求未知数据的值
7．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）某市为了了解高峰时段16路车从总站乘该路车出行的人数，随机抽
查了10个班次乘该路车人数，结果如下：14，23，16，25，23，28，26，27，23，25．
(1)这组数据的众数为____，中位数为____；
(2)计算这10个班次乘车人数的平均数．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】本题考查了平均数、中位数、众数，熟练掌握相关定义是解此题的关键．
（1）根据众数和中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义列式计算即可．
【详解】（1）解：将这组数据从小到大排列为：14，16，23，23，23，25，25，26，27，28，
故中位数为 ，
由于 出现的次数最多，故众数为 ；
（2）解： ，即这10个班次乘车人数的平均数为 ．
8．（24-25八年级下·福建厦门·期中）某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对
他们进行了艺术水平、组织能力的测试，根据综合成绩择优录取，他们的各项成绩（单项满分100分）如
下表所示：
候选
艺术水平 组织能力
人
甲 88分 90分
乙 82分 95分
(1)如果把各项成绩的平均数作为综合成绩，应该录取谁？
(2)如果想录取一名组织能力较强的候选人，把艺术水平、组织能力的成绩分别按照 的比例计入
综合成绩，应该录取谁？
【答案】(1)应该录取甲
(2)应该录取乙
【分析】本题主要考查了求平均数和加权平均数，正确求出甲、乙两人对应的综合成绩是解题的关键．
（1）根据平均数的定义分别求出甲、乙两人对应的综合成绩，比较即可得到答案；
（2）用对应项的得分乘以其权重分别求出甲、乙两人对应的综合成绩，比较即可得到答案．
【详解】（1）解：甲的综合成绩为 分，
乙的综合成绩为 分，
∵ ，
∴应该录取甲；
（2）解：甲的综合成绩为 分，
乙的综合成绩为 分，
∵ ，
∴应该录取乙．
9．（2025·陕西西安·三模）为弘扬中华汉语言文化，促进规范用字、规范书写，某校计划在各班推选出来
的共20名学生中选拔部分学生参加市级汉字听写大赛，参加选拔的同学需要参加表达能力、阅读理解、汉
字听写三项测试，每项测试成绩由七名评委打分（满分100分），取平均数作为该项的测试成绩，再将表
达能力、阅读理解、汉字听写三项的成绩按照 的比例计算出每人的总评成绩．小微、小舒的成绩如
下表，这20名学生的总评成绩频数分布直方图（每组包含最小值，不包含最大值）如下图．
小薇，小舒成绩统计表测试成绩/分
选 总评成
手 表达能 阅读理 汉字听 绩/分
力 解 写
小
92 85 90
薇
小
94 92 88.5
舒
根据以上问题，回答下列问题：
(1)在表达能力测试中，七位评委给小舒打出的分数如下：93，94，96，95，93，93，94，这组数据的中位
数是________分，众数是________分；
(2)分别计算小薇、小舒的总评成绩；若学校决定根据总评成绩安排前2名学生代表学校参加市级比赛，试
分析小薇、小舒能否入选，并说明理由．
【答案】(1)94，93；
(2)小舒能入选，但小薇不能入选，理由见解析．
【分析】本题考查频数分布直方图、中位数、众数、平均数、加权平均数，能够读懂统计图，掌握中位数、
众数、平均数、加权平均数的意义是解答本题的关键．
（1）根据中位数、众数和平均数的定义求解即可；
（2）根据加权平均数的定义计算小薇、小舒总评成绩，由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大
于等于90分的有2人，可知小舒排在前两名，能入选，不能判断小薇能否入选．
【详解】（1）解：七位评委给小舒打出的分数按从小到大的顺序排列如下：
93，93，93，94，94，95，96，
出现次数最多的是93，
∴众数为93分；
中间的一个数是94,∴中位数是94分；
故答案为：94，93；
（2）小舒能入选，但小薇不能入选，
理由：小舒的总评成绩为 （分），
小薇的总评成绩为 （分）；
测试成绩/分
选 总评成
手 表达能 阅读理 汉字听 绩/分
力 解 写
小
92 85 90 89.1
薇
小
94 92 88.5 91.2
舒
由20名学生的总评成绩频数分布直方图可知，大于90分的有2人，
∴小舒能入选，小薇不能入选．
易错必刷题四、同类二次根式
10．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（ ）．
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
【答案】A
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们
的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，据此进行逐项分析，即可作答．．
【详解】解：A、 ， 与 是同类二次根式，故该选项符合题意；
B、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
C、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
D、 ， ， 与 不是同类二次根式，故该选项不符合题意；
故选：A．11．（24-25八年级下·广东江门·期中）若最简二次根式 与 可以合并，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了同类二次根式的定义及解一元一次方程等知识点，正确理解题意是解答本题的关键．
根据同类二次根式的定义得到 ，求解即可．
【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ 与 是同类二次根式，
∴ ，
解得 ，
故答案为 ．
12．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）已知二次根式 ．
(1)求使得该二次根式有意义的 的取值范围；
(2)已知 是最简二次根式，且与 可以合并．求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，熟知二次根式的
相关知识是解题的关键．
（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于 进行求解即可；
（2）根据最简根式和同类二次根式的定义可得 ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵二次根式 有意义，
∴ ，
解得： ；
（2）解： ，
∵最简二次根式 与 可以合并，
∴ ，解得： ．
易错必刷题五、利用二次根式的性质化简
13．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列化简过程中，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质，注意运用二次根式的性质时，被开方数的符号为非负，当二次根式
在分母时，被开方数为正数；根据二次根式的性质进行计算即可作出判断．
【详解】解：A、 ，计算错误；
B、 ，计算错误；
C、 ，计算正确；
D、 成立的条件是m，n均非负，错误；
故选：C．
14．（2025·江苏南通·模拟预测）阅读材料：由 ，可
知 的算术平方根是 ．类似地， 的算术平方根是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了二次根式的应用，完全平方公式的应用，理解材料是解题关键．仿照材料将变形为 ，即可求解．
【详解】解： ，
的算术平方根是 ，
故答案为： ．
15．（24-25八年级下·全国·课后作业）化去下列各式分母中的根号：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键：
（1）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可；
（2）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可；
（3）利用除法公式和二次根式的性质，进行化简即可．
【详解】（1）解： ；
（2） ；（3） ．
易错必刷题六、求二次根式中的参数
16．（24-25八年级下·四川绵阳·阶段练习）下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如 的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件
是解答本题的关键．根据定义逐项分析即可．
【详解】解：A． 的被开方数是负数，故不是二次根式；
B． 是二次根式；
C． 的根指数是3，故不是二次根式；
D．当a，b异号时， 不是二次根式；
故选：B．
17．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）若 是整数，则满足条件的正整数 共有 个．
【答案】3
【分析】本题考查了二次根式，根据二次根式有意义的条件得到 ，再根据 是整数，进行解答即
可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ 是整数， 或 或 ，
∴满足条件的正整数 是 或 或 ．
即满足条件的正整数 共有3个，故答案为：3．
18．（23-24八年级下·山东济宁·期末）二次根式 的双重非负性是指被开方数 ，其化简的结果
，利用 的双重非负性解决以下问题：
(1)已知 ，则 的值为_______；
(2)若 为实数，且 ，求 的值；
(3)若实数 满足 ，求 的值．
【答案】(1)
(2) 或
(3)9901
【分析】本题考查二次根式的双重非负性，二次根式 的双重非负性是指被开方数 ，其化简的结果
，根据题意，利用 的双重非负性灵活运用是解决问题的关键．
（1）利用二次根式非负性， ， ，当 时，只有 才能满
足题意，解出 代入代数式即可得到答案；
（2）由二次根式有意义的条件得到 ，从而确定 ，将 代入代数式即可得到答案；
（3）由二次根式有意义的条件得到 ，从而 可化为 ，即
，两边同时平方即可得到答案．
【详解】（1）解： ， ， ，
，解得 ，
，
故答案为： ；
（2）解： 中 ； 中 ；，则 ，即 ，
当 时， ；当 时， ；
（3）解： 中 ，
，
可化为 ，即 ，
将 两边同时平方可得 ，则 ．
易错必刷题七、二次根式的混合运算
19．（24-25八年级下·河北唐山·期中）下列各式计算：① ；② ；③
；④ 中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键，根据二次根式的加减乘
除法则进行计算即可．
【详解】解：① ，①正确；
② ，②正确；
③ ，③正确；
④ ，④错误
故选：C．
20．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： ，
．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．根据二次根式的
混合运算法则求解即可．
【详解】解： ，
，
故答案为： ， ．
21．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法和化简二次根式，再计算二次根式
加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
易错必刷题八、分母有理化
22．（24-25八年级下·安徽淮北·期中）若 为实数，在“ ”的“ ”中添上一种运算符号
（在“+”“-”“×”“÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则 的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分母有理化，根据有理化因式的特征，二次根式的运算逐项进行判断即可．
【详解】解：如果“□”中添上的是“+”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D中的数，因此选
项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“-”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A、B中的数，因此选项A、选
项B不符合题意；
如果“□”中添上的是“×”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项D、B中的数，因此选项B、选
项D不符合题意；
如果“□”中添上的是“÷”，要使运算的结果为有理数，则m可以为选项A中的数，因此选项A不符合题
意；综上所述，m的值不可能是选项C中的代数式，
故选：C．
23．（24-25八年级下·福建漳州·阶段练习）若 ， ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的加减，先根据分母有理化得出 ，再根据二
次根式的加减运算法则计算即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
24．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）探究：
观察下列等式：
；
；
；
……
解答下列问题：
(1)模仿：化简： __________， __________．
(2)拓展：比较 和 的大小．
(3)运用：计算【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（ ）仿照例题化简即可；
（ ）先求出 和 的倒数，进而比较倒数即可判断求解；
（ ）利用二次根式的化简方法对括号内的各项化简，进而利用平方差公式计算即可求解；
本题考查了二次根式的分母有理化，掌握二次根式运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解： ，
，
故答案为： ， ；
（2）解： ，
，
，
，
；
（3）解：．
易错必刷题九、已知字母的值，化简求值
25．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知 ，求 的值．他是这样
分析与解的：
，
，
，
，
．
若 ，则 的值为（ ）
A．5 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将 分母有理化，化简为 ，仿照例题进行计算得出
，代入 ，即可求解．
【详解】解：∵∴
∴ ，
∴
∴
故选：A．
26．（23-24八年级下·山东烟台·期末）已知 ， ，则代数式 的值是 ．
【答案】14
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，先求出 ， ，再根据
进行求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ．
27．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知： ， ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确求出 的值是解题的关键．
（1）先求出 的值，再根据 代值计算即可；
（2）根据 代值计算即可．【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ．
易错必刷题十、求自变量的值或函数值
28．（2024·山东烟台·二模）按如图所示的程序进行计算，若输入x的值是2，则输出y的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．3或
【答案】C
【分析】此题考查了求函数值．根据所示的程序，输入 ，由 ，则把 代入 进行计算即
可．
【详解】解：∵ ，
∴根据题意得，当 时， ，
故选：C．
29．（2025·湖北·二模）在电压不变时，通过导体的电流 （单位：A）与这段导体的电阻 （单位： ）
是反比例函数关系，其函数图象如图所示，当一段导体的电阻 时，通过该导体的电流 的值为
A．【答案】
【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值等．根据题意设反比例函数解
析式为 ，将点 代入其中得到 ，再将 代入求出得反比例解析式即可求出本题答案．
【详解】解：设反比例函数解析式为 ，
将点 代入 中，得到 ，
∴ ，
∴电阻 时，通过该导体的电流 的值为： ，
故答案为： ．
30．（2025八年级下·全国·专题练习）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压
强 是气体体积 的反比例函数，其图像如图所示．
(1)写出 与 之间的函数表达式．
(2)当气体的体积为 时，压强是多少？
(3)当压强大于 时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应大于多少（保留两位小数）？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求解析式，函数值、自变量值的计算方法是关
键．
（1）运用待定系数法求解即可；（2）把 代入计算即可；
（3）根据题意把 代入计算即可求解．
【详解】（1）解：当温度不变时，气球内气体的压强 是气体体积 的反比例函数，
∴设反比例函数解析式为 ，把点 代入得， ，
解得， ，
∴ 与 之间的函数表达式为 ；
（2）解：当 时， ；
（3）解： 与 之间的函数表达式为 ，
∴当 时， ，
解得， ，
∴结合函数图象可知，为了安全起见，气球的体积应大于 ．
易错必刷题十一、正比例函数的图象与性质
31．（24-25八年级下·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：① ，②
，③ ，下列用“ ”表示 的不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，在图中画出直线 ，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：作直线 ，如图所示：
则点 ，点 ，点 ，
结合 三个点的位置可知， ．
故选：B．
32．（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）若正比例函数 的图象在第二、四象限，则k的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的图象，掌握正比例函数 ，当 时，图象经过第一三象限，当
时，图象经过第二四象限是解题的关键．据此得到不等式 ，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数 的图象在第二、四象限，
∴ ，
解得： ．
33．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）已知y与x成正比例，当 时，
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)请判断点 是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不在，理由见解析
【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解决问题．（2）将点 代入所得函数解析式验证即可．
【详解】（1）解：令y与x之间的函数表达式为 ，
∵当 时， ，
∴ ，
解得 ，
所以y与x之间的函数表达式为
（2）不在，理由如下：
将 代入 得，
，
所以点 不在这个函数的图象上．
易错必刷题十二、比较一次函数值的大小
34．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）若点 ， ， 在一次函数 （m是常
数）的图象上，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数的增减性是解题的关键．
根据题意可得 ，y随x的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：∵一次函数 （m是常数），其中 ，
∴y随x的增大而减小，
．
∴当 时对应的 最大， 时对应的 最小，
∴ ．
故选：D．35．（24-25八年级下·北京·期中）已知点 ， 均在一次函数 的图象上，则
（填“＞”“＜”或“=”）．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“ ， 随 的增大而增大； ， 随 的增大而减小”
是解题的关键．由 ，利用一次函数的性质可得出 随 的增大而增大，结合 ，即可得出
．
【详解】解： ，
随 的增大而增大．
点 ， 均在一次函数 的图象上，且 ，
．
故答案为： ．
36．（24-25八年级下·江西九江·期中）已知一次函数 ．
(1)在图中画出该函数的图象；
(2)若 和 是一次函数 图象上的两点，比较 和 的大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2) ，见解析【分析】本题主要考查一次函数图象及性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
（1）根据解析式得出当 时， ；当 时， ，列表、描点，画出直线即可；
（2）根据一次函数的性质，得出y随x的增大而增大即可得出答案．
【详解】（1）解： ，
当 时， ；当 时， ；
列表如下：
0 2
0
描点，该函数的图象如下：
（2） ，
随 的增大而增大，
，
．
易错必刷题十三、根据一次函数的定义求参数
37．（23-24八年级下·四川内江·期中）若 关于 的函数 是一次函数，则 的值为
（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数形如 ，进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵ 关于 的函数 是一次函数，
∴
∴
即
故选：C
38．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）规定： 是一次函数 （k，b为实数， ）的“特征
数”．若“特征数”是 的一次函数是正比例函数，则点 所在的象限是第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查一次函数的定义，正比例函数的定义，判断点所在的象限，根据新定义，得到 ，
进而得到 ，求出点 ，进行判断即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∴点 为： ，
∴点 在第四象限；
故答案为：四．
39．（24-25八年级下·山东泰安·期末）已知函数 ．
(1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？
(2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？
(3)若函数的图象经过点 和 ，求m，n的值．
【答案】(1)
(2) ，且 ，
(3) 的值分别为
【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义．
（1）根据y是x的一次函数，得到 ，求解即可；（2）根据y是x的正比例函数，得到 ，求解即可；
（3）将点 代入 求出 的值，再将 代入 即可求出 的值．
【详解】（1）解：由题意得 ，即 时，
函数 是一次函数；
（2）解：由题意得 ，且 ，
即得 ，且 时，函数 是正比例函数；
（3）解： 函数图象经过点
，即 ．
又 经过点 ，
，
解得 ，
故 的值分别为 ．
易错必刷题十四、已知函数经过的象限求参数范围
40．（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知直线 经过第一、二、四象限，则直线 的图
象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：
， ，进而得到 ，推出直线 经过第一、二、三象限，即可求解．【详解】解： 直线 经过第一、二、四象限，
， ，
，
直线 经过第一、二、三象限，
故选：B．
41．（24-25八年级下·重庆·期中）已知一次函数 的图象不经过第四象限，且关于 的不
等式组 至少有2个整数解，则所有满足条件的整数 的值和为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系以及一元一次不等式组的整数解．由一次函数图象不经过
第四象限，即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围，由关于x的不等式组至少
有2个整数解，即可求出a的取值范围，进而可确定a的取值范围，再将其内的整数值相乘即可得出结论．
【详解】解：∵一次函数 的图象不经过第四象限，
∴ ，
解得： ，
解不等式组 ，
得： ，
又∵关于x的不等式组 至少有2个整数解，
∴ ，
解得： ．综上，
∴所有满足条件的整数a值之和为 ．
故答案为：9．
42．（24-25八年级下·全国·期中）画出 的图象，根据图象回答下列问题
(1)y的值随x值的增大而 ．
(2)图象与x轴的交点坐标是 ，与y轴的交点坐标是 ．
(3)当x 时，y＞0．
【答案】(1)减小
(2) ，
(3)
【分析】令 ， ；令 ， ，得到直线 上的两点坐标 ， ，描出这两点，
然后连接这两个点得到函数 的图象，再根据图象直接判断出答案．
【详解】（1）解：令 ， ；令 ， ，得到 ， ，描出并连接这两个点，如图，
由图象可得图象经过第一、二、四象限， 随 的增大而减小；
故答案为：减小
（2）解：由图象可得图象与 轴的交点坐标是 ，与 轴交点的坐标是 ；
故答案为： ，
（3）解：观察图象得，当 时， ．
故答案为：
【点睛】本题考查了一次函数 ， ， 为常数）的性质．它的图象为直线，当 ，图象经
过第一，三象限， 随 的增大而增大；当 ，图象经过第二，四象限， 随 的增大而减小；当 ，
直线与 轴的交点在 轴上方；当 ，直线经过坐标原点；当 ，直线与 轴的交点在 轴下方．也
考查了看函数图象的能力和直线与坐标轴的交点的坐标特点．易错必刷题十五、根据一次函数增减性求参数
43．（24-25八年级下·福建厦门·期中）一次函数 的 与 的部分对应值如下表所示，根据该表提
供的信息，下列说法正确的是（ ）
．． ．．
0 1 2
． ．
．． ．．
1 5 9
． ．
A．y的值随 值的增大而减小 B．该函数的图象经过第一、三、四象限
C．不等式 的解集为 D．关于 的方程 的解是
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数与不等式和一元一次方程之间的关系，一次函数图
象与其系数的关系，由表格数据可得增减性，进而可得 ，由当 时， ，得到 ，据此可判
断A、B、C；再由当 时，函数值为5，不是0可判断D．
【详解】解：由表格中的数据可知，y的值随 值的增大而增大，故A说法错误，不符合题意
∴ ，
∵当 时， ，
∴ ，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，故B说法错误，不符合题意；
∵当 时， ，y的值随 值的增大而增大，
∴不等式 的解集为 ，故C说法正确，符合题意；
∵当 时，函数值为5，不是0，
∴关于 的方程 的解不是 ，故D说法错误，不符合题意；
故选：C．
44．（24-25八年级下·北京·期中）函数 是关于 的一次函数， 随 增大而增大，则 的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，由一次函数的性质得 ，即可求解；掌握性质“当 时，
的值随 的值增大而增大；当 时， 的值随 的值增大而减小．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
解得： ，
故答案为： ．
45．（24-25八年级下·湖北恩施·期中）已知一次函数 ，求满足下列条件的 的值：
(1)函数值 随 的增大而增大；
(2)函数的图像过第二、三、四象限
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，一次函数的性质．
（1）当y随x的增大而减小时， ，解得即可得出结论；
（2）函数的图像过第二、三、四象限时， ，解得即可得出结论．
【详解】（1）解：∵函数值y随x的增大而增大，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数值y随x的增大而增大；
（2）解：∵函数的图象过二、三、四象限，
∴ ，
解得： ，
∴当 时，函数的图象过二、三、四象限．
易错必刷题十六、一次函数图象平移问题
46．（24-25八年级下·云南昆明·期中）直线 的向上平移5个单位长度得到的解析式为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：直线 的向上平移5个单位长度得到的解析式为 ，
故选：C．
47．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）将直线 沿 轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为
．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据一次函数图象的平移规律是：①左右平移时，自变量x左加
右减；②上下平移时，b的值上加下减解答即可．
【详解】解：直线 沿 轴向上平移7个单位得到的直线的解析式为 ，
故答案为： ．
48．（24-25八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点
，且与x轴交于点A．
(1)求 的函数表达式；
(2)将 向下平移 个单位长度得到直线 ，若平移后的直线 经过点A关于y轴的对称点，求n的值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌
握相关知识点是解题的关键．（1）代入点 到 ，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出 的函数表达
式，再代入对称点的坐标即可求出n的值．
【详解】（1）解：代入点 ，得 ，
解得： ，
的函数表达式为 ．
（2）解：令 ，则 ，
解得： ，
，
点A关于y轴的对称点为 ，
将 向下平移 个单位长度得到直线 ，
设 的函数表达式为 ，
代入 得， ，
解得： ，
n的值为2．
易错必刷题十七、已知直线与坐标轴交点求方程的解
49．（2025·辽宁大连·一模）如图表示的是一次函数 （ 、 为常数， ）的图象，则关于
的方程 的解是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为 为常数，
的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
观察图象找到当 时 的值即为本题的答案．
【详解】解：观察函数的图象知： 的图象经过点 ，
即当 时 ，
所以关于 的方程 的解为 ，
故选：A．
50．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图是一次函数 的图象，则方程 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的解，根据直线与 轴的交点的横坐标即为一次函数对应的一
元一次方程的解，即可得出结果．
【详解】解：由图象可知，直线过点 ，
∴方程 的解为 ；
故答案为：
51．（23-24八年级下·山西朔州·阶段练习）请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
(1)填空：①当 时， _________；
②当 时， __________；
③当 时， __________；
(2)在平面直角坐标系中作出函数 的图象；
(3)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有__________个交点，方程 有__________个解；
②方程 有__________个解．
【答案】(1)① ；② ；③
(2)见解析
(3)① ； ；②
【分析】（1）根据绝对值的性质，化简函数解析式，即可求解；
（2）根据（1）的结论，画出函数图象，即可求解；
（3）根据函数图象，即可求解．
【详解】（1）解：①当 时， ；②当 时， ；
③当 时， ；
故答案为： ； ；
（2）函数 的图象，如图所示：
（3）①函数图象与x轴有2个交点，方程 有2个解；
②方程 有1个解．
故答案为：2 ；2；1
【点睛】本题考查了一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
易错必刷题十八、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
52．（24-25八年级下·陕西西安·期中）已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象
大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一次函数
的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下方的图象即可．
【详解】解：∵不等式 的解集是 ，
∴当 时， ，
观察各个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
53．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）函数 与 的图象如图所示，当 ， 时，
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了正比例函数的性质和图象，一次函数的性质与图象，根据图象分别求出当 ，
时x的取值范围即可得出答案．
【详解】解：对 ，当 时， ，
有图象知：当 时， ，
当 时， ，∴x的取值范围为： ．
故答案为： ．
54．（24-25八年级下·江西·开学考试）【选考题】任选一题作答．
（Ⅰ）如图，已知函数 和 的图像交于点 ，这两个函数的图像与 轴分别交于
点 ．
（1）分别求出这两个函数的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式 的解集．
（Ⅱ）某学校计划购进 两种品牌的足球共 个，其中 品牌足球的价格为 元/个，购买 品牌足
球所需费用 （单位：元）与购买数量 （单位：个）之间的关系如图所示．
（1）请直接写出 与 之间的函数解析式；
（2）若购买B品牌足球的数量不超过30个，但不少于A种品牌足球的数量，请设计购买方案，使购买总
费用W（单位：元）最低，并求出最低费用．
【答案】（Ⅰ）（1） ， ；（2） ；
（Ⅱ）（1） ；（2）5360元
【分析】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，图像法求不等式的解集，一次函数最值的计算方法，
掌握一次函数图象的性质，待定系数法的计算，最值的计算方法是解题的关键．
（Ⅰ）（1）运用待定系数法即可求解；（2）根据图象的性质，由交点 得到不等式的解集；
（Ⅱ）（1）设当 时，y与x的函数关系式为 ；设当 时，y与x的函数关系式为
；运用待定系数法即可求解；
（2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球 个，由此列式求解，再根据一次函数求
最值的方法计算即可．
【详解】选择（Ⅰ）：
解：（1）函数 和 的图像交于点 ，
∴将点 代入 得， ,
将点 代入 得， ，
∴这两个函数的解析式分别为 和 ；
（2）由函数图像可知，当 时， ．
选择（Ⅱ）：
解:（1）设当 时，y与x的函数关系式为 ，
∴ ，
解得， ，
即当 时，y与x的函数关系式为 ，
设当 时，y与x的函数关系式为 ，
∴ ，
解得， ，
即当 时，y与x的函数关系式为 ，由上可得，y与x的函数关系式为 ；
（2）设购买B种品牌的足球m个，则购买A种品牌的足球 个，
∴ ，
解得， ，
∵ ，
∴当 时，W取得最小值，此时 ， ，
答：当购买A种品牌的足球20个，B种品牌的足球30个时，总费用最少，最低费用是5360元．
易错必刷题十九、两直线的交点与二元一次方程组的解
55．（24-25八年级下·四川资阳·期中）函数 与 的图象相交于点 ，则方程组
的解是（ ）
A． B． C．任意数对 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断即可．
【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，
所以方程组 的解是 ．
故选：B．
56．（23-24八年级下·陕西西安·期末）如图，已知函数 和 图象交于点A，点A的横坐标为 ，则关于x，y的方程组 的解是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，两一次函数交点的横纵坐标是二者函数
解析式联立得到的方程组的解，据此求出A的坐标即可打得到答案．
【详解】解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∵函数 和 图象交于点A，
∴关于x，y的方程组 的解是 ，
故答案为： ．
57．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线 与直线 相交于点 ．
(1)求b的值；(2)直接写出关于x，y的方程组 的值；
(3)若 交x轴于点A， 交x轴于点B，且 ，求直线 对应的函数表达式．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握一次函数与方程组之间的关系是解题的关键．
（1）已知点P在 上，故将点P坐标代入 函数解析式，即可求得b的值；
（2）二元一次方程组的解为 与 的交点坐标，根据上问求解即可直接得到方程组的解；
（3）在 上，求出当 时，对应点A的坐标，设出点B坐标，利用三角形面积公式，即可求得点B坐
标，分别将点P与点B坐标代入 函数式，即可求得对应函数表达式．
【详解】（1）解：根据题意可知：点 在直线 上，
则 ，
解得 ；
（2）解：∵ ，
∴交点坐标是 ，
∴方程组的解是 ；
（3）解：直线 中，当 时， ，
故点A坐标为 ，设点B坐标为 ，
故 ，解得： ，
故点B坐标为 ，
将点B、点P坐标代入 方程，可得： ，
解得： ，
故直线 对应函数表达式为： ．
易错必刷题二十、添一个条件成为平行四边形
58．（24-25八年级下·重庆长寿·期中）如图，四边形 的对角线相交于点 ，下列条件中不能判定四
边形 是平行四边形的是（ ）
A． B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A、 ，可以判定四边形 是平行四边形，故不符合要求；
B、∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，可以判定四边形 是平行四边形，故不符合要求；
C、 ， ，不可以判定四边形 是平行四边形，故符合要求；
D、∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，可以判定四边形 是平行四边形，故不符合要求；
故选：C．59．（24-25八年级下·广东惠州·期中）如图，在 中，点 ， 在对角线 上，连接 ， ，
， ，请添加一个条件 使四边形 是平行四边形．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质．添加 ，根据平行四边形的性质可得 ，
，进而得 ，再根据平行四边形的判定即可得证．
【详解】解：添加 ，可以使四边形 是平行四边形，理由如下：
连接 ，与 相交于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴四边形 是平行四边形，
故答案为： ．
60．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图， 的对角线 、 相交于点O， E、F是 上的
两点．
(1)添加一个条件 ，使四边形 是平行四边形；
(2)在（1）添加的条件下，写出证明过程．
【答案】(1) （答案不唯一）(2)见详解
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键．
（1）添加一个条件使四边形 是平行四边形即可．
（2）由平行四边形的性质得 ，再由 ，即可得出结论．
【详解】（1）解：添加条件： ．使四边形 是平行四边形，
故答案为： （答案不唯一）
（2）证明 四边形 是平行四边形，
∵，
∴又 ，
四∵边形 是平行四边形．
∴
易错必刷题二十一、添一条件使四边形是矩形
61．（23-24八年级下·福建泉州·期末）已知四边形 是平行四边形，下列条件不能判定这个平行四边
形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的判定，根据判定方法进行逐一判断，即可求解；掌握矩形的判定方法是解题的
关键．
【详解】解：A. 有一个角是 的平行四边形是矩形，
平行四边形 是矩形，故结论正确，不符合题意；
B. 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形 是矩形，结论正确，故不符合题意；
C. 对角形相等的平行四边形是矩形，
平行四边形 是矩形，结论正确，故不符合题意；
D. 无法判断平行四边形 是矩形，结论不正确，故符合题意；
故选：D．
62．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E，F在
上，且 ，连接 ， ， ， ．若添加一个条件使四边形 是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定
理以及矩形的判定定理即可得到结论．
【详解】解： ，
理由：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ．
即 ．
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 是矩形．
故答案为： （答案不唯一）．
63．（24-25八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，E，F是 的对角线 上两点，且 ．
(1)求证： ；
(2)连接 ， ，请添加一个条件，使四边形 为矩形．
【答案】(1)见解析
(2) （答案不唯一）
【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握相关的知识是
解题的关键．
（1）利用平行四边形的对边平行且相等得到 ， ，再由平行线的性质和平角的定义
证明 ，最后根据 证明 得到 ，进而可证明 ；
（2）根据全等三角形的性质可得 ，根据一组对边平行且相等证四边形 为平行四边形，再根据矩形的判定定理证明即可．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：添加的条件： ，证明如下：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∵ ，
∴四边形 为矩形．
易错必刷题二十二、添一条件使四边形是菱形
64．（24-25八年级下·山东泰安·阶段练习）如图，在 中，添加下列条件仍不能判定 是菱
形的是（）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键．根据菱形的判定定理，即可求得答案．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴添加 ，能判定 是菱形，故A不符合题意；
添加 ，能判定 是菱形；故B不符合题意；
添加 ，则 是矩形，不能判定 是菱形；选项C符合题意；
添加 ，能判定 是菱形；选项D不符合题意．
故选：C．
65．（24-25八年级下·浙江台州·期中）小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，
（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则（2）处可以添加的条件是 ．
【答案】有一组邻边相等（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定．根据菱形的判定，矩形的判定，正方
形的判定，填空即可．
【详解】解：有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填一个角是直角；
有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填有一组邻边相等；
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则（3）处填有一组邻边相等；
有一个角是直角的菱形是正方形，则（4）处可填有一个角是直角；
故答案为：有一组邻边相等（答案不唯一）．
66．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是 边上的点，且
，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形 是菱形，并写出证
明过程．【答案】添加的条件为： （答案不唯一 ），证明见解析
【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形
的判定可得四边形 是平行四边形，再根据菱形的判定即可得．
【详解】解∶添加的条件为∶ （答案不唯一）
证明∶∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴平行四边形 是菱形．
易错必刷题二十三、添一条件使四边形是正方形
67．（23-24八年级下·河南周口·期末）如图，在矩形 中，对角线 交于点O，添加下列一个
条件，能使矩形 成为正方形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应
用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
【详解】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
（1）有一组邻边相等的矩形是正方形，
（2）对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加 ，能使矩形 成为正方形．
故选：B．
68．（23-24八年级下·湖南·期末）如图， 中， ，请添加一个条件 ，可得出该四边
形是正方形．【答案】 (或 答案不唯一)
【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据正方形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵ 中， ，
∴四边形 为矩形，
∴添加条件 ，可以根据一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形 是正方形．
添加条件 ，可以根据对角线互相垂直的矩形为正方形，得出四边形 是正方形．
故答案为： (或 答案不唯一)．
69．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形 中，M是对角线 上的一个动点（M与A、
C点不重合），作 于E， 于F．
(1)试说明四边形 是矩形；
(2)连接 ，当点M运动到使 为何值时，矩形 为正方形？请写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2) ，见解析
【分析】（1）因为矩形 中， ， ，所以在四边形 中有三个角为直角，由矩
形的判定方法可得四边形 是矩形；
（2）当点 运动到使 时，矩形 为正方形．
本题考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形．
【详解】（1）解：∵四边形 是矩形，
，
， ，
， ，
四边形 是矩形；
（2）解：当点 运动到使 时，矩形 为正方形．过程如下：
如图：连接 ，为矩形，
，
，
，
矩形 为正方形．
易错必刷题二十四、用勾股定理解三角形
70．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在 中， ， 是边 上一点，若 ，
， ，则 的长是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理求出 ，根据线段的和
差关系即可得答案．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
故选：C．
71．（24-25八年级下·安徽淮南·期中）如图，在 中， 于点 ， 于点 ，若
， ， ，则 的周长为 ，面积为 ．【答案】 20
【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的特征，勾股定理等；由平行四边形的性质得
， ， ，由平行线的性质得 ，由直角三角形的特征得
， ，由勾股定理得 ，据此求解即可．
【详解】解： ， ，
， ，
，
，
∵四边形 是平行四边形，
， ， ，
， ，
，
，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
的周长是： ，
面积是： ．
故答案为：20； ．
72．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得
， ， ，其中 与 之间由一个固定为 的零件连接（即
）．(1)请求出 的长度；
(2)根据安全标准需满足 ，通过计算说明该车是否符合安全标准．
【答案】(1) 的长度为
(2)该车符合安全标准
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键．
（1）在 中，由勾股定理求得 ；
（2）由勾股定理的逆定理判断 是否是直角三角形即可；
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
由勾股定理得： ；
答： 的长度为 ；
（2）解： ，
即 ，
∴ 是直角三角形，且 ，
即 ；
答：该车符合安全标准．
易错必刷题二十五、勾股定理与网格问题
73．（24-25八年级下·山西大同·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在
格点上，以点O为圆心， 的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段 的长为（ ）
A． B． ` C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
首先得到 ，根据勾股定理求出 ，进而求解即可．
【详解】如图所示，由题意得，
∴
∴ ．
故选：A．
74．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在 的正方形网格中， ．
【答案】
【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股
定理逆定理的运用是解题的关键．连接 ，运用勾股定理可得 ，由勾股定理逆
定理得到 是等腰直角三角形， ，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∴ ， ， ， ， ，
∵ ，即 ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
75．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图，每个小正方形的边长都为1．
(1)四边形 的周长是_______；
(2)四边形 的面积是_______；
(3)连接 ， 是直角三角形吗？判断并说明理由．
【答案】(1)
(2)7
(3)是，理由见解析
【分析】本题考查了网格与勾股定理，割补法求面积，勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先分别运用勾股定理算出每条边的长度，再根据周长公式列式计算，即可作答．
（2）运用割补法进行列式计算，即可作答．
（3）结合最大边的长度的平方等于较小的两边的长度的平方和，得 是直角三角形，即可作答．
【详解】（1）解：依题意， ，
∴ ，
即四边形 的周长是 ，
故答案为： ；
（2）解： ，
即四边形 的面积是 ，
故答案为： ；
（3）解： 是直角三角形，理由如下：
连接 ，如图所示：则
由（1）得
∵
∴ 是直角三角形．
易错必刷题二十六、勾股定理与折叠问题
76．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在 中， ，D、E分别是斜
边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．若点 落在直角边
的中点上，则 的长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
【答案】D
【分析】根据题意，得 ， ，则 ，
根据勾股定理，得 ，解答即可．
本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键．
【详解】解：∵ ， 沿着直线 折叠，顶点B的对应点是点 ．且点 落
在直角边 的中点上，∴ ， ，
则 ，
根据勾股定理，得 ，
解得 ，
则 ，
故选：D．
77．（2025八年级下·山西·专题练习）如图，在 中， ， ， ，将 折叠，
使点B恰好落在边 上，与点 重合， 为折痕，则 ．
【答案】1.5
【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折变换，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是正确解答此题的关键．
根据折叠的性质可设 ，则 ， ，然后再利用勾股定理在 中，得方程
即可求解．
【详解】解：在 中， ， ，
则 ，
由折叠可知， ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故答案为：1.5．
78．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在 中， ， ， ， 为 上
一点．将 沿 折叠，点 的对应点 落在边 上．(1)求 的长；
(2)求 的周长．
【答案】(1)4
(2)
【分析】本题考查了轴对称性质，直角三角形的性质，勾股定理定理，利用勾股定理求出线段 是解题
的关键．
（1）先根据勾股定理求出线段 ，根据轴对称的性质 ，最后求得 的长；
（2）由翻折知 ，在 中，利用勾股定理求出 ，在 中，求出 ，
即可求得 的周长．
【详解】（1）解：在 中， ， ， ，
，
由折叠得：
，
的长为4；
（2）由翻折得 ，
，
在 中， ，
设 ，则 ，
，
解得 ，
，
在 中， ，的周长 ．
易错必刷题二十七、以弦图为背景的计算题
79．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形
（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为 ，较短的直角边为 ，若图 中大正方形的面积为 ，线
段 的长为 ，则图1中的直角三角形面积为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形
2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正
方形的面积得出 ，再结合 即可得出 ，进而求得 ，即可求解．
【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为 的小正方形，
∵大正方形的面积为 ，
∴ ，
∵ ，
∴图2中小正方形的边长为3，
∴
又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积，∴ ，
∴ ，
∴
∴图1中的直角三角形面积为
故选：C．
80．（24-25八年级下·重庆渝北·期中）如图，是《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，其中 ，
， ， 是四个全等的直角三角形，四边形 和 都是正方形．若 ，
，则小正方形 的面积是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关
键．根据勾股定理和全等三角形的性质以及正方形的性质即可得到结论．
【详解】解： ， ， ，
，
， ， ， 是四个全等的直角三角形，
，
，
小正方形 的面积是 ，
故答案为：4．
81．（23-24八年级下·福建福州·期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个
数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法
计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是 ；
(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个
正方形拼成，试通过两种不同的方法计算中间正方形的面积，并探究a、b、c之间满足怎样的等量关系．
【答案】(1)a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
(2) ．
【分析】（1）分别用两种不同的方法表示阴影部分面积即可得等式．
（2）先直接用c表示中间正方形的面积，再用大正方形的面积减去4个小三角形的面积表示中间正方形的
面积，从而可得结论．
【详解】（1）解∶如图1，∵ S =a2+b2，S = ( a+b) 2-2ab ．
阴影 阴影
∴a2+b2= ( a+b) 2-2ab，
故答案为∶a2+b2= ( a+b) 2-2ab；
（2）解：如图2，∵S =c2，S =(a+b)2-4× ab，
中间正方形 中间正方形
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查完全平方公式及勾股定理的几何背景，用两种方法表示同一个图形的面积是求解本题的
关键．
易错必刷题二十八、利用勾股定理的逆定理求解
82．（2025·河北邯郸·一模）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，
下列图形正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两
小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、 ， ，故A不正确；
B、 ， ，故B正确；
C、 ， ，故C不正确；
D、 ， ，故D不正确．
故选：B．
83．（24-25八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，小红家的木门左下角有一点受潮，她想检测门是否变
形，采用了如下方法进行检测：先测得门的边 和 的长分别为 和 ，又测得点A与点C间的距
离为 ，则小红家的木门 （填“已变形”或“没有变形”）．
【答案】没有变形
【分析】本题考查了勾股定理的逆用，解题的关键是得出三边满足勾股定理即可求解．
【详解】解： 和 的长分别为 和 ，又测得点A与点C间的距离为 ，
，
，则小红家的木门没有变形，
故答案为：没有变形．
84．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形 中， ， ， ， ，
．
(1)求 的长度；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)5
(2)11
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关定理，是解题的关键：
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理得到 ，分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：∵ ， ， ，
∴ ；
（2）∵ ， ，由（1）知： ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 的面积 ．
易错必刷题二十九、二次根式实际综合应用
85．（24-25八年级下·全国·课后作业）已知矩形的长为 ，宽为 ，求矩形的周长和对角线的长．
【答案】【分析】本题考查了二次根式的实际应用与勾股定理，解题关键是掌握二次根式的运算法则．
将长与宽的和乘以2即可求出周长，利用勾股定理即可求出对角线长．
【详解】解：矩形周长 ；
对角线长 ．
86．（24-25八年级下·安徽芜湖·期中）摆钟是根据单摆定律制造的，其原理是用摆锤控制其他机件，使钟
走的快慢均匀．摆钟的摆锤摆动一个来回发出1次滴答声，并将其所需要的时间记为一个周期 （单位：
s），周期公式为 ，其中 （单位： ）表示摆锤的长， ．若某摆钟的摆锤长为 ，则
在 内该摆钟发出滴答声的次数约为多少？（结果保留整数；参考数据： ）
【答案】在 内该摆钟发出滴答声的次数约为159
【分析】此题考查了二次根式的应用，根据公式代入数值进行计算即可．
【详解】解：一个周期
在 内该摆钟发出滴答声的次数约为159．
87．（24-25八年级下·江西南昌·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分
别为 和 的正方形木板．
(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中（阴影部分）截出长为 ，宽为 的长方形木条，估计最多能裁出
______块这样的木条？请你直接写出答案．（参考数据： ）【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次根式的应用；熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出 和 的近似数，再根据题意解答．
【详解】（1）解： 两个正方形的面积分别为 和 ，
这两个正方形的边长分别为 和 ，
原矩形木板的面积为 ；
（2）解：最多能裁出4块这样的木条．理由如下：
， ，
（块）， （块），
（块）．
从剩余的木块（阴影部分）中截出长为 ，宽为 的长方形木条，最多能裁出 块这样的木条．
故答案为： ．
易错必刷题三十、一次函数图象与坐标轴的交点问题
88．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）一次函数 和 的图象如图所示，其交点为
，则不等式 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，以及一次函数的图象，熟
练掌握一次函数与一元一次不等式的关系是解题的关键．先判断出 的图象是哪个，再由一次函数
和 的图象可知，一次函数 的图象在 的图象上方时，对应的自变量 的
取值范围是 ，即可求解．
【详解】解：由 可知其图象与 轴交于负半轴，可判断其函数图象，
∵一次函数 和 的图象如图所示，其交点为 ，
∴由一次函数 和 的图象可知，一次函数 的图象在 的图象上方时，对应
的自变量 的取值范围是 ，
∴不等式 的解集为 ，
则不等式 的解集在数轴上表示为：
故选：B．
89．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，直线 与 轴交于点 ，与直线 交于点
，点 为 轴上的一点，若 为直角三角形，则点 的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】先求出交点B的坐标，即可得出点C，再求出直线与x轴的交点坐标D，接下来得出 ，
进而证明 是直角三角形，可得答案．
【详解】解：如图所示，将两个关系式联立，得 ，
解得 ，
∴点 ．
当 时， ， ，
解得 ， ，
∴点 ．
过点B作 轴，于点C，
则 是直角三角形，
∴点 ．
则
∴ ，
∴ ，
此时点 与点D重合，点 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，直角三角形的性质和判定，等边对等角，求一次函
数值，注意分情况讨论，不能丢解．
90．（24-25八年级下·北京·期中）一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．(1)求该直线的表达式，并画出该函数图象；
(2)若x轴上有一点 ，且 ，直接写出点 的坐标__________．
【答案】(1) ，函数图象见详解
(2) 或
【分析】本题主要考查一次函数图象于几何图形面积的计算，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关
键．
（1）根据题意，运用待定系数法即可得到解析式，根据两点确定一条直线作图即可；
（2）根据题意，设 ，则 ，根据 ，得到 ，由此即
可求解．
【详解】（1）解：一次函数 的图象与 轴交于点 ，
∴ ，
解得， ，
∴一次函数解析式为 ，
∴当 时， ，即 ，
根据两点确定一条直线，函数图象如下，（2）解：根据题意， ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得， 或 ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 ．
易错必刷题三十一、一次函数的实际综合应用
91．（2025·陕西西安·模拟预测）胜利农业公司销售玉米种子时规定：若一次购买2千克以上的种子，超
过2千克的部分价格打8折．下表是购买量 （千克）与付款金额 （元）的部分对应值：
（千
1.5 2 2.5
克）
（元） 7.5 10 12(1)求 与 的关系式；
(2)李师傅将18.8元钱全部用于购买玉米种子，请你计算他购买玉米种子的数量．
【答案】(1)
(2)李师傅购买玉米种子4.2千克
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意可分：当 时，当 时，然后根据表格分别得出函数关系式即可；
（2）根据（1）可知 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：由题意可分：当 时，则 ，
∴ ；
当 时，则有 ， ，
∴ ；
综上所述： 与 的关系式为 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ；
答：李师傅购买玉米种子4.2千克．
92．（24-25八年级下·山东济宁·期中）某公司生产了 ， 两款新能源电动汽车.如图， ， 分别表示
款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 （ ）与汽车行驶路程 （ ）的关系．
(1)求 款， 款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系解析式．
(2)当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电
动汽车电池的剩余电量多多少 ．【答案】(1) 款： ， 款：
(2)当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电
动汽车电池的剩余电量多
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一次函数的图象，利用待定系数法求解函数解析式，理解题意
和图象是解题关键．
（1）根据题意得 经过点 、 ， 经过点 、 ，设 的函数解析式为 ，
的函数解析式为 ，再利用待定系数法，解二元一次方程组即可求解；
（2）将 分别代入 、 ，求出对应的函数值，并计算二者之差即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得： 经过点 、 ， 经过点 、 ，
设 的函数解析式为 ， 的函数解析式为 ，
将 、 代入 ，将 、 代入 ，
得： ， ，
解得： ， ，
图象的函数解析式为 ，
的函数解析式为 ．
（2）解： 由（1）得： 图象的函数解析式为 ， 的函数解析式为 ，
当 时， ， ，
（ ），
当两款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能源电
动汽车电池的剩余电量多 ．
93．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）综合与实践活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能
力等核心素养．某学校组织七年级 个班，共 名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下：
活动方案 方案一城：千年古韵探秘行 方案二古植物园：四季植萃探秘行
活动目的 了解历史文化 了解自然知识
1．参观古县城及考古博物馆2．非遗体验活 1．参观植物园2．手工体验活动 选 ①制
活动内容 动 选 ①壁画修复②沥金彩绘 ．古县城内 作植物香囊②制作叶脉书签 ．植物园内
简餐 简餐
学生团体票，可在半价基础上再打 折，
门票 免票（提前预约）
为 元 人：
古县城讲解 元 团；考古博物馆讲解
讲解 免费
元 团；注：每个班级为一个研学团
活动
费用
体验
非遗体验活动： 元 人 手工体验活动： 元 人
活动
用餐 学生简餐： 元 人 学生简餐： 元 人
问题解决
(1)设两种方案的费用分别为 元和 元，则 _______， _______．
(2)在（1）的基础上请你通过计算说明该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？
【答案】(1) ，
(2)当 时，选择方案二费用较少；当 时，选择方案一和方案二费用相同；当 时，选择
方案一费用较少
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一式子
是解题的关键．
（1）根据题意分别进行列式即可；
（2）分 ， ， x三种情况，可求出 的取值范围或 的值，进而可得出结论．
【详解】（1）解：选择方案一所需费用为 ，
选择方案二所需费用为 ；
故答案为： ， ；
（2）解：当 时，即 时，解得： ，
∴当 时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；
当 时，即 时，
解得： ，
∴当 时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；
当 时，即 时，
解得： ，
∴当 时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少．
答：当 时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；当 时，该学校选择方案一和方
案二进行研学活动所需费用相同；当 时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少．
易错必刷题三十二、勾股定理的实际综合应用
94．（24-25八年级下·山东德州·阶段练习）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海
天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 ，“海天”号每小时
航行 ．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距 ．如果知道“远航”号沿
东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
【答案】“海天”号沿西北方向航行
【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
根据路程=速度 时间分别求得 ， 的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明 是直角三角
形，从而进行分析求解．
【详解】解：根据题意，
， ， ，因为 ，
即 ，所以 ，
由“远航”号沿东北方向航行可知， ，
因此 ，即“海天”号沿西北方向航行，
答：“海天”号沿西北方向航行．
95．（24-25八年级下·河南三门峡·期中）八年级11班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图
的风筝的高度 ，测得如下数据：
①测得 的长度为8米：（注： ）
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线 的长为17米；
③牵线放风筝的松松身高1.6米．
(1)求风筝的高度 ．
(2)若松松同学想风筝沿 方向下降9米，则他应该往回收线多少米？
【答案】(1) 米
(2)7米
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键；
（1）利用勾股定理求出 的长，再加上 的长度，即可求出 的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论∶
【详解】（1）解：在 中，
由勾股定理得，
所以， （负值舍去），
所以， （米），
答：风筝的高度 为 米；
（2）如图：由题意得， 米，∴ 米，∴ ，
∴ 米，
∴ （米），
∴他应该往回收线7米．
96．（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代
数思想解决几何问题重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一，它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，
更因为应用广泛而使人入迷．
(1)应用一：最短路径问题
如图，一只蚂蚁从点 沿圆柱侧面爬到相对一侧中点 处，如果圆柱的高为 ，圆柱的底面半径为
，那么最短的路线长是______；
(2)应用二：解决实际问题．
如图，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它往前推 至 处时，即水平
距离 ，踏板离地的垂直高度 ，它的绳索始终拉直，求绳索 的长．
【答案】(1)
(2)绳索 的长为
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握最短路的计算，勾股定理的计算方法是关键．
（1）根据题意可得圆柱底面圆的周长为 ，由展开图可得 即为最短路径，由勾股定理即
可求解；（2）根据题意得到四边形 是矩形，如图所示，过点 作 ，四边形 ， 是矩形，
则 ， ，设 ，则 ，在
中由勾股定理得到 ，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：圆柱的底面半径为 ，
∴圆柱底面圆的周长为 ，
如图所示， 即为最短路径， ， ，
∴ ，
∴最短的路线长是 ，
故答案为： ；
（2）解：根据题意， ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，
∴ ，
∴四边形 ， 是矩形，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，在 中， ，即 ，
解得， ，
∴绳索 的长为 ．
易错必刷题三十三、勾股定理逆定理的实际应用
97．（24-25八年级下·广东中山·期中）如图，某校有一块四边形劳动基地 ，现计划在劳动基地种植
绿植，测得 ， 米， 米， 米， 米，若每平方米所种绿植需要100元，
问需要投入多少钱．
【答案】需要投入1850元
【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接 ，由
勾股定理可得 米，然后根据勾股定理逆定理可得 ，进而问题可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵ 米， 米， ，
∴ 米，
∵ 米， 米，
∴ ，
∴ ，
∴ 平方米，∴ （元），
答：需要投入1850元．
98．（24-25八年级下·新疆喀什·期中）如图，在一条东西走向的河道的一侧有一村庄 ，河边原有两个取
水点 ， ，由于某种原因．由村庄 到取水点 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边
新建一个取水点 （点 ， ， 在同一条直线上），并新修一条路 ，测得 ， ，
． 是否为从村庄 到河边最近的路？（即 与 是否垂直？）请通过计算加以说明．
【答案】是，理由见解析
【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据
勾股定理的逆定理验证 为直角三角形，进而得到 ，再根据点到直线的距离垂线段最短即可
解答；
【详解】解：是，理由如下：
在 中，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为直角三角形，且 ，
∴ ，
∴由点到直线的距离垂线段最短可知， 是从村庄 到河边 的最近路；
99．（24-25八年级下·重庆沙坪坝·期末）教育部大力倡导新时代中小学生劳动教育，旨在塑造学生正确劳
动价值观与优秀劳动品质、某学校积极贯彻落实，把校内如图所示的四边形 空地改造为“劳动乐
园”．经测量， 米， 米， 米， 米， ．该“劳动乐园”即将迎来盛
大的劳动成果展示活动．
【解析】(1)为增添活动氛围，学校打算用一条装饰彩带将“劳动乐园”内的 、 两点连接起来，求至少需要多少
米装饰彩带？
(2)学校计划在“劳动乐园”内播撒缤纷色彩，在三角形 区域种植玫瑰，每平方米种植5株，在三角形
区域种植郁金香，每平方米种植3株．求总共需要种植多少株花卉．
【答案】(1) 米
(2) 株
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．
（1）连接 ，根据勾股定理求出 的长即可；
（2）先根据勾股定理逆定理得到 是直角三角形，分别求出 的面积，计算即可得到答案．
【详解】（1）解如图，连接
，
（米）
至少需要 米装饰彩带；
（2）解： ， ， ，
，
是直角三角形，
（平方米），
（平方米），
（株），共需要种植 株花卉．
1．（24-25八年级下·天津·期中）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简
的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质．
首先由实数 、 在数轴上的位置，可得 和 的取值，再根据二次根式的性质化简，即可求解．
【详解】解：由实数 、 在数轴上的位置，可得 ， ；
；
故选：A
2．（2025·江苏盐城·二模）如图是盐城市2025年4月 日的天气情况，这5天中最低气温（单位：
）的中位数与众数分别是（ ）
A．10，14 B．12，14 C．12，12 D．11，14
【答案】B
【分析】本题考查了中位数与众数，根据中位数和众数的定义即可得出答案．【详解】解：最低气温中， 出现的次数最多，故众数为 ，
将温度按从小到大排列为 ， ， ， ， ，故中位数为 ．
故选：B．
3．（24-25八年级下·安徽六安·期中）货车和轿车分别从甲、乙两地同时出发，沿同一公路相向而行，轿
车出发 后休息，直至与货车相遇后，以原速度继续行驶，设两车出发时间为 （单位： ），货车、
轿车与甲地的距离为 （单位： ）， （单位： ），图中的线段 、折线 分别表示 ，
与 之间的函数关系．那么两车出发（ ）小时后相距 ．
A．2小时 B．2.5或4.5小时 C．2.25或4.75小时 D．2.25或4.25小时
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的实际应用．根据题意先分别求出 段函数解析式，再利用相距作减
法列出一元一次方程即可得到本题答案．
【详解】解：设： 段直线解析式为 ，
把 代入 中得： ，
解得： ，
∴ ，
当 时， ，
∴点 的坐标为： ，
设 段直线解析式为 ，
把 代入 中得：，解得： ，
∴ ，
∵轿车再休息前 行驶 ，休息后按原速度行驶，
∴轿车行驶后 需 ，
∴点 的坐标为 ，
设 段直线解析式为 ，
把 代入 中得：
，解得： ，
∴ ，
∵两车相距 分两种情况：
①当轿车休息前与货车相距 时，有： ，解得 ，
②当轿车休息后与货车相距 时，有： ，解得： ，
综上所述：两车出发 h或 h时，两车相距 ．
故选：C．
4．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图是一个棱长为 的正方体木箱，点 在上底面的棱上， ，
一只蚂蚁从 点出发沿木箱表面爬行到点 ，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C
【分析】此题考查的是勾股定理之最短路径问题，掌握两点之间线段最短和利用勾股定理求边长是解决此
题的关键．将正方体上表面如图展开，根据两点之间，线段最短，即可得到：展开图有三种形式，利用勾
股定理分别求解即可．
【详解】解：依题意，展开图有三种形式：
或
∵
蚂蚁爬行的最短路程 ．
故选：C．
5．（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，正方形 的边长为 ，作正方形 ，使 ， ，
， 是正方形 各边的中点；做正方形 ，使 ， ， ， 是正方形 各边的
中点……以此类推，则正方形 的边长为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了图形规律，掌握正方形的性质，等腰直角三角形性质，找出边长的规律是关键．
根据题意，正方形 的边长为 ，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形 是正方形，边长为 ，
∴ ， ，
∵点 是正方形 边 的中点，
∴ ， ，
同理， ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，则
∴正方形 的边长为 ，
同理， 是等腰直角三角形，
∴ ，则 ，
∴正方形 的边长为 ，
，
∴正方形 的边长为 ，
∴正方形 的边长为 ，
故选：B ．6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算： ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的性质、二次根式的减法，根据新定义运算并结合二
次根式的性质以及二次根式的减法法则计算即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
7．（23-24八年级下·北京·阶段练习）小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，于是在数轴上的2
个单位长度的位置找一个点D，然后过点D作一条垂直于数轴的线段 ， 为3个单位长度，以原点为
圆心，以原点到C的距离为半径作弧，交数轴正半轴于一点，则该点在数轴上对应的实数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，由勾股定理可得 ，再结合数轴即可
得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图：
由题意可得： ，∴ ，
在 中， ，
故该点在数轴上对应的实数是 ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·山东泰安·期末）在“经典诵读”比赛活动中，某校甲、乙两班各12名学生的参赛成
绩如图所示，那么甲班学生参赛成绩的中位数 乙班学生参赛成绩的中位数（填“>”，“<”或
“=”）．
【答案】>
【分析】本题考查了折线统计图、扇形统计图、中位数．分别根据折线统计图、扇形统计图求出两个班学
生参赛成绩，再根据再根据中位数的定义，即可求解．
【详解】解：观察甲班参赛成绩统计图可知：甲班学生参赛成绩从小到大排列为：85分、85分、90分、
90分、90分、90分、95分、95分、95分、95分、95分、100分
∴甲班学生参赛成绩的中位数为 分；
观察乙班参赛成绩统计图可知：
， ， ，
∴乙班学生参赛成绩从小到大排列为85分、85分、85分、90分、90分、90分、90分、95分、95分、95
分、100分、100分，
∴乙班学生参赛成绩的中位数为 分；
综上所述，对于甲、乙两班学生参赛成绩的中位数，甲班比乙班大．
故答案为：>．9．（2025·福建三明·一模）如图，一次函数 与 的图象交于 ，则关于 ， 的方
程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据题意得出 与 为 与
的图象都向上平移2个单位长度，交点为 ，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：∵ 与 的图象交于 ，
∴ 与 为 与 的图象都向上平移2个单位长度，交点为 ，
∴方程组 的解为 ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，在四边形 中， ， ， ，
， ，点P从点A出发，以 的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以
的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为，当 时，四边形 是矩形．
【答案】6
【分析】本题考查了矩形的性质，动点运动问题，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．由题意可知，
， ， ，根据四边形 是矩形，得 ，即 ，即可求解．
【详解】解：运动时间为 ，由题意可知， ， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
即： ，
解得： ，
即当 时，四边形 是矩形．
给答案为： ．
11．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是关键．
（1）运用平方差公式计算即可；
（2）运用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（3）运用二次根式的乘法运算法则计算即可；
（4）运用完全平方公式计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
12．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ．求
的长；
【答案】2
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，
先根据勾股定理求出 ，再根据勾股定理求出答案即可.
【详解】解：在 中， ，
在 中， .
13．（24-25八年级下·广东深圳·期末）2024年11月8日，深圳市消防宣传月活动启动仪式在市民中心北
广场举行．本次活动以“全民消防，生命至上”为主题，为了解八、九年级学生对消防知识的掌握情况，
某校对八年级和九年级学生进行了消防知识的测试，现从中各随机选出10名同学的成绩进行分析（单位：
分）：
八年级：7，7，7，8，8，8，8，8，9，10；
九年级：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7．
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
学生 平均数 中位数 众数 方差
八年级 8 8 0.8
九年级 8 8.5 1.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： _____， _____；
(2)综合表中数据，你认为哪个代表队的学生竞赛成绩更好？请说明理由．
(3)若该校八年级有400名学生参加测试，九年级有380名学生参加测试，请估计两个年级参加测试学生中
成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有多少人？
【答案】(1)8，9(2)九年级更好，见解析
(3)270人
【分析】本题考查了求中位数，众数，平均数，用样本估算总体，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数、中位数及方差的意义求解即可；
（3）用七、八年级的学生数分别乘以样本中优秀人数所占比例，再求和即可．
【详解】（1）解：将八年级10名同学的成绩从小到大进行排序，排在中间位置的两个数都是8，所以中
位数 ，九年级10名同学的成绩中最多的是9，所以众数 ；
（2）解：从中位数来看，九年级更好；
或从众数来看，九年级更好；
或从方差来看，八年级更稳定，成绩更好．
（3）解： （人），
答：两个年级参加测试学生中成绩优秀（大于或等于9分）的学生共有270人．
14．（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）问题情境：学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组提
出了以下问题：如图， 的对角线 与 相交于点 ，点 分别在 和 上．
问题1：当 与 满足什么条件时，四边形 是平行四边形？
问题2：当 满足什么条件时，四边形 是平行四边形？
请你选择其中一个问题完成，并说明理由．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质及判定方法是解题的关键．
选择问题1：当 时，可证 ，结合平行四边形的性质得到 ，则
，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；
选择问题2：当 时，有平行四边形的性质得到 ，再由线段和差得到 ，根据对角
线相互平分的四边形平行四边形即可求解．
【详解】解：选择问题1：当 时，四边形 是平行四边形，
理由如下：∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
选择问题2：当 时，四边形 是平行四边形，
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形．（方法合理即可）
15．（23-24八年级下·河南郑州·期末）已知，在平面直角坐标系中，过点 的直线 与直线 相
交于点 ，直线 与 轴的交点为 ．
(1)点 的坐标为______；
(2)在 轴上找一点 ，连接 ，使 的值最小，求出此时点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，求 的面积．
【答案】(1)
(2)(3) 的面积为6
【分析】（1）设直线 的解析式为 ，把点A、B坐标代入，利用待定系数法，即可求出函数解
析式，然后再求出点C的坐标即可；
（2）作点 关于 轴的对称点P，连接 ，交 轴于点D，连接 ，此时 最小，根据点 关于
轴的对称点P，得出点P的坐标，然后根据待定系数法求出直线 的解析式，然后令 ，得出
，解出方程，即可得出点D的坐标；
（3）根据 求出三角形的面积即可．
【详解】（1）解：设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
把 代入得： ，
∴点C的坐标为 ；
故答案为： ；
（2）解：存在，理由如下：
如图，作点 关于 轴的对称点P，连接 ，交 轴于点D，连接 ，如图所示：∴ ，
∴ ，
∵两点之间线段最短，
∴此时 的值最小，
∵ ，
∴点 关于 轴的对称点P的坐标为 ，
设直线 的解析式为 ，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
令 ，则 ，
解得： ，
∴点D的坐标 ．
（3）解：
．
答： 的面积为6．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、轴对称—最短路径问题、求点的坐标，三角形面积的
计算，解本的关键在求出直线 的解析式．
