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专题 06 二元一次方程组实际应用的五种考
法
类型一、利润问题
例．某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 210000
第二次 10 20 130000
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销
售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑
商场获利多少元？
【变式训练1】某商场第1次用39万元购进 ， 两种商品，销售完后获得利润6万元，
它们的进价和售价如表（总利润=单价利润×销售量）：
价格商品 进价（元/件） 售价（元/件）
1200 1350
1000 1200
(1)该商场第1次购进 ， 两种商品各多少件？
(2)商场第2次以原进价购进 ， 两种商品，购进 商品的件数不变，而购进 商品的件
数是第1次的2倍， 商品按原售价销售，而 商品打折销售，若两种商品销售完毕，要
使得第2次经营活动获得利润等于5.4万元，则 种商品是按几折销售的？
【变式训练2】某商场从厂家购进了 两种品牌篮球共80个，已知购买 品牌篮球的总
价比购买 品牌篮球总价的2倍还多200元， 品牌篮球每个进价100元， 品牌篮球每个
进价80元．(1)求购进 两种品牌篮球各多少个？
(2)在销售过程中， 品牌篮球每个售价150元，售出30个后出现滞销；商场决定打折出售
剩余的 品牌篮球， 品牌篮球每个按进价加价20%销售，很快全部售出，两种品牌篮球
全部售出后共获利2080元，求 品牌篮球打几折出售？
【变式训练3】平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50%；
乙种商品每件进价50元，售价80元．
(1)甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品所赚利润______元；
(2)若该商场进货时同时购进甲、乙两种商品共62件，恰好总进价为2600元，求购进甲、
乙商品各多少件？如果这些商品全部出售，商场共获利多少元？
(3)在“五一”期间，该商场只对甲、乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金
优惠措施
额
少于等于450 不优惠
超过450，但不超过600 按打九折
超过600 其中600部分八点二折优惠，超过600的部分打三折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买乙种商品实际付款504元，求小华在商场购买乙种商
品多少件？
【变式训练4】饮品店的老板为了吸引顾客，推出两种新产品，冰淇淋红茶和热可可，以
下是这两种新饮品在一周内的销售情况：老板将这两种新饮品每天销售的总成本记录如下：
周
时间 周一 周二 周三 周五 周六 周日
四
总成本 480 780 720 1280
(1)根据以上信息，将上面的表格补充完整；
(2)在试推广阶段，老板将冰淇淋红茶和热可可的售价均定为20元，平均每天卖出160杯冰
淇淋红茶和200杯热可可．随着天气越来越炎热，人们对饮品的需求量逐渐增多，老板对
饮品的价格进行了调整．如果将冰淇淋红茶的售价上涨 ，销售量仍会上涨25%，如果
将热可可的售价下降10%，销售量依然会下降10%．经过计算，这样调整价格后的总利润
比原来平均每天的总利润多了440元，求a的值．
类型二、方案问题
例．某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，
也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每
月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【变式训练1】一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人的心，众多企业也伸出援助之
手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．调查得知，2辆小货车与3辆
大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选
出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【变式训练2】某企业有 ， 两条加工相同原材料的生产线，在一天内， 生产线共加
工 吨原材料，加工时间为 小时；在一天内， 生产线共加工 吨原材料，加工时
间为 小时．
(1)当 时，两条生产线的加工时间分别时多少小时？
(2)第一天，该企业把5吨原材料分配到 ． 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了
加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的的吨数是多少？
(3)第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给 生产线分配了
吨原材料，给 生产线分配了 吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则 和 有怎样的数量关系？若此时 与 的和为6
吨，则 和 的值分别为多少吨？
【变式训练3】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型
零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现
将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套．
(1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品?
(2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独
立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件．
①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表
示）
②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务?
【变式训练4】今年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，已知：用2辆A
型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨，
某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好
每辆车都装满．
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？
(2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车租金每次120元，请选出最省钱的租车方案，
并求出最少租车费．类型三、几何图形问题
例．如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，用篱笆围成一个面积为
的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边上开设宽为1m的门EF（门
不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小
于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【变式训练1】现要在长方形草坪中规划出3块大小，形状一样的小长方形（图中阴影部
分）区域种植鲜花．
(1)如图 ，大长方形的相邻两边长分别为60m和45m，求小长方形的相邻两边长．
(2)如图 ，设大长方形的相邻两边长分别为a和b，小长方形的相邻两边长分别为 和 ．
①1个小长方形的周长与大长方形的周长的比值是否为定值？若是，请求出这个值；若不
是，请说明理由．
②若种植鲜花的面积是整块草坪面积的 ，求x和y满足的关系式（不含a，b）．【变式训练2】某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，
该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材
再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm）
(1)列出方程（组），求出图甲中a与b的值______．
(2)在试生产阶段，若将m张标准板材用裁法一裁剪，n张标准板材用裁法二裁剪，再将得
到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图乙横式无盖礼品盒．
①两种裁法共产生A型板材______张，B型板材______张（用m、n的代数式表示）；
②当 时，所裁得的A型板材和B型板材恰好用完，做成的横式无盖礼品盒可能
是______个．（在横线上直接写出所有可能答案，无需书写过程）
【变式训练3】某工厂将一批纸板按甲，乙两种方式进行加工，再用加工出来的长方形
板块和正方形 板块制作成如图所示的底面为正方形的长方体有盖礼盒. 设x块纸板按甲方
式进行加工，y块纸板按乙方式进行加工.
(1)补全表格.
x块甲方式加工的纸板 y块乙方式加工的纸板
板块 2x
板块
(2)若现共有纸板14块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，能做多少个礼盒？
(3)若现有 板块4块，纸板a块，要使礼盒制作完毕后的 ， 板块恰好用完，则a的最
小值为___________. (请直接写出答案)【变式训练4】（1）如图1，已知A、B两个边长不相等的正方形纸片并排放置，若m7，
n3，试求A、B两个正方形纸片的面积之和．
（2）如图1，用m、n表示A、B两个正方形纸片的面积之和为 ．（请直接写出答案）
（3）如图2，若A、B两个正方形纸片的面积之和为5，且图2中阴影部分的面积为2，试
求m、n的值．
（4）现将正方形纸片A、B并排放置后构造新的正方形得图3，将正方形纸片B放在正方
形纸片A的内部得图4，若图3和图4中阴影部分的面积分别为12和1，则A、B两个正方
形纸片的面积之和为 ．类型四、行程问题
例．如图， ， 两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到 地的距离是
到 地距离的 倍，现该食品厂从 地购买原料，全部制成食品制作过程中有损耗 卖到
地，两次运输 第一次： 地 食品厂，第二次：食品厂 地 共支出公路运费 元，
铁路运费 元．已知公路运费为 元 千米 吨 ，铁路运费为 元 千米 吨 ．
(1)求该食品厂到 地， 地的距离分别是多少千米？
(2)求该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？
(3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，要想该批食品销售完后工厂共获利
863800元，求卖出的食品每吨售价是多少元？（利润 总售价 总成本 总运费）
【变式训练1】小华从家里出发到学校去上学，前 路段小华步行，其余路段小华骑自行
车． 已知小华步行的平均速度为60m/min，骑自行车的平均速度为200m/min，小华从家
里到学校一共用了22min．
(1)小红同学提出问题：小华家里离学校有多少m？ 前 路段小华步行所用时间是多少
min？ 请你就小红同学提出的问题直接设出未知数列方程组进行解答．
(2)请你再根据题目的信息，就小华走的“路程”或“时间”，提出一个能用二元一次方程
组解答但与第（1）问不完全相同的问题，并设出未知数、列出方程组．
【变式训练2】货车从 地出发将一批防疫物资运往 地． 、 两地相距164千米，货车
匀速行驶一段路程后，出现了故障，司机师傅立刻抢修，排除了故障后，继续运送物资赶
往 地．已知货车离开 地行驶的路程 （ ）与离开 的时间 （ ）之间的函数关系
如图所示．(1)填表：（分别写出①、②、③处的数据）
离开 地的时间 0.5 0.8 2 2.2 3.4
离开 地行驶的路程 20 ① 80 ② ③
(2)填空：
①货车行驶 时出现的故障；
②修车所用的时间为 ；
③货车如果没出现故障，一直匀速行驶，会比实际早到多长时间？
【变式训练3】马拉松长跑是国际上非常普及的长跑比赛项目，全程距离约为42千米．如
下是关于某市今年全程马拉松比赛的部分信息．
①在起点，沿途每隔5千米处及终点提供水，运动饮料，水果等补给，最后两个补给站之
间为2千米；
②在起点，终点和沿途等距离设置若干个固定医疗站
若每个补给站安排1个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排2个值班员，则需要
64个值班员；若每个补给站安排2个值班员，每个固定医疗站或两站重合的都安排3个值
班员，则需要99个值班员．
（1）本次马拉松比赛共设置______个补给站；
（2）沿途中，每两个固定医疗站之间距离是多少？
（3）沿途中，补给站和固定医疗站重合处距离起点多少千米？
【变式训练4】“滴滴打车”深受大众欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，
其中里程费按p元/千米计算，耗时费按q元/分钟计算，小明、小亮两人用该打车方式出
行，按上述计价规则，其打车总费用、行驶里程数与车速如表：
时间（分钟） 里程数（千米） 车费（元）
小
7 5 12.1
明
小
6 4.5 10.8
亮
（1）求p，q的值；
（2）“滴滴”推出新政策，在原有付费基础上，当里程数超过8千米后，超出的部分要加收0.6元/千米的里程费．某天，小丽两次使用“滴滴打车”共花费52元，总里程20千米，
已知两次“滴滴打车”行驶的平均速度为40千米/小时，求小丽第一次“滴滴打车”的里
程数？
类型五、工程问题
例．目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋势，某汽车制造
厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288辆．由于抽调不出足够的熟练工来完
成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行
电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆
电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【变式训练1】一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付
两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用
3480元．
(1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元；
(2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？
(3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独
做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结
论）
【变式训练2】杭州某公司准备安装完成5700辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调
不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现：1名熟练工人和2名新
工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装
的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车？
(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人 ，使得最后能刚好一个月（30
天）完成安装任务，已知工人们安装的共享单车中不能正常投入运营的占5%，求m的值．
【变式训练3】青山化工厂与A、B两地有公路、铁路相连这家工厂从A地购买一批每吨
1000元的原料经铁路120km和公路10km运回工厂，制成每吨8000元的产品经铁路110km
和公路20km销售到B地，已知铁路的运价为1.2元/（吨·千米），公路的运价为1.5
元/（吨·千米），且这两次运输共支出铁路运124800元，公路运费19500元．
（1）设原料重x吨，产品重y吨，根据题中数量关系填写下表（表格内填化简的结果）．
原料x吨 产品y吨 合计（元）
铁路运费
公路运费
根据上表列方程组求原料和产品的重量．
（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【变式训练4】一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修
组同时施工，8天可以完成，需付费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独
做12天可以完成，需付费用3480元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需12天，乙组单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用最
少？
（3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200元(即装修前后每天盈利不变)，
你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．(可用（1）（2）问的条件及结论)
