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专题 08 平方差公式与完全平方公式之六大题型
运用平方差公式进行运算
例题：（2023下·山东泰安·六年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解： 符合平方差公式 的结构，故A能用平方差公式计
算，不符合题意；
不符合平方差公式 的结构，故B不能用平方差公式计算，符合
题意；
符合平方差公式 的结构，故C能用平方差公式计
算，不符合题意；
符合平方差公式 的结构，故D能用平方差公式计算，不符合
题意．
故选B．
【点睛】本题考查平方差公式．掌握平方差公式的结构特征是解题关键．
【变式训练】
1．（2022上·河南南阳·八年级统考期末）下列不能用平方差公式直接计算的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据“两个数的和与两个数的差的积”能运用平方差公式直接计算，逐项分析即可得到答
案．
【详解】解：A、 不满足“两个数的和与两个数的差的积”，不能用平方差公式计
算，故此选符合题意；
B、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符
合题意；
C、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符合题
意；
D、 满足“两个数的和与两个数的差的积”，能用平方差公式计算，故此选不符
合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解此题的关键．
2．（2023下·浙江金华·七年级校联考期末）下列能用平方差公式计算的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平方差公式： 解答．
【详解】解：A、 能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
B、 不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
C、 不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；
D、 不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意；故选：A．
【点睛】此题考查平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：两个数的和与这两个数的差相
乘，等于这两个数的平方差．
平方差公式与几何图形
例题：（2023下·山东淄博·六年级统考期末）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b
的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．
(1)设图1中阴影部分面积为 ，图2中阴影部分面积为 ，请用含a、b的代数式表示：
______， ______（只需表示，不必化简）；
(2)以上结果可以验证哪个乘法公式？请写出这个乘法公式______；
(3)运用（2）中得到的公式，计算： ．
【答案】(1) ， ；
(2)
(3)
【分析】（1）图1中阴影部分面积用大正方形面积减去小正方形面积表示即可，图2中阴影部分
面积用长方形面积公式表示即可；
（2）根据（1）的结果，即可得到答案；
（3）运用（2）中得到的公式计算，即可得到答案．
【详解】（1）解：由图形可知，图1中阴影部分面积 ，图2中阴影部分面积，
故答案为： ， ；
（2）解：以上结果可以验证乘法公式为： ，
故答案为： ；
（3）解：
．
【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，利用面积公式表示出图形阴影部分面积是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023下·山东聊城·七年级校考期末）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方
形（ ），把余下的部分剪拼成一个矩形．
(1)通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是________；
A． B．
C． D．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知： ， ，求 的值；②计算： ．
【答案】(1)B
(2)①4；②
【分析】（1）分别表示两个图中阴影部分的面积，根据面积相等得出结论；
（2）①利用平方差公式，整体代入即可得出答案；②利用平方差公式转化为分数的乘积形式，再
根据规律可得出答案．
【详解】（1）解：图中两个阴影部分的面积分别为： 和 ，
∴ ，
故选：B；
（2）解：①∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ；
②
．
【点睛】本题考查了平方差公式的几何背景和应用，利用平方差公式将代数式进行适当的变形，从
而达到简便运算的目的是解决本题的关键．
2．（2023上·安徽芜湖·八年级统考期末）从边长为 的正方形中剪掉一个边长为 的正方形（如图
1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是___________（请选择正确的一个）；
A． B． C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 ，求 的值；
②计算： ．
【答案】(1)B
(2)①3；②
【分析】（1）用两种不同的方法表示阴影部分面积即可解答；
（2）①将 化为 ，即可解答；②根据平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：由图1可得：
整个图形面积为： ，空白部分面积为： ，阴影部分宽为： ，
由图2可得：
该长方形长为： ，
∴ ，
故选：B．
（2）解：① ，
；
②原式．
【点睛】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握用面积法求证平方差公式，以及根据平方
差公式进行计算．平方差公式 ．
求完全平方式中的字母系数
例题：（2023上·福建福州·八年级校联考期末）已知关于x的多项式 是一个完全平方式，
则常数m的值为 ．
【答案】
【分析】根据完全平方式得出 ，再求出m即可．
【详解】解：∵关于x的多项式 是一个完全平方式，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有
和 两个．
【变式训练】
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）如果多项式 是完全平方式，则 的值为
．
【答案】4或
【分析】根据 是完全平方式比较系数计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
解得 或4，
故答案为：4或 ．【点睛】本题主要考查完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
2．（2023下·四川·八年级统考期末）若多项式 的结果是一个多项式的平方，则单项式
．
【答案】 或
【分析】分当M为中间项时，当 为中间项时，两种情况根据完全平方式的特点进行求解即可．
【详解】解：当M为中间项时，则 ，
∴ ；
当 为中间项时，则 ，
∴ ；
综上所述， 或 ，
故答案为： 或 （任填一个即可）．
【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
通过对完全平方公式变形求值
例题：（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）若 ， ，则 的值是（ ）
A．16 B．20 C．25 D．26
【答案】D
【分析】根据 ，得到 ，代入计算即可．
【详解】∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故选D．
【点睛】本题考查了完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·河南开封·八年级校考期末）已知实数a，b满足 ， ，则
的值为（ ）
A．13 B．16 C．19 D．21
【答案】C
【分析】利用完全平方公式计算出 和 ，再代入求解．
【详解】解： ， ，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查通过对完全平方公式变形求值，解题的关键是掌握完全平方和公式和完全平方差
公式之间的联系，熟练运用整体代入思想．
2．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若 ， ，则代数式 的值等于
．
【答案】
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再整体代入，最后求出即可．
【详解】解： ， ，
．故答案为： ．
【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，能正确根据公式进行变形是解此题的关键，用了整体
代入思想，注意：完全平方公式有：① ，② ．
含乘法公式的整式的混合运算
例题：（2023下·贵州毕节·七年级统考期末）先化简，再求值：
，其中 ， ．
【答案】 ，7
【分析】原式中括号中利用平方差公式，完全平方公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合
并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把 与 的值代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
当 ， 时，原式 ．
【点睛】此题考查了整式的混合运算 化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·云南文山·七年级校联考期末）化简求值： ，其
中 ， ．
【答案】 ，
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运算法则把原式化简，把 、 的
值代入计算即可．
【详解】解：原式
，当 时，原式 ．
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、平方差公式、多项式除以单项式的运
算法则是解题的关键．
2．（2023下·山东威海·六年级统考期末）（1）先化简，再求值： ，
其中 ， ；
（2）已知 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，后算加减，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即
可解答；
（2）先利用完全平方公式，单项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，然后把
代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【详解】解：（1
，
当 ， 时，原式 ；
（2），
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关
键．
完全平方式在几何图形的应用
例题：（2023上·山西朔州·八年级统考期末）图1是一个长为 、宽为 的长方形，沿图中虚线
用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)图2中阴影部分的正方形的周长为 ；
(2)观察图2，请写出下列三个代数式 ， ， 之间的等量关系；
(3)运用你所得到的公式，计算：若 为实数，且 ， ，试求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）由拼图可得阴影正方形的边长，进而表示周长即可；
（2）根据图形中各个部分面积之间的关系即可得出答案；
（3）由（2）的结论代入计算即可．
【详解】（1）解：由图可得：阴影部分的正方形边长为 ，
周长为： ，
故答案为： ；（2）解：由图可得：
大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为： ，
大正方形边长为 ，故面积也可表达为： ，
；
（3）解：由（2）知： ，
， ，
，
或 ．
【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结果特征是解题的
关键．
【变式训练】
1．（2023下·安徽宿州·七年级统考期末）如图1是一个长为 、宽为b的长方形，沿图中虚线用
剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个大正方形，如图2所示，请直接写出
之间的等量关系 ．
【答案】
【分析】分别求出图2中大正方形，阴影及小长方形的面积，即可得到等式．
【详解】解：图2中大正方形的面积为 ，阴影图形的面积为 ，四个小长方形的面积
为 ，
∴ ，故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方公式与几何图形，正确理解图形的构成及计算每部分的面积是解题的
关键．
2．（2023下·山东潍坊·七年级统考期末）图1是一个长为 ，宽为 的长方形，沿图中虚
线用剪刀平均裁成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形．
(1)图2中的阴影部分正方形的边长是 （用含a，b的代数式表示）；
(2)观察图1，图2，能验证的等式是： （请选择正确的一个）；
A．
B．
C．
(3)如图3，C是线段 上的一点，以 为边向上分别作正方形 和正方形 ，连
接 ．若 ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)C
(3)
【分析】（1）根据图2中的信息即可得出阴影部分正方形的边长；
（2）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个长方形的面积，进行求解即可；
（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出
，再求解，最后利用三角形面积公式即可得出答案；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，根据图形中的关系得出
，利用（2）的结论直接代入即可 ，最后根据三角形面积公式即可得出答案．
【详解】（1）图2中的阴影部分正方形的边长是 ；
故答案为：
（2） 之间的等量关系是： ，
故选：C.
（3）设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y
∴ ，
解得 ，
；
另解：设正方形 的边长为x，正方形 的边长为y，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
一、单选题
1．（2023下·江苏苏州·七年级统考期末）若多项式 是一个完全平方式，则m的值为
（ ）A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】运用完全平方式的结构特征进行求解．
【详解】解： ， ，
是完全平方式，
即 是一个完全平方式，
，
故选：D．
【点睛】此题考查了完全平方式，关键是能准确理解并运用公式的形式进行求解．
2．（2023上·河北邢台·八年级校联考期末）下列计算正确的是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【详解】解∶A、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、 ，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、 ，原计算错误，故此选项不符合题意误；
D、原计算正确，故此选项符合题意．
故选∶D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．注意：
.
3．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）已知等腰三角形的两边长满足 ，
那么这个等腰三角形的周长为（ ）A．15 B．12 C．12或15 D．9
【答案】A
【分析】先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底
边长，进而可得出结论．
【详解】解：根据题意得，
，
即 ，
∴ ，
∴这个等腰三角形的三边长分别为6，6，3或3，3，6（舍去），
∴这个等腰三角形的周长为： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是熟练掌握三
角形三边关系．
4．（2023下·山东泰安·六年级统考期末）如果 ，那么代数式 的
值为（ ）
A． B．11 C． D．15
【答案】D
【分析】由 ，得出 ，由 变形为 ，整体代
入求值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴
，故D正确．故选：D．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，
准确计算．
5．（2023下·河北保定·八年级保定十三中校考期末）已知 ， ( 为任意实
数)，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】运用作差法，整式的运算，乘法公式计算 ，再根据平方数的非负性即可求解．
【详解】解： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题主要考查整式的运算，乘法公式的运用，平方数的非负性的综合，掌握以上知识是解
题的关键．
二、填空题
6．（2023上·河南濮阳·八年级校考期末）已知 ， ，则 ．
【答案】10
【分析】根据 得出 ，即可求出 ，即
可求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，即 ，∵ ，
∴ ，
则 ，
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式
．
7．（2023下·四川达州·八年级校考期末）若 可以用完全平方式来分解因式，则m
的值为 ．
【答案】 或13
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．
【详解】解： 可以用完全平方式来分解因式，
，
解得： 或 ．
故答案为： 或13．
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关
键．
8．（2023下·浙江·七年级期末）设 ， ， ，若 ， ，则
．
【答案】
【分析】先分别计算M，N的平方，再根据完全平方公式展开，相减后可求 ，从而求解．
【详解】解：∵ ， ， ， ，，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得 ，∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了完全平方公式，关键是熟练掌握完全平方公式： ．
9．（2023下·河南郑州·八年级校考期末）已知多项式 与一个单项式的和是一个多项式的平方，
请写出一个满足条件的单项式 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．
【详解】解：由题意可得： ，
则满足条件的单项式为 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
10．（2023下·河南平顶山·七年级统考期末）某公园有一块长为 米，宽为 米的长方
形地块，规划部门计划其内部修建一座边长为 米的正方形雕像，左边修一条宽为a米的长方
形道路，其余阴影部分为绿化场地，尺寸如图所示．用含a，b的代数式表示绿化的面积是
平方米（结果要化简）；
【答案】
【分析】根据图形的面积之差列式： ，再计算即可．
【详解】解：由题意可得：；
故答案为：
【点睛】本题考查的是多项式的乘法与图形面积，完全平方公式的应用，熟练的利用图形面积差列
出正确的运算式是解本题的关键．
三、解答题
11．（2023下·山东淄博·六年级统考期末）先化简，再求值：
，其中 ．
【答案】 ，
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式进行计算，然后将字母的值代入，即
可求解．
【详解】
，
当 时，
原式
【点睛】本题考查了整式的混合运算与化简求值，熟练掌握乘法公式是解题的关键．
12．（2023下·山东聊城·七年级统考期末）计算：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．（要求简便计算）【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算积的乘方和幂的乘方，再算单项式乘以单项式，然后合并同类项即可；
（2）先算单项式除以单项式，再根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算；
（3）原式利用完全平方公式和多项式乘以多项式的法则展开，然后合并同类项即可；
（4）先对原式进行变形，再利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及乘法公式是解题的关键．
13．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）先化简，再求值：
(1) ，其中 ；
(2) ，其中 满足 ．【答案】(1) ；
(2) ；
【分析】（1）原式利用平方差公式，单项式乘多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并得到
最简结果，把 的值代入计算即可求出值；
（2）原式中括号里利用多项式乘多项式法则，完全平方公式化简，去括号合并后再利用多项式除
以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：原式
，
当 时，原式 ；
（2）∵ ，
∴ ，
则原式
【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（2023下·广东深圳·七年级校联考期末）（1）若 ， ，求 的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（2）已知 中， ，分别以 、 边向外侧作正方形．如图所示，设 ，两
正方形的面积和为20，求 的面积．（3）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 ， 代入 ，从而可得答案；
（2）设正方形 与正方形 的边长分别为 ， ．由题意可得 ，
，再代入 计算即可；
（3）令 ， ，由题可知 ， ，代入
，再计算即可．
【详解】解：（1）∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）设正方形 与正方形 的边长分别为 ， ．
由题意可得 ，
∴ ；
（3）令 ， ，
由题可知 ， ，
∴ ， ，
∴ ．【点睛】本题考查的是完全平方公式及其变形的灵活运用，熟记完全平方公式与其变形是解本题的
关键．
15．（2023下·湖南郴州·七年级校考期末）图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用
剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方式表示图2中的阴影部分的面积；
(2)若 ，利用（1）的结论求 的值．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）确定小正方形的边长，求面积；用大正方形面积送去四围小长方形面积；
（2）由（1）得 ，于是 ，可得 ．
【详解】（1）解：阴影部分（小正方形）边长为 ，面积为 ；
或阴影部分 ；
（2）解：由（1）
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查整式的乘法，代数式求值，具备一定的数形结合思想是解题的关键．
16．（2023下·四川达州·七年级校考期末）阅读理解：
若x满足 ，试求 的值．
解：设 ， ，则 ，且 ．因为 ，所以 ．
即 的值为 ．
根据材料，请你完成下面这一题的解答过程：
若x满足 ，试求 的值．
【答案】
【分析】结合阅读材料中的方法将原式变形，求出值即可．
【详解】解：设 ， ，
则 ， ，
∵ ，
∴ ，
则 ．
【点睛】本题考查了完全平方公式变形应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
