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专题 08 平行四边形、矩形、菱形、正方形中新定义型问题
目录
A题型建模・专项突破
题型一、变量与常量..................................................................................................................1
题型二、函数的概念..................................................................................................................2
题型三、函数的自变量与函数值（常考点）...........................................................................3
题型四、列函数关系式表示简单的实际问题...........................................................................5
题型五、用表格表示函数..........................................................................................................6
题型六、用函数关系式表示函数...............................................................................................8
题型七、用图象表示函数（重点）...........................................................................................9
题型八、函数与实际问题的应用（难点）.............................................................................11
B综合攻坚・能力跃升
题型一、平行四边形中新定义型问题
1．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）定义：作 的一组邻角的角平分线，设交点为P，P与这组邻
角的公共边组成的三角形为 的“伴侣三角形”， PBC为平行四边形的伴侣三角形．AB＝m，BC
＝4，连接AP并延长交直线CD于点Q，若Q点落在线段CD上（包括端点C、D），则m的取值范围
△
．
【答案】2≤m≤4
【分析】找到Q点的两个边界点，利用平行四边形的性质和全等三角形的性质进行求解即可．
【详解】在平行四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝180°，
∵BP平分∠ABC，PC平分∠BCD，
∴∠PBC＝ ∠ABC，∠PCB＝ ∠BCD，
∴∠PBC+∠PCB＝ （∠ABC+∠BCD）＝90°，
∴∠BPC＝90°，
当点Q与点C重合时，如图所示：
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，∵∠BPC＝90°，
∴∠APB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（ASA），
∴AB＝BC，
∵BC＝4，
∴m＝4，
当点Q与点D重合时，如图所示：
延长CP交BA的延长线于点K，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵∠BPC＝90°，
∴∠KPB＝∠BPC＝90°，
∵BP＝BP，
∴△KBP≌△CBP（ASA），
∴BK＝BC，KP＝CP，
∵AB CD，
∴∠K＝∠DCP，
又∵∠KPA＝∠CPD，
∴△KPA≌△CPD（ASA），
∴CD＝AK，
∵AB＝CD，
∴BC＝2AB＝4，
∴AB＝2，
∴m＝2，
综上所述：当点Q落在线段CD上时，m的取值范围是2≤m≤4，
故答案为：2≤m≤4．
2．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点
四边形．(1)如图1，在任意四边形 中，点E，F，G，H分别为边 ， ， ， 的中点，则中点四边
形 的形状是______．
(2)在图1中，试判断 与 的关系，并说明理由．
(3)如图2，点P是四边形 内一点，且满足 ， ， ，点E，F，G，H
分别为边 ， ， ， 的中点．猜想中点四边形 的形状，并证明你的猜想．
【答案】(1)平行四边形
(2) ，理由见解析
(3)四边形 是菱形，证明见解析
【分析】（1）连接 ，根据三角形中位线定理可得 ，据此可得
，即可得证；
（2）作 于点 ，交 于点 ，设 交 分别于点 ，推出四边形 为平行四
边形，取 的中点 ，连接 ，证明 重合，得到 ，根据三角形和平行四边形的面积
公式得到 ，同理得到 ，即可得出结论；
（3）连接 ，证 得 ，由 知 ，结合四边形
是平行四边形即可得证．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
∵点E、H分别为边 的中点，
∴ ，
∵点F、G、分别为 的中点，
∴ ，∴ ，
∴中点四边形 是平行四边形；
（2） ，理由如下：
如图，作 于点 ，交 于点 ，设 交 分别于点 ，
由（1）可知：四边形 是平行四边形， ，
∴ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
取 的中点 ，连接 ，则 ，
∴ ，
∴ 重合，
∴ ，
∴ ，
同理： ，
∴ ，即： ；
（3）解：四边形 是菱形，理由如下：
如图2，连接 ，
∵ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵点E，F，G分别为边 的中点，
∴ ，
由（1）得：四边形 是平行四边形，
∴四边形 是菱形．
3．（24-25八年级下·江西赣州·期中）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形．
(1)如图1，在邻余四边形 中， ，则 ________；
(2)如图2，在 中， ， ， 垂直平分 交 于点 ，垂足为 ，且 ，
， 为 上一点，求证：四边形 是邻余四边形；
(3)如图3、图4，在邻余四边形 中， 为 中点， ，
①如图3，当 时，判断四边形 的形状并证明你的结论；
②如图4，当 ， 时，求 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)15
【分析】（1）根据邻余四边形的定义即可作答；
（2） 垂直平分 ，根据勾股定理逆定理， ，即可证明；
（3）①四边形 是邻余四边形， ，进而推出 ， ，四边
形 是平行四边形，进而即可证明；
②延长 到点F，使得 ，连接 ，推出 ， ，则
，进而作答即可．
【详解】（1）解：∵邻余四边形 ， 为锐角，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）证明：∵ 垂直平分 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是邻余四边形；
（3）解：①四边形 为平行四边形，
∵四边形 是邻余四边形，
∴ ，
∵ ，
∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵E是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵A、E、B三点共线且 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∵E是 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵A、E、B三点共线， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
②如图，延长 到点F，使得 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是邻余四边形，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的长为15．
题型二、矩形中新定义型问题
4．（25-26九年级上·河南·月考）定义：有一个内角的度数是另一个内角度数的 的钝角三角形叫做“半
钝三角形”．如图，在矩形 中， ， ，E为对角线 的中点，F是射线
上一动点．若 是“半钝三角形”，且 不是其最小的内角，则 的长为
．【答案】 或
【分析】由题意四边形 是矩形可得 ，从而求得 ，由 是“半钝三角形”，
且 不是其最小的内角，可分 或 两种情况来讨论，分别过点F作 于
点G，在 上取点H，连接 ，使 ，连接 ，再通过三角形内角和证明求解．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
为对角线 的中点，
，
是“半钝三角形”，且 不是其最小的内角，
最小的内角度数为 ，故分 或 两种情况来讨论；
当 时，如图（1），过点F作 于点G，在 上取点H，连接 ，使 ，则
， ，
，
，
设 ，则 ，
，解得： ，即 ；
当 时，如图（2），连接 ，则 ，
， ，
，
；
综上可知， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．5．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．
如图，在矩形 中， ，“筝形” 的顶点 是 的中点，点 分别在
上，且 ，则对角线 的长 ．
【答案】 或
【分析】①根据矩形的判定与性质可知 ， ，再根据全等三角形的判定与性质
解答即可；
②根据矩形的判定与性质可知 ，再根据勾股定理可知即可解答．
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，根据题意画出图形是解题的关键．
【详解】解：①如图， ， ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②如图， ， ，
过点 作 于点 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴在 中， ，
故答案为 或 ．
6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·开学考试）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．
了解性质：如图1：已知四边形 中， ．垂足为 ，则有： ；
性质应用：
（1）如图1，四边形 是垂美四边形，若 ，则 ___________；
性质变式：
（2）如图2，图3， 是矩形 所在平面内任意一点，则有以下重要结论： ．
请以图2为例将此重要结论证明出来．
应用变式：
（3）①如图4，在矩形 中， 为对角线交点， 为 中点，则 ___________；
②如图5，在 中， 是 内一点，且 ，则 的最小值是
___________．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）①10；②
【分析】本题主要考查了新定义“垂美”四边形、直角三角形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知
识，理解“垂美”四边形的性质是解题的关键．
（1）将 代入 计算即可；
（2）如图：过 于 ，交 的延长线于 ，由（1）性质可知： ，
即 ，再结合勾股定理可得 ；同理可得：
，则 ，进而证明结论；（3）如图：以 、 为边作矩形 ，连接 、 ，则 ，由题意得
，再结合题中数据可得 ；C、D、E三点共线时， 最小，最后根据矩形
的对角线相等即可解答．
【详解】（1）解：如图1，四边形 是垂美四边形，
，
，
，
．
（2）证明：如图：过 于 ，交 的延长线于 ，
由（1）性质可知： ，
即：
，
又
，
，即 ．
（3）解：①设 ，则 ，
由（2）可得 ，
，
；
②如图：以 、 为边作矩形 ，连接 、 ，则 ，由题意得： ，即 ，解得： ，
当 、 、 三点共线时， 最小，
的最小值 的最小值 ．
题型三、菱形中新定义型问题
7．（24-25八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线段长度
叫做点与该图形之间的距离，记为 ．如图，已知菱形 ， ， ，平面内一动点
菱形外部 到菱形 的距离为 ，则点 运动轨迹的长度为
【答案】 /
【分析】本题考查了菱形的性质，圆的周长公式，根据新定义可得点 运动轨迹的长度为菱形 的边
长加上一个圆的周长，即可求解．
【详解】解：如图所示，依题意点 运动轨迹的长度为菱形 的边长加上一个圆的周长，
依题意， 点 运动轨迹的长度为 ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对
角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形 中，若 垂直平分 ，那么四边
形 称为鹞形．(1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______；
(2)如图2，在平行四边形 中，E、F分别在边 和 上，且四边形 是鹞形（ 垂直平分
），求证平行四边形 是菱形．
(3)如图3，在（2）的条件下，连接 、 ，若 ， ， ，则 的长度为________．
【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
(2)见解析
(3)
【分析】（1）在 和 中， 即可得出结论；
（2）连接 相交于点 ，由（1）可得 ，由四边形 是平行四边形，可得
．再证出 ，然后得出平行四边形 是菱形即可；
（3）连接 与 相交于点 ，设 相交于点 ，由勾股定理得出 ，再求出
，再求出 ，再由面积法求出 ，
即可求解．
【详解】（1）解： 垂直平分 ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等；
故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等；
（2）证明：如图，连接 相交于点 ，由（1）可得 ，
四边形 是平行四边形，
．
．
，
四边形 是菱形；
（3）解：如图，连接 与 相交于点 ，设 相交于点 ，
四边形 是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·江苏南京·期末）定义：如果四边形的一条对角线的中点到另外两个顶点的距离都等于这条对角线长的一半，那么我们称这样的四边形为“等距四边形”．
(1)在下列图形中：①平行四边形、②矩形、③菱形，一定是“等距四边形”的是______；（填序号）
(2)如图1，在菱形 中， ， ， 于点 ，点 是菱形 边上的一点，顺次
连接 、 、 、 ，若四边形 为“等距四边形”，求线段 的长；
(3)如图2，在等边 中， ，点 是 内任意一点，在 、 、 上是否分别存在点，
使得这些点与点 的连线将 恰好分割成三个“等距四边形”，若存在，请直接写出这三个“等距四
边形”的周长和，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)②
(2) 或
(3)存在，周长和为
【分析】（1）根据等距四边形的定义即可得出结论；
（2）根据等距四边形的定义，分两种情况，利用菱形的性质和含30度的直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出四边形 ，四边形 ，四边形 是等距四边形，再利用三角形的面积求出
，即可得出结论．
【详解】（1）解：①平行四边形对角线互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一
条对角线长的一半，不符合题意；
②矩形的对角线相等且互相平分，一条对角线的中点到另外两个顶点的距离等于这条对角线的一半，符合
题意；
③菱形的对角线互相平分，对角线不一定相等，因此一条对角线的中点到另外两个顶点的距离不等于另一
条对角线的一半，不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：根据等距四边形的定义，
当点 在 上且 时，四边形 是等距四边形，如图1，
取 的中点 ，连接 ， ， ，， ，
，
，
四边形 是等距四边形，
在菱形 中， ， ， ，
， ，
，
，
根据菱形的对称性得， ，
是等边三角形，
在 中， ，
，
根据勾股定理得， ，
，
当点 在 上且 时，四边形 是等距四边形，如图2，
连接 ， ，交于点 ，
， ，
，
，
，
，
四边形 是矩形，
，在菱形 中， ， ，
，
；
（3）解：存在；
过点 分别作 于 ， 于 ， 于 ，连接 、 、 如图3，
同（2）的方法得，四边形 ，四边形 ，四边形 是等距四边形，过点 作 于 ，在 中， ， ，
，
，
根据勾股定理得， ，
，
，
，
，
四边形 ，四边形 ，四边形 的周长的和为 ．
题型四、正方形中新定义型问题
10．（2025·江苏无锡·一模）定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等
垂四边形”．
如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形， ，则图中的“等垂四边形”是
；
如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”， ， ，则边AB长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图：延长 交于点H，先证 可得 ， ．结合可得 ，即 ，从而得
到四边形 是“等垂四边形”； 如图②，延长 交于点H，分别取 的中点E、
F、G，连接 ，然后根据中位线的定义可得 ，再，
根据平行线的性质可得 ，由角的和差可得 ，
由勾股定理可得 ；如图③：延长 交于点H，分别取 的中点E，F．连接
，由 , 由勾股定理可得 即可解答．
【详解】解：如图①，延长 交于点H，
∵四边形 与四边形 都为正方形，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
∴ ．
又∵ ，
∴四边形 是“等垂四边形”；
如图②，延长 交于点H，分别取 的中点E、F、G，连接∴
∴ ．
∴
∴ ,
∴ ．
延长 交于点H，分别取 的中点E，F．连接 ，
则 ，
∴
故答案为： ， ．
11．（2025·广西崇左·二模）筝形的定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．
(1)根据筝形的定义，写出一种学过的满足筝形的定义的四边形：______；
(2)如图1，在正方形 中，E是对角线 延长线上一点，连接 ．求证：四边形 是筝形：
(3)小明学习筝形后对筝形非常感兴趣，购买了一只风筝，通过测量它的主体（如图2）得 ，
，发现它是一个筝形，还得到 ， ， ，求筝形 的面积．
【答案】(1)菱形，正方形
(2)证明见解析
(3)【分析】（1）根据筝形的定义结合所学知识可得答案；
（2）根据正方形的性质利用 证明 ，得到 ，再由 ，即可证明四边形
是筝形：
（3）如图所示，过点A作 交 延长线于E，连接 ，先证明 ，推出
，求出 ，得到 ，进而求出 ，利用三角形面积公式求出
，则 ．
【详解】（1）解：由题意得，菱形和正方形都是筝形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是筝形：
（3）解：如图所示，过点A作 交 延长线于E，连接 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．12．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）定义：若四边形有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形定义为“郡外四边形”．
(1)如下：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形，一定是“郡外四边形”的是：______．
(2)如图点P是正方形 对角线 上一点，点O是线段 中点，点E是射线 上一点，且 ，
连接 ．
①如图1，当点P在线段 上时，求证：四边形 为“郡外四边形”；
②如图2，当点P在线段 上时，试用等式来表示 的数量关系，并证明．
【答案】(1)正方形
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据“郡外四边形”定义求解即可；
（2）①通过证明 可得 ，由 得出 ，证出 即可；②从
两方面分析：当点E与点C重合时，点P恰好在 中点处，此时， ；当点E在 的延长线上
时，连接 ，由 ， 得 ，由正方形性质可得
，利用勾股定理即可证明．
【详解】（1）解：平行四边形：相等邻边的夹角不是直角，故平行四边形不是“郡外四边形”；
矩形：没有一组邻边相等，故矩形不是“郡外四边形”；
菱形：相等邻边的夹角不是直角，故菱形不是“郡外四边形”；
正方形：有一组对角互补，有一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，故正方形是“郡外四边形”；
（2）证明：①∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由四边形 内角和为 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 且 ，
∴四边形 为“郡外四边形”；
证明：② ；
∵四边形 是正方形， 是对角线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（i）当点E与点C重合时，点P恰好在 中点处，此时， ，
则由勾股定理有： ；
（ii）当点E在 的延长线上时，如图，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
连接 ，如图，
∵ 且 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
综上，有 ．
一、单选题
1．（25-26九年级上·山西晋中·月考）如图矩形与正方形的形状有差异，我们将矩形与正方形的接近程度
称为矩形的“接近度”，已知矩形 的对角线 、 相交于点O，我们将矩形的“接近度”定义为
，若 时，则矩形的“接近度”为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【分析】根据矩形的性质，易证 是等边三角形，进而得出 ，再利用勾股定理，求得，即可得到矩形的“接近度”．
【详解】解： 矩形 ，
， ， ，
，
是等边三角形，
，
，
在 中， ，
矩形的“接近度”为 ，
故选：B．
二、填空题
2．（25-26九年级上·河南郑州·期末）定义：若有一组邻边相等，且另一组邻边也相等的凸四边形，我们
把这类四边形叫做筝形．如图，矩形 中， ， ，点 为 的中点，点 在 上，且
，点 ， ，分别为 ， 上一个动点，连接 ， ， ， ， ，若四边形
为筝形，则 的长为 ．
【答案】9或
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，掌握以上知识是关键，根据筝形的定义，分类讨论，
结合矩形，勾股定理列式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵四边形 为筝形，
∴①当 时， ，则 ，设 ，则 ，
∴ ，即 ，
整理得， ，
解得， ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 ， 符合题意，
如图所示，过点 作 于点 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当 时， ，如图所示，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又 ，
∴平行四边形 是矩形，
∴ ；
综上所述，四边形 为筝形， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
三、解答题
3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个四边形满足三个条件①有一组对角互补，②一组邻边相
等，③相等邻边的夹角为直角，则称这样的四边形为“直角等邻对补”四边形，简称为“直等补”四边形．
根据以上定义，解答下列问题．
(1)如图1，四边形 是正方形，点E在 边上，点F在 边的延长线上，且 ，连接 ，
，请根据定义判断四边形 是否是“直等补”四边形，并说明理由．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)四边形 是“直等补”四边形，理由见解析．
(2)28．
【分析】（1）本题考查了对于“直等补”四边形定义的理解，要判断四边形 是否是“直等补”四边
形，关键在于根据定义，找到满足定义的三个条件即可．根据已知可证 ，由此可得到
， ， ，即证明四边形 是“直等补”四边形．
（2）本题同样考查了“直等补”四边形定义的理解，作辅助线 构造直角三角形是解决问题的关键．根
据“直等补”四边形定义，可得到 ， 然后利用勾股定理即可求得 的长．
【详解】（1）解： 四边形 是正方形，
， ，
，
在 与 中，
（ ），
， ，，
，
，
四边形 满足三个条件：①一组对角 和 互补，②一组邻边 ，③相等邻边夹角
．
故四边形 是“直等补”四边形；
（2）连接 ，如下图所示
四边形 是“直等补”四边形， ，
，
，
，
，
，
，
．
故 的长为28．
4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫
做“等邻边四边形”．
(1)如图1，四边形 的顶点 、 、 在网格格点上，请你在 的正方形网格中分别画出3个不同
形状的等邻边四边形 ，要求顶点 在网格格点上；
(2)如图2，在平行四边形 中， 是 上一点， 是 上一点， ， ，请说明四边形 是“等邻边四边形”；
(3)如图3，在平行四边形 中， ， 平分 ，交 于点 ， ， ， 是
线段 上一点，当四边形 是“等邻边四边形”时，请求出 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) 或 或 ．
【分析】（1）根据勾股定理和“等邻边四边形”的定义求解即可；
（2）根据题意证明出 ，得到 ，进而求解即可；
（3）如图所示，过点B作 交 于点G，首先求出 ，得到 ，
求出 ，然后根据题意分3种情况讨论，然后分别根据勾股定理和等边三角形的性质求解即
可．
【详解】（1）如图所示，
图（甲）和图（乙）中， ；
图（丙）中 ；
∴四边形 是等邻边四边形；
（2）∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∴
∵ ， ，
∴
又∵
∴
∴
∵
∴
∴四边形 是“等邻边四边形”；
（3）如图所示，过点B作 交 于点G∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴当四边形 是“等邻边四边形”，且 时，
∴ ；
如图所示，当 时，过点F作 交于点H，连接
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，即
∴
∴ ，
∴
∴此时四边形 是“等邻边四边形”；
∴
∵∴ 是等边三角形
∴ ，
如图所示，当 时，过点M作 交 于点M
∴
∴
∴
∴
∴
综上所述，当四边形 是“等邻边四边形”时， 的长度为 或 或 ．
5．（24-25八年级下·河南南阳·期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰
直角四边形．
(1)请在你学习过的四边形中，写出一个符合等腰直角四边形定义的特殊四边形；
(2)如图1，等腰直角四边形 中， ， ．若 ， ，请利用如
图2的辅助线，求 的长；
(3)如图3，在矩形 中， ， ，点P是对角线 的中点，过点P作直线分别交边 、
于点E、F．当四边形 是等腰直角四边形时，直接写出四边形 的面积．
【答案】(1)正方形
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据等腰直角四边形定义求解即可；
（2）如图所示，过点C作 交 于点D，证明出 ，得到
， ，证明出 是等腰直角三角形，求出 ，得到 ，进而求解即可；
（3）分 ， ， ， 四种情形讨论求解即可．
【详解】（1）解：符合等腰直角四边形定义的特殊四边形可以为正方形；
（2）解：如图所示，过点C作 交 于点D，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ， ，
如图，连接 ，当 时，四边形 是等腰直角四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，∴ ，
∴四边形 的面积 ；
如图，连接 ，当 时，四边形 是等腰直角四边形，
∴ ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ 是 的中点，
∴ ，
∴四边形 的面积 ；
如图，连接 ，当 时，
∵ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴此时，四边形 不是等腰直角四边形，
同理可得当 时，四边形 不是等腰直角四边形；
综上可得，四边形 的面积为 或 ．
6．（24-25八年级下·江西宜春·期末）定义引入：
定义：如果一个四边形的两条对角线互相垂直，那么我们称这个四边形为“对垂”四边形．
（1）问题1：举例：写一个你学过的特殊四边形是“对垂”四边形的图形的名称：______；
猜想与验证：
（2）①如图1，在四边形 中，对角线 于点 ，下列结论正确的是（ ）．
A． B． C．
②证明①中正确的结论：
拓展思考：
（3）如图2，正方形 和正方形 的边长分别是 和 ，连接 ，且 ，
的面积和 的面积会相等吗？如果会，请证明并求 的面积，如果不会，请说明理由．
【答案】（1）菱形或正方形；（2）①B；②证明见解析；（3）会，面积为：
【分析】（1）由“对垂”四边形定义，结合菱形、正方形性质即可得到答案；
（2）①由“对垂”四边形定义，根据勾股定理、三角形面积公式求解即可得到答案；②由“对垂”四边
形定义， 即可证明；
（3）连接 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 交 延长
线于点 ，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到 ，进而由三角形面积公式即可得到
的面积和 的面积相等，代值计算即可得到答案．
【详解】解：（1） 菱形的对角线相互垂直，
菱形是“对垂”四边形；
正方形的对角线相互垂直，正方形是“对垂”四边形；
故答案为：菱形或正方形；
（2）①A、 ，
在 中，由勾股定理可得 ；在 中，由勾股定理可得 ；
；
在 中，由勾股定理可得 ；在 中，由勾股定理可得 ；
；
当 时， ；
而题中并未明确 与 是否相等，该选项不一定正确，不符合题意；
B、 ，选项正确，符合题
意；
C、由题中四边形的任意性，无法保证 ，选项错误，不符合题意；
故选：B；
②证明如下： ，
；
（3） 的面积和 的面积相等，
证明如下：
∵正方形 和正方形 的边长分别是 和 ，
，
连接 ，连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 交 延长线于点
，如图所示：
，
，即 ，
又 ，
，
，
又 ， ，的面积和 的面积相等；
，
即 ，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
∴四边形AECG是“对垂”四边形，
，
又 ，
，
，
的面积为 ．
7．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的
夹角为直角，像这样的图形称为“角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下
列问题：
(1)如图1，以菱形 的一边 为边向外作正方形 ， 、 分别是菱形和正方形的对角线交点，
连接 ．
求证：四边形 是“直等补”四边形．
②若 ，求四边形 的面积．
(2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形，其中 ， ，过点 作 于
点 且 ，连接 ，若点 是线段 上的动点，请你直接写出 周长的最小值．【答案】(1)①详见解析；②1
(2) 周长的最小值：
【分析】（1）①由正方形的性质和菱形的性质可得 ， ， ，即
可解答；
②过点 作 于点 ， 交 的延长线于点 ，“ ”可证 ，所以
，即 ，由正方形的面积公式，即可解答；
（2）先证四边形 是正方形，利用勾股定理求出 ， ，即可解答．
【详解】（1）证明：①如图1中，
四边形 是菱形，
， ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
又 ，
四边形 是“直等补”四边形；
②如图1中，过点 作 于点 ， 交 的延长线于点 ，
，
四边形 是矩形，
，
即 ，
，在 和 中， ，
，
， ，
四边形 是正方形，
；
（2） 周长的最小值： ；
延长 到点 ，过 作 于点 ，
四边形 是“直等补”四边形， ， ，
，
，即 ，
， ，
， ，
四边形 是矩形，
，
又 ， ，
，
在 和 中， ，
，
，
矩形 是正方形，
， ；
∵ ，
即当点C、P、 三点共线时， 的最小值是 ，
在 中， ， ，
， ；在 中， ， ，
，
周长的最小值为： ；
8．（2025·河南·模拟预测）【定义学习】
定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”．
【判断尝试】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号）
（2）如图1，四边形 是对直四边形，若 ， ， ， ，则边 的长是
______；
【操作探究】
如图2，在菱形ABCD中， ， ， 于点E，请在边 上找一点F，使得以点A、E、
C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出 的长是______；
【拓展延伸】
如图3，在正方形 中， ，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个
单位长度的速度，分别沿正方形的边 、 、 方向运动（保持 ），再分别过点E、F作 、
的垂线交于点H，连接 、 ．试说明：四边形 为对直四边形．
【实践应用】
某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中 米， 米， ， ．现
根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这
两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是
______．
【答案】（1）②④；（2） ；操作探究： ；拓展延伸：见解析；实践应用： 或4．
【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角；
（2）连接 ，根据勾股定理求得结果；
操作探究：连接 ，则 ， 是等边三角形，故取 的中点，进而得出结果；
拓展延伸：延长 ，交 于 ，可证得 ，从而 ，进而得出 ，
进一步得出结论；
实践应用：作 于 ，作 于 ，可得四边形 是矩形， 和 是腰长相等
的等腰直角三角形；另一种情形：作 ，同上可知：四边形 是“对直四边形”， 和
是腰长相等的等腰直角三角形．【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角，
∴矩形和正方形是“对直四边形”，
故答案为： ；
（2）如图 ，
连接 ， ，
，
，
，
故答案为： ；
操作探究：解：如图 ，
取 的中点 ，连接 ，
则四边形 是“对直四边形”， ，
故答案为： ；
拓展延伸
（1）证明：如图 ，
延长 ，交 于 ，
四边形 是正方形，
， ，
， ，
，
四边形 是矩形，
点 、 、 分别从点 、 、 同时出发，并分别以每秒 、 、 个单位长度的速度运动，，
四边形 是正方形，
，
，
同理可得：四边形 是矩形，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 为对直四边形；
实践应用：解：如图 ，
作 于 ，作 于 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
四边形 是“对直四边形”， 和 是腰长相等的等腰三角形，
，
如图 ，作 于 ，作 于 ，
同上可知： ，四边形 是“对直四边形”， 和 是腰长相等的等腰三角形，
，
综上所述：等腰三角形的腰长为： 或 ．
