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专题 1.6 有理数的规律问题
【典例1】观察下列各式：
13+23＝1+8＝9，而（1+2）2＝9，∴13+23＝（1+2）2；
13+23+33＝36，而（1+2+3）2＝36，∴13+23+33＝（1+2+3）2；
13+23+33+43＝100，而（1+2+3+4）2＝100，∴13+23+33+43＝（1+2+3+4）2；
猜想并填空：
（1）13+23+33+43+53＝ 2＝ 2；
根据以上规律填空：
（2）13+23+33+…+n3＝ 2＝ 2；
（3）求解：163+173+183+193+203．
【思路点拨】
（1）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（2）通过观察材料中算式的计算规律进行计算；
（3）利用（2）中的结论进行计算．
【解题过程】
解：（1）由题意可得：
13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2＝152，
故答案为：（1+2+3+4+5）；15；
n(n+1)
（2）13+23+33+…+n3＝（1+2+3+...+n）2＝[ ]2，
2
n(n+1)
故答案为：（1+2+3+...+n）；[ ]；
2
（3）原式＝（13+23+33+…+163+173+183+193+203）﹣（13+23+33+…+153）
＝（1+2+3+...+20）2﹣（1+2+3+...+15）2
20×(1+20) 15×(1+15)
＝[ ]2﹣[ ]2
2 2
＝2102﹣1202
＝44100﹣14400
＝29700．1．（2022•从化区一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1）f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝6…；
1 1 1
（2）f（ ）＝2，f（ ）＝3，f（ ）＝4…．
2 3 4
1
利用以上规律计算：f（2022）﹣f（ ）等于（ ）
2022
1 1
A．2021 B．2022 C． D．
2021 2022
2．（2020秋•历下区校级月考）一只跳蚤在数轴上从原点开始，第1次向右跳2个单位长度，第2次向左
跳4个单位长度，第3次向右跳6个单位长度，第4次向左跳8个单位长度，…依此规律跳下去，当它第
2020次落下时，落点表示的数是（ ）
A．2019 B．2020 C．﹣2020 D．1010
3．（2022春•东台市月考）某种细胞开始分裂时有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2小时后分裂
成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去一个，按此规律，8小时后细胞存活的个数是（ ）
A．253 B．255 C．257 D．259
4．（2020秋•红谷滩区校级期中）已知 1＝12，1+3＝22，1+3+5＝32，1+3+5+7＝42，…，按此规律，
1+3+5+…+19＝ ．
5．（2020秋•许昌期中）观察等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，…．通过
观察，用你发现的规律确定22021的个位数是 ．
6．（2022•澧县模拟）观察下列等式：30＝1，31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，…，根据其中规
律可得30+31+32+…+32022的结果的个位数字是 ．
2 2
7．（2021•江华县一模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1） ＝1+ ，f（2） ＝1+ ，f（3）
1 2
2 2
＝1+ ，f（4） ＝1+ ，…．利用以上运算的规律求出2021f（2021） ＝ ．
3 4
8．（2021秋•吉安期中）观察下面一列数：﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6，﹣7，…将这列数排成下列形式：按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是 ；数﹣201是第 行从左边数第
个数．
9．（2021春•滨湖区期中）观察以下一系列等式：
①31﹣30＝（3﹣1）×30＝2×30；
②32﹣31＝（3﹣1）×31＝2×31；
③33﹣32＝（3﹣1）×32＝2×32；
④34﹣33＝（3﹣1）×33＝2×33；……
利用上述规律计算：30+31+32+…+3100＝ ．
10．找规律，完成下列各题：
1 1 1
（1）如图①，把正方形看作1， + =1− = ．
2 4 4
1 1 1 1
（2）如图②，把正方形看作1， + + =1− = ．
2 4 8 8
1 1 1 1
（3）如图③，把正方形看作1， + + + =1− ＝ ．
2 4 8 16
1 1 1 1 1
（4）计算： + + + + = ．
2 4 8 16 32
1 1 1 1 1 1 1 1 1
（5）计算： + + + + + + + + = ．
2 4 8 16 32 64 128 256 512
2 2
11．（2020•砚山县三模）符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f（1）＝1+ ，f（2）＝1+
1 2
2 2
，f（3）＝1+ ，f（4）＝1+ ⋯
3 4
（1）利用以上运算的规律写出f（n）＝ ；（n为正整数）
（2）计算：f（1）•f（2）•f（3）…f（100）的值．12．（2021秋•长兴县月考）在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝
6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．
（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式；
①|7﹣21|＝ ；
1
②|− +0.8|＝ ；
2
7 7
③| − |＝ ；
17 18
1 150 150 1 1
（2）用合理的方法计算：| − |+| − |﹣|− |；
5 557 557 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
（3）用简单的方法计算：| − |+| − |+| − |+…+| − |．
3 2 4 3 5 4 2021 2020
13．如果我们要计算1+2+22+23+…+299+2100的值，我们可以用如下的方法：
解：设S＝1+2+22+23+…+299+2100式
在等式两边同乘以2，则有2S＝2+22+23+…+299+2100+2101式
式减去式，得2S﹣S＝2101﹣1
即S＝2101﹣1
即1+2+22+23+…+299+2100＝2101﹣1
【理解运用】计算
（1）1+3+32+33+…+399+3100
（2）1﹣3+32﹣33+…﹣399+3100．1 1 1 1
14．计算： = ， = ， = ， = ．
9 99 999 9999
你发现什么规律了吗？
把下列的小数化为分数：0.111...＝ ，
0.222...＝0.1111...× ＝ × ＝ ，
0.262626...＝0.010101...× ＝ × ＝ ．
你会将任意一个无限循环小数化为分数了吗？请自己总结规律，并计算：
0.125912591529...＝ ，0.326457326457...＝ ．
不要忘记，能约分的要约分哟！
15．（2020秋•渝北区校级期中）阅读材料，根据材料回答：
例如1：（﹣2）3×33＝（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×3×3×3＝[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]×[（﹣2）×3]＝[（﹣
2）×3]3＝（﹣6）3＝﹣216．
例如2：86×0.1256＝8×8×8×8×8×8×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125×0.125
＝（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）×（8×0.125）
＝（8×0.125）6＝1．
5 1
（1）仿照上面材料的计算方法计算：( ) 4×(−1 ) 4．
6 5
（2）由上面的计算可总结出一个规律：an•bn＝ （用字母表示）；
5 3
（3）用（2）的规律计算：−0.42018×(−
)
2019×(
)
2020．
3 216．（2020秋•南岗区校级月考）阅读材料，回答下列问题．
通过计算容易发现：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① − = × ；② − = × ；③ − = ×
2 3 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7
（1）观察上面的三个算式，请写出一个像上面这样的算式： ；
1 1 1 1 1 1
（2）通过观察，计算 + + + + + 的值．
1×2 2×3 3×4 4×5 5×6 6×7
1 1 1 1 1 1
（3）探究上述的运算规律，试计算 + + + + +⋯+ 的值．
1×3 3×5 5×7 7×9 9×11 97×99
1 1 2+3 5 1 1 3+4 7 1 1 4+5 9
17．（2021秋•松江区期中）阅读理解题 + = = ； + = = ； + = = ．
2 3 2×3 6 3 4 3×4 12 4 5 4×5 20
15
（1）请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式： = + ；
56
21
= + ．
110
3 5 7 9 11 13
（2）利用以上所得的规律进行计算： − + − + − ．
2 6 12 20 30 42
4 6 8 10
（3）结合以上规律，通过适当变形，进行计算： − + − ．
15 35 63 991 1 1 1 1 1 1 1
18．（2021秋•通川区校级月考）探索发现： =1− ； = − ； = − ⋯
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
根据你发现的规律，回答下列问题：
1 1
（1） = ， = ；
4×5 n(n+1)
1 1 1 1
（2）利用你发现的规律计算： + + +⋯+ ；
1×2 2×3 3×4 n(n+1)
1 5 1 19 1 41 1 71 1
（3）计算：1 −2 +3 −4 +5 −6 +7 −8 +9 ．
2 6 12 20 30 42 56 72 90
