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专题11 线段的计算专题复习（解析版）
第一部分 教学案
类型一 单中点
1．（2020秋•开福区校级月考）已知线段AB＝13cm，C为线段AB上一点，BC＝5cm，点
D为AC的中点．求DB的长度．
思路引领：根据线段图，先求出AC的长，再求出DC的长，就可以求出DB的长．
解：∵AB＝13cm，BC＝5cm，
∴AC＝AB﹣BC＝8cm．
∵D是AC中点．
1
∴CD= AC=4cm，
2
∴DB＝DC+CB＝9cm．
总结提升：本题主要考查线段的长度计算，分别考查了线段的做差、中点、求和等问题．
属于简单题．主要锻炼学生书写解题过程，和逻辑推理能力．
2．已知线段AB＝10cm，点D是线段AB的中点，直线AB上有一点C，并且BC＝2cm，点
E是DC的中点，则线段DE的长为 ．
思路引领：分C在线段AB延长线上，C在线段AB上两种情况作图．再根据正确画出的
图形解题．
解：∵AB＝10cm，点D是线段AB的中点，
1 1
∴DB= AB= ×10＝5（cm），
2 2
①C在线段AB上，
∵BC＝2cm，
∴DC＝AB﹣BC＝5﹣2＝3（cm），
∵点E是DC的中点，
1 1 3
∴DE= DC= ×3= （cm），
2 2 2
②C在线段AB延长线上，
∵BC＝2cm，
∴DC＝DB+BC＝5+2＝7（cm），
∵点E是DC的中点，1 1 7
∴DE= DC= ×7= （cm），
2 2 2
3 7
故答案为： 或 ．
2 2
总结提升：本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，分类讨论
是解题关键，以防遗漏．
1
3．（2019秋•潮阳区期末）如图，点 C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=
3
AD，CD＝4，求线段AB的长．
1
思路引领：根据AC= AD，CD＝4，求出CD与AD，再根据D是线段AB的中点，即
3
可得出答案．
1
解：∵AC= AD，CD＝4，
3
1 2
∴CD＝AD﹣AC＝AD- AD= AD，
3 3
3
∴AD= CD＝6，
2
∵D是线段AB的中点，
∴AB＝2AD＝12；
总结提升：此题考查了两点间的距离公式，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准
确识图是解题的关键．
类型二 双中点
4．（2019秋•秦淮区期末）已知：如图，点 C在线段AB上，点M、N分别是AC、BC的
中点．
（1）若线段AC＝4，BC＝6，则线段MN＝ ；
（2）若AB＝m，求线段MN的长度．
思路引领：（1）由已知可求得CM，CN的长，从而不难求得MN的长度；
（2）由已知可得AB的长是NM的2倍，已知AB的长则不难求得MN的长度．
解：（1）∵N是BC的中点，M是AC的中点，AC＝4，BC＝6，
∴MC＝2，CN＝3，
∴MN＝MC+CN＝2+3＝5；
（2）∵M是AC的中点，N是BC的中点，AB＝m，
1 1
∴NM＝MC+CN= AB= m．
2 2故答案为：5．
总结提升：本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在
不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
5．（2022春•垦利区期末）如图，点C在线段AB上，AC＝6cm，MB＝10cm，点M，N分
别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝acm，M，N分别是线段AC，BC的
中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
思路引领：（1）根据“点M是AC的中点”，先求出MC的长度，再利用BC＝MB﹣
MC，CN＝12BC，MN＝CM+CN即可求出线段BC，MN的长度．
1 1
（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC= AC，NC= BC，然后利用MN＝MC﹣
2 2
1
NC得到MN= acm．
2
解：（1）∵M是AC的中点，
1
∴MC= AC＝3cm，
2
∴BC＝MB﹣MC＝7cm，
又N为BC的中点，
1
∴CN= BC＝3.5cm，
2
∴MN＝MC+NC＝6.5cm；
（2）如图1（或图2）：
∵M是AC的中点，
1
∴CM= AC，
2
∵N是BC的中点，
1
∴CN= BC，
2
1 1 1 1
∴MN＝CM﹣CN= AC- BC= （AC﹣BC）= acm．
2 2 2 2
总结提升：本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
3
6．（2019秋•长兴县期末）如图，已知点C为线段AB上一点，AC＝15cm，CB= AC，点
5
D，E分别为线段AC，AB的中点，求线段AB与DE的长．
思路引领：根据线段的中点定义即可求解．
3
解：∵AC＝15cm，CB= AC，
5
∴BC＝9，
∴AB＝AC+BC＝24，
∵点D，E分别为线段AC，AB的中点，
1 15
∴AD= AC=
2 2
1
AE= AB＝12
2
9
∴DE＝AE﹣AD= ．
2
9
答：线段AB与DE的长为24、 ．
2
总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段的中点定义．
7．已知A、B、C三点在同一条直线上，AB＝8，BC＝4，M、N分别为AB、BC的中点，
求线段MN的长．
思路引领：由题意将C点位置分两种情况分别求解：
①当C点在AB之间时，M与C点重合；
②当C在线段AB延长线上时，MN＝BM+BN．
解：①当C点在AB之间时，
由已知，M与C点重合，
∵AB＝8，BC＝4，M、N分别为AB、BC的中点，
∴MN＝BN＝2；
②当C在线段AB延长线上时，
MN＝BM+BN＝4+2＝6；
综上所述，MN的长为2或6．
总结提升：本题考查线段两点间距离；能够准确确定C点的位置是解题的关键．
类型三 方程思想
8．（2019秋•克东县期末）如图，N为线段AC中点，点M、点B分别为线段AN、NC上
的点，且满足AM：MB：BC＝1：4：3．
（1）若AN＝6，求AM的长．（2）若NB＝2，求AC的长．
1
思路引领：（1）根据线段中点的定义得到AC＝2AN＝12，于是得到AM= ×AC
1+4+3
1 3
= ×12= ；
8 2
1 1+4 5
（2）根据线段中点的定义得到AN= AC，得到AB= AC= AC，列方程即可得
2 1+4+3 8
到结论．
解：（1）∵AN＝6，N为线段AC中点，
∴AC＝2AN＝12，
∵AM：MB：BC＝1：4：3．
1 1 3
∴AM= ×AC= ×12= ；
1+4+3 8 2
（2）∵N为线段AC中点，
1
∴AN= AC，
2
∵AM：MB：BC＝1：4：3，
1+4 5
∴AB= AC= AC，
1+4+3 8
5 1 1
∴BN＝AB﹣AN= AC- AC= AC＝2，
8 2 8
∴AC＝16．
总结提升：本题考查的是两点间的距离，正确理解线段中点的意义是解题的关键．
1 3
9．（2019秋•江夏区期末）如图，点 B，D在线段AC上，BD= AB，AB= CD，线段
3 4
AB、CD的中点E、F之间的距离是20，求线段AC的长．
1
思路引领：设BD＝x，求出AB＝3x，CD＝4x，求出BE= AB＝1.5x，DF＝2x，根据EF
2
＝20得出方程1.5x+2x﹣x＝5，求出x即可．
解：设BD＝x，则AB＝3x，CD＝4x，
∵线段AB、CD的中点分别是E、F，
1
∴BE= AB＝1.5x，DF＝2x，
2
∵EF＝20，
∴1.5x+2x﹣x＝20，
解得：x＝8，∴AE+EF+CF＝1.5x+20+2x＝12+20+16＝48．
总结提升：本题考查了求两点之间的距离，能根据题意得出方程是解此题的关键．
10．（鄂城区期末）已知A，B，C，D四点在同一条直线上，点C是线段AB的中点，点
D在线段AB上．
1
（1）若AB＝6，BD= BC，求线段CD的长度；
3
（2）点E是线段AB上一点，且AE＝2BE，当AD：BD＝2：3时，线段CD与CE具有
怎样的数量关系？请说明理由．
思路引领：（1）根据线段中点的性质求出BC，根据题意计算即可；
（2）设AD＝2x，用x表示出AB，根据题意用x表示出CD、CE，得到CD与CE的数
量关系．
解：（1）如图1，∵点C是线段AB的中点，AB＝6，
1
∴BC= AB＝3，
2
1
∵BD= ，
3
∴BD＝1，
∴CD＝BC﹣BD＝2；
（2）如图2，设AD＝2x，则BD＝3x，
∴AB＝AD+BD＝5x，
∵点C是线段AB的中点，
1 5
∴AC= AB= x，
2 2
1
∴CD＝AC﹣AD= x，
2
∵AE＝2BE，
2 10
∴AE= AB= x，
3 3
5
CE＝AE﹣AC= x，
6
1 5
∴CD：CE= x： x＝3：5．
2 6
总结提升：本题考查的是两点间的距离的计算，正确理解线段中点的概念和性质是解题
的关键．11．（2019秋•樊城区期末）如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：
2，CE：EB＝3：5，求AC的长度．
思路引领：根据AB＝97，AD＝40，可得BD＝AB﹣AD＝57，由DC：CE＝1：2，CE：
10x
EB＝3：5，可以设DC＝x，可得CE＝2x，EB= ，进而列出等式解得x的值，再求
3
AC的长即可．
解：因为AB＝97，AD＝40，
所以BD＝AB﹣AD＝57
因为DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，
所以设DC＝x，
则CE＝2x，
10x
EB= ，
3
因为BD＝DC+CE+EB
10x
所以x+2x+ =57
3
解得x＝9
所以AC＝AD+DC＝40+9＝49．
答：AC的长度为49．
总结提升：本题考查了两点间的距离，解决本题的关键是利用线段之间的关系列出等式．
类型四 整体思想
12．如图，点P在线段AB的延长线上，点C为线段AB的中点．试探究PA+PB与PC之间
的数量关系，并说明理由．
思路引领：设AC＝BC＝x，PB＝y，求出PA+PB的长，然后与PC的长进行比较即可发
现它们之间的数量关系．
解：PA+PB与PC之间的数量关系为：PA+PB＝2PC．
设AC＝BC＝x，PB＝y，
由图中所给信息可得：
则PC＝x+y，PA＝2x+y，
所以PA+PB＝2x+y+y
＝2（x+y），
所以PA+PB＝2PC．
总结提升：本题考查线段的和差问题，关键是正确表示出线段的长．
13．（2021秋•覃塘区期末）如图，点C，D为线段AB的三等分点，点E为线段AC的中点，若ED＝12，则线段AB的长为 ．
思路引领：设EC＝x，根据点E为线段AC的中点，得AC＝2EC＝2x，再根据点C，D
为线段AB的三等分点，得AB＝3AC，结合ED＝12，求出x，进而得出线段AB的长．
解：设EC＝x，
∵点E为线段AC的中点，
∴AC＝2EC＝2x，
∵点C，D为线段AB的三等分点，
∴AC＝CD＝BD＝2x，
∵ED＝EC+CD，ED＝12，
∴x+2x＝12，
解得x＝4，
∴AB＝3AC＝24，
故答案为：24．
总结提升：本题主要考查了两点间的距离，掌握线段三等分点的定义，线段之间的数量
转化是解题关键．
14．如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．
（1）若AB＝24，CD＝10，求MN的长．
（2）若AB＝a，CD＝b，请用含，b的式子表示出MN的长．
1 1
思路引领：（1）利用M，N分别是AC，BD的中点，可以得出MC= AB，DN= BD
2 2
，再利用线段的和差关系表示即可求出答案；
（2）和方法（1）一样，利用线段的和差关系表示出关系式即可．
解：（1）∵M，N分别是AC，BD的中点，
1 1
∴MC= AB，DN= BD，
2 2
∴ MN ＝ MC+CD+DN
1 1 1 1 1 1 1 1
= AC+ BD+CD= (AC+BD)+CD= (AB-CD)+CD= AB+ CD= (AB+CD)= (24+10)=
2 2 2 2 2 2 2 2
17，
故MN的长是17．
答：MN的长是17．
（2）由（1）可知，
1
MN= (AB+CD)，
2∵AB＝a，CD＝b，
1
∴MN= (a+b)，
2
1
答：MN的长是 (a+b)．
2
总结提升：本题主要考查两点间的距离，熟练掌握中点的定义和线段的和差关系是解题
的关键．
类型五 分类讨论思想
15．（聊城期末）已知A，B，C三点在同一条直线上，若AB＝60cm，BC＝40cm，则AC
的长为 ．
思路引领：根据题意，分两种情况讨论：
（1）C在AB内，则AC＝AB﹣BC；
（2）C在AB外，则AC＝AB+BC．
解：（1）C在AB内，则AC＝AB﹣BC＝20cm；
（2）C在AB外，则AC＝AB+BC＝100cm．
∴AC的长为100cm或20cm．
总结提升：本题渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性．灵活运用线段的和、差
转化线段之间的数量关系．在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
16．（ 永新县期末）已知线段AB＝6，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝2PB，点Q为
PB的中点，求线段AQ的长．
1
思路引领：根据中点的定义可得PQ＝QB，根据AP＝2PB，求出PB= AB，然后求出
3
PQ的长度，即可求出AQ的长度．
解：如图1所示，∵AP＝2PB，AB＝6，
1 1 2 2
∴PB= AB= ×6＝2，AP= AB= ×6＝4；
3 3 3 3
∵点Q为PB的中点，
1 1
∴PQ＝QB= PB= ×2＝1；
2 2
∴AQ＝AP+PQ＝4+1＝5．
如图2所示，∵AP＝2PB，AB＝6，
∴AB＝BP＝6，
∵点Q为PB的中点，
∴BQ＝3，
∴AQ＝AB+BQ＝6+3＝9．故AQ的长度为5或9．
总结提升：本题考查了两点间的距离：两点的连线段的长叫两点间的距离，解题时注意
分类思想的运用．
17．如图，已知点C，D为线段AB上顺次两点，M，N分别是AC，BD的中点．若AB＝
24，CD＝10，求MN的长．
思路引领：根据点M、N分别为AC、BD的中点，可求出MC+ND的值，进而求出MN
的值．
解：∵点M、N分别为AC、BD的中点，
1 1
∴MA＝MC= AC，NB＝ND= BD，
2 2
1 1 1
∴MC+ND= （AC+BD）= （AB﹣CD）= （24﹣10）＝7（cm），
2 2 2
∴MN＝MC+ND+CD＝7+10＝17（cm），
即MN的长为17cm．
总结提升：本题主要考查两点间的距离，掌握线段的中点的性质、线段的和差运算是解
题的关键．
18．已知：线段AB＝10，C、D为直线AB上的两点，且AC＝6，BD＝8，求线段CD的长．
思路引领：因为C、D的位置不确定，需要分四种情况讨论，分别画出图形，即可求出
线段CD的长．
解：分四种情况：
①图1中，CD＝CB+BD＝（AB﹣AC）+BD＝4+8＝12；
②图2中，CD＝AB﹣AD﹣BC＝AB﹣（AB﹣BD）﹣（AB﹣AC）＝10﹣2﹣4＝4；
③图3中，CD＝CA+AB+BD＝24；
④图4中，CD＝CA+AD＝CA+（AB﹣BD）＝6+2＝8．
综上可得：线段CD的长为12或4或24或8．总结提升：本题考查了两点间的距离，解答本题的关键是分类讨论 C、D的位置，容易
漏解．
类型六 动点问题
19．如图，数轴上A、B所对应的数分别为﹣5、10，O为原点，点C为数轴上一动点且对
应的数为x．点P以每秒2个单位长度，点Q以每秒3个单位长度，分别自A、B两点同
时出发，在数轴上运动（不改变方向）．设运动时间为t秒．
（1）若点P、Q相向而行且OP＝OQ，求t的值．
（2）若点P、Q在点C处相遇，求出C点对应的数x．
（3）当PQ＝5时，求t的值．
（4）若点P、Q相向，同时一只宠物鼠每秒4个单位长度从B点出发，与点P相向而行，
宠物鼠遇到P后立即返回，又遇到Q点后立即返回，又遇到P后立即返回…直到A、B
相遇为止，求宠物鼠整个过程中的行驶路程．
思路引领：（1）根据OP＝OQ，即路程和＝AB，或P的路程﹣10＝Q的路程﹣5，列出
关于t的方程求解即可；
（2）求出P点运动的路程，进一步求解即可；
（3）根据PQ＝5，分三种情况列出关于t的方程求解即可；
（4）根据路程＝速度×时间，列式计算即可求解．
解：（1）依题意有
（2+3）t＝10﹣（﹣5），
解得t＝3；
或3t﹣10＝2t﹣5，
解得t＝5．
答：t的值是3或5．
（2）﹣5+3×2
＝﹣5+6
＝1，或10﹣[10﹣（﹣5）]÷（3﹣2）×3
＝10﹣15÷1×3
＝﹣35．
故C点对应的数是1或﹣35．
（3）依题意有
①（2+3）t＝10﹣（﹣5）﹣5，
解得t＝2；
②（2+3）t＝10﹣（﹣5）+5，
解得t＝4；
答：t的值是2或4．
（4）4×3＝12个单位长度．
答：宠物鼠整个过程中的行驶路程是12个单位长度．
总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目
的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
20．如图，数轴上A、B所对应的数分别为﹣5，10，O为原点，点P以每秒2个单位长度，
点Q以每秒3个单位长度，分别自A、B两点同时出发，在数轴上运动，设运动时间为t
秒．
（1）若点P、Q相向而行，且OP＝OQ，求t的值；
（2）若P、Q相向而行，且PQ＝5，求t的值；
（3）若P、Q同时向左运动，且PQ＝5，求t的值．
思路引领：（1）根据OP＝OQ，即路程和＝AB，或P的路程−10＝Q的路程−5，列出
关于t的方程求解即可；
（2）由于运动的时间为t秒，根据P、Q相向而行，且PQ＝5，列出方程求得t的值即
可；
（3）根据P、Q同时向左运动，且PQ＝5，列出关于t的方程求解即可．
解：（1）依题意有
（2+3）t＝10−（−5），
解得t＝3；
或3t−10＝2t−5，
解得t＝5．
答：t的值是3或5．
（2）依题意有|15﹣3t﹣2t|＝5，即15﹣3t﹣2t＝5或15﹣3t﹣2t＝﹣5，
解得t＝2或4；
（3）依题意有|3t﹣15﹣2t|＝5，
3t﹣15﹣2t＝5或3t﹣15﹣2t＝﹣5，
解得t＝20或10，
答：t的值是20或10．
总结提升：考查了一元一次方程的应用，两点间的距离的应用，解题关键是要读懂题目
的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
21．（2020秋•西湖区期末）如图，数轴上有A，B两点，A在B的左侧，表示的有理数分
别为a，b，已知AB＝12，原点O是线段AB上的一点，且OA＝5OB．
（1）求a，b的值．
（2）若动点P，Q分别从A，B同时出发，向数轴正方向匀速运动，点P的速度为每秒
2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当点P与点Q重
合时，P，Q两点停止运动，当t为何值时，2OP﹣OQ＝3．
（3）在（2）的条件下，若当点P开始运动时，动点M从点A出发，以每秒3个单位长
度的速度也向数轴正方向匀速运动，当点M追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P
运动，遇到点P后点M就停止运动．求点M停止时，点M在数轴上所对应的数．
思路引领：（1）由AO＝5OB可知，将12平均分成6份，AO占5份为10，OB占一份
为2，由图可知，A在原点的左边，B在原点的右边，从而得出结论；
（2）分两种情况：点P在原点的左侧和右侧时，OP表示的代数式不同，OQ＝2+t，分
别代入2OP﹣OQ＝3列式即可求出t的值；
（3）设点M运动的时间为t秒，分两种情况：点M追上点Q；点P与点M相遇时；列
出方程即可解决问题．
解：（1）∵AB＝12，AO＝5OB，
∴AO＝10，OB＝2，
∴A点所表示的数为﹣10，B点所表示的数为2，
∴a＝﹣10，b＝2．
故答案为：﹣10；2；
（2）当0＜t＜5时，如图1，
AP＝2t，OP＝10﹣2t，BQ＝t，OQ＝2+t，
∵2OP﹣OQ＝3，
∴2（10﹣2t）﹣（2+t）＝3，
解得t＝3，
当点P与点Q重合时，如图2，2t＝12+t，
解得t＝12，
当5＜t＜12时，如图3，
OP＝2t﹣10，OQ＝2+t，
则2（2t﹣10）﹣（2+t）＝3，
1
解得t＝8 ，
3
1
综上所述，当t为3或8 时，2OP﹣OQ＝3；
3
（3）设点M运动的时间为t秒，
点M追上点Q，
10
3（t- ）＝2+t，
3
解得t＝6，
∴OP＝2（t﹣5）＝2，
10
此时OM＝3（t- ）＝8；
3
点P与点M相遇时，
2t+3t＝6，解得t＝1.2，
此时OM＝8﹣3×1.2＝4.4．
故点M停止时，点M在数轴上所对应的数是4.4．
总结提升：本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比
较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在
数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
第二部分 配套作业
一．填空题（共3小题）
1．（2006•鄂州）已知AB＝8cm，若点C在AB的延长线上，且B为AC的一个三等分点，
则AC＝ cm．
思路引领：已知AB的长度，根据B为AC的一个三等分点，因B点不确定，要分类讨
论．
解：本题要分两种情况讨论：
①如果，BC占线段AC的三分之一，则AC等于12cm；②如果AB占线段AC的三分之一，AC等于24cm．
∴AC＝12或24cm．
总结提升：要分类讨论，以确定AC的长度．
2．（2022•天河区校级模拟）如图，点C是线段AB的中点，点D在CB上，BC＝4cm，
BD＝1.5cm，则线段AD＝ cm．
思路引领：首先根据线段中点定义求出AC、BC长．再根据线段和差关系求出AD的长．
解：∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝4（cm），
∵BD＝1.5cm，
∴CD＝2.5（cm），
∴AD＝AC+CD＝6.5（cm），
故答案为：6.5．
总结提升：本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握线段中点定义的应用，线段之间的
数量转化是解题关键．
PA PA 1
3．（2021秋•宣化区期末）已知点P是射线AB上一点，当 =2或 = 时，称点P是
PB PB 2
射线AB的强弱点，若AB＝6，则PA＝ ．
思路引领：分三种情况讨论，分别画出符合题意的图形，结合P的位置得到PA与PB的
具体的数量关系，结合AB＝6，从而可得答案．
PA 1
解：①如图，AB＝6，当 = 时，
PB 2
1 1
∴PA= AB= ×6＝2；
3 3
PA
②如图，AB＝6，当 =2且P在线段AB上时，
PB
2 2
∴PA= AB= ×6＝4；
3 3
PA
③如图，AB＝6，当 =2且P在线段AB的延长线上时，
PB
∴PA＝2AB＝2×6＝12；
综上：PA＝2或4或12．
故答案为：2或4或12．总结提升：本题考查的是线段的和差倍分关系，有理数的乘法运算，分类思想的运用，
掌握线段的和差倍分是解题的关键．
二．解答题（共15小题）
4．已知点A，B，C是同一条直线上的任意三点，如果AC＝7，BC＝3，求线段AC和BC
的中点间距离．
思路引领：此题有两种情况：①当C点在线段AB上，此时AB＝AC+BC，然后根据中
点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离；②当B在线段AC上时，那么AB
＝AC﹣CB，然后根据中点的性质即可求出线段AC和BC的中点之间的距离．
解：此题有两种情况：
①当C点在线段AB上，此时AB＝AC+BC，
而AC＝7，BC＝3，
∴AB＝AC+BC＝10，
1 1 1
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 AC+ BC= （AC+BC）＝5；
2 2 2
②当B点在线段AC上，此时AB＝AC﹣BC，
而AC＝7，BC＝3，
∴AB＝AC﹣BC＝4，
1 1 1
∴线段AC和BC的中点之间的距离为 AC- BC= （AC﹣BC）＝2．
2 2 2
故答案为：5或2．
总结提升：在未画图类问题中，正确画图很重要，本题渗透了分类讨论的思想，体现了
思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．
5．（2020秋•盱眙县期末）如图，直线l上有A、B两点，线段AB＝10cm．点C在直线l
上，且满足BC＝4cm，点P为线段AC的中点，求线段BP的长．
思路引领：作出图形后首先求得AC的长，然后求其一半的长，最后求线段 BP的长即
可．分点C在AB上和点C在AB的延长线上两种情况讨论即可．
解：当点C在AB上时，如图：
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB﹣BC＝10﹣4＝6（cm），
∵P为线段AC的中点，
1 1
∴PC= AC= ×6＝3（cm），
2 2∴BP＝PC+BC＝3+4＝7（cm）；
当点C在AB的延长线上时，如图：
∵AB＝10cm，BC＝4cm，
∴AC＝AB+BC＝10+4＝14（cm），
∵P为线段AC的中点，
1 1
∴PC= AC= ×14＝7（cm），
2 2
∴BP＝PC﹣BC＝7﹣4＝3（cm）；
∴BP的长为7cm或3cm
总结提升：本题主要考查两点间的距离的知识点，利用中点性质转化线段之间的倍分关
系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
6．（2021秋•钦北区期末）如图，线段AB＝8，点C是AB的中点，点D是BC的中点，E
是AD的中点．
（1）求线段BD的长；
（2）求线段EC的长．
思路引领：（1）由点C是AB的中点可得AC＝BC＝4cm，由点D是BC的中点可得BD
＝CD＝2即可；
（2）由（1）可知AE、AD的长，再根据EC＝AC﹣AE，即可得出线段EC的长．
解：（1）∵点C是AB的中点，AB＝8，
1
∴ AB＝AC＝BC＝4，
2
又∵点D是BC的中点，
1
∴ BC＝BD＝CD＝2．
2
（2）由（1）得AC＝4，AD＝AC+CD＝6，
∵E是AD的中点，
1
∴ AD＝AE＝ED＝3，
2
∴EC＝AC﹣AE＝4﹣3＝1．
总结提升：本题考查了两点间的距离以及线段中点的定义，利用线段的和差是解题关键．
7．（2019秋•南关区校级期末）如图，延长线段AB至点D，使点B为线段AD的中点，点
C在线段BD上，CD＝2BC，若BC＝3，求AD的长．思路引领：先由CD＝2BC，BC＝3，求得CD＝6，进而得BD，再由点B为线段AD的
中点，得AD．
解：∵CD＝2BC，BC＝3，
∴CD＝6，
∴BD＝BC+CD＝3+6＝9，
∵点B为线段AD的中点，
∴AD＝2BD＝18．
总结提升：本题主要考查了线段的和差计算，线段的中点定义，关键是弄清各线段之间
的关系，正确运用线段和差和线段中点，进行解答．
8．（2022秋•江都区月考）在直线m上取点A、B，使AB＝10cm，再在m上取一点P，使
PA＝2cm，M、N分别为PA、PB的中点，求线段MN的长．
思路引领：根据题意，正确画出图形，此题要分情况讨论：（1）当点P在线段AB上；
（2）当点P在线段BA的延长线上．
解：（1）如图 ，
当点P在线段AB上时，PB＝AB﹣PA＝8cm，
M、N分别为PA、PB的中点，
1 1
∴PN= PB，PM= AP．
2 2
1 1
∴MN＝PM+PN= AP+ BP＝1+4＝5（cm）；
2 2
（2）如图 ，
当点P在线段BA的延长线上时，PB＝AB+PA＝12cm，
M、N分别为PA、PB的中点，
1 1
∴PN= PB，PM= AP．
2 2
1 1
∴MN＝PN﹣PM= BP- AP＝6﹣1＝5（cm）．
2 2
∴线段MN的长是5cm．
总结提升：本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的
关键．要分情况进行讨论，以防遗漏．
9．如图，点C是线段AB的中点，点D是线段AC上一点，CD＝2AD．
（1）若线段AB＝12，求CD的长；
（2）若E是线段BC上一点，CE：BE＝1：5，且CD比CE的3倍长1，求BE的长．2
思路引领：（1）根据线段中点的定义可得AC＝6，再根据已知可得CD= AC＝4，即
3
可解答；
9x+3
（2）根据题意可设CE＝x，则CD＝3x+1，再根据已知可得BC＝6x，AC= ，然
2
后根据线段中点的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
解：（1）∵点C是线段AB的中点，AB＝12，
1
∴AC= AB＝6，
2
∵CD＝2AD，
2
∴CD= AC＝4，
3
∴CD的长为4；
（2）如图：
∵CD比CE的3倍长1，
∴设CE＝x，则CD＝3x+1，
∵CE：BE＝1：5，
∴BC＝6CE＝6x，
∵CD＝2AD，
3 9x+3
∴AC= CD= ，
2 2
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC，
9x+3
∴ = 6x，
2
∴x＝1，
∴BE＝5CE＝5，
∴BE的长为5．
总结提升：本题考查了两点间的距离，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题
的关键．
10．（2022秋•高密市期中）如图所示，B，C两点把线段AD分成4：5：7的三部分，E
是线段AD的中点，CD＝14厘米．
（1）求EC的长．
（2）求AB：BE的值．
思路引领：（1）由题意知，B，C两点把线段AD分成4：5：7三部分，则令AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米．根据CD＝14厘米，得出x＝2．根据E是
1
线段AD的中点，可得ED= AD＝16厘米，代入EC＝ED﹣CD可求；
2
（2）分别求出AB，BE的长后计算AB：BE的值．
解：设线段AB，BC，CD分别为4x厘米，5x厘米，7x厘米，
∵CD＝7x＝14，
∴x＝2．
（1）∵AB＝4x＝8（厘米），BC＝5x＝10（厘米），
∴AD＝AB+BC+CD＝8+10+14＝32（厘米）．
∵E是线段AD的中点，
1
∴ED= AD＝16厘米，
2
∴EC＝ED﹣CD＝16﹣14＝2（厘米）；
（2）∵BC＝10厘米，EC＝2厘米，
∴BE＝BC﹣EC＝10﹣2＝8厘米，
又∵AB＝8厘米，
∴AB：BE＝8：8＝1．
答：EC长是2厘米，AB：BE的值是1．
总结提升：本题考查了两点的间的距离，通过设适当的参数，由CD＝7x＝14求出参数
x＝2后，再求出各线段的值，同时利用线段的中点把线段分成相等的两部分的性质．
11．（2020秋•巴南区期末）已知点B、D在线段AC上，
（1）如图1，若AC＝20，AB＝8，点D为线段AC的中点，求线段BD的长度；
1 1
（2）如图2，若BD= AB= CD，AE＝BE，EC＝13，求线段AC的长度．
3 4
思路引领：（1）由线段的中点，线段的和差求出线段DB的长度；
（2）由线段的中点，线段的和差倍分求出AC的长度．
解：（1）∵D为线段AC的中点
1 1
∴DC= AC= ×20＝10，
2 2
∵AB＝8，
∴BD＝AD﹣AB＝10﹣8＝2；
（2）设BD＝x，
1 1
∵BD= AB= CD，
3 4∴AB＝3x，CD＝4x，
∴AC＝3x+x+4x＝8x，
∵AE＝BE，
1
∴AE= AB＝1.5x，
2
∴EC＝8x﹣1.5x＝13，
解得x＝2，
∴AC＝8x＝16．
总结提升：本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线
上两点之间的距离公式计算方法．
12．（2022秋•南丹县期末）已知线段AB＝20cm，M是线段AB的中点，C是线段AB延长
线上的点，AC：BC＝3：1，点D是线段BA延长线上的点，AD＝AB．求：
（1）线段BC的长；
（2）线段DC的长；
（3）线段MD的长．
思路引领：（1）根据线段的和差，可得答案；
（2）根据线段的和差，可得答案；
（3）根据线段中点的定义和线段的和差即可得到结论．
（1）设BC＝xcm，则AC＝3xcm．
又∵AC＝AB+BC＝（20+x）cm，
∴20+x＝3x，
解得x＝10．
即BC＝10cm；
（2）∵AD＝AB＝20cm，
∴DC＝AD+AB+BC＝20cm+20cm+10cm＝50cm；
（3）∵M为AB的中点，
1
∴AM= AB=10cm，
2
∴MD＝AD+AM＝20cm+10cm＝30cm．
总结提升：本题考查了求两点之间的距离的应用，主要考查学生的计算能力．
13．（2020秋•喀喇沁旗期末）先画图，再解答：
1
（1）画线段AB，在线段AB的反向延长线上取一点C，使AB= AC，再取AB得中点
2
D；（注：非尺规作图）
（2）在（1）中，若C、D两点间的距离为6cm，求线段AB的长．
思路引领：（1）直接根据题意画出图形即可；（2）根据中点的定义和已知条件求出CD＝5AD，再根据CD＝6cm，得出AD的长，再
1
根据AD= AB，即可得出答案．
2
解：（1）根据题意画图如下：
（2）∵点D是AB的中点，
1
∴AD= AB，
2
1
∵AB= AC，
2
∴CD＝5AD，
∵CD＝6cm，
6
∴AD= cm，
5
12
∴AB= cm．
5
总结提升：此题考查了两点间的距离，根据题意正确画出图形是解题的关键，比较简单．
14．（2021秋•江阴市校级月考）已知：如图，点C在线段AB上，点M、N分别是AC、
BC的中点．
（1）若线段AC＝6，BC＝4，则求线段AB和线段MN的长度；
1
（2）若AB＝a，则线段MN＝ a ；
2
（3）若将（1）小题中“点C在线段AB上”改为“点C在直线AB上”，（1）小题的
结果会有变化吗？求出线段MN的长度．
思路引领：（1）由点M、N分别是AC、BC的中点．可知MC＝3，CN＝2，从而可求
得MN的长度；
1 1
（2）由点M、N分别是AC、BC的中点，MN＝MC+CN= （AC+BC）= AB；
2 2
（3）由于点C在直线AB上，所以要分两种情况进行讨论计算MN的长度．
解：（1）∵点M、N分别是AC、BC的中点．
1 1
∴MC= AC＝3，CN= BC＝2，
2 2
∴MN＝MC+CN＝5；
（2）∵点M、N分别是AC、BC的中点．
1 1
∴MC= AC，CN= BC，
2 21 1 1
∴MN＝MC+CN= （AC+BC）= AB= a．
2 2 2
1
故答案为： a；
2
（3）当点C在线段AB内时，
由（1）可知：MN＝5，
当点C在线段AB外时，此时点C在点B的右侧，
∵点M、N分别是AC、BC的中点．
1 1
∴MC= AC＝3，CN= BC＝2，
2 2
∴MN＝MC﹣CN＝1，
综上所述，MN＝5或1．
总结提升：本题考查线段计算问题，涉及线段中点的性质，分类讨论的思想，属于基础
题型．
15．（2020秋•淮北月考）如图，已知B，C是线段AD上的任意两点，M是AB的中点，N
是CD的中点．
（1）若AB＝4，BC＝1，CD＝6，求线段MN的长度；
（2）若AD＝11，BC＝1，求线段MN的长度；
（3）请你说明：2MN＝BC+AD．
思路引领：（1）由已知可求得MB，CN的长，从而不难求得MN的长度；
（2）由已知条件可知，MN＝MB+CN+BC，AD＝2（MB+CN）+BC，先求出MB+CN的
值，则可求MN的长度；
（3）由 MN＝MB+CN+BC，利用等式性质可得 2MN＝2MB+2BC+2CN＝BC+
（AB+BC+CD）＝BC+AD．
解：（1）∵M是AB的中点，N是CD的中点，
1 1
∴MN＝MB+BC+CN= AB+BC+ CD，
2 2
∵AB＝4，BC＝1，CD＝6，
1 1
∴MN= ×4+1+ ×6＝6；
2 2
（2）∵AD＝AB+BC+CD＝2（MB+CN）+BC，
∵AD＝11，BC＝1，
∴MB+CN＝5，
∴MN＝MB+BC+CN＝6；
（3）∵MN＝MB+BC+CN，
∴2MN＝2MB+2BC+2CN＝BC+（AB+BC+CD）＝BC+AD．总结提升：本题主要考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系，在
不同情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．
16．（2006秋•中山区期末）如图，线段AB＝30cm，点O在AB线段上，M、N两点分别
从A、O同时出发，以2cm/s，1cm/s的速度沿AB方向向右运动．
（1）如图1，若点M、点N同时到达B点，求点O在线段AB上的位置．
（2）如图2，在线段AB上是否存在点O，使M、N运动到任意时刻，（点M始终在线
段AO上，点N始终在线段OB上），总有MO＝2BN？若存在，求出点O在线段AB上
的位置；若不存在，请说明理由．
思路引领：（1）设AO的长度为xcm，则OB＝（30﹣x）cm，根据时间相等建立方程求
出其解即可；
（2）设AO的长度为ycm，运动的时间为t，则MO＝y﹣2t，BN＝30﹣y﹣t，由MO＝
2BN建立方程求出其解即可．
解：（1）设AO的长度为xcm，则OB＝（30﹣x）cm，由图形，得
30 30-x
= ，
2 1
解得：x＝15，
∴点O在AB的中点；
（2）设AO的长度为ycm，运动的时间为t，则MO＝y﹣2t，BN＝30﹣y﹣t，由题意，
得
y﹣2t＝2（30﹣y﹣t），
解得：y＝20，
∴AO＝20cm时，MO＝2BN．
总结提升：本题考查了线段与行程问题的关系的运用，线段之间的数量关系的运用，一
元一次方程的运用，解答时找到题意的等量关系是关键．
17．（2016秋•和平区期末）已知A，B，C三点在同一条数轴上．
1
（1）若点A，B表示的数分别为﹣2，4，且AC= AB，则点C表示的数是 ﹣ 4 或 0
3
；
（2）若点A，B表示的数分别为m，n，且m＜n．
1
①点C在点A的右边，且AC= AB，求点C表示的数（用含m，n的式子表示）；
3
②已知n﹣m＝10，点P，Q分别是这条数轴上的两个动点，点P以每秒2个单位长度
的速度从点A向左运动，同时点Q以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动，当点Q
追上点P后立即返回向点B运动，点P继续向左运动，当点Q到达点B时，点P，Q同时停止运动．在此运动过程中，点P的运动时间为多少秒时，BP＝2BQ（P，Q两点的
运动速度始终保持不变）．
思路引领：（1）由已知条件得到AB＝6，设点C表示的数是x，列方程即可得到结论；
（2）①设点C表示的数是x，根据题意列方程即可得到结论；
②Ⅰ、当点Q没追上点P时，设点P的运动时间为t秒时，BP＝2BQ，Ⅱ、设点P运动
x秒时，点Q追上点P，列方程得到x＝10，当点Q追上点P后，设点P再运动t秒时，
BP＝2BQ，根据题意列方程即可得到结论．
解：（1）∵点A，B表示的数分别为﹣2，4，
∴AB＝6，
设点C表示的数是x，
∴AC＝|﹣2﹣x|，
1
∵AC= AB，
3
1
∴|﹣2﹣x|= ×6，
3
解得：x＝﹣4或x＝0，
∴点C表示的数是﹣4或0；
故答案为：﹣4或0；
（2）①设点C表示的数是x，
1
由题意得，x﹣m= （n﹣m），
3
1 2
∴x= n+ m，
3 3
1 2
∴点C表示的数为 n+ m；
3 3
②Ⅰ、当点Q没追上点P时，设点P的运动时间为t秒时，BP＝2BQ，
∵AB＝n﹣m＝10，
∴10+2t＝2×3t，
5
解得：t= ，
2
Ⅱ、设点P运动x秒时，点Q追上点P，
则10+2x＝3x，
解得：x＝10，
当点Q追上点P后，设点P再运动t秒时，BP＝2BQ，
由题意得，n﹣（m﹣2t）＝2×（30×2+3t），
55
解得：t= ，
45 55
综上所述，点P的运动时间为 或 秒时，BP＝2BQ．
2 4
总结提升：本题考查了数轴上两点的距离、数轴上点的表示、一元一次方程的应用，比
较复杂，要认真理清题意，并注意数轴上的点，原点左边表示负数，右边表示正数，在
数轴上，两点的距离等于任意两点表示的数的差的绝对值．
18．（2021秋•东港区期末）【新知理解】点A、B、C为数轴上的三个点，给出如下定义：
如果点C在点A、B之间且与A、B两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称点C
是A、B两个点的“美点”．
如图，已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣4，8．
【问题解决】（1）下列各数﹣2、0、2、4所对应的点分别为D、E、F、G，其中是点
A、B的“美点”的有 E ， G ．
（2）若点B是点A、C的“美点”，求点C在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）点A、B分别以3个单位长度/秒，1个单位长度/秒的速度向右匀速
运动，同时点P以6个单位长度/秒的速度从原点O向左匀速运动，当遇到A时，点P
立即以不变的速度向右运动，当遇到B时，点P立即以不变的速度向左运动，并不停往
返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？
思路引领：【问题解决】（1）根据题意求得各点与A和B的关系，即可得到答案；
（2）根据“美点”，可求点C在数轴上表示的数；
【应用拓展】（3）设经过x秒钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的路程多12，
列出方程，求出x的值，即为点P运动的时间，再乘点P运动的速度，可得点P所经过
的总路程．
解：【问题解决】（1）∵点A表示数﹣4，点B表示数8，D表示的数为﹣2，
∴AD＝2，BD＝10，
∴D不是点A、B的“美点”；
∵点A表示数﹣4，点B表示数8，E表示的数为0，
∴AE＝4，BE＝8，∴E是点A、B的“美点”；
∵点A表示数﹣4，点B表示数8，F表示的数为2，
∴AF＝6，BF＝6，
∴F不是点A、B的“美点”；
∵点A表示数﹣4，点B表示数8，G表示的数为4，
∴AG＝8，BG＝4，
∴G是点A、B的“美点”．故其中是点A、B的“美点”的有E，G．
故答案为：E，G；
（2）∵点A表示数﹣4，点B表示数8，
∴AB＝12，
∵点B是点A、C的“美点”，
∴BC＝6或24，
∴点C在数轴上表示的数为8+6＝14或8+24＝32；
【应用拓展】（3）设经过a秒钟点A与点B重合，根据题意得：
3a＝12+a，
解得a＝6．
6×6＝36（个单位长度）．
答：点P所经过的总路程为36个单位长度．
总结提升：本题考查了一元一次方程的应用，数轴及数轴上两点的距离、动点问题，认
真理解新定义：美点表示的数是与前面的点 A的距离和到后面的数B的距离有2倍的关
系，列式可得结果．
