专题19.4二次根式（章节复习）（知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练共55题）解析版_初中数学人教版_八年级数学下册_保存转存之后查看(1)_2026春季新版-持续更新中_第二套-知

专题19.3 二次根式（章节复习） （知识荟萃+20个题型讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 【解析版】 知识荟萃 2 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质.............................................2 知识点梳理02：二次根式的运算.......................................................3 题型讲练...............................................................................4 题型1：二次根式的识别..............................................................4 题型2：求二次根式的值..............................................................4 题型3：求二次根式中的参数..........................................................5 题型4：二次根式有意义的条件........................................................6 题型5：利用二次根式的性质化简......................................................7 题型6：二次根式的乘法..............................................................7 题型7：二次根式的除法..............................................................8 题型8：二次根式的乘除混合运算......................................................8 题型9：最简二次根式的判断.........................................................10 题型10：化为最简二次根式..........................................................11 题型11：已知最简二次根式求参数....................................................12 题型12：同类二次根式..............................................................12 题型13：二次根式的加减运算........................................................13 题型14：二次根式的混合运算........................................................14 题型15：分母有理化................................................................15 题型16：已知字母的值，化简求值....................................................16 题型17：已知条件式，化简求值......................................................17 题型18：比较二次根式的大小........................................................18 题型19：二次根式的应用............................................................19 题型20：复合二次根式的化简........................................................20 中考真题..............................................................................21分层训练..............................................................................24 基础夯实..........................................................................24 培优拔高..........................................................................25 知识点梳理01：二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 1 3, , 0.02, 0 a(a0) 2 形如 的式子叫做二次根式，如 等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】 二次根式 a 有意义的条件是a0，即只有被开方数a0时，式子 a 才是二次根式， a 才有意 义. 2.二次根式的性质 （1） ； （2） ； （3） . 【易错点拨】 （1） 一个非负数 a可以写成它的算术平方根的平方的形式，即 a ( a)2 （ a0），如 1 1 2( 2)2; ( )2;x( x)2 3 3 （x0）. （2） a2 中a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， a2 一定有意义.a2 a （3）化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简. a2 ( a)2 （4） 与 的异同 不同点： a2 中a可以取任何实数，而 ( a)2 中的a必须取非负数； a2 = a ， ( a)2 =a（a0）. 相同点：被开方数都是非负数，当a取非负数时， a2 = ( a)2 . 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 2, ab,3 x, a2 b2 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如 等都是最简二次根式. 【易错点拨】 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指 数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如 2 与 8 ，由于 8 =2 2， 2 与 8 显然是同类二次根式. 知识点梳理02：二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 积的算术平方根化简公式： 二次根式的乘法 a  b  ab(a0,b0) ab  a  b(a0,b0) a a 二次根式的除法 = (a0,b0) 商的算术平方根化简公式： b ba a  (a0,b0) b b 【易错点拨】 （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如 a bc d ac bd . (4)(9)  4 9 （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并 同类二次根式. 【易错点拨】 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类 23 25 2 (135) 2  2 二次根式.如 . 题型1：二次根式的识别 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州遵义·月考）下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A．❑√−1.2 B．❑√2.4 C．√3−1.2 D．√32.4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次根式的定义，形如❑√a(a≥0)的式子叫作二次根式，熟练掌握二次根式成立的 条件是解答本题的关键．根据二次根式的定义分析即可． 【规范解答】解：A．❑√−1.2的被开方数是负数，不是二次根式，故不符合题意； B．❑√2.4是二次根式，故符合题意； C．√3−1.2的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； D．√32.4的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25八年级下·广西南宁·期中）下列根式是二次根式的是（ ） 1 A．√32 B． C．❑√3 D．2−2 2【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的定义，根据形如❑√a(a≥0)的式子，叫二次根式，逐一判断得到答 案即可； 【规范解答】解：首先排除B 和D，而√32的根指数是3，故选项A错误， 故选：C． 题型2：求二次根式的值 【典例精讲】（2024八年级下·全国·专题练习）一滴雨滴下落到地面所用的时间ts与下落的高度hm满 1 足关系式h= gt2 ． 2 (1)用含h，g的式子表示t； (2)当h=490，g=9.8时，求t的值． √2h 【答案】(1)t=❑ ； g (2)10． 【思路点拨】（1）根据算术平方根把公式变形即可； （2）把h=490，g=9.8代入即可求解； 本题考查了算术平方根的定义，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 1 【规范解答】（1）解：∵h= gt2 ， 2 2h ∴t2= ， g √2h ∴t=❑ ； g （2）解：当h=490，g=9.8时， √2h √2×490 ∴t=❑ =❑ =10． g 9.8 【变式训练】（24-25八年级下·山东德州·开学考试）当x=−6时，❑√6−3x的值是 ． 【答案】2❑√6 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，把x=−6代入❑√6−3x计算即可求解，掌握二次根式的性 质是解题的关键． 【规范解答】解：∵x=−6， ∴❑√6−3x=❑√6−3×(−6)=❑√24=2❑√6，故答案为：2❑√6． 题型3：求二次根式中的参数 【典例精讲】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若❑√3m是一个整数，则正整数m的最小值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，化简二次根式后判断3m是个平方数是求解本题的关键．得出3m 是一个平方数，进而求解即可． 【规范解答】解：∵❑√3m是一个整数， ∴3m是一个平方数， ∴m的最小值是3． 故答案为：3． 【变式训练】（24-25八年级下·河南许昌·期末）若❑√24n是整数，则正整数n的最小值是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．要使❑√24n为整数，需 满足24n是完全平方数，由❑√24n=2❑√6n，即可确定n的最小值． 【规范解答】解：∵24=4×6， ∴❑√24=2❑√6， ∴❑√24n=2❑√6n， ∵❑√24n是整数，且n是整数， 则6n是完全平方数， ∴n的最小值为：6． 故选：D． 题型4：二次根式有意义的条件 【典例精讲】（2025·浙江杭州·二模）若代数式❑√x−2有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】x≥2 【思路点拨】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数非负，进行计算即可， 解题的关键是列出不等式并正确求解． 【规范解答】由题意得，x−2≥0， 解得：x≥2， 故答案为 x≥2．❑√x+3 【变式训练】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）要使式子 有意义，则x的取值范围是 x−1 【答案】x≥−3且x≠1 【思路点拨】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母 不为零）和二次根式有意义的条件（被开方数非负）列式求解即可． ❑√x+3 【规范解答】解：∵式子 有意义， x−1 {x+3≥0) ∴ ， x−1≠0 ∴x≥−3 且 x≠1 故答案为：x≥−3且x≠1． 题型5：利用二次根式的性质化简 【典例精讲】（23-24八年级下·四川内江·月考）实数m，n在数轴上的位置如图所示，化简 |n−m)−❑√m2的结果为（ ） A．n−2m B．−n−2m C．n D．−n 【答案】D 【思路点拨】本题考查化简绝对值问题，先根据m、n在数轴上的位置判断出m、n的符号，再根据二次根 式的性质和绝对值的性质进行化简求解即可． 【规范解答】解：∵由图可知，n<0，m>0， ∴|n−m)−❑√m2 =m−n−m =−n． 故选：D． 【变式训练】（24-25八年级下·广东江门·月考）❑√(−5) 2= ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简．直接化简二次根式即可． 【规范解答】解：❑√(−5) 2=5．故答案为：5． 题型6：二次根式的乘法 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）估算❑√6×❑√7−5的值在（ ）之间． A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先计算得❑√42−5，估算出6<❑√42<7，再进 一步计算出结果即可． 【规范解答】解：❑√6×❑√7−5=❑√42−5， ∵36<42<49， ∴6<❑√42<7， ∴1<❑√42−5<2， ∴❑√6×❑√7−5的值在1和2之间， 故选：A． 【变式训练】（23-24八年级下·山西吕梁·期末）公元前5世纪，毕达哥拉斯学派中的一名成员希帕索 斯发现了无理数❑√2，导致了第一次数学危机．人们发现两个无理数的和，积，商不一定是无理数．已知 一个无理数与6−2❑√5的商是有理数．这个数可以是 ． 【答案】12−4❑√5（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，令商的值取一个有理数，与6−2❑√5的乘积即为所求． 【规范解答】解：当这个无理数与6−2❑√5的商是2时， 这个数为：2×(6−2❑√5)=12−4❑√5， 故答案为：12−4❑√5．（答案不唯一） 题型7：二次根式的除法 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）下列等式成立的是（ ） A．❑√2+❑√3=❑√5 B．❑√18=2❑√3 C．❑√2·❑√3=❑√5 D．❑√6÷❑√3=❑√2 【答案】D 【思路点拨】本题考查二次根式的运算规则，运用定义判断法，解题关键是准确掌握二次根式的运算性质， 易错点是混淆同类二次根式及运算公式，解题思路是依据二次根式的加减、乘除及化简规则逐一分析选项． 【规范解答】解：选项A：❑√2和❑√3不是同类二次根式，不能直接相加， ❑√2+❑√3≠❑√5，不符合题意； 选项B：❑√18=❑√9×2=3❑√2，❑√18≠2❑√3，不符合题意； 选项C：❑√2·❑√3=❑√2×3=❑√6，❑√2·❑√3≠❑√5，不符合题意；选项D：❑√6÷❑√3=❑√6÷3=❑√2， 符合题意； 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·河南濮阳·期中）❑√18÷❑√2= ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【规范解答】解：❑√18÷❑√2=❑√18÷2=❑√9=3． 故答案为：3． 题型8：二次根式的乘除混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°， ∠ADC=135°，AB=10，AD=6，则四边形ABCD的面积为 ． 【答案】46 【思路点拨】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，利用割补法求面积，二次根式的 乘除运算，解题的关键是掌握以上性质和运算法则． 延长AD,BC交于点E，判定出△ABE与△CDE为等腰直角三角形，得出相等的边，假设CD=CE=x，利 用勾股定理表示出斜边，然后利用相等的边求出x的值，最后利用割补法求四边形的面积即可． 【规范解答】解：如图，延长AD,BC交于点E， ∵∠A=∠BCD=90°， ∴△ABE与△CDE为直角三角形， ∵∠ADC=135°， ∴∠CDE=180°−∠ADC=45°，∴△ABE与△CDE为等腰直角三角形， ∴CD=CE，AB=AE， 假设CD=CE=x， 则根据勾股定理得DE=❑√CD2+CE2=❑√2x， ∴AD+DE=AB， 即6+❑√2x=10， 解得x=2❑√2， 1 1 1 1 ∴四边形ABCD的面积为 AB⋅AE− CE⋅CD= ×10×10− ×2❑√2×2❑√2=46， 2 2 2 2 故答案为：46． 1 √12 ( 1 √18) 【变式训练】（24-25八年级下·上海宝山·期末）计算： ❑ ÷ − ❑ 2 x 4 x 2❑√6 【答案】− 3 ❑√12 ( ❑√18) 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质可得：原式= ÷ − ， 2❑√x 4❑√x 根据二次根式的除法法则进行计算即可． 1 √12 ( 1 √18) 【规范解答】解： ❑ ÷ − ❑ 2 x 4 x ❑√12 ( ❑√18) = ÷ − 2❑√x 4❑√x ❑√12 ( 4❑√x) = × − 2❑√x ❑√18 ❑√12×4❑√x =− 2❑√x×❑√18 2❑√12 =− ❑√18 √12 =−2❑ 18 √2 =−2❑ 32❑√6 =− ． 3 题型9：最简二次根式的判断 【典例精讲】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A．❑√32 B．❑√40 C．❑√1.5 D．❑√3 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查了最简二次根式， 解决本题的关键是熟练掌握最简二次根式的性质；二次根 式的最简形式就是被开方数不含分母且不含平方因子． 【规范解答】解： A． ❑√32=❑√16×2=4❑√2，不是最简二次根式，故错误； B． ❑√40=❑√4×10=2❑√10，不是最简二次根式，故错误； √3 C． ❑√1.5=❑ ，被开方数含分母，不是最简二次根式，故错误； 2 D． ❑√3被开方数3是质数，无平方因子，故正确； 故选：D． 【变式训练】（23-24八年级下·山东·期末）下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A．❑√b2+ab2 B．❑√6a2 C．❑√5x D．❑√18 y 【答案】C 【思路点拨】本题考查最简二次根式，根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因 式，不含分母，进行判断即可． 【规范解答】解：A、❑√b2+ab2 = ❑√b2(1+a) = |b)❑√1+a，可化简，不是最简二次根式； B、❑√6a2 = |a)❑√6，可化简，不是最简二次根式； C、❑√5x，5和x均无平方因子，不可化简，是最简二次根式； D、❑√18 y = ❑√9×2y = 3❑√2y，可化简，不是最简二次根式． 故选：C． 题型10：化为最简二次根式 【典例精讲】（24-25八年级下·广西南宁·期末）下列是最简二次根式的是（ ） √1 2 A．❑√12 B．❑ C． D．❑√5 3 ❑√3 【答案】D【思路点拨】本题考查二次根式的化简，最简二次根式，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含 能开得尽方的因数或因式；我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式， 据此逐一分析判断，即可解答． 【规范解答】解：A．❑√12=2❑√3，即该选项不是最简二次根式，故不符合题意； √1 ❑√3 B．❑ = ，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 3 3 2 2❑√3 C． = ，即该选项不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ❑√3 3 D．❑√5是最简二次根式，故该选项符合题意． 故选D． 【变式训练】（24-25八年级下·四川自贡·月考）化简❑√27的结果是 ． 【答案】3❑√3 【思路点拨】直接利用二次根式的性质化简求得答案即可． 本题考查二次根式的性质及化简，熟练掌握计算法则是解题关键． 【规范解答】解：❑√27=❑√9×3=❑√9×❑√3=3❑√3． 故答案为：3❑√3 题型11：已知最简二次根式求参数 【典例精讲】（24-25八年级下·安徽安庆·期中）如果最简二次根式❑√a−1与❑√2是同类二次根式，则 a= ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次 根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式❑√a−1与❑√2是同类二次根式， ∴a−1=2，解得a=3， 故答案为：3． 【变式训练】（23-24八年级下·全国·单元测试）若❑√3an是最简二次根式，则自然数n= ． 【答案】0或1 【思路点拨】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 由❑√3an是最简二次根式，可得n<2，由n是自然数，作答即可． 【规范解答】解：∵❑√3an是最简二次根式，∴n<2， 又∵n是自然数， ∴n=0或1， 故答案为：0或1． 题型12：同类二次根式 【典例精讲】（23-24八年级下·福建泉州·期末）最简二次根式❑√3+x与❑√5−3 y是同类二次根式，则 x+3 y= ． 【答案】2 【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，根据同类二次根式的定义解答即可．熟知一般地，把几个二次 根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关 键． 【规范解答】解：∵最简二次根式❑√3+x与❑√5−3 y是同类二次根式， ∴3+x=5−3 y， 解得x+3 y=2． 故答案为：2． 【变式训练】（24-25八年级下·吉林长春·期末）最简二次根式❑√2+x与❑√5−3 y是同类二次根式，则 x+3 y= ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们 的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行列 式2+x=5−3 y，再解答即可． 【规范解答】解：∵最简二次根式❑√2+x与❑√5−3 y是同类二次根式， ∴2+x=5−3 y， 解得x+3 y=5−2=3． 故答案为：3． 题型13：二次根式的加减运算 【典例精讲】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列运算正确的是（ ） A．❑√5−❑√3=❑√2 B．❑√10÷❑√5=2 C．❑√18−❑√8=❑√2 D．❑√(2−❑√5) 2=2−❑√5 【答案】C【思路点拨】本题考查了二次根式的运算和二次根式的性质化简，解题关键是掌握上述法则与性质． 先根据二次根式的运算法则及二次根式的性质化简，对四个式子分别作出计算，再作出判断． 【规范解答】解： A：❑√5 与❑√3不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B：❑√10÷❑√5= ❑√2 ，故本选项不符合题意； C：❑√18−❑√8=3❑√2−2❑√2=❑√2，故本选项符合题意； D：❑√(2−❑√5) 2 =|2−❑√5)= ❑√5−2 ，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）计算： (1)❑√4−√38+|−❑√3|； (2)(2❑√2+❑√3)−2(❑√2−❑√3)． 【答案】(1)❑√3 (2)3❑√3 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、绝对值的性质以及去括号合并同类项的法则，熟练运用相关运 算规则是解答本题的关键． （1）依次进行算术平方根、立方根、绝对值的运算，再进行实数的加减运算； （2）先去括号，再合并同类二次根式． 【规范解答】（1）解：原式=2−2+❑√3=❑√3． （2）解：原式=2❑√2+❑√3−2❑√2+2❑√3=3❑√3． 题型14：二次根式的混合运算 【典例精讲】（24-25八年级下·广西河池·期末）计算： √3 (1)❑√18−❑√12×❑ ； 2 (2)(❑√3+2) 2 −(❑√3−2)(❑√3+2)． 【答案】(1)0 (2)8+4❑√3 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算乘法，再算加减即可； （2）先根据乘法公式，再算加减． √3 【规范解答】（1）❑√18−❑√12×❑ 2√ 3 =❑√18−❑12× 2 =❑√18−❑√18 =0； （2）(❑√3+2) 2 −(❑√3−2)(❑√3+2) =3+4❑√3+4−(3−4) =3+4❑√3+4−(−1) =3+4❑√3+4+1 =8+4❑√3 ( √1 ) 【变式训练】（23-24八年级下·吉林·期末）计算： ❑√12−3❑ +❑√48 ÷2❑√3． 3 5 【答案】 2 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式，最后 计算除法，即可求解． ( √1 ) 【规范解答】解： ❑√12−3❑ +❑√48 ÷2❑√3 3 =(2❑√3−❑√3+4❑√3)÷2❑√3 =5❑√3÷2❑√3 5 = ． 2 题型15：分母有理化 x+3 x−1 1 【典例精讲】（2024·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值： ⋅ + ，其中 x2−2x+1 x2+3x x x=1+❑√2024． 1 ❑√506 【答案】 , x−1 1012 【思路点拨】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．根据分式的乘法法则、加法法则把原式化简，把 x的值代入计算即可．x+3 x−1 1 【规范解答】解： ⋅ + x2−2x+1 x2+3x x x+3 x−1 1 = ⋅ + (x−1) 2 x(x+3) x 1 1 = + x(x−1) x 1 x−1 = + x(x−1) x(x−1) x = x(x−1) 1 = ， x−1 1 1 2❑√506 ❑√506 当x=1+❑√2024时，原式= = = = ． 1+❑√2024−1 ❑√2024 2024 1012 【变式训练】（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 = = =❑√3−❑√2 ，像上述解题过程中，❑√3+❑√2与❑√3−❑√2相 ❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2 乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化． 请仿照上面的方法，解决下列问题： 1 (1)❑√2+1的有理化因式是 ， = ； ❑√2+1 ( 1 1 1 ) (2)计算： + +...+ ×(❑√50+1) ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√50+❑√49 【答案】(1)❑√2−1；❑√2−1 (2)49 【思路点拨】本题考查了分母有理化的计算，平方差公式的应用，熟练掌握有理化的依据和计算是解题的 关键． （1）根据平方差公式，类比例子解答即可； （2）根据平方差公式，类比例子解答即可． 【规范解答】（1）解：(❑√2+1)(❑√2−1)=2−1=1 所以❑√2+1的有理化因式是❑√2−11 ❑√2+1 ❑√2−1 = (❑√2+1)(❑√2−1) ❑√2−1 = (❑√2) 2 −12 =❑√2−1； 故答案为：❑√2−1，❑√2−1． （2）解：原式=(❑√2−❑√1+❑√3−❑√2+⋅⋅⋅+❑√50−❑√49)×(❑√50+1) =(❑√50−1)×(❑√50+1) =50−1 =49． 题型16：已知字母的值，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·陕西西安·月考）已知x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，求(x+ y) 2+xy的值． 【答案】13 【思路点拨】本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算．先求出x+ y,xy,再代值即可求出． 【规范解答】解：∵x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2， ∴x+ y=❑√3+❑√2+❑√3−❑√2=2❑√3，xy=(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1， ∴(x+ y) 2+xy=(2❑√3) 2+1=12+1=13． 1 【变式训练】（2024八年级下·湖南长沙·竞赛）已知 x= ， 那么x2+2x−3的值是 ． ❑√2+1 【答案】−2 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简求值，先把x进行分母有理化，然后利用完全平方公式将所求代 数式变形为(x+1) 2−4，最后代入计算即可，正确将x进行分母有理化是解题的关键． 1 【规范解答】解：∵x= ， ❑√2+1❑√2−1 ∴x= =❑√2−1， (❑√2+1)(❑√2−1) ∴x2+2x−3=(x+1) 2−4=(❑√2−1+1) 2 −4=(❑√2) 2 −4=2−4=−2， 故答案为：−2． 题型17：已知条件式，化简求值 【典例精讲】（23-24八年级下·山东·期末）计算∶ √1 (1)(❑√40÷❑√5)+❑√5−❑ ×❑√15+❑√24； 3 (2)先化简，再求值∶(a+❑√5)(a−❑√5)−a(2a−1)，其中a=❑√2−1． 【答案】(1)2❑√2+2❑√6 (2)−a2+a−5，3❑√2−9 【思路点拨】本题考查二次根式的混合运算，化简求值，熟练掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是 解题的关键： （1）根据混合运算的法则进行计算即可； （2）根据平方差公式，单项式乘以多项式的法则进行计算，化简后，再代值计算即可． √1 【规范解答】（1）解：原式=❑√40÷5+❑√5−❑ ×15+2❑√6； 3 =2❑√2+❑√5−❑√5+2❑√6=2❑√2+2❑√6； （2）原式=a2−5−2a2+a=−a2+a−5； 当a=❑√2−1时， 原式=−(❑√2−1) 2+❑√2−1−5 =−(2−2❑√2+1)+❑√2−1−5 =−3+2❑√2+❑√2−1−5=3❑√2−9． 1 1 【变式训练】（24-25八年级下·全国·单元测试）已知a+ =❑√10，求a− 的值． a a 【答案】±❑√6 【思路点拨】本题考查的是二次根式的化简、完全平方公式.根据完全平方公式把已知等式变形，再根据 二次根式的性质计算，即可得到答案.1 【规范解答】解：∵a+ =❑√10， a ∴ ( a+ 1) 2 =a2+2+ 1 =10， a a2 1 ∴a2+ =8． a2 ∵ ( a− 1) 2 =a2−2+ 1 =8−2=6， a a2 1 ∴a− =±❑√6． a 故答案为±❑√6． 题型18：比较二次根式的大小 【典例精讲】（24-25八年级下·四川南充·期末）为了比较❑√26与❑√5+3的大小，可以构造如图所示的 图形进行推算，其中∠B=90°，AB=1，BC=2，BD=5．通过计算可得❑√26 ❑√5+3．（填“>” 或“<”或“=”） 【答案】< 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的大小比较，勾股定理，三角形三边的关系，利用勾股定理可求出 AC=❑√5，AD=❑√26，由线段的和差关系可得CD=3，根据AC+CD>AD即可得到答案． 【规范解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=❑√AB2+BC2=❑√5， 在Rt△ABD中，由勾股定理得AD=❑√12+52=❑√26， 在△ACD中，由三角形三边的关系可得AC+CD>AD，CD=BD−BC=3， ∴❑√5+3>❑√26， 故答案为：<． 【变式训练】（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：❑√10 1+❑√5（填“＞”、“＜”或 “=”）． 【答案】<【思路点拨】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这 两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：(❑√10) 2=10，(1+❑√5) 2=1+5+2❑√5=6+2❑√5， 2❑√5=❑√20， ∵16<20<25， ∴❑√16<❑√20<❑√25，即4<2❑√5<5， ∴10<6+2❑√5<11， ∴❑√10<1+❑√5， 故答案为：<． 题型19：二次根式的应用 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）如图所示，有一张边长为6❑√3cm的正方形纸板， 现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小 正方形的边长为❑√3cm．请解答下列问题： (1)求剪掉四个角后，制作长方体盒子的纸板的面积； (2)求长方体盒子的体积； (3)求长方体盒子的侧面积． 【答案】(1)96cm2 (2)48❑√3cm3 (3)48cm2 【思路点拨】本题考查了二次根式的运算、长方体的面积与体积计算，熟练掌握正方形、长方体的相关公 式及二次根式运算法则是解答本题的关键． （1）利用正方形面积公式求出原纸板面积，结合剪掉的小正方形面积，计算剩余纸板的面积； （2）先确定长方体的长、宽、高，再代入长方体体积公式，结合二次根式乘法法则计算体积； （3）分析长方体侧面的形状与尺寸，利用长方形面积公式计算单个侧面面积，进而求出总侧面积． 【规范解答】（1）解：制作长方体盒子的纸板的面积为： (6❑√3) 2 −4×(❑√3) 2=108−12=96(cm2)．（2）解：长方体盒子的体积为：(6❑√3−2❑√3) 2 ×❑√3=4❑√3×4❑√3×❑√3=48❑√3(cm3)． （3）解：长方体盒子的侧面积为：(6❑√3−2❑√3)×❑√3×4=48(cm2)． 【变式训练】（23-24八年级下·陕西西安·月考）如果一个长方形的长为❑√24cm，宽为❑√12cm，求长方 形的面积． 【答案】12❑√2cm2 【思路点拨】本题主要考查二次根式的应用，根据长方形的面积公式列出算式，再根据二次根式的性质计 算可得． 【规范解答】解：长方形的面积为❑√24×❑√12=2❑√6×2❑√3=4❑√18=4×3❑√2=12❑√2(cm2)． 题型20：复合二次根式的化简 【典例精讲】（24-25八年级下·湖南岳阳·开学考试）化简：❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5． 【答案】❑√5+1 【思路点拨】此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键． 设❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质 化简即可得出结论． 【规范解答】解：设❑√4−❑√10+2❑√5+❑√4+❑√10+2❑√5=t，由二次根式的非负性可得t≥0， ∴t2=4−❑√10+2❑√5+4+❑√10+2❑√5+2❑√(4−❑√10+2❑√5)(4+❑√10+2❑√5) =8+2❑√16−(10+2❑√5) =8+2❑√6−2❑√5 =8+2❑√ (❑√5−1) 2 =8+2(❑√5−1) =6+2❑√5 =(❑√5+1) 2 ∴t=❑√5+1．【变式训练】（2025·福建宁德·二模）定义：若二次根式a+2❑√b可以表式成(❑√m+❑√n) 2 的形式（其中a， b，m，n都是整数），则称a+2❑√b为完整根式，❑√m+❑√n是a+2❑√b的完整平方根．例如：因为 5+2❑√6=(❑√3+❑√2) 2 ，所以5+2❑√6是一个完整根式，❑√3+❑√2是5+2❑√6的完整平方根． (1)判断：❑√5+❑√3是否是完整根式8+2❑√15的完整平方根，并说明理由； (2)若完整根式a+2❑√b的完整平方根是❑√m+❑√n，请用含m，n的代数式分别表示a，b； (3)若a+2❑√b是完整根式，证明：a2−4b一定是完全平方数． 【答案】(1)❑√5+❑√3是8+2❑√15的完整平方根，奸恶计息 (2)a=m+n，b=mn (3)见解析 【思路点拨】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【规范解答】（1）解：（1）❑√5+❑√3是8+2❑√15的完整平方根， 理由如下： (❑√5+❑√3) 2=5+2❑√15+3=8+2❑√15, 即8+2❑√15=(❑√5+❑√3) 2 ． ∴❑√5+❑√3是8+2❑√15的完整平方根． （2）∵a+2❑√b的完整平方根是❑√m+❑√n， ∴a+2❑√b=(❑√m+❑√n) 2 ． ∴a+2❑√b=m+n+2❑√mn． ∵a，b，m，n都是整数， ∴a=m+n，b=mn． （3）∵a+2❑√b是完整根式， ∴不妨设a+2❑√b=(❑√m+❑√n) 2 ，其中m，n都是整数． 由（2）得，a=m+n，b=mn．∴a2−4b=(m+n) 2−4mn=(m−n) 2． ∵m，n都是整数， ∴(m−n) 2为完全平方数． ∴a2−4b一定是完全平方数． √ y 1．（2024·湖南长沙·中考真题）化去式子x2❑ 根号内的分母，结果为（ ） x A．x❑√xy B．−x❑√xy C．−❑√−xy D．|x)❑√xy 【答案】D 【思路点拨】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键． 直接利用二次根式的性质化简得出答案． √ y ❑√xy 【规范解答】解：x2❑ =x2 ⋅ =|x)❑√xy． x |x) 故选：D． 2．（2024·江苏南京·中考真题）若代数式❑√(2020−a) 2+❑√(a−2023) 2的值为3，则a的取值范围是（ ） A． a≥2023 B． a≤2020 C． a=2020或a=2023 D．2020≤a≤2023 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质与化简，分a＜2020，2020≤a≤2023，a＞2023三种情况， 根据二次根式的性质分类讨论即可． 【规范解答】解：当a＜2020时， 原式=2020−a+2023−a =4043−2a＞3， 当2020≤a≤2023时， 原式=a−2020+2023−a=3， 当a＞2023时， 原式=a−2020+a−2023=2a−4043＞3． 故选：D． 3．（2024·甘肃甘南·中考真题）观察下列等式，并解答下列问题．√ 1 1 √2 √ 1 1 √3 √ 1 1 √ 4 等式1：❑ = ❑ ，等式2：❑ = ❑ ，等式3：❑ = ❑ … 1×2×3 2 3 2×3×4 3 8 3×4×5 4 15 请写出等式6： ． √ 1 1 √ 7 【答案】❑ = ❑ 6×7×8 7 48 【思路点拨】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给等式得出第n个等式可表示为 √ 1 1 √ n+1 ❑ = ❑ （n为正整数）是解题的关键．根据所给等式，观察 n（n+1）（n+2） n+1 （n+1）2−1 各部分的变化，发现规律即可解决问题． 【规范解答】解：由题知， √ 1 1 √2 √ 1 1 √3 √ 1 1 √ 4 因为❑ = ❑ ，❑ = ❑ ，❑ = ❑ ，…， 1×2×3 2 3 2×3×4 3 8 3×4×5 4 15 √ 1 1 √ n+1 所以第n个等式可表示为：❑ = ❑ （n为正整数）． n（n+1）（n+2） n+1 （n+1）2−1 当n=6时， √ 1 1 √ 7 等式6为：❑ = ❑ ， 6×7×8 7 48 √ 1 1 √ 7 故答案为：❑ = ❑ ． 6×7×8 7 48 4．（2024·全国·中考真题）计算：❑√12÷❑√27×❑√18= ；(3❑√12−4❑√27)÷2❑√3= ． 【答案】 2❑√2 −3 【思路点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算是解题的关键．第一题根据 二次根式的乘除法法则计算即可；第二题先将括号内的二次根式化简，然后求和，再计算二次根式的除法 即可． 【规范解答】解：❑√12÷❑√27×❑√18 √12 =❑ ×❑√18 27 √12 =❑ ×18 27 =❑√4×2 =2❑√2．(3❑√12−4❑√27)÷2❑√3 =(6❑√3−12❑√3)÷2❑√3 =−6❑√3÷2❑√3 =−3． 故答案为：2❑√2；−3 5．（2024·四川南充·中考真题）计算：2❑√12−6❑ √1 +❑√3(❑√3−3)−(2−❑√5) 2 ． 3 【答案】4❑√5−❑√3−6 【思路点拨】此题考查了二次根式的混合运算．先化简二次根式，并利用完全平方公式进行计算，再计算 加减即可． 【规范解答】解：2❑√12−6❑ √1 +❑√3(❑√3−3)−(2−❑√5) 2 3 ❑√3 =4❑√3−6× +3−3❑√3−(4−4❑√5+5) 3 =4❑√3−2❑√3+3−3❑√3−4+4❑√5−5 =4❑√5−❑√3−6． 基础夯实 ( √1 ) 1．（23-24八年级下·重庆江津·期末）估计 2❑ +❑√6 ×❑√3的值应在（ ） 3 A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次根式的乘法，无理数的估算，先利用二次根式的乘法化简，再利用算术平方 根的性质估算范围即可． ( √1 ) 【规范解答】解： 2❑ +❑√6 ×❑√3 3 √1 =2❑ ×❑√3+❑√6×❑√3 3 =2+3❑√2，∵1.4<❑√2<1.5， ∴4.2<3❑√2<4.5， ∴6.2<2+3❑√2<6.5， ( √1 ) ∴估计 2❑ +❑√6 ×❑√3的值应在6和7之间， 3 故选：D． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与❑√3合并的是（ ） A．❑√12 B．❑√18 C．❑√24 D．❑√30 【答案】A 【思路点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识，属于基础知识；判断二次根式能否与 ❑√3合并，需将各选项化简，检查化简后的被开方数是否为3． 【规范解答】解：∵ ❑√12=2❑√3， ∴ ❑√12与❑√3的被开方数相同，可以合并，故选项A符合题意； 而❑√18=3❑√2，被开方数为2； ❑√24=2❑√6，被开方数为6； ❑√30已是最简二次根式，被开方数为30； 均不能与❑√3合并，故选项B、C、D不符合题意； 故选：A． √ 1 3．（24-25八年级下·云南红河·期末）若式子❑ x− 有意义，则x的取值范围是 ． 2 1 【答案】x≥ 2 【思路点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次 根式的定义，被开方数必须大于或等于零． 1 1 【规范解答】解：由二次根式的意义，得x− ≥0，解得x≥ ． 2 2 1 故答案为x≥ ． 2 4．（2025·山西大同·一模）❑√18= ． 【答案】3❑√2 【思路点拨】本题主要考查了化简二次根式，二次根式乘法计算，❑√a2=|a)，而❑√18=❑√9×❑√2，据此求 解即可．【规范解答】解：❑√18=❑√9×2=❑√9×❑√2=3❑√2， 故答案为：3❑√2． √1 5．（24-25八年级下·四川泸州·期中）计算：3❑√6×(❑√2−❑√12)−6❑ +2❑√50． 2 【答案】6❑√3−11❑√2 【思路点拨】本题主要考查了二次根式的混合运算和化简，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． 先进行二次根式的乘法运算和化简，再进行同类二次根式的加减． √1 【规范解答】解：3❑√6×(❑√2−❑√12)−6❑ +2❑√50 2 =6❑√3−18❑√2−3❑√2+10❑√2 =6❑√3−11❑√2． 培优拔高 6．（24-25八年级下·全国·月考）若等腰三角形的两边长分别为❑√12和❑√50，则这个三角形的周长为（ ） A．2❑√3+10❑√2 B．4❑√3+5❑√2 C．4❑√3+10❑√2 D．4❑√3+5❑√2或2❑√3+10❑√2 【答案】A 【规范解答】本题主要考查二次根式的应用和等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关 键，注意利用三角形的三边关系进行验证． 分腰长为❑√12和❑√50两种情况，可求得三角形的三边，再利用三角形的三边关系进行验证，可求得其周长． 【解答】解：当腰长为❑√12时，则三角形的三边长分别为❑√12，❑√12，❑√50， 由于❑√12+❑√12=2❑√12=❑√48<❑√50， 所以不满足三角形的三边关系； 当腰长为❑√50时，则三角形的三边长分别为❑√12，❑√50，❑√50， 由于❑√12+❑√50>❑√50 所以满足三角形的三边关系，此时周长为❑√12+❑√50+❑√50=2❑√3+5❑√2+5❑√2=2❑√3+10❑√2 综上可知，三角形的周长为2❑√3+10❑√2． 故选：A． 7．（24-25八年级下·全国·期末）若❑√(x+1)(x−2) 2=(2−x)❑√x+1，则x的取值范围在数轴上表示正 确的是（ ）A． B． C． D． 【答案】D {x−2≤0) 【思路点拨】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，解不等式组，由题意可得 ， x+1≥0 然后解不等式组并在数轴上表示即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】解：∵❑√(x+1)(x−2) 2=(2−x)❑√x+1， {x−2≤0) ∴ ， x+1≥0 ∴−1≤x≤2， ∴x的取值范围在数轴上表示为， 故选：D． 8．（2024八年级下·全国·专题练习）已知：x=❑√3+1,y=❑√3−1，则x2−2xy+ y2= ． 【答案】4 【思路点拨】本题考查二次根式的运算，化简求值，求出x−y的值，再将多项式进行因式分解，再利用整 体代入法，进行计算即可． 【规范解答】解：∵x=❑√3+1,y=❑√3−1， ∴x−y=❑√3+1−❑√3+1=2， ∴x2−2xy+ y2=(x−y) 2=22=4； 故答案为：4． 9．（2024八年级下·广东江门·竞赛）设 1 1 1 1 S= + + +⋯+ ，则S= ． 6❑√4+4❑√6 8❑√6+6❑√8 10❑√8+8❑√10 100❑√98+98❑√100 1 【答案】 /0.2 5 【思路点拨】本题主要考查二次根式的混合运算，结合式子特征找出规律，再进行计算即可． 1 【规范解答】解：根据题意得第n项为： (2n+4)❑√2n+2+(2n+2)❑√2n+41 则有： (2n+4)❑√2n+2+(2n+2)❑√2n+4 1 = ❑√2n+4⋅❑√2n+2(❑√2n+4+❑√2n+2) ❑√2n+4−❑√2n+2 = ❑√2n+4⋅❑√2n+2[(❑√2n+4+❑√2n+2)(❑√2n+4−❑√2n+2)) ❑√2n+4−❑√2n+2 = ❑√2n+4⋅❑√2n+2[(2n+4)−(2n+2)) ❑√2n+4−❑√2n+2 = 2❑√2n+4⋅❑√2n+2 1( 1 1 ) = − ； 2 ❑√2n+2 ❑√2n+4 1 1 1 1 所以，S= + + +⋯+ 6❑√4+4❑√6 8❑√6+6❑√8 10❑√8+8❑√10 100❑√98+98❑√100 1[( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )) = − + − + − +⋯+ − 2 ❑√4 ❑√6 ❑√6 ❑√8 ❑√8 ❑√10 ❑√98 ❑√100 1( 1 1 ) = − 2 ❑√4 ❑√100 1(1 1 ) = − 2 2 10 1 4 = × 2 10 1 = ， 5 1 故答案为： ． 5 10．（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：−12+❑√27−|❑√3−1)+(3.14−π) 0． 【答案】1+2❑√3 【思路点拨】本题考查了二次根式，零指数幂． 先计算乘方，零指数幂，并化简二次根式，绝对值，再计算加减即可．【规范解答】解：−12+❑√27−|❑√3−1)+(3.14−π) 0 =−1+3❑√3−❑√3+1+1 =1+2❑√3．