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第 04 讲 菱形的性质和判定
【题型1利用菱形的性质求角度】
【题型2利用菱形的性质求线段长】
【题型3利用菱形的性质求面积】
【题型4利用萎形的性质证明】
【题型5添一个条件使四边形是菱形】
【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】
考点1：菱形的性质
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质
（2）且四条边都相等
（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
【题型1利用菱形的性质求角度】
【典例1】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，
BA=BE，则∠AED=（）
A．95° B．105° C．100° D．110°
【答案】D【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟
练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得
1
∠ABD= ∠ABC=40°，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得
2
∠BAE=∠BEA=70°，然后由三角形的外角性质即可得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=80°，
1
∴∠ABD= ∠ABC=40°.
2
∵BA=BE,
1
∴∠BAE=∠BEA= ×(180°−40°)=70°,
2
∴∠AED=∠BAE+∠ABD=70°+40°=110°,
故选：D．
【变式1-1】（23-24八年级下·山西忻州·期末）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点
O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD=50°，则∠OED的度数是 ．
【答案】25°/25度
【分析】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线
性质等知识点，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
由菱形的性质得OB=OD，CD=BC，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得
1
∠CBD=∠CDB=65°，进而由直角三角形斜边上的中线性质得OE= BD=OB，
2
然后由等腰三角形的性质得∠OEB=∠DBE=65°，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB=OD，CD=BC，
1 1
∴∠CBD=∠CDB= (180°−∠BCD)= (180°−50°)=65°，
2 2
∵DE⊥BC，
∴∠BED=90°，1
∴OE= BD=OB，
2
∴∠OEB=∠DBC=65°，
∴∠OED=90°−∠DEB=90°−65°=25°．
故答案为：25°．
【变式1-2】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，AC，BD是菱形ABCD的对角线，
若∠1=15°，则∠2的度数为 ．
【答案】75°/75度
【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题关键．根据菱形的性质即
可解答．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
1
∴∠DAC=∠1=15°，∠ADB=∠2= ∠ADC，AB∥CD，
2
∴∠DAB=2∠DAC=30°，
∴∠ADC=180°−∠DAB=150°，
∴∠2=75°．
故答案为：75°
【变式1-3】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线
AC、BD交于点O，线段AC上有一点E，连接BE、DE，若BE=CE，且
∠BAD=40°，则∠BDE的度数为 °．
【答案】50
【分析】此题考查了菱形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键
是掌握以上知识点．
1
首先根据菱形的性质得到∠ACB= ∠BCD=20°，然后由BE=CE，得到
2∠EBC=∠ECB=20°，然后求出∠OEB=∠EBC+∠ECB=40°，然后利用等边
对等角求解即可．
【详解】∵在菱形ABCD中，∠BAD=40°
∴∠BCD=∠BAD=40°
1
∴∠ACB= ∠BCD=20°
2
∵BE=CE
∴∠EBC=∠ECB=20°
∴∠OEB=∠EBC+∠ECB=40°
∵在菱形ABCD中，BD垂直平分AC
∴DE=BE，OE⊥BD
∴∠EBO=90°−∠OEB=50°
∴∠BDE=∠EBD=50°．
故答案为：50．
【题型2利用菱形的性质求线段长】
【典例2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知菱形ABCD中，对角线AC、
BD相交于点O，M为AB的中点，连接OM，若OM=3，则菱形的周长为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；熟记菱
形性质是解题的关键．根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，BD⊥AC，然后求
出OE是△BCD的中位线，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出AB，
然后根据菱形的周长公式计算即可得解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，BD⊥AC，
∵ M为AB的中点，∴ OE是Rt△AOB的中线，
∴AB=2OE=2×3=6，
∴菱形ABCD的周长=4×6=24；
故选：B．
【变式2-1】（23-24八年级下·云南大理·期末）如图，在平行四边形中ABCD中AB=4，
BC=6，将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF，若四边形ECDF为菱形
时，则a的值为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，平移的性质，先由菱形的性质得到CE=EF，再
由平移的性质得到由平移的性质可得CE=EF=AB=4，则BE=BC−CE=2，据此可
得答案．
【详解】解：∵四边形ECDF为菱形，
∴CE=EF，
由平移的性质可得EF=AB=4，
∴CE=4，
∴BE=BC−CE=2，
∴a的值为2，
故选：A．
【变式2-2】（23-24八年级下·福建福州·期中）已知菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8，
菱形的边长为 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查菱形的性质和勾股定理的应用，根据题意可知AO=3,BO=4，
利用勾股定理即可求的边长．
【详解】解：如图，∵在菱形ABCD中，AC=6,BD=8，
∴AO=3,BO=4，AC⊥BD，
在Rt△ABO中，AB=❑√AO2+BO2=5，
故答案为：5．
【变式2-3】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，菱形ABCD的周长为20，E是AC的
中点，F是AB的中点，连接EF，则EF= ．
5
【答案】
2
【分析】本题考查的是菱形的性质，三角形的中位线的性质，由菱形的性质得出
BC=5，再证EF是△ABC的中位线，即可得出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为20，
∴BC=20÷4=5，
∵E是AC的中点，F是AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
1 1 5
∴EF= BC= ×5= ，
2 2 2
5
故答案为： ．
2
考点2：菱形的面积
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半1 1 1 1
S =4S =4× ⋅ AC⋅ BD= AC⋅BD
菱形ABCD RtΔAOB 2 2 2 2
【题型3利用菱形的性质求面积】
【典例3】（23-24八年级下·浙江金华·期末）菱形的周长为32cm，一个内角的度数是
120°，则该菱形的面积为（ ）
A．32❑√3cm2 B．16❑√3cm2 C．32cm2 D．16cm2
【答案】A
【分析】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，根据题意
得出图形、熟练掌握菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
根据题意得出图形，菱形ABCD的周长为32cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD交
于点E，根据菱形的性质，求出菱形的边长，得出AC⊥BD，推出∠ABE=30°，结
1
合含30°角的直角三角形的性质，得出CE=AE= AB=4cm，结合勾股定理计算出
2
DE=BE=❑√AB2−AE2=4❑√3cm，根据菱形ABCD的面积等于4个小直角三角形的
面积，计算得出答案即可．
【详解】解：由题意得：如图，菱形ABCD的周长为32cm，∠BAD=120°，对角线
AC、BD交于点E，
∴AB=BC=CD=AD=32÷4=8cm，AC⊥BD，
1 1
∴∠AEB=90°，∠BAE=∠DAE= ∠BAD= ×120°=60°，
2 2
∴∠ABE=90°−60°=30°，
1 1
∴CE=AE= AB= ×8=4cm，
2 2∴DE=BE=❑√AB2−AE2=❑√82−42=4❑√3cm，
1
∴菱形ABCD的面积=4× ×4×4❑√3=32❑√3cm，
2
故选：A．
【变式3-1】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，
AC=12cm，BD=8cm，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．40cm2 B．48cm2 C．64cm2 D．96cm2
【答案】B
【分析】本题主要考查了菱形的性质，根据菱形的对角线为AC=12cm，BD=8cm，
求出菱形的面积即可．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线交于点O，AC=12cm，BD=8cm，
1
∴S = ×12×8=48(cm2)，
菱形ABCD 2
故选：B．
【变式3-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在菱形ABCD中，AC与BD交于点
O，AB=5，OB=3，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．48 B．36 C．24 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，理解并运用勾股定理是解答
本题的关键．
根据菱形的性质利用勾股定理求得OA的长，从而得到AC、BD的长，再根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，OB=3，
∴AC⊥BD，BD=2OB=6，AC=2OA，
在Rt△AOB中，OA=❑√AB2−OB2=❑√52−32=4，
∴AC=2AO=8，
1 1
∴S = AC×BD= ×6×8=24．
菱形ABCD 2 2
故选C．
【变式3-3】（23-24八年级下·广东惠州·期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD
于点O，过点A作AH⊥BC于点H，已知BD=8，S =24，则AH=（ ）
菱形ABCD
A．2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形面积公式等知识，熟练掌握菱形的性
质，由勾股定理求出BC是解题的关键．先利用菱形的对角线长求面积的公式求出
AC=6，然后求得OC，OB的长，利用勾股定理求出BC=5，最后根据菱形的面积公
式即可求得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
1 1
∴AC⊥BD，OB= BD=4，OC= AC，
2 2
∵S =24，对角线AC，BD于点O，
菱形ABCD
1
∴ AC⋅BD=24，
2
1
即 AC×8=24，
2
解得AC=6，
∴OC=3，∴BC=❑√OB2+OC2=❑√42+32=5，
∵AH⊥BC，
∴BC⋅AH=24，
即5AH=24，
∴AH=4.8．
故选C．
【题型4利用萎形的性质证明】
【典例4】（23-24八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形ABCD对角线交于点O，
BE∥AC，AE∥BD，EO与AB交于点F．
(1)求证：EO=DC；
(2)若OE=10，AE=8，求菱形ABCD的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形ABCD的面积为96
【分析】本题是四边形的综合题，涉及菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，
解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定与性质．
（1）先证明四边形AOBE是平行四边形，再根据菱形的性质可得AB=CD，
∠AOB=90°，推出平行四边形AOBE是矩形，得到EO=AB，即可证明；
（2）根据矩形的性质可得BO=AE=8，∠EAO=90°，利用勾股定理求出AO=6，
再结合菱形的性质求出AC、BD，最后根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵ BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AOBE是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AB=CD，∠AOB=90°，
∴平行四边形AOBE是矩形，
∴ EO=AB，
∴ EO=DC；
（2）∵四边形AOBE是矩形，∴ BO=AE=8，∠EAO=90°，
∴ AO=❑√EO2−AE2=❑√102−82=6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴ AC=2AO=12，BD=2BO=16，
1 1
∴菱形ABCD的面积为： AC·BD= ×12×16=96．
2 2
【变式4-1】（23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，菱形ABCD对角线AC、BD交
于点O，过点D作DE∥AC，且DE=OC．
(1)证明：OE=CD；
(2)若菱形边长为4，∠ABC=60°，求AE．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√7
【分析】（1）先证明四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的性质可得
∠COD=90°，由菱形的判定即可得证；
（2）根据菱形的性质可得AC=AB=4，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵DE∥AC，DE=OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形，
∴OE=CD；
（2）解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴AC=AB=4，
在矩形OCED中，CE=OD=❑√AD2−AO2=2❑√3，∴在Rt△ACE中，AE=❑√AC2+CE2=2❑√7．
【点睛】本题考查菱形的判定与性质、矩形的性质、平行四边形的判定、勾股定理，
熟练掌握相关定理是解题的关键．
【变式4-2】（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，过点D作DE∥AC，过C点作CE∥BD，两线交于E点，连接OE、
AE．
(1)求证：四边形CODE是矩形；
(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE的长．
【答案】(1)见详解
(2)2❑√7
【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、
勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理是解题的关键．
（1）由菱形的性质得AC⊥BD，即∠COD=90°，结合DE∥AC，CE∥BD可证
明四边形CODE是平行四边形，而∠COD=90°，即可证明四边形CODE是矩形；
（2）首先证明△ABC是等边三角形，易得AC=4，OA=OC=2，利用勾股定理解得
OB=OD=2❑√3，再结合矩形的性质可得∠ACE=90°，CE=OD=2❑√3，然后利用
勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，即∠COD=90°，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形CODE是平行四边形，
又∵∠COD=90°，
∴四边形CODE是矩形；
（2）解：∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=CD=DA=4，
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=AB=4，
1
∴OA=OC= AC=2，
2
∵AC⊥BD，
∴OB=OD=❑√BC2−OC2=❑√42−22=2❑√3，
∵四边形CODE是矩形，
∴∠ACE=90°，CE=OD=2❑√3，
∴AE=❑√AC2+CE2=❑√42+(2❑√3) 2=2❑√7．
【变式4-3】（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在菱形ABCD中，分别延长DC，
BC至点E，F，使CE=CD，CF=CB，连接DB，BE，EF，FD．
(1)求证：四边形DBEF是矩形．
(2)若∠A=60°，AB=2，求矩形DBEF的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)4❑√3
【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质，
（1）根据菱形的性质得出CE=CD=CB=CF，再根据矩形的判定证明即可；
（2）利用矩形和菱形的性质及勾股定理得出BD与DF的长即可；
掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵CE=CD，CF=CB，
∴四边形DBEF是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB，
∴CE=CD=CB=CF，
∴BF=DE，∴四边形DBEF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，
∴CD=CB=AD=AB=2，∠BCD=∠BAD=60°，
∴△ABD和△CBD是等边三角形，
∴BD=AB=2，∠CBD=60°，
∵四边形DBEF是矩形，
∴∠FDB=90°，
∴∠BFD=90°−∠CBD=90°−60°=30°，
∴FB=2DB=4，
∴DF=❑√FB2−DB2=❑√42−22=2❑√3，
∴矩形DBEF的面积为：2×2❑√3=4❑√3．
考点3：菱形的判定
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
【题型5添一个条件使四边形是菱形】
【典例5】（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形ABCD中，AB=CD，
AD=BC，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（ ）
A．∠A=∠B B．AC⊥BD C．∠A=∠C D．AC=BD
【答案】B
【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可．
【详解】解：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
A、当∠A=∠B时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意；B、当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形，故符合题意；
C、当∠A=∠C时，四边形ABCD不一定是菱形，故不符合题意；
D、当AC=BD时，四边形ABCD是矩形，故不符合题意；
故选：B．
【变式5-1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在▱ABCD中，AC，BD是两条对
角线，如果添加一个条件，可推出▱ABCD是菱形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB=CD B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BC
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的判定．熟练掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题
的关键．
根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A中AB=CD，不能推出▱ABCD是菱形，故不符合要求；
B中AC=BD，不能推出▱ABCD是菱形，故不符合要求；
C中AC⊥BD，能推出▱ABCD是菱形，故符合要求；
D中AB⊥BC，不能推出▱ABCD是菱形，故不符合要求；
故选：C．
【变式5-2】（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于
点O，如果添加一个条件使得▱ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是
（ ）
A．∠DAC=∠ACD B．∠DAC=∠ADB
C．∠DAC=∠BAC D．∠DAC+∠ADB=90°
【答案】B
【分析】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，熟知矩形和
菱形的判定定理是解题的关键．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=OB，OA=OC，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC；
添加条件∠DAC=∠ACD，可得AD=CD，则四边形ABCD是菱形，不能证明四边
形ABCD是矩形，故A不符合题意；
添加条件∠DAC=∠BAC，可得OD=OA，进而可得AC=BD，则四边形ABCD是
矩形，故B符合题意；
添加条件∠DAC=∠ACD，可得∠ACD=∠BAC，则四边形ABCD是菱形，不能
证明四边形ABCD是矩形，故C不符合题意；
添加条件∠DAC+∠ADB=90°，可得∠AOD=90°，则四边形ABCD是菱形，不
能证明四边形ABCD是矩形，故D不符合题意；
故选：B．
【变式5-3】（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在△ABC中，D为BC上一点，
DE∥AB，DF∥AC．请你再添加一个适当的条件： ，使四边形AFDE为
菱形．
【答案】AE=AF（答案不唯一）
【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
先根据平行四边形的判定可得四边形AFDE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得．
【详解】解：∵ DE∥AB，DF∥AC．
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵ AE=AF，
∴四边形AFDE为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形），
故答案为：AE=AF（答案不唯一）．
【题型6根据萎形的性质与判定求线段长/面积/角度】
【典例6】（2024·四川广元·二模）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB边中点，
过D点作AB的垂线交BC于点E，在直线DE上截取DF，使DF=ED，连接AE、AF、BF．
(1)求证：四边形AEBF是菱形；
(2)若AC=4，BF=5，连接CD，求CD的长．
【答案】(1)见解析
(2)CD=2❑√5
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、直角
三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质和勾股定理是解题的关
键．
（1）先证四边形AEBF是平行四边形，再由EF⊥AB，得出四边形AEBF是菱形．
（2）由菱形的性质得AE=BF=BE=5，再由勾股定理求出CE=3，推出BC=8，进
而由勾股定理求出AB=4❑√5，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∵DF=ED，
∴四边形AEBF是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）由（1）得：四边形AEBF是菱形，
∴AE=BF=BE=5，
在Rt△ACE中，由勾股定理得：
CE=❑√AE2−AC2=❑√52−42=3，
∴BC=CE+BE=3+5=8，
在Rt△ACB中，由勾股定理得：
AB=❑√AC2+BC2=❑√42+82=4❑√5，
∵D是AB的中点，∠ACB=90°，
1 1
∴CD= AB= ×4❑√5=2❑√5．
2 2【变式6-1】（23-24八年级下·山东滨州·期末）如图，将矩形ABCD的边BC延长到点E，
使CE=BC，连接BD、DE，作BF∥DE交DC延长线于点F，连接EF．
(1)求证：四边形BDEF为菱形；
(2)如果四边形BDEF的面积为24，BE=8，连接AE，求AE的长．
【答案】(1)见解析
(2)❑√73
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定及性质，勾股定理．
（1）证明△DCE≌△FCB(AAS)，得到DE=FB，又BF∥DE，可证得四边形
BDEF是平行四边形，根据矩形的性质得到DF⊥BE，得证▱BDEF是菱形；
1
（2）根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出DF=6，从而AB=CD= DF=3，
2
再根据勾股定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵BF∥DE，
∴∠EDC=∠BFC，
∵CE=CB，∠DCE=∠FCB，
∴△DCE≌△FCB(AAS)，
∴DE=FB，
∵BF∥DE，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵在矩形ABCD中，∠BCD=90°，
∴DF⊥BE，
∴▱BDEF是菱形；
1
（2）∵S = BE⋅DF=24，BE=8，
菱形BDEF 2
∴DF=6，1
∴在菱形BDEF中，CD= DF=3，
2
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB=CD=3，
∴在Rt△ABE中，AE=❑√AB2+BE2=❑√32+82=❑√73．
【变式6-2】（23-24八年级下·山东济南·期末）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，且∠ABO=∠ACE，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB=2❑√10，BD=4，求OE的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)6．
【分析】本题主要考查菱形的判定，直角三角形斜边中线的综合，掌握菱形的判定方
法，直角三角形中斜边的中线等于斜边的一半，平行四边形的性质是解题的关键．
（1）根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，即可求证；
（2）在Rt△ACE中，OE是斜边AC的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边
的一半，由此即可求解．
【详解】（1）证明：∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE+∠ACE=90°，
∵∠ABO=∠ACE，
∴∠ABO+∠CAE=90°，
∴∠AOB=90°，即AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
（2）解：由（1）可知，平行四边形ABCD是菱形，
∵AB=2❑√10，BD=4，1 1
∴OB=OD= BD= ×4=2，
2 2
∴在Rt△AOB中，OA=❑√ (2❑√10) 2 −22=6，
∵O是线段AC的中点，
在Rt△ACE中，OE是斜边AC的中线，且AC=12，OA=OC，
1
∴OE= AC=6．
2
【变式6-3】（22-23八年级下·广东广州·期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边
AB，AC的中点，CF∥BE，CF交DE的延长线于点F，连接BF交CE于点O．
(1)求证：CF=BE；
(2)若BE=2DE，∠ACB=70°，求∠BFC的度数．
【答案】(1)见解析；
(2)20°．
【分析】（1）通过证明四边形BCFE为平行四边形，即可求解；
（2）根据中位线的性质可得，BC=2DE=BE，可得平行四边形BCFE为菱形，利
用菱形的性质，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴DE∥BC
又∵CF∥BE
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴CF=BE
（2）解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，
∴BC=2DE，
又∵BE=2DE，
∴BC=2DE=BE，
∴平行四边形BCFE为菱形，∴∠ACB=∠ACF，∠COF=90°，
∵∠ACB=70°，
∴∠BFC=90°−70°=20°．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，解题的关键是熟
练掌握相关基础性质．
一、单选题
1．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知
△ABC的周长是12，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．20 B．16 C．15 D．12
【答案】B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握
菱形的性质；根据菱形的对角线平分一组对角和菱形的四边相等可证△ABC是等边三
角形，即可求出菱形的边长，即可求出周长．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
1
∴AB=AD=BC=CD，∠BAC= ∠BAD=60°，
2
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，
∵ △ABC的周长是12，
∴AB=12÷3=4，
∴菱形ABCD的周长是4×4=16，
故选：B．
2．（23-24八年级下·云南昆明·期中）下列说法中，正确的是（ ）A．一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线平分每一组对角
C．有一个角是直角的四边形是矩形
D．对角线相等的平行四边形是矩形
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定等知识点，能熟记
知识点的内容是解此题的关键．根据平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的判定逐
个判断即可．
【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，如
等腰梯形，则原说法不正确，故该选项不符合题意；
B、菱形的对角线平分每一组对角，则原说法不正确，故该选项不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则原说法不正确，故该选项不符合题意；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，说法正确，故该选项符合题意；
故选：D．
3．（23-24八年级下·福建泉州·阶段练习）已知菱形面积为24cm2，一条对角线长为6cm，
则这个菱形的周长是（ ）
A．4❑√13 cm B．40cm C．20cm D．❑√13cm
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出另一
条对角线的长度，再根据勾股定理可求出边长，继而可求出周长．
【详解】如图所示：
∵ AC=6cm
菱形的面积等于对角线乘积的一半， ，
S =24cm2 ，
菱形ABCD
∴BD=8cm，
∴AO=3cm，BO=4cm，
在Rt△ABO中，AB2=AO2+BO2，
即有AB2=32+42，解得：AB=5cm，
∴菱形的周长=4×5=20cm．
故选：C．
4．（23-24八年级下·云南红河·开学考试）如图所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相
交于点O，H为AD边的中点，菱形ABCD的周长为36，则OH的长等于（ ）
A．4.5 B．5 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题主要考查了菱形的性质，中位线定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关
键．先求出AB的长，再根据中位线定理即可求出答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的周长为36，
∴AB=9，
∵O为BD中点，H为AD边的中点，
∴OH时△ABD的中位线，
1
∴OH= AB=4.5，
2
故选A．
5．（23-24八年级下·天津·单元测试）如图，菱形ABCD中，AB=6，∠BCD=120°，则
对角线AC的长是（ ）
A．8 B．15 C．10 D．6
【答案】D
【分析】本题考查的是菱形的性质及等边三角形的判定，掌握“菱形的四条边相等，
两组对边分别平行”及等边三角形的判定方法是关键．根据菱形的性质求得∠B=60°，
判定△ABC为等边三角形即可求解．
【详解】∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∴AB=BC=6，AB∥CD
∴∠B+∠BCD=180°，
又∠BCD=120°，
∴∠B=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=6
故选：D．
6．（22-23九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的
部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，
则线段AB的长为（ ）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【答案】A
【分析】连接AC,BD，交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AD
于点G，证明四边形ABCD是菱形；利用勾股定理解答即可；本题考查了菱形的判定
和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理是解题的关
键．
【详解】连接AC,BD，交于点O，过点D作DF⊥AB于点F，过点B作BG⊥AD
于点G，
根据平行线间的距离处处相等，得到BG=DF，{∠DAF=∠BAG
)
∵ ∠DFA=∠BGA
DF=BG
∴△DAF≌△BAG(AAS)，
∴AB=AD，
∵AB∥CD,AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
∴四边形ABCD是菱形；
1 1
∴∠AOB=90°,OA= AC=3,OB= BD=4；
2 2
∴AB=❑√OA2+OB2=5(cm)；
故选：A．
二、填空题
7．（23-24八年级下·全国·单元测试）菱形两条对角线长为8cm和6cm，则菱形面积为
cm2．
【答案】24
【分析】本题考查了菱形的性质，主要利用菱形的面积的求法．根据菱形的面积等于
两对角线乘积的一半即可解答．
1
【详解】解：根据题意：菱形的面积为
×8×6=24(cm2)，
2
故答案为：24．
8．（22-23八年级下·北京东城·期末）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC=8，OH=3，则DH的长为 ．
24
【答案】
5
【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，菱形的面积公式，关键是掌握菱形的性质．由菱形的性质得出OA=OC=4，OB=OD，
AC⊥BD，根据勾股定理求出AB的长，由菱形面积等于对角线乘积的一半求出菱形
面积，最后再由菱形的面积求出DH．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，
∴OA=OC=4，OB=OD，AC⊥BD．
∵DH⊥AB，OH=3，
1
∴BD=2OH=6，OH=OB= BD=3，
2
∴ AB=❑√32+42=5．
1
∵菱形ABCD的面积= ×6×8=24，
2
∴AB⋅DH=24，
∴5×DH=24，
24
∴ DH= ．
5
24
故答案为： ．
5
三、解答题
9．（22-23九年级上·广东深圳·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，
AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
(1)求证：四边形ABCD为菱形；
(2)若OA=4，OB=3，求CE的长．
【答案】(1)详见解析
24
(2)
5
【分析】（1）先证四边形ABCD是平行四边形，再证CD=AD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得AC⊥BD，AC=2OA=8，BD=2OB=6，再由勾股定理得1
AB=5，然后由菱形面积公式得S =AB⋅CE= AC⋅BD，即可解决问题．
菱形ABCD 2
【详解】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC=∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD，
∴▱ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA=4，OB=3，
∴AC⊥BD，AC=2OA=8，BD=2OB=6，
∴∠AOB=90°，
∴AB=❑√AO2+BO2=5，
∵CE⊥AB，
1
∴S =AB⋅CE= AC⋅BD，
菱形ABCD 2
1
即5CE= ×8×6，
2
24
解得：CE= ，
5
24
即CE的长为 ．
5
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，
平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识．掌握菱形的判定与性质是解答本题的
关键．
