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专题33 分式有意义无意义值为零
1．“因为 ，而x取任意实数x都有意义，所以使分式 有意义的条件是x为任意实数.”你
认为这种说法对吗？为什么？
【答案】不对，见解析
【分析】根据分式有意义的条件以及分式的性质，即可判断．
【详解】解：不对，因为 应用了分式的基本性质：分子､分母都除以同一个不等于0的x，
分式的值不变，
而分式 有意义的条件是分母不能为0，所以 ．
【点睛】此题考查了分式的基本性质以及分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条
件．
2．当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ；
（2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】根据分式有意义的条件进行计算即可．
【详解】解：（1）由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1；
（2）由题意得：x2-9≠0，
解得：x≠±3．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
3．若无论x为何实数，分式 总有意义，求m的取值范围.
【答案】 ．
【分析】要求当x为什么值时，则分母不等于0．可以采用配方法整理成（a+b）2+k（k>0）的形式
即可解决．
【详解】分式 不论x取何值总有意义，则其分母必不等于0，即把分母整理成
(a+b)2+k(k>0)的形式为(x2−2x+1)+m−1=(x−1)2+(m−1)，因为论x取何值(x2−2x+1)+m−1=(x−1)2+(m−1)都不等于0，所以m−1>0，即m>1.
【点睛】本题考查分式的意义，解题的关键是采用配方法整理成（a+b）2+k（k>0）的形式.
4．当x为何值时，分式 有意义？
【答案】x≠1，x≠﹣2
【分析】根据分母不等于0计算即可得解．
【详解】解：由题意得，x﹣1≠0，x+2≠0，
解得x≠1且x≠﹣2．
【点睛】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．
5．当x为何值时，下列分式有意义？
（1） ；（2） ；（3）
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；
（2）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解；
（3）根据分式有意义的条件，即分母不等于0求解．
【详解】解：（1） 要有意义，则有：
（2） 要有意义，则有：
（3） 要有意义，则有：x≠0
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不等于0是解答此题
的关键．
6．已知分式 ，当 时，分式的值为0；当 时，分式没有意义，求 的值．
【答案】6
【分析】根据分式的值为0，即分子等于0，分母不等于0，从而求得 的值；根据分式没有意义，
即分母等于0，求得 的值，从而求得 的值．【详解】解： 时，分式的值为0，
，
．
时，分式没有意义，
，
．
．
【点睛】本题考查了分式，解题的关键是注意：分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分
式无意义，则分母等于0．
7．已知分式 ，当 时无意义，当 时，分式的值为0，求当 时分式的值．
【答案】
【分析】分式无意义的条件是分母等于0，分式等于0的条件是分子等于0，且分母不等于0．
【详解】解：∵当y=-3时无意义，
∴-3+b=0，
∴b=3．
∵当y=2时分式的值为0，
∴2-a=0，2+3≠0，
∴a=2．
∴该分式为 ，
当x=-7时，
．
答：当x=-7时分式的值为 ．
【点睛】本题考查了求分式的值以及分式无意义的条件和分式值为0的条件，解题时注意分式为0
的条件是分子等于0，且分母不等于0．
8．写出一个分式，使它分别满足下列条件：
（1）当 时，它没有意义． （2）当 时，它有意义．
【答案】（1） ；（2）
【分析】根据分式有、无意义的条件，任意写出一个符合条件的分式即可．【详解】解：（1）当 时，分母为0，分式无意义，故分式可以为 ；
（2）当 时，分母不为0，分式有意义，故分式可以为 ．
【点睛】本题考查了分式有、无意义的条件，当分式分母为0时，分式无意义，当分式分母不等
于0时，分式有意义．
9．当 时，分式 没有意义，求 的值.
【答案】a=6
【分析】根据分式无意义的条件可得3x−a＝0，再把x＝2代入即可算出a的值．
【详解】由题意得：3x−a＝0，
再把x＝2代入可得6−a＝0，
解得a＝6．
【点睛】：此题主要考查了分式无意义的条件，分式无意义的条件是分母等于零．
10．根据题目要求，确定x的取值范围．
(1)当x取什么值时，分式 有意义？
(2)当x取什么值时，分式 无意义？
(3)当x取什么值时，分式 的值为零？
【答案】(1)x≠±5 (2)x＝3 (3)x＝－7
【详解】根据分母不等于0时分式有意义；分母等于0时分式无意义；分母不等于0而分子得0时，
分式值为0即可求解.
解：（1）当 时，即x≠±5时，分式有意义；
（2）当 时，即x＝3时，分式无意义；
（3）根据题意得，
解得，x＝－7.
11．已知 ，x取哪些值时：
(1)y的值是正数；(2)y的值是负数；
(3)y的值是零；
(4)分式无意义．
【答案】(1)
(2)x＜ 或x＞2
(3)x＝2
(4)x＝
【分析】（1）分式的值为正数，则分子、分母同号，列不等式组求解；
（2）分式的值是负数，则分子、分母异号，列不等式组求解；
（3）分式的值为0，则分子为0，分母不等于0；
（4）分式无意义，则分母等于0．
（1）
根据题意，得
或 ，
解得 ；
（2）
根据题意，得
或 ，
解得x＜ 或x＞2；
（3）
根据题意，得
，
解得x＝2；
（4）根据题意，得
3﹣4x＝0，
x＝ ．
【点睛】本题考查了分数的取值范围，分式的值为0，则分子等于0，分母不等于0；分式有意义，
则分母不等于0；分式无意义，则分母等于0；分式的值为正数，则分子、分母同号；分式的值为
负数，则分子、分母异号．
12．已知y＝ ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【答案】x=0时，y的值是零；x＝ 时，分式无意义；x＜ 且x≠0时，y的值是正数
【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得
正的法则，逐个解答即可．
【详解】解：x=0时，y的值是零；
x＝ 时，分式无意义；
x＜ 且x≠0时，y的值是正数．
【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为零的条件，准确分析计算是解题的关键．
13．当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
【答案】（1）分式有意义， 且 ；分式无意义， 或 ；（2）分式有意义，
；分式无意义， ；（3） 为任意实数时，分式 有意义；（4）分式有意义，
；分式无意义， ．
【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可；
（4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可．
【详解】（1）当 时，分式有意义，解得 且 ；当 时，分式无意义，解得 或 ．
（2）当 时，分式有意义，解得 ；当 时，分式无意义，解得 ．
（3） 为任意实数时， ， 为任意实数时，分式 有意义．
（4）当 时，分式有意义，解得 ；当 时，分式无意义，解得 ．
【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么．
14．已知 ， 取哪些值时：
（1） 的值是正数．
（2） 的值是负数．
（3） 的值是零．
（4）分式无意义．
【答案】（1） 且 ；（2） ；（3） ；（4）
【分析】先在分式有意义的条件下化简 ，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题.
（1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求；
（2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求；
（3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求；
（4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求．
【详解】解：
=
=
由上可知，当 时，分式有意义化简的结果是m+1；
（1）由y为正数得： ＞0，
∴m＞-1且 ．
（2）由y为负数得： ＜0，
∴m＜-1．
（3）由y为零得： =0，
∴m=-1．
（4）由分式无意义得： ，∴m=2．
【点睛】本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决
本题的关键．易错点是第（1）问会漏了 这个限制条件.
15．已知分式 ，回答下列问题．
（1）若分式无意义，求x的取值范围；
（2）若分式的值是零，求x的值；
（3）若分式的值是正数，求x的取值范围．
【答案】（1）x＝ ；（2）x＝1；（3） ＜x＜1．
【分析】（1）分式无意义，分母值为零，进而可得2﹣3x＝0，再解即可；
（2）分式值为零，分子为零，分母不为零，进而可得x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，再解即可；
（3）分式值为正数，则分子分母同号，进而可得两个不等式组，再解即可．
【详解】解：（1）由题意得：2﹣3x＝0，
解得：x＝ ；
（2）由题意得：x﹣1＝0，且2﹣3x≠0，
解得：x＝1；
（3）由题意得：① ，
此不等式组无解；
② ，
解得： ＜x＜1．
∴分式的值是正数时， ＜x＜1．
【点睛】此题主要考查了分式无意义、分式值为零、分式值为正，关键是掌握各种情况下，分式
所应具备的条件．
16．求分式 无意义时 的值
【答案】2或【分析】分式无意义，分母为零．
【详解】解：2+ =0 即 x 时， 无意义；x-2=0 即 x=2时，整体 无意义．
【点睛】解决本题的关键突破口是掌握分式无意义的条件就是分母为0．
17．已知当 时，分式 无意义：当 时，分式的值为零 求 的值．
【答案】6
【分析】根据题意可得关于a、b的方程，解方程可得a、b的值，继而可求得a+b的值.
【详解】 当 时，分式 无意义，
，解得 ，
时，分式 的值为零，
，则 ，
，
即 的值是6．
【点睛】本题考查了分式无意义、分式值为0的条件，注意要从以下三个方面透彻理解分式的概
念：(1)分式无意义 分母为零；(2)分式有意义 分母不为零；(3)分式值为零 分子为零且分母不
为零． ⇔ ⇔ ⇔
18．已知 ， 取哪些值时：
（1） 的值是正数；
（2） 的值是负数；
（3） 的值是零；
（4）分式无意义．
【答案】 ； 或 ； ； ．
【详解】（1）y的值是正数，则分式的值是正数，则分子与分母一定同号，分同正与同负两种情
况；
（2）y的值是负数，则分式的值是负数，则分子与分母一定异号，应分分子是正数，分母是负数
和分子是负数，分母是正数两种情况进行讨论；
（3）分式的值是0，则分子等于0，分母不等于0；
（4）分式无意义的条件是分母等于0．解：（1）当 或 时，即 时，y为正数；
（2）当 或 时，即x>1或x< 时，y为负数；
（3）当 时，即 时，y值为零；
（4）当 时，即 时，分式无意义.
点睛：本题主要考查分式的定义及分式的值.掌握分式的概念及分式的值为正或负时分子与分母的
符号关系是解题的关键.
19．分式 的值为零时，实数a，b应满足什么条件？
【答案】 ，且
【分析】根据分式的值为零可以得到 且 ，求解即可．
【详解】解：由题意得
∴ 且
解得： 且
∴实数a、b应满足 ，且
【点睛】此题考查了分式值为零的条件，解题的关键是根据分式值为零得到分子为零，分母不为
零．
20．（1）式子 的值能否为0？为什么？
（2）式子 的值能否为0？为什么？
【答案】（1）不能，否则 ，此时分式无意义；（2）不能，否则 ，此时分式
无意义．
【分析】原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，再根据分式值为0的条件判
断即可．
【详解】解：（1）原式，
若原式的值为0，
则
只能 ，
则此时分式的分母为0，原式无意义，
∴原式的值不能为0；
（2）原式
，
若原式的值为0，
则
只能 ，
即 ，
则此时分式的分母为0，原式无意义，
∴原式的值不能为0．
【点睛】此题考查了分式的加法以及分式值为0的条件，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关
键．
21．当a取何值时，分式 的值为零？
【答案】3
【详解】解析：分式值为0的条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺
一不可．
答案：解：由分式 的值为零，得 ，且 ，解得 ．所以当 时，分式
的值为零．
易错：解：由分式 的值为零，得 ，解得 ．所以当 时分式 的值为
零．
错因：只考虑了分子为零，没有考虑分母不为零．
满分备考：首先求出使分子为0的字母的值，再检验求得的这个字母的值是否使分母的值不为0．当该值能使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值．
22．已知分式 ，试解答下列问题：
（1）分式 有意义的条件是 ，分式 的条件是 ；
阅读材料：若分式 的值大于 ，则 或 ，
（2）根据上面这段阅读材料，若分式 ，求 的取值范围；
（3）根据以上内容，自主探究：若分式 ，求 的取值范围(要求：写出探究过程)．
【答案】（1） ；（2） ；（3） 或 ．
【分析】(1)根据分式有意义的条件及分式的值为零的条件即可求解；
(2)根据除法法则得出两个不等式组，求出不等式组的解集即可；
(3)根据除法法则得出两个不等式组，求出不等式组的解集即可．
【详解】(1)当分母 ，即 时，分式 有意义；
当分子 ，且分母 ，即 时，分式 ；
故答案为：
(2)由题意，得 或 ，
解不等式组 得： ，
∴不等式组解集为： ，
解不等式组 得： ，
∴不等式组无解，
综上， 的条件是 ；
(3)由(2)阅读材料，得 ，或 ，解不等式组 得： ，
∴不等式组解集为： ，
解不等式组 得： ，
∴不等式组解集为： ，
综上， 的条件是： 或 ．
【点睛】本题考查了解不等式组的应用，分式有意义的条件及分式的值为零的条件，解此题的关
键是能转化成两个不等式组．
23．当 为何值时，下列分式的值为零？
（1） ；
（2） .
【答案】(1)x=3;(2)x=-7
【分析】（1）根据分式值为零的条件可得2x−6＝0，且x+3≠0，再解即可；
（2）根据分式值为零的条件可得x−7≠0，且|x|−7＝0，再解即可.
【详解】（1）由题意得：
2x−6＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，．
（2）由题意得：
x−7≠0，且|x|−7＝0，
解得：x＝−7.
【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母
不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
24．对于分式 .
(1) 当x取什么值时，分式有意义？
(2) 当x取什么值时，分式的值为零？
(3) 当x=－2时，分式的值是多少？【答案】 当x≠3时，分式 都有意义 当x － 时，分式 的值为零
(1) ;(2) = 3 ;(3) .
【分析】（1）根据分母不为零即可求解；
（2）根据分母不为零，分子为零即可求解；
（3）把x=－2代入即可求解.
【详解】(1)由分母等于x－3=0，得x=3
所以，当x≠3时，分式 都有意义.
(2) 由 =0，得x= 3.
因为x≠3， 所以x=－3
因此，当x=－3时，分式 的值为零.
(3)当x=－2时， = = .
【点睛】此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式为零的条件.
25．请写出一个同时满足下列条件的分式：
（1）分式的值不可能为0；
（2）分式有意义时，的取值范围是x≠±2；
（3）当x=0时，分式的值为-1.
你所写的分式为 .
【答案】 （答案不唯一）
【详解】试题分析：分式值不等于0，则分式的分子不等于0.取值范围要 ，则分式分母满
足x=±2时，分母=0.且当x=0时，分式值要等于-1.可得
考点：分式
点评：本题难度中等，主要考查学生对分式性质的掌握．根据要求写错例子即可．
