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专题4.11 线段公理与直线公理（知识讲解）
【学习目标】
1．认识并理解公理的含义；
2．理解并掌握两点之间距离公式；
3．理解并掌握线段、直线公理；
4．初步认识最短路径问题，并求最简单的最短路径问题。
【要点梳理】
要点一、公理
概念：公理是指依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，
不需要再加证明的基本命题。
要点二、直线公理
经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．
特别说明：（1）“有一条直线”中的有表示“存在”，“只有一条直线”中“只有”
表示“唯一”；（2）过一点有无数条直线。
要点三、线段公理
两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．
如图1所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．
图1
要点四、两点之间距离
两点之间线段的长度，叫做两点之间的距离．
【典型例题】
类型一、线段公理——两点确定一条直线
1．木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨
线，这是为什么？
【答案】两点确定一条直线．
【分析】根据确定一条直线的方法求解即可．
解：根据直线公理：两点确定一条直线，∴答案为：两点确定一条直线．
【点拨】此题考查了确定一条直线的方法，解题的关键是熟练掌握确定一条直线的方
法：两点确定一条直线．
举一反三：
【变式1】小明和小亮在讨论“射击时为什么枪管上要准星？”
小明：过两点有且只有一条直线，所以枪管上要有准星．
小亮：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，这不就有三点了吗？多了
一个点呀！
请你说说你的观点．
【答案】两点确定一条直线
试题分析：此题根据直线的性质两点确定一条直线进行解答即可．
解：若将人眼看成一点，准星看成一点，目标看成一点，那么要想射中目标，人眼与
目标确定的这条直线，应与子弹所走的直线重合，即与准星和目标所确定的这条直线重合，
即达到看到哪打到哪儿．
换句话说要想射中目标就必须使准星在人眼与目标所确定的直线上．
【变式2】如图，将甲､乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那
么乙尺是直的吗？为什么？
【答案】见分析
【分析】根据经过两点有且只有一条直线分析即可．
解：乙尺不是直的，因为如果乙尺是直的，那么过两点A，B就有两条直线了，这是
不可能的，
所以乙尺不是直的．
【点拨】本题考查了过两点有且只有一条直线，掌握过两点有且只有一条直线是解题
的关键．
类型二、线段公理——两点之间，线段最短
2．如图，已知平面上有四个村庄，用四个点 ， ， ， 表示．（1）连接 ，作射线 ，作直线 与射线 交于点 ；
（2）若要建一供电所 ，向四个村庄供电，要使所用电线最短，则供电所 应建在
何处？请画出点 的位置并说明理由．
【答案】（1）如图所示．见分析；（2）如图，见分析；供电所 应建在 与
的交点处．理由：两点之间，线段最短．
【分析】（1）根据射线、直线的定义进而得出E点位置；
（2）根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个村庄的距
离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．
解：（1）如图所示：点E即为所求；
（2）如图所示：点M即为所求．
理由：两点之间，线段最短．
【点拨】本题主要考查了作图与应用作图，关键是掌握线段的性质：两点之间，线段
距离最短．
举一反三：
【变式1】知识是用来为人类服务的，我们应该把它们用于有意义的方面．下面就两
个情景请你作出评判．
情景一：从教室到图书馆，总有少数同学不走人行道而横穿草坪，这是为什么呢？试
用所学数学知识来说明这个问题．情景二：A、B 是河流l两旁 的两个村庄，现要在河边修一个抽水站向两村供水，问
抽水站修在什么地方才能使所需的管道最短？请在图中表示出抽水站点P的位置，并说明
你的理由：
你赞同以上哪种做法？你认为应用数学知识为人类服务时应注意什么？
【答案】情景一：两点之间线段最短；情景二：画图见分析；两点指点线段最短
解：情景一：因为教学楼和图书馆处于同一条直线上，
两点之间的所有连线中，线段最短，所以这样走比较近；
情景二：抽水站点P的位置如右图所示：
理由：两点之间的所有连线中，线段最短；
赞同情景二中运用知识的做法，应用数学知识为人类服务时应注意：不能以破坏环境
为代价．
【变式2】如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图：
（1）画射线AB；
（2）连接BC；
（3）反向延长BC至D，使得BD=BC；
（4）在直线l上确定点E，使得AE+CE最小．【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析
【分析】（1）根据题意作图即可．
（2）根据题意作图即可．
（3）以BC为半径，B点为圆心画弧，交BC反向延长线于点D，点D即为所求．
（4）根据两点之间线段最短，即连接AC交l于点E，点E即为所求．
解：（1）如图，射线AB即为所求作射线；
（2）如图，连接BC；
（3）如图，BD=BC；
（4）连接AC，交直线l于点E，根据两点之间，线段最短，可得此时AE+CE小．
【点拨】本题考查几何作图，熟练掌握作图的方法和理解两点之间线段最短是解答本
题的关键．
类型三、两点之间距离
3．如图，线段AB＝20，BC＝15，点M是AC的中点．
（1）求线段AM的长度；
（2）在CB上取一点N，使得CN：NB＝2：3．求MN的长．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据图示知AM＝ AC，AC＝AB﹣BC；
（2）根据已知条件求得CN＝6，然后根据图示知MN＝MC+NC．
解：（1）线段AB＝20，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5．
又∵点M是AC的中点．∴AM＝ AC＝ ×5＝ ，即线段AM的长度是 ．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，
∴CN＝ BC＝ ×15＝6．
又∵点M是AC的中点，AC＝5，
∴MC＝ AC＝ ，
∴MN＝MC+NC＝ ，即MN的长度是 ．
【点拨】本题考查了两点间的距离，利用了线段的和差，线段中点的定义，熟练掌握
线段中点的定义是解答本题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，B、C两点把线段AD分成2：5：3的三部分，M为AD的中点，BM
＝9cm，求CM和AD的长．
【答案】CM=6cm，AD=30cm
【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，
BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，
则求出CM和AD的长．
解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm
所以AD=AB+BC+CD=10xcm
因为M是AD的中点
所以AM=MD= AD=5xcm
所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm
因为BM=9 cm，
所以3x=9，x=3
故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×3=6cm，
AD=10x=10×3=30 cm．
考点：两点间的距离．
【变式2】如图，已知线段AB＝12 cm，点C为线段AB上的一动点，点D，E分别是
AC和BC中点．（1）若点C恰好是AB的中点，则DE＝ cm；
（2）若AC＝4 cm，求DE的长；
（3）试说明无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．
【答案】（1）6；（2）6cm；（3）见分析．
【分析】（1）由AB＝12 cm，点D，E分别是AC和BC的中点，得出DE＝DC+CE＝
（AC+CB），即可求解；
（2）由AC＝4 cm，推出CD＝2cm，根据AB＝12cm，AC＝4 cm，得出BC＝8cm，由
DE＝DC+CE即可求DE的长；
（3）根据点D，E分别是AC和BC的中点，得出DC＝ AC，CE＝ CB，由DC+CE
＝ （AC+CB），即可得证．
解：（1）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝ AC，CE＝ CB，
∴DE＝DC+CE＝ （AC+CB）＝6 cm；
故答案为：6．
（2）∵AC＝4 cm，
∴CD＝2cm，
∵AB＝12cm，AC＝4 cm，
∴BC＝8cm，
∴CE＝4cm，DE＝DC+CE＝6cm；
（3）∵点D，E分别是AC和BC的中点，
∴DC＝ AC，CE＝ CB，
∴DC+CE＝ （AC+CB），
即DE＝ AB＝6cm，
故无论AC取何值（不超过12 cm），DE的长不变．【点拨】本题考查了线段的和差倍分，解题的关键是正确的识别图形．
