专题28和线段有关的计算（解析版）_初中数学人教版_7上-初中数学人教版_7上-初中数学人教版（旧版）赠送_07专项讲练

专题28 和线段有关的计算 1．已知：如图 1， 是定长线段 上一定点， 、 两点分别从 、 出发以 、 的速度沿直线 向左运动，运动方向如箭头所示 在线段 上， 在线段 上） （1）若 ，当点 、 运动了 ，求 的值． （2）若点 、 运动时，总有 ，直接填空： ． （3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的值． 【解答】解：（1）当点 、 运动了 时， ， ， ， ； （2）设运动时间为 ， 则 ， ， ， ， 又 ， ， 即 ， ， ， ， 故答案为： ； （3）当点 在线段 上时，如图， ， ， ， 即 ． 当点 在线段 的延长线上时，如图 ， ， ， 即 ． 综上所述 或 ． 2．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧， （1）若 ， ，线段 在线段 上移动， ①如图1，当 为 中点时，求 的长； ②当点 是线段 的三等分点时，求 的长； （2）若 ，线段 在直线上移动，且满足关系式 ，则 或 ． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ① 为 中点， ， ， ， ；② 点 是线段 的三等分点， ， 当点 靠近 点时， ， ， ； 当点 靠近点 时， ， ； （2）当点 在线段 之间时，如图， 设 ， 则 ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点 在点 的左侧，如图，设 ，则 ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点 在线段 上及点 在点 右侧时，无解， 综上所述 的值为 或 ． 另一解法：可设 ，则 ， ， ， 以 为原点，以 的方向为正方向建立数轴，则 表示0， 表示4， 表示6，如图， 设 表示的数为 ，则 表示 ， 可得 ， ， ， ， ， ①当 或 时，上式可化为： ，解得 ，则 ；② 时，上式化为： ，解得： ，则 ； ③ 时，上式化为： ，解得： （舍去）． 综上所述 的值为 或 ． 故答案为： 或 ． 3．已知点 在线段 上， ，点 ， 在直线 上，点 在点 的左侧． （1）若 ， ，线段 在线段 上移动． ①如图1，当 为 中点时，求 的长； ②点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长； （2）若 ，线段 在直线 上移动，且满足关系式 ，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ① 为 中点， ， ， ， ； ②如图1， 当点 在点 的右侧时， ， ， ， ； 当点 在点 的左侧时，， ， ， ， ； 综上所述， 的长为 或 ； （2）当点 在线段 之间时，如图3， 设 ， 则 ， ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当点 在点 的左侧，如图4，设 ，则 ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 在 点右侧，及点 在 点右侧，无解，不符合题意； 当是 在 右侧， 在 左侧时，如图5， 设 ， 则 ， ， ， ， 设 ， ， ，， （不合题意）， 当点 在线段 上及点 在点 右侧时，无解， 当 在 的右侧，其他情况不存在，舍去． 综上所述 的值为 或 ． 4．已知：如图1，点 是线段 上一定点， ， 、 两点分别从 、 同时出发以 、 的速度沿直线 向左运动，运动方向如箭头所示 在线段 上， 在线段 上） （1）若 ，当点 、 运动了 ，此时 ， ；（直接填空） （2）当点 、 运动了 ，求 的值； （3）若点 、 运动时，总有 ，则 （填空）； （4）在（3）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的值． 【解答】解：（1）根据题意知， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ， ； （2）当点 、 运动了 时， ， ， ， ， ， ； （3）根据 、 的运动速度知： ， ， ，即 ，， ， ， 故答案为： ； （4）①当点 在线段 上时，如图1， ， 又 ， ， ， ； ②当点 在线段 的延长线上时，如图2， ， 又 ， ， ； 综上所述 或1． 5．如图，已知 是线段 上一点， ， ， 两点从 ， 同时出发，分别以每秒2 厘米，每秒1厘米的速度沿 方向运动，当点 到达终点 时，点 也停止运动，设 （厘米），点 ， 的运动时间为 （秒 ． （1）用含 和 的代数式表示线段 的长度； （2）当 时， ，求线段 的长；（3）当 时，求 的值． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ； （2） ， ， ， ， 当 时， 解得 ， ； （3） ， ， ， ， ， ， ， ． 6．已知：如图 1， 是定长线段 上一定点， 、 两点分别从 、 出发以 、的速度沿直线 向左运动，运动方向如箭头所示 在线段 上， 在线段 上） （1）若 ，当点 、 运动了 ，求 的值． （2）若点 、 运动时，总有 ，直接填空： ． （3）在（2）的条件下， 是直线 上一点，且 ，求 的值． 【解答】解：（1）当点 、 运动了 时， ， ， ， ． （2）设运动时间为 ， 则 ， ， ， ， 又 ， ， 即 ， ， ， 故答案为： ． （3）当点 在线段 上时，如图 ，又 ， ，即 ． 当点 在线段 的延长线上时，如图，又 ，即 ．综上所述 7．如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，这 点叫做这条折线的“折中点”．如果点 是折线 的“折中点”，请解答以下问题： （1）已知 ， ． 当 时，点 在线段 上； 当 时，点 与 重合； 当 时，点 在线段 上； （2）若 为线段 中点， ， ，求 的长度． 【解答】解：（1）已知 ， ． 当 时，点 在线段 上； 当 时，点 与 重合； 当 时，点 在线段 上． 故答案为： ， ， ； （2）点 在线段 上， 为线段 中点， ， ， ， ， ， ； 点 在线段 上， 为线段 中点， ， ， ，， ， ． 8．如图， 是线段 上一动点，沿 以 的速度往返运动1次， 是线段 的 中点， ，设点 运动时间为 秒 ． （1）当 时，① 4 ．②求线段 的长度． （2）①点 沿点 运动时， ； ②点 沿点 运动时， ．（用含 的代数式表示 的长） （3）在运动过程中，若 中点为 ，则 的长是否变化，若不变，求出 的长；若发生变化， 请说明理由． 【解答】解：（1）当 时，① ； ② ， 由 是线段 的中点，得 ； （2） ①点 沿点 运动时， ； ②点 沿点 运动时， ； （3）在运动过程中，若 中点为 ，则 的长不变， 由 中点为 ， 是线段 的中点，得 ， ． ． 9．如图，点 、 在线段 上， ． （1）若点 是线段 的中点，求 的值； （2）若 ，求 的值； （3）若线段 上有一点 （不与点 重合）， ，求 的长．【解答】解：设 ， ，则 ． （1） 是 中点， ， ，即 ． （2） ，即 ， ， ，即 ． （3）设 ， ， ， ，即 ． 10．如图，点 、 是线段 上的两点，点 和点 分别在线段 和线段 上． （1）当 ， ， ， 时， 4 ； （2）若 ， ①当 ， 时，求 的长度（用含 和 的代数式表示） ②当 ， 是正整数）时，直接写出 ．（用含 、 、 的代数式 表示） 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， ，故答案为4． （2）① ， ， ， ， ， ， ． ② ， ， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 11．如图， 为线段 延长线上一点， 为线段 上一点， ， 为线段 上一点， （1）若 ， ，求 的长； （2）若 ，求 的长；（用含 的代数式表示） （3）若图中所有线段的长度之和是线段 长度的7倍，则 的值为 ． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ， ， ； （2） ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）设 ， ， 则 ， ， 所 有 线 段 和 ， ， 则 ， ， ， 故答案为： ． 12．如图， 是线段 上一点， ， ． （1） 1 0 ； （2）动点 、 分别从 、 同时出发，点 以 的速度沿 向右运动，终点为 ；点 以 的速度沿 向左运动，终点为 ．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动． 求运动多少秒时， 、 、 三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？【解答】解：（1） ， 故答案为：10； （2）①当 时， 是线段 的中点，得 ，解得 ； ②当 时， 为线段 的中点， ，解得 ； ③当 时， 为线段 的中点， ，解得 ； ④当 时， 为线段 的中点， ，解得 （舍 ， 综上所述： 或 或 ． 13．如图1，点 ， 都在线段 上（点 在点 和点 之间），点 ， 分别是线段 ， 的中点． （1）若 ，且 ，求线段 的长； （2）若 ， ，求线段 的长（用含 ， 的代数式表示）； （3）如图2，延长线段 至点 ，使 ，请探究线段 与 应满足的数量关系 （直接写出结论） 【解答】解：（1）设 ，则 ， ， ． 点 ， 分别是线段 ， 的中点， ， ． ， ． ， ， 解得： ， ． （2） 点 ， 分别是线段 ， 的中点，， ． ， ， ， ， ． （3） 点 ， 分别是线段 ， 的中点， ， ． ， ． 14．在射线 上有三点 ， ， ，满足 ， ， ，点 从点 出 发，沿 方向以 的速度匀速运动；点 从点 出发，沿线段 匀速向点 运动（点 运动到点 时停止运动）．如果两点同时出发，请你回答下列问题： （1）已知点 和点 重合时 ，求 的长度； （2）在（1）题的条件下，求点 的运动速度． 【解答】解：（1） ， ， ， ， ， （2） ， ， ， ， ， ，以 的速度匀速运动， 点 运动的时间为 ，点 运动的时间为 ， 点 的速度 ． 15．如图，有两段线段 （单位长度）， （单位长度）在数轴上运动．点 在数轴上 表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是15． （1）点 在数轴上表示的数是 ，点 在数轴上表示的数是 ，线段 （2）若线段 以1个单位长度 秒的速度向右匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速 度向左匀速运动．设运动时间为 秒，若 （单位长度），求 的值 （3）若线段 以1个单位长度 秒的速度向左匀速运动，同时线段 以2个单位长度 秒的速 度也向左运动．设运动时间为 秒，当 时，设 为 中点， 为 中点，则线段 的长为 ． 【解答】解：（1） ，点 在数轴上表示的数是 ， 点 在数轴上表示的数是 ； ，点 在数轴上表示的数是15， 点 在数轴上表示的数是14． ． 故答案为： ；14；24． （2）当运动时间为 秒时，点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ． ， ， 解得： ， ． 答：当 （单位长度）时， 的值为6或10． （3）当运动时间为 秒时，点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， 点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ，点 一直在点 的右侧． 为 中点， 为 中点， 点 在数轴上表示的数为 ，点 在数轴上表示的数为 ， ． 故答案为： ． 16．（1）如图，点 在线段 上，线段 ， ，点 、 分别是 和 的 中点．求线段 的长； （2）若线段 ，其他条件不变，则线段 的长度为 （直接写出答案）． （3）对于（1），如果叙述为：“点 在直线 上，线段 ， ，点 、 分 别是 和 的中点，求线段 的长？”结果会有变化吗？如果有，直接写出结果． 【解答】解：（1） ， ，点 、 分别是 和 的中点， ， ， ； （2） 点 、 分别是 和 的中点， ， ， ； 故答案为： ； （3）结果会有变化， 如图，点 、 分别是 和 的中点， ， ， ， 线段 的长为 或 ． 17．（1）如图，点 在线段 上，线段 ， ，点 、 分别是 、 的 中点，求线段 的长？（2）根据（1）的计算过程和结果，设 ，其他条件不变，你能猜出 的长度吗？用 一句话表述你发现的规律？ （3）对于（1），如果叙述为：“已知线段 ， ，点 在直线 上，点 、 分别是 、 的中点，求线段 的长？”结果会有变化吗？如果有，求出结果． 【解答】解：（1）点 、 分别是 、 的中点， ， ， ， ， 由线段的和差，得 ． 答：线段 的长是 ． （2） ， 的长度等于 ； （3）会有变化． 当 点在线段 上时， ； 当 点在线段 的延长线上时， ． 18．如图，点 在线段 上，点 、 分别是 、 的中点． （1）若线段 ， ，则线段 的长为 （2）若 为线段 上任一点，满足 ，其它条件不变，求 的长； （3）若原题中改为点 在直线 上，满足 ， ， ，其它条件不变，求 的长． 【解答】解：（1） ， ， ， 又 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ；故答案为： ； （2） 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ； （3）当点 在线段 上时， 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ； 当点 在 的延长线上时， 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ； 当点 在 的延长线上时， 点 、 分别是 、 的中点， ， ， ． 19．已知点 在线段 上， ，点 、 在直线 上，点 在点 的左侧． （1）若 ， ，线段 在线段 上移动． ①如图1，当 为 中点时，求 的长； ②点 （异于 ， ， 点）在线段 上， ， ，求 的长； （2）若 ，线段 在直线 上移动，且满足关系式 ，则 或 ．【解答】解：（1） ， ， ， ， ， ①如图， 为 中点， ， ， ； ②如图， Ⅰ、当点 在点 的左侧， ， ， 点 是 的中点， ， ， ； Ⅱ、当点 在点 的右侧， ， ， ， ， ． 其他情况不存在，舍去． 综上所述： 的长为3或5； （2） ， ，满足关系式 ， Ⅰ、当点 在点 右侧时，如图，设 ， ， 则 ， 解得， ， ． Ⅱ、当点 在点 左侧时，如图， 设 ， ， 则 ，解得， ， ． 点 在 点右侧，及点 在 点右侧， 无解，不符合题意； 当 在线段 内部时，如图， 设 ， ， 则 ， ， ， ， ， ， ， ，解得， （不符合题意，舍去）， ，不符合题意，舍去． 其他情况不存在，舍去． 故答案为 或 ． 20．如图， 是线段 上一点， ， ，点 从 出发，以 的速度沿 向右运动，终点为 ；点 从点 出发，以 的速度沿 向左运动，终点为 ．已知 、 同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点 运动时间为 ． （1） 1 2 ； （2）当 时， 、 重合； （3）是否存在某一时刻，使得 、 、 这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？ 若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1） ． 故答案为：12； （2） ． 故当 时， 、 重合． 故答案为： ； （3）存在， ① 是线段 的中点，得 ，解得 ； ② 为线段 的中点，得，解得 ； ③ 为线段 的中点，得 ，解得 ； 综上所述： 或 或 ．