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专题 4.1 基本平面图形
目录
线段、射线、直线....................................................................................................................................1
直线的基本性质........................................................................................................................................5
线段的性质..................................................................................................................................................7
两线段间的关系......................................................................................................................................10
线段的计算求长度.................................................................................................................................11
角度的相关概念......................................................................................................................................15
角度的度量...............................................................................................................................................16
钟面角........................................................................................................................................................17
角的平分线...............................................................................................................................................18
角度的加减运算......................................................................................................................................20
多边形及其表示......................................................................................................................................22
多边形的对角线......................................................................................................................................23
扇形的面积...............................................................................................................................................24
线段、射线、直线
1．将线段向__一方__无限延长就形成了射线．
2．将线段向__两方__无限延长就形成了直线．
3．线段是直线上两点间的__部分__，可以度量，直线、射线都不可度量．
【例1】下列各图中表示射线 ，线段 的是
A． B．
C． D．
【解答】解：选项 中的图形表示的是直线 ，射线 ，因此选项 不符合题意；
选项 中的图形表示的是射线 ，线段 ，因此选项 符合题意；选项 中的图形表示的是线段 ，射线 ，因此选项 不符合题意；
选项 中的图形表示的是线段 ，射线 ，因此选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练1】下列几何图形与相应语言描述相符的是
A．如图1所示，延长线段 到点
B．如图2所示，射线 经过点
C．如图3所示，直线 和直线 相交于点
D．如图4所示，射线 和线段 没有交点
【解答】解： ．如图1所示，延长线段 到点 ，几何图形与相应语言描述不相符；
．如图2所示，射线 不经过点 ，几何图形与相应语言描述不相符；
．如图3所示，直线 和直线 相交于点 ，几何图形与相应语言描述相符；
．如图4所示，因为射线 可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选： ．
【变式训练2】下列几何图形与相应语言描述不相符的有
A．如图1所示，直线 和直线 相交于点
B．如图2所示，延长线段 到点
C．如图3所示，射线 不经过点
D．如图4所示，射线 和线段 有交点
【解答】解： 、图1中，直线 和直线 相交于点 与图相符，故选项 不符合题意；、图2中，延长线段 到点 与图不相符，故选项 符合题意；
、图3中，射线 不经过点 与图相符，故选项 不符合题意；
、图4中，射线 和线段 有交点与图相符，故选项 不符合题意；
故选： ．
【变式训练3】以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①
【解答】解：①射线和直线延伸后能相交，故本选项符合题意；
②线段不能向两端延伸，不能相交，故本选项不合题意；
③两条直线延伸后能相交，故本选项符合题意；
④射线和直线延伸后不能相交，故本选项不合题意；
故选： ．
【例2】如图，辰辰同学根据图形写出了四个结论：
①图中有两条直线；
②图中有5条线段；
③射线 和射线 是同一条射线；
④直线 经过点 ．
其中结论正确的结论是 ① ， ③ ．
【解答】解：图中有两条直线：直线 ，直线 ；
图中有6条线段，线段 ，线段 ，线段 ，线段 ，线段 ，线段 ；
射线 和射线 ，端点，方向都相同，是同一条射线；
直线 不经过点 ．
故答案为：①，③．【变式训练1】下列说法错误的是
A．直线 和直线 表示同一条直线
B．直线 比射线 长
C．线段 和线段 表示同一条线段
D．过一点可以作无数条直线
【解答】解： ：直线 和直线 是同一条直线，故 是正确的；
：直线和射线都是不可度量的，因此不能比较大小，故 是错误的；
：线段 和线段 是同一条线段，故 是正确的；
：过一点可以作无数条直线，故 是正确的；
故选： ．
【变式训练2】下列说法：①射线 与射线 是同一条射线；②线段 是直线 的一
部分；③延长线段 到 ，使 ；④射线 与射线 的公共部分是线段 ．
正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①射线 与射线 不是同一条射线，他们的端点不同，因此①不正确；
②线段 是直线 的一部分是正确的，
③延长线段 到 ，使 ，因此③不正确；
④射线 与射线 的公共部分是线段 是正确的；
综上所述，正确的有②④，共两个，
故选： ．
【变式训练3】下列语句中正确的个数有
①直线 与直线 是同一条直线
②射线 与射线 是同条射线
③线段 与线段 是同一条线段
④直线上一点把这条直线分成的两部分都是射线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①直线 和直线 是同一条直线，正确；
②射线 和射线 是同一条射线，不正确，二者端点不同；③线段 和线段 是同一条线段，正确；
④直线上的任意一点都可以把该直线分成两条射线，不正确，
综上所述，正确的是①③．
故选： ．
直线的基本性质
两点确定一条直线
【例3】在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直
线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．
故选： ．
【变式训练1】如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一
条直的参照线，这种做法用几何知识解释应是
A．两点之间，线段最短
B．过一点有且只有一条直线和已知直线平行
C．垂线段最短
D．两点确定一条直线
【解答】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，
这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线．
故选： ．
【变式训练2】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的
是
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直
线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成
线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两
点确定一条直线”来解释．
故选： ．
【变式训练3】开学整理教室时，卫生委员总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再
依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌就摆在一条线上，整整齐齐，用几何知识解释其道理
正确的是
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【解答】解：先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列
课桌就摆在一条线上，整整齐齐，
用几何知识解释其道理是：两点确定一条直线．
故选： ．线段的性质
两点之间线段最短
【例4】把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是
A．两点之间，线段最短 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，直线最短 D．两点确定一条直线
【解答】解：把弯曲的河道改直，能够缩短航程，理由是两点之间，线段最短．
故选： ．
【变式训练1】如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶
的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是
A．两点确定一条直线 B．经过一点有无数条直线
C．两点之间，线段最短 D．以上答案都不对
【解答】田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原
树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选： ．
【变式训练2】下列生产、生活中的现象可用“两点之间，线段最短”来解释的是
A．如图1，把弯曲的河道改直，可以缩短航程
B．如图2，用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上
C．如图3，植树时只要定出两棵树的位置，就能确定一行树所在的直线
D．如图4，将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直的
【解答】解： 、把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释，
符合题意；
、用两根钉子就可以把木条固定在墙上，利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题
意；
、植树时，只要选出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线，利用的是两点确定
一条直线，故此选项不合题意；
、将甲、乙两个尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校订是直的，那么乙尺就不是直
的利用的是两点确定一条直线，故此选项不合题意；
故选： ．
【变式训练3】下列生活现象，可以用基本事实“两点之间，线段最短”解释的是
A．汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净
B．开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道
C．公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面
D．建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙
【解答】解： 、汽车的雨刮器把玻璃上的水刷干净，根据是线动成面，故此选项不合题
意；
、开山挖隧道，把上坡下坡的盘山公路改为平直的隧道，根据两点之间，线段最短，故
此选项符合题意；
、公园的喷泉中，喷水龙头喷出的圆形水面，根据点动成线，故此选项不合题意；
、建筑工人通过在两个柱子之间拉一条绳子砌墙，根据是两点确定一条直线，故此选项
不合题意．
故选： ．
【例5】 ， ， ， 四个村庄之间的道路如图，若从 去 有以下四条路线可走，则
其中路程最短的是
A． B． C． D．【解答】解：如图所示：从 去 有以下四条路线可走，其中路程最短的是：
．
故选： ．
【变式训练1】如图，是某住宅小区平面图，点 是某小区“菜鸟驿站”的位置，其余各
点为居民楼，图中各条线为小区内的小路，从居民楼点 到“菜鸟驿站”点 的最短路径
是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得 是必须经过的路段，
由两点之间线段最短，可得点 到点 的最短路径 ，
从居民楼点 到“菜鸟驿站”点 的最短路径是 ，
故选： ．
【变式训练2】如图所示，由 到 的四条路线中，最短的路线是
A．① B．② C．③ D．④
【解答】解： 两点之间线段最短，
由 到 的四条路线中，最短的路线是③，
故选： ．
【变式训练3】如图， 地到 地有三条路线，由上至下依次记为路线 ， ， ，则从
地到 地的最短路线是 ，其依据是A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短 D．直线比曲线短
【解答】解：从 地到 地的最短路线是 ，其中蕴含的数学道理是两点之间线段最短，
故选： ．
两线段间的关系
(1)线段是一个几何图形，而线段的长度是一个正数，二者是有区别的，不能混淆．
(2)线段的大小关系与其长度的大小关系是一致的．
【例6】如图，下列关系式中与图不符合的式子是
A． B．
C． D．
【解答】解： 、 ，正确，
、 ，正确；
、 ，而 ，故本选项错误；
、 ，正确．
故选： ．
【变式训练1】如图， ， 是线段 上的两点， 是 的中点， 是 的中点，若
， ，则
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得，
是 的中点， 是 的中点，又
故选： ．
【变式训练2】如图， ，那么 与 的大小关系是
A． B． C． D．不能确定
【解答】解：根据题意和图示可知 ，而 为 和 共有线段，故 ．
故选： ．
【变式训练3】如图所示， 点 ， ， 都在直线 上， 且 是 的中点， 是
的中点， 若 ， ，则线段 的长为
A ． B ． C ． D ．
【解答】解： 是 的中点
是 的中点
若 ，
则故选： ．
线段的计算求长度
【例7】如图，点 是线段 的中点， ，若 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
，
，
，
点 是线段 的中点，
，
故选： ．
【变式训练1】点 是线段 上的三等分点， 是线段 的中点，若 ，则 的
长为
A．18或36 B．18或24 C．24或36 D．24或48
【解答】解：如图1，
点 是线段 上的三等分点，
，
是线段 的中点， ，
，
；
如图2，是线段 的中点， ，
，
，
点 是线段 上的三等分点，
，
则 的长为18或36
故选： ．
【变式训练2】点 、 、 在同一直线上， ， ，则
A． B． C． 或 D．以上均不对
【解答】解：（1）点 在 、 中间时，
．
（2）点 在点 的左边时，
．
线段 的长为 或 ．
故选： ．
【变式训练3】在一条直线上顺次取 ， ， 三点，使得 ， ，若点 是线
段 的中点，则线段 的长为
A．1 B．2 C．3 D．1.5
【解答】解：如图，
， ，
，
点 是线段 的中点，，
．
故选： ．
【例8】如图，已知线段 ， ，点 是 的中点．
（1）求线段 的长；
（2）在 上取一点 ，使得 ，求线段 的长．
【解答】解：（1）线段 ， ，
．
又 点 是 的中点．
，即线段 的长度是4
（2） ， ，
．
又 点 是 的中点， ，
，
，
即 的长度是9
【变式训练1】如图， 为线段 上一点，点 为 的中点，且 ， ．
（1）图中共有 6 条线段．
（2）求 的长．
（3）若点 在直线 上，且 ，求 的长．
【解答】解：（1）以 为端点的线段为： ， ， ；以 为端点的线段为： ，
；
以 为端点的线段为： ；
共有 （条 ；
故答案为：6（2） 点 为 的中点， ．
，
，
答： 的长是 ．
（3） ， ，
当点 在线段 上时，
，
当点 在线段 的延长线上时，
，
答： 的长是4或 ．
角度的相关概念
(1)角是__由两条具有公共端点的射线__所组成的图形，两条射线的__公共端点__叫这
个角的顶点．
(2)角也可以看成是由__一条射线__绕着它的__端点__旋转而成的．
【例9】下列说法中正确的是
A．由两条射线组成的图形叫做角
B．角的大小与角的两边长度有关
C．角的两边是两条射线
D．用放大镜看一个角，角的度数变大了
【解答】解： 、有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，选项错误；
、角的大小与角的两边长度无关，选项错误．
、角的两边是两条射线，选项正确；
、用放大镜看一个角，角的度数不变，选项错误；
故选： ．
【变式训练1】下列说法中正确的是
A．直线 是平角 B．所有锐角都相等C．两个锐角的和一定是钝角 D．两个钝角的和一定大于
【解答】解： 、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，故本选项错误，不符合题意；
、所有的锐角不一定都相等，如 和 ，故本选项错误，不符合题意；
、两个锐角的和不一定大于 ，例如 和 的和，故本选项错误，不符合题意；
、两个钝角的和一定大于 ，故本选项正确，符合题意；
故选： ．
【变式训练2】下列说法中，正确的是
A．角的边是两条线段 B．角的边是两条射线
C．两条射线组成的图形叫做角 D．角的边越短，角越小
【解答】解： 、由于角的两边是射线，故选项错误；
、角是由两条有公共端点的射线组成的图形，故选项正确；
、两条有公共端点的射线组成的图形叫角，所以选项错误；
、由于角的两边是射线，根据角的度量知道角的大小与这个角的两边的长短无关，故选
项错误．
故选： ．
【变式训练3】下列说法中正确的有
①由两条射线所组成的图形叫做角；
②经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线；
③两个数比较大小，绝对值大的反而小；
④单项式和多项式都是整式．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①两条端点重合的射线组成的图形叫做角，故①错误；
②经过两点可以画一条直线，并且只能画一条直线，故②正确：
③两个负数比较大小，绝对值大的反而小，故③错误：
④单项式和多项式都是整式，故④正确．
正确的有2个，
故选： ．角度的度量
1°＝__60′__.1′＝__60″__．
(1)度、分、秒的换算是60进制．
(2)角度度数的换算有两种情况：
①把度化成度、分、秒的形式，即从高单位向低单位转化时，每级变化乘以60；
②把度、分、秒化成度的形式，即从低单位向高单位转化时，每级变化除以60.
【例10】若 ，则 用度、分、秒表示为
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选： ．
【变式训练1】若 ， ，则 与 的和等于 ．
【解答】解： ，
．
故答案为： ．
【变式训练2】已知 ， ， ，则下列说法正确的是
A． B．
C． D． 、 、 互不相等
【解答】解： ，
，
，
，
，
故选： ．
【变式训练3】计算：
A． B． C． D．
【解答】解： ，，
故选： ．
钟面角
1．1周角＝__2__平角＝__4__直角．
2．钟表上一个大格是__30°__，一个小格是__6°__，分针一分钟走过的角度是
__6°__，时针一小时走过的角度是__30°__，一分钟走过的角度是__0.5°__．
【例11】钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
，
钟表9时30分时，时针与分针所成的角的度数为 ，
故选： ．
【变式训练1】2点半时，时针与分针所成的夹角为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
，
点半时，时针与分针所成的夹角为 ，
故选： ．
【变式训练2】上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是
A． B． C．45 D．
【解答】解：由题意得：
，
上午8点整时，钟表表面的时针与分针的夹角是 ，
故选： ．【变式训练3】钟面上4点30分时，时针与分针所夹的锐角的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意得：
，
钟面上4点30分时，时针与分针所夹的锐角的度数是： ，
故选： ．
角的平分线
(1)定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个__相等__的角，这
条射线叫做这个角的平分线．
(2)图形及数学语言表示：如图表示：因为OC是
∠AOB的平分线，所以∠AOC＝__ ∠ BOC __＝__ ∠ AOB __；
或∠AOB＝2__ ∠ AOC __＝2__ ∠ BOC __．
【例12】如图， 是 的平分线， 平分 ，且 ，则
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ，且 ，
，
平分 ，
．
故选： ．【变式训练1】如图， 是直线 上的一点，过点 作射线 ， 平分 ，
平分 ，若 ，则 的度数为
A． B． C． D．
【解答】解： 平分 ， ，
，
，
平分 ，
，
．
故选： ．
【变式训练2】如图，点 在直线 上，射线 是 的平分线，若 ，
则 的度数是
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知，
与 互补，
，
射线 是 的平分线，
．
故选： ．
【变式训练3】如图，点 是直线 上一点，以点 为端点在直线 上方作射线 和
射线 ，若射线 平分 ， ，则 的度数是A． B． C． D．
【解答】解：根据题意可得， ，
，
射线 平分 ，
，
故选： ．
角度的加减运算
【例13】如图，已知 ， 是 内的一条射线，且 ．
（1）求 的度数；
（2）过点 作射线 ，若 ，求 的度数．
【解答】解：（1） ， ，
；
（2） ，
，
当 在 内时，
，
当 在 外时，
．
故 的度数为 或 ．
【变式训练1】如图所示， 是 的平分线， 是 的平分线．（1）如果 ， ，那么 是多少度？
（2）如果 ， ，那么 是多少度？
【解答】解：（1） 是 的平分线， 是 的平分线， ，
，
， ，
；
（2） 是 的平分线， ，
，
，
，
是 的平分线，
．
多边形及其表示
多边形：由若干条__不在同一直线上__的线段，__首尾顺次相连__组成的封闭平面图
形．
【例14】如图所示的图形中，属于多边形的有 个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第五个．
故选： ．【变式训练1】下列说法正确的是
A．圆的一部分是扇形
B．一条弧和经过弧的两条半径围成的图形叫做扇形
C．三角形是最简单的多边形
D．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫多边形
【解答】解： 、扇形可以看成圆的一部分，但圆的一部分不一定是扇形，比如随便割一
刀下去，所造成的两部分很难会是扇形．故本选项错误；
、扇形的概念是：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，故本选项错误；
、多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，故本选
项正确；
、由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，故本选
项错误；
故选： ．
【变式训练2】如图所示的图形中，属于多边形的有
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：所示的图形中，属于多边形的有第一个、第二个、第四个，共有3个．
故选： ．
【变式训练3】下列平面图形中，属于八边形的是
A． B．
C． D．【解答】解： 、是六边形，故此选项不符合题意；
、是四边形，故此选项不符合题意；
、是八边形，故此选项符合题意；
、是圆，故此选项不符合题意．
故选： ．
多边形的对角线
多边形的对角线：多边形中连接__不相邻两个顶点__的线段．
【例15】过六边形的某一个顶点能画的对角线条数是
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：由 边形的一个顶点可以引 条对角线，
故过六边形的一个顶点可以画对角线的条数是3，
故选： ．
【变式训练1】如图所示，从八边形 的顶点 出发，最多可以作出的对角线条
数为
A．8 B．7 C．6 D．5
【解答】解：从八边边形的一个顶点出发，最多可以引出该八边形的对角线的条数是
，
故选： ．
【变式训练2】十边形中过其中一个顶点有 条对角线．
A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解： 从任意一个 边形的一个顶点出发可得的对角线的条数为 条，
十边形中过其中一个顶点有7条对角线．
故选： ．
【变式训练3】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将此多边形分成4个三角形，则此多
边形的边数为
A．7 B．6 C．5 D．4
【解答】解：这个多边形的边数是 ．
故选： ．
扇形的面积
1．扇形的圆心角的度数等于扇形占整个圆的比乘以360°，即扇形圆心角＝所占的比
×360°.
2．求扇形面积的“两种方法”
(1)已知圆的半径为r及圆心角的度数为n°，则扇形面积为.
(2)已知圆的半径为r及扇形所占的整个圆的百分比为p，则扇形面积为pπr2.
【例16】如图， 的半径为2， ，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，
，
故选： ．
【变式训练1】如图是 2022 年杭州亚运会徽标的示意图，若 ， ，，则阴影部分面积为
A． B． C． D．
【解答】解：
，
故选： ．
【变式训练2】半径为2的圆中，扇形 的圆心角为 ，则这个扇形的面积是
．
【解答】解： 扇形 的半径为2，圆心角为 ，
扇形的面积为 ，
故答案为： ．
【变式训练3】把一个圆分成甲、乙、丙三个扇形，这三个扇形的面积之比是 ，则其
中最大扇形的圆心角的度数是 ．
【解答】解：由于三个扇形的面积之比是 ，也就是三个扇形所对应的圆心角的度数
比是 ，
所以最大扇形的圆心角的度数为 ，
故答案为： ．1．如图：点 C 是线段 AB 上的中点，点 D 在线段 CB 上，若AD=8，DB= ，则
CD的长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据线段成比例求出DB的长度，即可得到AB的长度，再根据中点平分线段的
长度可得AC的长度，根据 即可求出CD的长度．
【详解】∵
∴
∴
∵点 C 是线段 AB 上的中点
∴
∴
故答案为：D．
【点睛】本题考查了线段的长度问题，掌握成比例线段的性质、中点平分线段的长度是解
题的关键．
2．几何图形都是由点、线、面、体组成的，点动成线，线动成面，面动成体，下列生活现
象中可以反映“线动成面”的是（ ）
A．笔尖在纸上移动划过的痕迹
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体
C．流星划过夜空留下的尾巴
D．汽车雨刷的转动扫过的区域
【答案】D
【分析】根据点动成线，线动成面，面动成体即可一一判定．【详解】解：A．笔尖在纸上移动划过的痕迹，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
B．长方形绕一边旋转一周形成的几何体，反映的是“面动成体”，故不符合题意；
C．流星划过夜空留下的尾巴，反映的是“点动成线”，故不符合题意；
D．汽车雨刷的转动扫过的区域，反映的是“线动成面”，故符合题意．
故选：D
【点睛】本题考查了点动成线，线动成面，面动成体，理解和掌握点动成线，线动成面，
面动成体是解决本题的关键．
3．下列图形旋转一周，能得到如图几何体的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据面动成体，判断出各个选项旋转得到的立体图，即可得出结论．
【详解】A．旋转一周可得本题的几何体，故选项正确，符合题意；
B．旋转一周为两个圆锥结合体，故选项错误，不符合题意；
C．旋转一周为圆锥和圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
D．旋转一周为两个圆锥和一个圆柱的结合体，故选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了面动成体，解题的关键是要有空间想象能力，熟悉并判断出旋转后的
立体图形．
4．如图，O为我国南海某人造海岛，某国商船在A的位置，∠1=40°，商船在海岛的（）
A．北偏西50°方向 B．东偏南40°方向
C．北偏西40°方向 D．南偏东40°方向
【答案】D
【分析】利用方位角先南北，后西东判断即可
【详解】因为∠1=40°
所以点A在O的南偏东40°方向
故选：D
【点睛】本题考查了方位角，熟练掌握是解题的关键．
5．用一个平面去截如图所示的立体图形，可以得到三角形截面的立体图形有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】根据截面与几何体的三个面相交，可得截面是三角形．
【详解】解：用一个平面去截一个几何体，可以得到三角形的截面的几何体有：圆锥，长
方体，三棱柱，
故选：B．
【点睛】本题考查了截一个几何体，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度
和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归
纳的思想方法．
6．数学源于生活，并用于生活，要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中的数
学原理是（ ）A．过一点有无数条直线 B．线段中点的定义
C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线
【答案】D
【分析】根据直线的公理，可得答案．
【详解】解：要把一根木条固定在墙上至少需要钉两颗钉子，其中的数学原理是两点确定
一条直线．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线的公理，熟记直线的公理是解题关键．
7．如图所示，正方体的展开图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正方体的展开图的性质判断即可；
【详解】A中展开图正确；
B中对号面和等号面是对面，与题意不符；
C中对号的方向不正确，故不正确；
D中三个符号的方位不相符，故不正确；
故答案选A．
【点睛】本题主要考查了正方体的展开图考查，准确判断符号方向是解题的关键．
8．下列几何体中，圆柱体是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】根据圆柱体的定义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A. 是圆锥，不符合题意；
B. 是圆台，不符合题意；
C. 是圆柱，符合题意；
D. 是棱台，不符合题意，
故选C．
【点睛】本题主要考查几何体的认识，掌握圆锥、圆柱、圆台、棱台的定义，是解题的关
键．
二、填空题
9．正方体有_____个顶点，经过每个顶点有_______条棱，这些棱都________；
【答案】 8 3 相等
【分析】根据正方体的概念和特性即可解答．
【详解】正方体属于四棱柱．有4×2=8个顶点．经过每个顶点有3条棱，这些棱都相等．
故答案为：8，3，相等．
【点睛】本题主要考查正方体的构造特征，熟知正方体的特征是解题的关键．
10．一个长方体包装盒展开后如图所示（单位：cm），则其容积为 _____cm3．
【答案】6000
【分析】根据题意分别求出长方体的长、宽、高，再根据长方体的体积公式计算即可求解．
【详解】解：由题意可得，该长方体的高为：42﹣32＝10（cm），宽为：32﹣10＝20
（cm），长为：（70﹣10）÷2＝30（cm），
故其容积为：30×20×10＝6000（cm3），
故答案为：6000．
【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是得到长方体的长宽高．11．将一个所有的面都涂上漆的正方体（如图所示）切开，使之成为27个大小相同的小正
方体，那么只有两面涂漆的小正方体有______个．
【答案】12
【分析】如图所示，只有两面涂漆的小正方体，是在正方体的棱上，且在中间的小正方体，
每条棱上有一个，正方体有12条棱，因此得解．
【详解】解： 一个正方体有12条棱，每条棱的中间的小正方体只有两面涂漆，如图，
∴只有两面涂漆的小正方体有12个．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了图形的拆拼，画图演示，细致分析，是解决此题的关键．
12．如图①是一个小正方体的侧面展开图，小正方体从如图②所示的位置依次翻到第1格、
第2格、第3格、第4格、第5格，这时小正方体朝上面的字是__________．
【答案】路
【分析】先由图1分析出：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和
“路”是对面，再由图2结合空间想象得出答案．
【详解】解：由图1可知：“国”和“兴”是对面，“梦”和“中”是对面，“复”和
“路”是对面，
再由图2可知，1、2、3、4、5分别对应的面是“兴”、“梦”、“路”、“国”、
“复”，
所以第5格朝上的字是“路”．所以答案是路．
【点睛】本题考查了正方体的展开图，用空间想象去解决正方体的滚动是解题的关键．
三、解答题
13．如图是一个长方体纸盒的展开图，如果长方体相对面上的两个数字之和相等，求
的值．
【答案】16
【分析】分别找到x与y相对的数字即可求解．
【详解】因为这是长方体纸盒的展开图，
所以“4”与“10”相对，“ ”与“2”相对，“6”与“ ”相对，
所以 ，
所以 ， ，
所以 ．
【点睛】本题考查了长方体的展开图，正确找出相对面是解题的关键．
14．探究：有一长6 ，宽4 的矩形纸板，现要求以其一组对边中点所在直线为轴，旋
转180°，得到一个圆柱，现可按照两种方案进行操作：方案一：以较长的一组对边中点所
在直线为轴旋转，如图①；方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，如图②．(1)请通过计算说明哪种方法构造的圆柱体积大；
(2)若将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为多少？
【答案】(1)按方案一方法构造的圆柱体积大；
(2)将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为144
cm3或96 cm3
【分析】（1）分别按方案一，方案二转法，根据体积公式找出半径与高，代入计算即可；
（2）分两种情况，按长方形长边所在的直线为轴旋转360°，绕长方形的短边所在的直线
为轴旋转360°，确定半径与高代入体积公式计算即可．
（1）
解：方案一：以较长的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=3cm，
体积为： cm3，
方案二：以较短的一组对边中点所在直线为轴旋转，旋转半径为r=2cm，
体积为： cm3，
按方案一方法构造的圆柱体积大；
（2）
解：分两种情况
绕长方形的短边所在的直线为轴旋转360°，得到的圆柱体积为 cm3;
绕长方形绕长边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为
cm3，
综合将此长方形绕着它的其中一条边所在的直线为轴旋转360°，则得到的圆柱体积为为
144 cm3或96 cm3．
【点睛】本题考查基本图形旋转得到的体积问题，掌握解决旋转半径与圆柱体的高是解题
关键．
15．如图一，已知数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 出发，以
个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒(1)线段 __________．
(2)当点 运动到 的延长线时 _________．（用含 的代数式表示）
(3)如图二，当 秒时，点 是 的中点，点 是 的中点，求此时 的长度．
(4)当点 从 出发时，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右
运动，
①点 表示的数为：_________（用含 的代数式表示），
点 表示的数为：__________（用含 的代数式表示）．
②存在这样的 值，使 、 、 三点有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点，请直
接写出 值．______________．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)① ； ② 秒或 秒或 秒
【分析】（1）由数轴上两点间的距离的定义求解即可，数轴上两点间的距离等于数轴上两
点所对应的数的差的绝对值；（2）结合“路程＝速度×时间”以及两点间的距离公式，用 点P运动路程－ 可求
解；
（3）当 秒时，根据路程＝速度×时间，得到 ，所以 ，再 由
点 是 的中点，点 是 的中点，利用中点的定义得到 ， ，
最后由 即可得到结论．
（4）①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向
右运动，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，结合“路
程＝速度×时间”，再利用数轴上两点间距离公式，则点 所表示的数是点 的运动路程加
上点 所表示的数，点 所表示的数是点 的运动路程加上点 所表示的数即可．
②结合①的结论和点 所表示的数，分三种情况讨论即可．
（1）
解：∵在数轴上，点A表示的数为－6，点B表示的数为8，
∴ ．
故答案为：14
（2）
∵在数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位
每秒的速度沿射线 的方向向右运动，运动时间为 秒，
∴ ，
∴ ．
故答案为：
（3）
∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ，动点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度
沿射线 的方向向右运动，
当 秒时， ，
∴ ，
又∵点 是 的中点，点 是 的中点，
∴ ， ，
∴ ．∴此时 的长度为 ．
（4）
①设运动时间为 ，当点 从 点出发时，以 个单位每秒的速度沿射线 的方向向右运
动，另一个动点 同时从 点出发，以 个单位每秒的速度沿射线向右运动，
∴ ， ，
∴点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
故答案为： ；
②结合①的结论和点 所表示的数，可知：
点 表示的数为 ，点 所表示的数为： ，点 所表示的数为： ，
分以下三种情况：
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ；
若点 为中点，则 ，
∴ ，
解得： ．
综上所述，当 为 秒或 秒或 秒时， 、 、 三点中有一点恰好是以另外两点为端
点的线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，
中点的定义，注意分情况讨论．解题的关键是学会用含有t的式子表示动点点P和点Q表
示的数．
