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跟踪训练 02 空间点、直线、平面之间的位置关
系
一．选择题（共15小题）
1．如图，在正方体中， ， ， 分别为 ， ， 上靠近 ， ， 的三等分
点， ， ， ， ， ， 分别是 ， ， 的三等分点， ， ， 为
分别是 ， ， 的中点，则平面 过
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．以上都不正确
【解答】解：如图所示，
设正方体的棱长为3，
取 的三等分点 ，则 ，所以延迟 与 交于点 ，连接 并延长，交于 和 延长线于 ， ，连接 交 于点 ，
过点 作 交 于点 ，
平面 截正方体所得截面即为 ，
设 ，
易知 ，所以 ， ，
所以 ， ， ，解得 ，所以点 与 重合，
， ，所以点 与 重合，
因为 ，所以点 与 重合．
故选： ．
2．下列说法错误的是
A．空间中的三点确定一个平面
B．直线和直线外一点确定一个平面
C．两条相交直线确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
【解答】解：对于 ，由公理2可知：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故
错误；
对于 ，由公理2的推论可知：经过两条相交直线有且只有一个平面，故选项 正确；
对于 ，由公理2的推论可知：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选
项 正确；
对于 ，由公理2的推论可知：经过两条平行直线有且只有一个平面，故选项 正确，
故选： ．
3．下列说法正确的是
A．三点确定一个平面
B．四条首尾相连的线段确定一个平面C．两条异面直线确定一个平面
D．两条相交直线确定一个平面
【解答】解：对于 ：不共线的三点确定一个平面，故 错误；
对于 ：四条首尾相连的线段不一定确定一个平面，故 错误；
对于 ：两条异面直线就不在一个平面内，故 错误；
对于 ：两条相交直线确定一个平面，故 正确．
故选： ．
4．已知长方体 中 ， ， ，用过该长方体体对角线
的平面去截该长方体，则所得截面的面积最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，可得截面 为平行四边形，过点 作 ，垂足为 ，
则截面面积 ，
为定值，
只要 最小，而当 分别为异面直线 和 ， 和 ， 和 的公垂线时，
最小．
分别求得三种情况的距离分别为 ， ， ，故 ，故 ，
结合长方体的对角面的面积 ， ， ，比较所有情况可得截面面积最小值 ．
故选： ．
5．正方体 中， ， ， 分别是 ， ， 的中点．那么过 ，
， 三点的截面图形是
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【解答】解：如图所示，过 ， ， 三点的截面图形是六边形 ，
故选： ．
6．下列说法正确的是
A．空间中任意三点确定一个平面
B．一个西瓜切3刀可以切成7块
C．垂直同一条直线的两条直线互相平行
D．垂直同一个平面的两个平面互相垂直
【解答】解：对于 ，空间中不在同一直线上的三点确定一个平面，故 错误；
对于 ，一个西瓜切3刀等价于一个球体体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可
得7块，故 正确；
对于 ，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或异面，故 错误．
对于 ，垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故 错误．
故选： ．7．下列命题中正确的是
A．三点确定一个平面
B．垂直于同一直线的两条直线平行
C．若直线 与平面 上的无数条直线都垂直，则直线
D．若 、 、 是三条直线， 且与 都相交，则直线 、 、 共面
【解答】解：对于选项 ：不共线的三点确定一个平面，故 错误，
对于选项 ：由墙角模型可知，显然 错误，
对于选项 ：根据线面垂直的判定定理，若直线 与平面 内的两条相交直线垂直，则直
线 与平面 垂直，若直线 与平面 内的无数条平行直线垂直，则直线 与平面 不垂直，
故 错误，
对于选项 ：因为 ，所以 与 唯一确定一个平面，设为平面 ，又 与 和 都相
交，所以 也在平面 内，即直线 、 、 共面，故选项 正确，
故选： ．
8．已知正方体 的棱长是2， ， 分别是棱 和 的中点，点 在
正方形 （包括边界）内，当 平面 时， 长度的最大值为 ．以 为球
心， 为半径的球面与底面 的交线长为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示：
分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
同理 平面 ，又 ，所以平面 平面 ，
因为点 在正方形 （包括边界）内，且 平面 ，
所以点 的轨迹是线段 ，
所以 长度的最大值为 ，
在平面 内取一点 ，使得 ，则 ，
所以以 为球心， 为半径的球面与底面 的交线为
以 为圆心，以1为半径的圆弧 ，
其长度为 ，
故选： ．
9．已知正方体 的棱长为2， 为 的中点， 为 的中点，过 的
平面 与 ， 都平行，则平面 截正方体所得截面的面积为
A．4 B． C．5 D．
【解答】解：如图所示：
分别取 ， ， 的中点 ， ， ，连接 ， ， ， ，
易得 ，则 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ，又 ，故 为平面 与平面 的交线，
，故 为平面 与平面 的交线，
而 ，故 为平面 与平面 的交线，
故梯形 的内部即为所求截面，
由已知得 ，
梯形的高为 ，
故 ，
故选： ．
10．已知圆锥 的底面半径为1，母线 ，过点 的平面 将圆锥 分成两部分，
则截面椭圆周长的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：问题转化为动点 从点 出发，绕圆锥一周回到 ，求 的最短距离．
圆锥的侧面展开图为扇形，圆心角为 ，
最短路径的长度为腰长是3，顶角为 的等腰三角形的底边长度，该长度等于 ．
故选： ．
11．下列命题正确的是
A．三点确定一个平面 B．梯形确定一个平面
C．两条直线确定一个平面 D．四边形确定一个平面
【解答】解：对于选项 ，当三点共线时，不能确定一个平面，故选项 错误，
对于选项 ，梯形的上底和下底是一对平行线，可以确定一个平面，故选项 正确．
对于选项 ，当两条直线异面时，不能确定一个平面，故选项 错误，
对于选项 ，当四边形为空间4边形时，不能确定一个平面，故选项 错误．
故选： ．
12．下列命题中正确的是
A．过三点确定一个圆
B．两个相交平面把空间分成四个区域
C．三条直线两两相交，则确定一个平面
D．四边形一定是平面图形
【解答】解：如果三点共线，则不可能确定圆，所以 不正确；
两个相交平面把空间分成四个区域，正确；
三条直线两两相交，则确定一个平面，或3个平面，所以 正确；
四边形是平面图形，也可能是空间图形，所以 不正确．
故选： ．
13．在棱长为1的正方体 中， 是棱 的中点，点 在侧面 内，
若 ，则 的面积的最小值是A． B． C． D．
【解答】解：以 ， ， 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则 ，0， ， ，1， ， ，1， ，
设 ，0， ，则 ， ， ， ， ， ，
， ，即 ．
取 的中点 ，连结 ，则 点轨迹为线段 ，
过 作 ，则 ．
又 平面 ，故 ，
的最小值为 ．
故选： ．14．在正方体中， ， ， ， 分别是该点所在棱的中点，则下列图形中 ， ， ，
四点共面的是
A． B．
C． D．
【解答】解：对于选项 ，点 ， ， 确定一个平面，该平面与底面交于 ，
而点 不在直线 上，
故 ， ， ， 四点不共面；
对于选项 ，连结底面对角线 ，
则由中位线定理可知， ，又 ，
则 ，
故 ， ， ， 四点共面；
对于选项 ，显然 ， ， 所确定的平面为正方体的底面，
而点 不在该平面内，
故 ， ， ， 四点不共面；
对于选项 ，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点 ， ， 确定的平面，该平面与正方体正面的交线为 ，
而点 不在直线 上，
故 ， ， ， 四点不共面．
故选： ．15．已知 、 为平面， 、 、 、 为点， 为直线，下列推理中错误的是
A． ， ， ， ，则
B． ， ， ， ，则直线 ，直线
C． ， ，则
D． 、 、 ， 、 、 ，且 、 、 不共线，则 、 重合
【解答】解：对于 选项， ， ， ， ，由基本事实2可知 ，
对；
对于 选项， ， ，则直线 ，同理可知，直线 ， 对；
对于 选项， ， ，则 为平面 、 的一个公共点，
但平面 、 相交于过点 的一条直线，而不是点 ， 错；
对于 选项， 、 、 ，且 、 、 不共线，则 、 、 可确定平面 ，同理可知， 、 、 可确定平面 ，故 、 重合， 对．
故选： ．
二．多选题（共5小题）
16．下列四个命题中为真命题的是
A．过空间中任意三点有且仅有一个平面
B．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．空间四点不共面，则任意三点不共线
【解答】解：对于 ，当三点在一条直线上时，过这三点有无数个平面，错误；
对于 ，两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内，正确；
对于 ，若空间两条直线不相交，则这两条直线平行或异面，错误；
对于 ，空间四点不共面，则任意三点不共线，正确．
故选： ．
17．用一个平面截正方体，所得的截面不可能是
A．锐角三角形 B．直角梯形
C．有一个内角为 的菱形 D．正五边形
【解答】解：根据题意，当截面为三角形时，可能出现锐角三角形；
截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形，
可能是菱形，如图中 ，但内角不是 ，
图中菱形锐角内角的余弦值为 ，
当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，
故选： ．
18．已知空间四边形 ，顺次连接四边中点所得的四边形可能是
A．空间四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【解答】解：空间四边形 ，顺次连接四边中点 、 、 、 所得的四边形
，
如图所示：
所以 ， ，
所以四边形 为平行四边形，
当 时，四边形 为菱形，
当 时，四边形 为矩形；
当 ，且 时，四边形 为正方形．
故选： ．
19．如图所示，在正方体 中， 是 的中点，直线 交平面 于
点 ，则下列结论正确的是A． ， ， 三点共线 B． ， ， ， 共面
C． ， ， ， 共面 D． ， ， ， 共面
【解答】解：平面 平面 ，
直线 交平面 于点 ，
，即 ， ， 三点共线，
根据 ， ， 三点共线，知 ，
， ， ， 四点共面，
同理 ， ， ， 四点共面，
， 是异面直线，故 ， ， ， 四点共面是错误的，
故选： ．
20．过正方体棱上三点 ， ， （均为棱中点）确定的截面过点 （点 为 中点）
有
A． B．C． D．
【解答】解：对于 ：确定的截面过点 ，如图所示：
故 正确；
对于 ：确定的截面过点 ，如图所示：
故 不正确；
对于 ：确定的截面过点 ，如图所示：
故 不正确；
对于 ：确定的截面过点 ，如图所示：
故 正确．
故选： ．
三．填空题（共5小题）21．如图，正方体 的棱长为 ，动点 在对角线 上，过点 作垂
直于 的平面，记这样得到的截面多边形（含三角形）的面积为 ，设 ，则当
， 时，函数 的值域为 ．
【解答】如图： 正方体 的棱长为 ，
正方体的对角线长为6，
， ，根据对称性可得：当 或5时，三角形的面积最小，
设截面三角形的边长为 ，由等体积法得： ，
， ．
当 ，即 在 中点时，截面为正六边形的面积最大，
此时正六边形的边长为 ，故截面面积为 ．
故答案为： ．22．如图，长方体木块 中， ， ， ， ， 分别是
线段 ， ， 的中点，平面 上存在点 ，满足 平面 ，则点 与
满足题意的点 构成的平面截长方体所得截面的面积为 ．
【解答】解：如图，连接 ， ， ， ， ， ，
， ， 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
又 平面 ， ， ， 平面 ，平面 平面 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ，
，
， 分别是线段 ， 的中点， ，则点 在 上，
点 与满足题意的点 构成的平面截长方体所得截面为△ ，
， ，△ 的等腰三角形，
边 上的高为 ，
．
故答案为： ．
23．在三棱锥 中，对棱 ， ， ，当平面
与三棱锥 的某组对棱均平行时，则三棱锥 被平面 所截得的截面面积最大
值为 3 ．
【解答】解：将四面体补成长，宽，高分别为 ， ， 的长方体（如下
图），
如图，当截面 平行对棱 ， 时，由长方体的性质可证，截面为平行四边形
，可得 ，
设异面直线 与 所成的角为 ，则 ，
可求得 ，
，同理可得当截面平行于对棱 ， 时截面的面积的最大值为 ，
当截面平行于对棱 ， 时截面的面积的最大值为1，
所以三棱锥 被平面 所截得的截面面积最大值为3
故答案为：3．
24．正四面体 棱长为2， ， ， 分别为 ， ， 的中点，过 作平面
，则平面 截正四面体 ，所得截面的面积为 1 ．
【解答】解：分别取 ， ， 的中点 ， ， ，连接 ， ， ， ，
， ， ，
由题意可知： 且 ，
又因为 且 ，
所以 且 ，
所以四边形 为平行四边形，
因为 且 ，所以 ，则平行四边形 为菱形，
因为 为正四面体，所以三角形 是边长为2的正三角形，
所以 且 ，同理 且 ，
又 ， ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，所以菱形 为正方形．
因为 ， 且 为 的中点，所以 ，因为 ，
所以 ，
同理 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以过 作平面 ，则平面 截正四面体 所得的图形即为正方形 ，
所以截面面积为 ，
故答案为：1．
25．空间不重合的三个平面可以把空间分成 4 ， 6 ， 7 或 8 个部分．
【解答】解：空间不重合的三个平面，
若三个平面互相平行，则可将空间分为4部分；
若三个平面有两个平行，第三个平面与其它两个平面相交，则可将空间分为6部分；
若三个平面交于一线，则可将空间分为6部分；
若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系），则可将空间分为 7
部分；
若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系），则可将空间分为
8部分；
故空间不重合的三个平面可以把空间分成4，6，7或8个部分．
故答案为：4，6，7或8．
四．解答题（共3小题）
26．已知空间四边形 （如图所示）， 、 分别是 、 的中点， 、 分别
是 、 上的点，且 ， ．求证：
① 、 、 、 四点共面；
②三直线 、 、 共点．【解答】证明：① 、 分别是 、 的中点， ， 、 分别是 、
上的点，且 ， ．
，
，
、 、 、 四点共面．
② 、 分别是 、 的中点， ，
、 分别是 、 上的点，且 ， ．
，
，且 ， 四边形 是梯形，
设两腰 ， 相交于一点 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ，且 平面 ，又平面 平面 ，
，即直线 ， ， 相交于一点 ．
27．如图， 在平面 外， ， ， ，求证： 、 、三点共线．
【解答】证明： 面 ， 是面 与 的公共点，
同理 也是面 与 的公共点， 也是面 与 的公共点
、 、 三点都在面 与 的交线上．
28．如图，在棱长为6的正方体 中， 为 的中点， 为 的一个
三等分点（靠近 ．
（1）经过 ， 两点作平面 ，平面 截正方体 所得截面可能是 边形，
请根据 的不同取值分别作出截面图形（每种情况作一个代表类型，例如 只需要画一
一种，下面给了四幅图，可以不用完，如果不够请自行增加），保留作图痕迹；
（2）若 为 的中点，求过点 ， ， 的截面的面积．【解答】解：（1）如图，其中 为 的中点， 为 的三等分点，靠近 ；
为 棱上的四等分点，靠近 ， ；
， 为 棱上的四等分点，靠近 ， ；
（2）如图，截面为六边形，为菱形减去两个三角形，根据三角形相似原理，其中每个三角
形面积为菱形的 ，根据几何关系，菱形的两条对角线为 ， ，其面积
为 ，
所以六边形面积为 ．
