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专题五 数轴上动点问题
1．在数轴上点A、B分别表示数a、b，且|a+24|+(b−10) 2=0．
(1)求a、b的值及A、B两点之间的距离．
(2)如图，点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点
Q的速度是每秒5个单位长度，当运动时间为9秒时，求P、Q之间的距离？
(3)在（2）的条件下，点M从原点与P、Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度
(3<x<5)，若在运动过程中，2MP−MQ的值与运动的时间t无关，求x的值．2．已知数轴上两点A、B对应的数分别为−1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x；O为原
点，
①若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
②数轴上是否存在点P，使点P到点A，点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值；
③当点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动时，点A以每分钟5个单位长度的速度向左
运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等．
（直接写出结果）3．探究与发现：|a−b|表示a与b之差的绝对值，实际上也可理解为a与b两数在数轴上所对应的
两点之间的距离．如|x−3|的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．
(1)如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且AB=20，则数轴上点B
表示的数 ；
(2)若|x−8|=2，则x= ．
(3)拓展与延伸：在（1）的基础上，解决下列问题：动点P从O点出发，以每秒5个单位长度的速
度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t>0)秒．求当t为多少秒时？A，P两点之间的距离为2；
(4)数轴上还有一点C所对应的数为30，动点P和Q同时从点O和点B出发分别以每秒5个单位长度
和每秒10个单位长度的速度向C点运动，点Q到达C点后，再立即以 同样的速度返回，点P到达
点C后，运动停止．设运动时间为t(t>0)秒．问当t为多少秒时？P，Q之间的距离为44．已知式子M=(a+4)x3+8x2−2x+7是关于x的二次三项式，且二次项系数为b，数轴上A，B
两点所对应的数分别是a和b．
(1)则a=__________，b=__________；A，B两点之间的距离为_________；
(2)若有一动点P从数轴上点B处出发，以每秒3个单位长度的速度沿着数轴向左匀速运动，动点Q
从数轴上点A处出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒．若点
P，Q分别从B，A两点同时出发，问点P运动多少秒与点Q相距5个单位？
(3)在（2）的条件下，探索问题：若点M为BQ的中点，点N为AP的中点．当点P在线段AB上运
动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）．5．在数轴上，点A、B分别表示数a，b，且a，b是方程|x−1|=9的两个解(a<b)．规定：两点间
的距离可用这两点的字母表示，如点A与点B之间的距离表示为AB．
(1)a=______，b=______，AB=______．
(2)若在数轴上存在一点C，且AC=2BC，求C点表示的数；
(3)点P以每秒2个单位长度从点A出发沿数轴向右运动，同时点Q以每秒3个单位长度从点B出发沿数轴在B，A两点之间往返运动，且每次返回的速度比前一次速度每秒增加3个单位长度，设运动时
间为t秒．当点P，Q之间的距离为7个单位长度时，求t的值．6．对于直线上三个点R，S，T，我们规定：如果R，S之间的距离等于R，T之间的距离的m倍（m
为正整数），则R叫做S到T的m点．如图（1），数轴上A，B，C，D四点表示的数分别为−3，
3，−1，4，则C是B到A的2点，D是A到B的7点．
(1)A是B到C的________点，B是A到D的_______点；
(2)若A到B的n点与B到A的n点是同一点E，则n=________，E表示的数是_______；
(3)如图（2），若F是A到B的8点，求点F表示的数；
(4)若P是A到B的k点，Q是B到A的k点．直接写出点P，Q之间的距离．（用含k的式子表示）7．自主学习数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，即：点A、B在数轴上分别
对应的数为a、b，则A、B两点间的距离表示为AB=|a−b|．
例：如图，点A、B在数轴上分别对应的数为−1，2，则AB=|2−(−1)|=3．
尝试应用数轴上A、B两点对应的数分别为a、b且a、b满足|b+2a|+(a−2) 2=0．
（1）直接写出：a=______，b=______；
（2）在数轴上有一点P对应的数为x．
①点P到点A的距离可表示为______；点P到A、B两点的距离和可表示为______．（用含x的代数
式表示）
②当点P到A、B两点的距离和为8时，求x的值．
拓展探究：已知A、B、C三点都在数轴上原点O右边（前后顺序不定），所对应的数分别为x，y，
z（y>2），P、Q也在数轴上，其中，P为A、C的中点（即PA=PC），Q为O、B中点（即
OQ=BQ），若2PQ=OA+OB+OC−4，求|x+ y+z−6|+2|y−3|的最小值．8．如图，A，B两点在数轴上分别表示有理数a，b，且|a+3|+(b−9) 2=0，点O为原点，点C在数
轴上O，B两点之间，且AC+OC=BC．
(1)直接写出a=______，b=______，点C所对应的数是______；
(2)动点P从C点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单
位长度的速度向左运动，运动时间为t秒．
①若PC=3CQ，求t的值；
②若动点M同时从A点出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，与点Q相遇后，动点M立即以
同样的速度返回，当t为何值时，点M恰好是线段PQ的中点．9．如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足
|a+3|+|c−5|=0．
(1)a=________，b=________，c=________；(2)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点
C分别以每秒2个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟后，点A表示的数是
________，点B表示的数是________，点C表示的数是________；（用含t的代数式表示）
(3)在（2）基础上，点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，若
mBC−AB的值不随着时间t的变化而改变，求m的值．10．已知A，B两点在数轴上对应的有理数分别为a，b，且a，b满足：(a+6) 2+|b−12|=0．
(1)则a=________；b=________；
(2)定义：若点M为数轴上A，B两点之间一点，且到A，B两点的距离满足：其中一个距离是另一
个距离的2倍，则称M为A，B两点的“友好点”．
①求A，B两点的“友好点”M在数轴上对应的有理数；
②点P以每秒4个单位长度的速度从点A出发，沿数轴向右运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速
度从点B出发，沿数轴向右运动，当点P、Q相遇则停止运动．设运动时间为t秒，若整个运动过程
中，B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”，求t值．11．已知数轴上A，B两点表示的数分别为a，b，且a，b满足|a+12|+(b−20) 2=0．
(1)直接写出a和b的值；
(2)若点C表示的数为4，点M，N分别从A，B两处同时出发相向匀速运动，点M的速度为5个单位
长度/秒，点N的速度为3个单位长度/秒，设两点运动时间为t秒：
①当点M在A，C之间，且CM=BN时，求出此时t的值；
②当点N运动到点A时，立刻以原来的速度返回，到达点C后停止运动；当点M运动到点B时，立刻
以原来速度返回，到达点A后再次以相同速度返回向B点运动，如此在A，B之间不断往返，直至点
N停止运动时，点M也停止运动．求在此运动过程中，M，N两点相遇时t的值．12．如图，A、B两点在数轴上对应的有理数分别是a、b，且|a+10|+|b−32|=0．
(1)请直接写出：a= ______，b= ______；
(2)动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，
动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动（a>0），三个动点同时出发，设运动时间为t秒．
①请用含a或t的式子表示：
动点M对应的数为______，
动点N对应的数为______，
动点T对应的数为______；②若在运动过程中，正好先后两次出现TM=TN的情况，且两次间隔的时间为10秒，求a的值；
③若在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，请直接写出满足条件a的值或a的取值范围是
______．
13．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为−2，b，8．某同学将刻
度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.2cm，点C对齐刻度
6.0cm．我们把数轴上点A到点C的距离表示为AC，同理，A到点B的距离表示为AB．(1)在图1的数轴上，AC= 个长度单位；在图2中刻度尺上，AC= cm；数轴上的1个长度
单位对应刻度尺上的 cm；刻度尺上的1cm对应数轴上的 个长度单位；
(2)在数轴上点B所对应的数为b，若点Q是数轴上一点，且满足CQ=2AB，请通过计算，求b的值
及点Q所表示的数；
(3)点M，N分别从B，C出发，同时向右匀速运动，点M的运动速度为5个单位长度/秒，点N的速
度为3个单位长度/秒，设运动的时间为t秒(t>0)．在M，N运动过程中，若AM−k⋅MN的值不
会随t的变化而改变，请直接写出符合条件的k的值．
14．如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，且AB=5AO（点A与点B之间的距离
记作AB）．(1)则B点表示的数为 ；
(2)若动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后PA=2PB，并
求出此时P点在数轴上对应的数；
(3)若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单
位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到
达A点立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点
N之间的距离是16个长度单位．15．已知：在数轴上有A，B，C三点，其中A，B两点对应的数a，b满足：(a+2) 2+|b−8|=0，
点C在点B的右边，其对应的数为c．
(1)求式子：3ab−4ab−(−2ab)的值；
(2)若点M对应的数为m，动点M在点B的左边(注：点M不与点B重合)，请化简式子：
|m+3|−|m−8|+12；
(3)点P是数轴上B，C两点之间的一个动点(注：点P不与点B，C重合)，设点P表示的数为x，当点
P在运动的过程中，无论怎么运动，式子：bx−cx+2|x−a|−9|x−c|的值始终保持不变，求：
c2+2c+1的值．参考答案
1．(1)a=−24，b=10，A、B两点之间的距离为34
(2)P、Q之间的距离为52
11
(3)x的值为
3
【分析】（1）由非负数的性质即可求得a、b的值，从而得到数轴上点A、B分别表示的数，再根
据两点间的距离公式进行计算即可得到答案；
（2）先分别求出运动时间为9秒时，点P、Q表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可得
到答案；
（3）分别表示出运动t秒后，点P表示的数为−24+3t，点Q表示数为10+5t，点M表示的数为xt，
从而得到MP=(x−3)t+24，MQ=10+(5−x)t，2MP−MQ=(3x−11)t+38，根据2MP−MQ
的值与运动的时间t无关可得3x−11=0，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：∵|a+24|+(b−10) 2=0，|a+24|≥0，(b−10) 2≥0，
∴a+24=0，b−10=0，
解得：a=−24，b=10，
∴在数轴上点A、B分别表示数−24、10，
∴ A、B两点之间的距离为：10−(−24)=10+24=34；
（2）解：∵点P、Q分别从点A、B同时出发沿数轴向右运动，点P的速度是每秒3个单位长度，
点Q的速度是每秒5个单位长度，
∴当运动时间为9秒时，点P表示的数为：−24+3×9=−24+27=3，点Q表示的数为：
10+5×9=10+45=55，
∴ P、Q之间的距离为：55−3=52；
（3）解：∵点M从原点与P、Q同时出发沿数轴向右运动，速度是每秒x个单位长度(3<x<5)，
∴运动t秒后，点P表示的数为−24+3t，点Q表示数为10+5t，点M表示的数为xt，∴MP=xt−(−24+3t)=(x−3)t+24，MQ=10+5t−xt=10+(5−x)t，
∴2MP−MQ=2[(x−3)t+24]−[10+(5−x)t]
=(2x−6)t+48−10−(5−x)t
=(3x−11)t+38，
∵ 2MP−MQ的值与运动的时间t无关，
∴3x−11=0，
11
解得：x=
3
11
∴在运动过程中，2MP−MQ的值与运动的时间t无关，x的值为 ．
3
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、一元一
次方程的应用等知识点，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解此题的关键．
3 7 4 2
2．①1；②存在，− 或 ；③ 分钟或 分钟
2 2 15 23
【分析】①根据数轴的性质建立方程，解方程即可得；
②分三种情况：点P在点A的左侧、点P在点A和点B的中间、点P在点B的右侧，分别根据数轴的
性质建立方程，解方程即可得；
③设t分钟时点P到点A、点B的距离相等，则此时点P对应的数为−t，点A对应的数为−1−5t，点
B对应的数为3−20t，建立方程，解方程即可得．
【详解】解：①由题意得：|x−(−1)|=|x−3|，
∴|x+1|=|x−3|，
∴x+1=x−3或x+1=3−x，
解方程x+1=x−3得：方程无解，
解方程x+1=3−x得：x=1，
所以点P对应的数是1．3
②当点P在点A的左侧时，则−1−x+3−x=5，解得x=− <−1，符合题设；
2
当点P在点A和点B的中间时，则x+1+3−x=4≠5，舍去；
7
当点P在点B的右侧时，则x+1+x−3=5，解得x= >3，符合题设；
2
3 7
综上，存在这样的点P，此时x的值为− 或 ．
2 2
③设t分钟时点P到点A、点B的距离相等，
此时点P对应的数为−t，点A对应的数为−1−5t，点B对应的数为3−20t，
则|−1−5t−(−t)|=|3−20t−(−t)|，即|4t+1|=|19t−3|，
∴4t+1=19t−3或4t+1=3−19t，
4 2
解得t= 或t= ，
15 23
4 2
答： 分钟或 分钟时点P到点A、点B的距离相等．
15 23
【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键．
3．(1)−12
(2)6或10
6
(3)当t为 秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2
5
8 16 68 76
(4)当t为 或 或 或 秒时，P，Q之间的距离为4
5 5 15 15
【分析】（1）利用数轴上两点间的距离公式，找出点B表示的数；
（2）利用绝对值的定义（绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离），去掉绝对值符号；
（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程；21 21
（4）分0<t< ， ≤t<6或t≥6三种情况，找出关于t的一元一次方程．
5 5
【详解】（1）数轴上点B表示的数=8−20=−12．
故答案为：−12；
（2）∵|x−8|=2，
∴x−8=−2或x−8=2，
∴x=6或x=10．
故答案为：6或10．
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数为5t，
依题意得：|5t−8|=2，
即5t−8=−2或5t−8=2，
6
解得：t= 或t=2．
5
6
答：当t为 秒或2秒时，A，P两点之间的距离为2．
5
（4）P到达C点时间：(30−0)÷5=6（秒），
21
Q到达C点时间：|−12−30|÷10= （秒）．
5
21
当0<t< 时，P、Q都没有到达C点，
5
点P表示的数为5t，点Q表示的数为10t−12，
依题意得：|5t−(10t−12)|=4，
即12−5t=4或5t−12=4，
8 16
解得：t= 或t= ；
5 521
当 ≤t<6时，Q已经到达C点，P没有到达C点，
5
( 21)
点P表示的数为5t，点Q表示的数为−10 t− +30=−10t+72，
5
依题意得：|5t−(−10t+72)|=4，
即72−15t=4或15t−72=4，
68 76
解得：t= 或t= ；
15 15
当t≥6时，P、Q都已经到达C点
( 21)
点P表示的数为30，点Q表示的数为−10 t− +30=−10t+72，
5
依题意得：30−(−10t+72)=4，
23
解得：t= （不合题意，舍去）．
5
8 16 68 76
答：当 t 为 或 或 或 秒时，P，Q 之间的距离为 4．
5 5 15 15
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值，解题的关键是运用分类讨论的思想去
解决问题．
4．(1)−4，8，12
7 17
(2) 秒或 秒
5 5
(3)PQ+2MN=12或2MN−PQ=12
【分析】（1）根据多项式的相关概念求出a，b的值，再根据两点之间的距离求出结果；
（2）求出t秒后，点P和点Q表示的数，再根据两点之间距离为5，列出方程，解之即可；
（3）根据中点的意义求出点M和点N表示的数，再分别求出MN，PQ，结合运动时间，分情况去绝对值，继而得到结果．
【详解】（1）解：∵M=(a+4)x3+8x2−2x+7是关于x的二次三项式，二次项系数为b，
∴a+4=0，b=8，
∴a=−4，
∴A，B两点之间的距离为8−(−4)=12；
（2）由题意可得：t秒后，
点P表示的数为：8−3t，点Q表示的数为：−4+2t，
则|(8−3t)−(−4+2t)|=5，
7 17
解得：t= 或t= ，
5 5
7 17
∴点P运动 秒或 秒与点Q相距5个单位；
5 5
（3）∵点M为BQ的中点，点N为AP的中点，
−4+2t+8 −4+8−3t 3
∴点M表示的数为 =2+t，点N表示的数为 =2− t，
2 2 2
| ( 3 )| 5
则MN= (2+t)− 2− t = t，
2 2
PQ=|(8−3t)−(−4+2t)|=|12−5t|，
∵点P在线段AB上运动，
12
∴0≤t≤ ，即0≤t≤4，
3
12 5
∴当0≤t≤ 时，PQ=12−5t，MN= t，
5 2
则PQ+2MN=12；12 5
当 ≤t≤4时，PQ=5t−12，MN= t，
5 2
则2MN−PQ=12．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，两点之间的距离，绝对值的意义和化简，整式的加减，一
元一次方程的应用，多项式的定义，解题的关键是掌握数形结合的思想方法，分类讨论，化简绝对
值的方法．
5．(1)−8，10，18
(2)4或28
11 29 106 25
(3)t=5， ， ， 或
5 4 11 2
【分析】（1）解绝对值方程，求出方程的解，即可得出结果，根据两点间的距离公式求出AB的长；
（2）设C点表示的数为x，根据两点间的距离公式列出方程进行求解即可；
（3）分0<t≤6，6<t≤9，9<t≤11，11<t≤12.5四种情况讨论求解即可．
本题考查一元一次方程的实际应用，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式，正确的列出
方程，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵|x−1|=9，
∴x−1=±9，
∴x=10或x=−8；
∴a=−8，b=10，
故答案为：−8，10，18；
（2）设C点表示的数为x，由题意，得：
|x+8|=2|x−10|
解得x=4或28
∴C点表示的数为4或28（3）由题意可知：P点表示的数为：−8+2t
①当0<t≤6时，Q点表示的数为：10−3t
|(−8+2t)−(10−3t)|=7
11
解得t=5或
5
②当6<t≤9时，Q点表示的数为：−8+6(t−6)
|(−8+2t)−[−8+6(t−6)]|=7
29 43
解得t= 或 （舍）
4 4
③当9<t≤11时，Q点表示的数为：10−9(t−9)
|(−8+2t)−[10−9(t−9)]|=7
106 92
解得t= 或 （舍）
11 11
④当11<t≤12.5时，Q点表示的数为：−8+12(t−11)
|(−8+2t)−[−8+12(t−11)]|=7
25 139
解得t= 或 （舍）
2 10
11 29 106 25
综上：t=5， ， ， 或 ．
5 4 11 2
6．(1)3；6
(2)1；0
7 27
(3)点F表示的数是 或
3 7
6k−6 6k+6 6k 6
(4)点P，Q之间的距离为 或 或 +
k+1 k−1 k+1 k−1【分析】（1）根据题干提供信息进行解答即可；
EA EB
（2）根据题意得出： = =n，求出E表示的数即可；
EB EA
（3）分①若F在A、B之间，②若F在B的右侧两种情况进行讨论得出结果即可；
（4）分四种情况进行讨论，①当点P和点Q在AB之间时，②当点P在AB之间，点Q在A点左侧
时，③当点Q在AB之间，点P在点B右侧时，④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，分别画
出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：∵AB=|−3−3|=6，AC=|−3−(−1)|=2，6÷2=3，
∴A是B到C的3点，
∵BA=|−3−3|=6，BD=|4−3|=1，6÷1=6，
∴B是A到D的6点；
故答案为：3；6．
（2）解：根据题意得：
EA EB
∴ = =n，
EB EA
∴EB=EA，
−3+3
∴点E表示的数为 =0，n=1；
2
故答案为：1；0．
（3）解：∵F是A到B的8点
∴FA=8FB，
①若F在A、B之间：
3−(−3) 7
则F：3− = ；
8+1 3②若F在B的右侧：
3−(−3) 27
则F：3− = ；
8−1 7
7 27
∴点F表示的数是 或 ．
3 7
（4）解：∵k为正整数，
∴点P到点A的距离大于等于点P到点B的距离，
即点P在数轴上一定在点A的右侧，
同理可知，点Q在数轴上一定在点B的左侧；
①当点P和点Q在AB之间时，如图所示：
PA
∵AB=6， =k，
PB
6k 6
∴PA= ，PB= ，
k+1 k+1
6k 6
同理，QB= ，QA= ，
k+1 k+1
6k 6 6k−6
则PQ=PA−QA= − = ；
k+1 k+1 k+1
②当点P在AB之间，点Q在A点左侧时，如图所示：
6k 6
由①可知，PA= ，PB= ，
k+1 k+1
∵QB=kQA，QB−QA=6，
6 6k
∴QA= ，QB= ，
k−1 k−16 6k
则PQ=QA+PA= + ；
k−1 k+1
③当点Q在AB之间，点P在点B右侧时，如图所示：
6k 6
由①可知，QB= ，QA= ，
k+1 k+1
PA
∵ =k，PA−PB=6，
PB
6 6k
∴PB= ，PA= ，
k−1 k−1
6k 6
则PQ=QB+PB= + ；
k+1 k−1
④当点Q在A左侧时，点P在点B右侧时，如图所示：
6 6k
由②③可知，QA= ，QB= ，
k−1 k−1
6 6k
PB= ，PA= ，
k−1 k−1
6k 6 6k+6
则PQ=QB+PB= + = ；
k−1 k−1 k−1
6k−6 6k+6 6k 6
综上分析可知，点P，Q之间的距离为 或 或 + ．
k+1 k−1 k+1 k−1
【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，解题的关键是数形结
合，注意进行分类讨论．
7．（1）2；−4；（2）①|x−2|；|x−2|+|x+4|；②3或−5；拓展探究：y=3有最小值为1
【分析】（1）依题意得：a−2=0，b+2a=0解出即可求解．
（2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可求解；②分类讨论：当点P在A点和B点之间时，当点
P在A点右侧时，当点P在B点左侧时，进而可求解．1
拓展探究：当P为A、C的中点时，P表示的数为： (x+z)，当Q为O、B中点时，Q表示的数为：
2
1
y，则2QP=|x+z−y|，由已知可得2PQ=OA+OB+OC−4，进而可得
2
|x+z−y|=x+z−y−4，化简可得x+z=2，进而可得|x+ y+z−6|+2|y−3|=|y−4|+2|y−3|，
分类讨论：当y<3时，当3≤ y≤4时，当y>4时，化简即可求解．
【详解】（1）依题意得：
a−2=0，即：a=2，
b+2a=0，即：b+4=0，
解得：b=−4，
故答案为：2；−4．
（2）①依题意得：点P到点A的距离可表示为|x−2|，
点P到A、B两点的距离和可表示为|x−2|+|x+4|，
故答案为：|x−2|；|x−2|+|x+4|
②依题意：当点P在A点和B点之间时，此时|x−2|+|x+4|=6，不成立；
当点P在A点右侧时，结合图形可知：x=3；
当点P在B点左侧时，结合图形可知：x=−5；
答：x的值为3或−5．
1
拓展探究：当P为A、C的中点时，P表示的数为： (x+z)，
2
1
当Q为O、B中点时，Q表示的数为： y，
2
∴2QP=|x+z−y|，
OA=x，BO= y，OC=z，
∵2PQ=OA+OB+OC−4，
∴|x+z−y|=x+z−y−4，∴x+z−y=−x−z+ y+4或x+z−y=x+z−y−4，
解得：x+z=2或y=2（舍去），
故x+z=2，
∴|x+ y+z−6|+2|y−3|=|y−4|+2|y−3|，
当y<3时，|y−4|+2|y−3|=4−y+6−2y=10−3 y>1；
当3≤ y≤4时，|y−4|+2|y−3|=4−y+2y−6= y−2，
则1≤ y−2≤2；
当y>4时，|y−4|+2|y−3|=|y−|+2y−6=3 y−10，
则3 y−10>2，
综上所述，当3≤ y≤4时，1≤|x+ y+z−6|+2|y−3|≤2，
∴|x+ y+z−6|+2|y−3|的最小值为1，此时y=3，
∴当y=3时，|x+ y+z−6|+2|y−3|的最小值为1．
【点睛】本题考查了列代数式、绝对值、非负性的应用、数轴上两点之间的距离的应用，理解题意，
利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
8．(1)−3，9，2
21 17
(2)①t=3或t= ；②当t= ，t=3时，点M恰好是线段PQ的中点
5 11
【分析】（1）先利用非负数的性质求解a=−3，b=9，设C对应的数为x，利用AC+OC=BC，
再结论方程求解即可；
（2）①由t秒后，Q点对应的数是：9−2t，可得CQ=|2t−7|，PC=t， 利用PC=3CQ，再建
立方程求解即可；②先求解M，Q相遇时t=2，再分两种情况讨论：当0<t≤2时，此时动点M还未
返回，点M处于P，Q之间，当t>2时，此时动点M遇到Q点后返回，动点M在t=2时相遇，并返回，
再利用点M恰好是线段PQ的中点建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵|a+3|+(b−9) 2=0，∴a+3=0，b−9=0，
解得：a=−3，b=9，
设C对应的数为x，AC+OC=BC，
∴x−(−3)+x=9−x，
解得：x=2，
∴C对应的数为：2；
（2）①依题意，t秒后，Q点对应的数是：9−2t，
∴CQ=|9−2t−2|=|2t−7|，
∵PC=t， PC=3CQ，
21
∴3⋅|2t−7|=t，解得：t=3或t= ．
5
②依题意，t秒后，M，Q相遇，而M点对应的数是：−3+4t，
∴−3+4t=9−2t，解得t=2，
（i）当0<t≤2时，此时动点M还未返回，点M处于P，Q之间，
此阶段P点对应的数是：2−t，Q点对应的数是：9−2t，M点对应的数是：−3+4t，∴
PM=5t−5，QM=12−6t，
∵点M恰好为PQ的中点，可得：PM=QM，
17
∴5t−5=12−6t，解得：t= ，
11
（ii）当t>2时，此时动点M遇到Q点后返回，动点M在t=2时相遇，并返回，
此时动点M所在位置表示的数是5，此阶段，M点对应的数是：5−4(t−2)=13−4t，P点对应的
数是：2−t，Q点对应的数是：9−2t，
∴PM=|3t−11|，QM=|2t−4|，
∵点M恰好为PQ的中点，可得：PM=QM，
∴|3t−11|=|2t−4|，解得：t=3，或t=7，但当t=7，P、Q恰好相遇，点M不可能是线段PQ的中点，故舍去，
17
综上所得：当t= ，t=3时，点M恰好是线段PQ的中点．
11
【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，非负数的性质，一元一次方程的应用，绝对值方程
的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
9．(1)−3，−1，5
(2)−3−t，−1+2t，5+3t
(3)3
【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出
a、c的值;
（2）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数；
（3）利用两点间的距离先表示出AB，BC，再代入mBC−AB中，整理式子，让m−3=0即可求出
最终结果．
【详解】（1）解：∵b是最大的负整数
∴b=−1
∵|a+3|+|c−5|=0
∴a+3=0,c−5=0
∴a=−3,c=5
故答案为：a=−3,b=−1,c=5．
（2）解：∴a=−3，点A以每秒1个单位长度的速度向左运动
∴A:−3−t
∵b=−1，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动
∴B:−1+2t
∵c=5，点C分别以每秒3个单位长度的速度向右运动∴C:5+3t
（3）解：AB=B−A=(2t−1)−(−t−3)=3t+2
BC=C−B=(3t+5)−(2t−1)=t+6
mBC−AB=m(t+6)−(3t+2)=mt+6m−3t−2=(m−3)t+6m−2
∴m−3=0，即m=3
mBC−AB的值不随着时间t的变化而改变时，m=3．
【点睛】本题主要考查了数轴、两点间的距离、绝对值以及偶次方的非负性，根据点运动的方向和
速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．
10．(1)−6，12
54
(2)①6或0；②3或4或 或5.4
11
【分析】本题是新定义题型，主要考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，理解新定义，
进行分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案；
（2）①设点M表示的数为m，然后根据友好点的定义求解即可；
②根据题意得点P表示的数是−6+4t，点Q表示的数是12+t，然后分点B在P、Q之间；点B在
P、Q的左侧讨论即可．
【详解】（1）解：∵(a+6) 2+|b−12|=0，(a+6) 2≥0，|b−12|≥0，
∴a+6=0，b−12=0，
∴a=−6，b=12．
故答案为：−6，12；
（2）①设点M表示的数为m，
根据题意得m−(−6)=2(12−m)或2[m−(−6)]=12−m，解得m=6或m=0，
所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是6或0．
②设运动的时间为x秒，点P表示的数是−6+4t，点Q表示的数是12+t，
当B在P、Q之间时，
根据题意，得12−(−6+4t)=2(12+t−12)或2[12−(−6+4t)]=12+t−12，
解得t=3或4；
当点B在P、Q的左侧时，
根据题意，得−6+4t−12=2[12+t−(−6+4t)]或2(−6+4t−12)=12+t−(−6+4t)，
54
解得t=5.4或t= ，
11
54
综上，当t的值为3或4或 或5.4时，B，P，Q三点中有一点是另两点的“友好点”．
11
11．(1)a=−12，b=20
(2)①t=2；②M，N两点相遇时t的值为4，12，16
【分析】本题考查了绝对值的非负性，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，掌握数轴上两
点之间距离的表示方法，以及仔细分析点的运动情况，具有分类讨论的思想是解题的关键．
（1）根据绝对值和平方的非负性，即可解答；
（2）①易得点M表示的数为−12+5t，则当点M在A，C之间时，CM=4−(−12+5t)，BN=3t，
根据CM=BN，列出方程求解即可；②求出AB=32，AC=16，进而得出N点运动时间为16秒，
再进行分类讨论：当点M与点N第一次迎面相遇时，两点运动总路程为AB之间的距离32；当点M
与点N第二次迎面相遇时，两点运动总路程为3个AB之间的距离96，当点M与点N第一次同向相
遇时，点M比点N多运动1个AB之间的距离32，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵|a+12|+(b−20) 2=0，∴a+12=0,b−20=0，
解得a=−12，b=20；
（2）解：①依题意得，点M表示的数为−12+5t
当点M在A，C之间时，
CM=4−(−12+5t)，BN=3t，
∴4−(−12+5t)=3t，
解得t=2；
②AB=20−(−12)=32，AC=4−(−12)=16，
N点运动时间共计(32+16)÷3=16(s)，
当点M与点N第一次迎面相遇时，两点运动总路程为AB之间的距离32，
t=32÷(5+3)=4(s)；
当点M与点N第二次迎面相遇时，两点运动总路程为3个AB之间的距离96，
t=96÷(5+3)=12(s)；
当点M与点N第一次同向相遇时，点M比点N多运动1个AB之间的距离32，
t=32÷(5−3)=16(s)；
综上所述，M，N两点相遇时t的值为4，12，16．
12．(1)−10，32
82
(2)①−10−2t，32−4t，−at②2或 ③a≥4
31
【分析】（1）根据绝对值的非负性即可作答；
（2）①向左运动用减法运算，向右运动用加法运算：则动点M对应的数为−10−2t，动点N对应
的数为32−4t，动点T对应的数为−at；
②当M与N重合时，−10−2t=32−4t，t=21，根据两次间隔的时间为10秒，可知另一次TM=TN是在t=11或t=31时；可得11a−12=−11a+32，或−31a+92=31a−72，即可解得答
案；
③t=21时，M与N重合，此时TM=TN，根据在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，故
当t=21时，T在M的左侧，有−21a<−10−2×21，当t>21时，T不能是MN的中点，可知N不
能追上T，有a≥4．
【详解】（1）解：∵|a+10|+|b−32|=0，
∴a+10=0，b−32=0，
解得a=−10，b=32；
（2）解：①根据题意，因为动点M从A点出发以2单位/秒的速度向左运动，
所以动点M对应的数为−10−2t，
因为动点N从B点出发以4单位/秒的速度向左运动，
所以动点N对应的数为32−4t，
因为动点T从原点O出发以a单位/秒的速度向左运动
动点T对应的数为−at；
②当M与N重合时，TM=TN，
∴−10−2t=32−4t
解得t=21，
∵两次间隔的时间为10秒，
∴另一次TM=TN是在t=11或t=31时；
当t=11时，
则TN=32−4×11−(−11a)=11a−12，TM=−11a−(−10−2×11)=−11a+32，
∴11a−12=−11a+32，
解得a=2；
当t=31时，则TN=−31a−(32−4×31)=−31a+92，TM=−10−2×31−(−31a)=31a−72，
∴−31a+92=31a−72，
82
解得a= ，
31
82
∴a的值为2或 ；
31
③由②知，当t=21时，M与N重合，此时TM=TN，
∵在运动过程中，恰好只有一次TM=TN的情况，
∴当t≤21时，T不能是MN的中点，即当t=21时，T在M的左侧，
∴−21a<−10−2×21，
52
解得a> ；
21
当t>21时，T也不能是MN的中点，即N不能追上T，
故T的速度要大于等于N的速度，
∴a≥4，
综上所述，a≥4．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列代数式表示式，数轴上表示有理数，数轴上的动点问题，
绝对值的非负性，化简绝对值，熟练运用分类讨论思想，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式
表示动点所表示的数．
5
13．(1)10； 6； 0.6；
3
(2)b的值是0，点Q所表示的数为2或10
5 5
(3)k=− 或 ．
2 2
【分析】（1）AC等于A、C两点对应的数相减的绝对值，观察图，可得AC，用AC在刻度尺上的
数值除以数轴上AC的长度单位，可得数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的多少厘米，1厘米除以数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的厘米，即刻度尺上的1cm对应数轴上的多少长度单位；
（2）A到B在刻度尺上是1.2厘米，对应在数轴上有两个长度单位，可得b的值，由于CQ=2AB，
可以列式求得点Q所表示的数；
（3）根据AM−k⋅MN列出式子，AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，所以t的系数为0，
可求得k的值．
【详解】（1）AC=|8−(−2)|=10，
刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，点C对齐刻度6.0cm，
∴在图2中刻度尺上，AC=6cm，
6÷10=0.6cm，
数轴上的1个长度单位对应刻度尺上的0.6cm，
5
1÷0.6= ，
3
5
刻度尺上的1cm对应数轴上的 个单位长度，
3
5
故答案为：10，6，0.6， ；
3
（2）∵点B对齐刻度1.2cm，
∴数轴上点B所对应的数为b，b=−2+1.2÷0.6=0，
∵CQ=2AB，AB=|−2−0|=2，
设点Q在数轴上对应的点为x，则CQ=|8−x|，
∴|8−x|=4，
解得：x=4或x=12，
点Q所表示的数为4或12，
∴b的值是0，点Q所表示的数为4或12；
（3）由题意得，点M追上点N前，即t<4，AM=AB+BM=2+5t，k⋅MN=k(BC+CN−BM)=k(8+3t−5t)=k(8−2t)，
AM−k⋅MN=2+5t−k(8−2t)=2−8k+(5+2k)t，
∵AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，
∴5+2k=0，
5
解得：k=− ，
2
点M追上点N后，即t>4，
AM=AB+BM=2+5t，，k⋅MN=k(BM−CN−BC)=k(5t−3t−8)=k(2t−8)，
AM−k⋅MN=2+5t−k(2t−8)=2+8k+(5−2k)t，
∵AM−k⋅MN的值不会随t的变化而改变，
∴5−2k=0，
5
解得：k= ，
2
5 5
∴k=− 或 ．
2 2
【点睛】本题考查了实数与数轴的应用，关键是根据信息列式．
14．(1)−24
(2)经过7或27秒钟后PA=2PB，此时P点在数轴上对应的数分别为−14、−54；
(3)2.8或9.2或14.8或23秒
【分析】（1）先的出AO的长，进而得到AB的长，再根据数轴上两点之间的距离，即可求出B点
表示的数；
（2）设经过t秒后PA=2PB，从而得到OP=2t，分两种情况讨论：①当点P在AB上时；②当点P
在AB延长线上时，分别表示出PA和PB，列方程求解，即可得到答案．
（3）分四种情况讨论：①第一次相遇前；②第一次相遇后；③第二次相遇前；④第二次相遇后，根
据题意分别列方程求解，即可得到答案．【详解】（1）解：∵O为原点，点A表示的数是6，
∴AO=6,
∵AB=5AO,
∴AB=30，
∴B点表示的数为6−30=−24，
故答案为：−24
（2）解：∵点A表示的数是6，B点表示的数为−24，
∴OA=6，OB=24，
设经过t秒后PA=2PB，
∵动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向左运动，
∴OP=2t，
①当点P在AB上时，此时PA=OA+OP=6+2t，PB=OB−OP=24−2t，
由题意得：6+2t=2(24−2t)，
解得：t=7，
∴OP=2×7=14，
即P点在数轴上对应的数为−14；
②当点P在AB延长线上时，此时PA=OA+OP=6+2t，PB=OP−OB=2t−24，
由题意得：6+2t=2(2t−24)，
解得：t=27，
∴OP=2×27=54，
即P点在数轴上对应的数为−54；
综上可知，经过7或27秒钟后PA=2PB，此时P点在数轴上对应的数分别为−14、−54；
（3）解：∵动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，
以3个单位长度/秒的速度向A点运动，设M点的运动时间为t秒时，点M和点N之间的距离是16个长度单位,
∴AM=2t，BN=3t，
①第一次相遇前，此时AM+MN+BN=AB，
∴2t+16+3t=30，
解得：t=2.8；
②第一次相遇后，此时AM+BN−MN=AB，
∴2t+3t−16=30，
解得：t=9.2；
③第二次相遇前，此时AM+MN+BN=2AB，
∴2t+16+3t=3×30，
解得：t=14.8；
④第二次相遇后，
当2t+3t=90时，即t=18时，M、N第二次相遇，
t=20时，点M和点N之间的距离是(2+3)×(20−18)=10，此时点N到达B点停止运动，点M继续
向A点移动，
此时，2t=30+16，
解得：t=23；
综上可知，t为2.8或9.2或14.8或23秒时，点M和点N之间的距离是16个长度单位．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，数轴上两点的距离，线段的和与差，一元一次方程的应用，
利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．
15．(1)−16；
(2)2m+7或1；
(3)400【分析】本题主要考查非负数的性质、代数式的化简求值、数轴，整式的加减运算；
（1）根据非负数的性质即可求得a=−2，b=8，再将所求式子合并同类项，最后代入a,b的值即可
求解；
（2）有题意可得m＜8，再分m＜−3和−3≤m＜8两种情况，分别去绝对值符号即可求解；
（3）根据题意，将bx−cx+2|x−a|−9|x−c|化简得19x−cx+4，由P在运动的过程中，无论
怎么运动，该式的值始终保持不变可得c=19，代入即可求解．
【详解】（1）解：∵ (a+2) 2+|b−8|=0，(a+2) 2≥0，|b−8|≥0，
∴a+2=0，b−8=0，
解得：a=−2，b=8，
∴3ab−4ab−(−2ab)
=−ab+2ab
=ab
=−2×8
=−16；
（2）∵点M对应的数为m，动点M在点B的左边，且点M不与点B重合，
∴m<8，
当m<−3时，|m+3|−|m−8|+12=−m−3+m−8+12=1，
当−3≤m<8时，|m+3|−|m−8|+12=m+3+m−8+12=2m+7；
（3）∵点C在点B的右边，
∴c>8，
∵点P是数轴上B，C两点之间的一个动点，且点P不与点B，C重合，
∴8<x<c，
∴bx−cx+2|x−a|−9|x−c|=8x−cx+2|x+2|−9|x−c|
=8x−cx+2x+4+9x−9c
=19x−cx+4−9c，
∵当点P在运动的过程中，无论怎么运动，式子：bx−cx+2|x−a|−9|x−c|的值始终保持不变，
∴19x−cx=0，解得：c=19，
∴ c2+2c+1=192+2×19+1=400．
