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第16章 二次根式能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。）
1．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√12
A．❑√0.5 B．❑ C．❑√8 D．❑√3
7
【答案】D
【分析】本题考查了最简二次根式，利用二次根式性质化简，根据最简二次根式的性
质逐项化简判断即可．
√1 ❑√2
【详解】解：A、❑√0.5=❑ = ，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；
2 2
√12 2❑√21
B、❑ = ，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；
7 7
C、❑√8=2❑√2，原二次根式不是最简二次根式，不符合题意；
D、❑√3为最简二次根式，符合题意，
故选：D．
2．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A． 与 B． 与
−3 ❑√(−3) 2 −2 √3−8
1
C．−3与− D．|−❑√5)与❑√5
3
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次根式的化简、相反数的定义、立方根、绝对值等知识点，
掌握相关化简方法是解题的关键．
先将各数化简，再根据相反数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
❑√(−3) 2=3
∴−3与3互为相反数，符合题意；
B、∵√3−8=−2，
∴−2与−2不互为相反数，不符合题意；
1
C、由−3与− 互为倒数，不互为相反数，不符合题意；
3D、∵ ，
|−❑√5)=❑√5
∴❑√5与❑√5不互为相反数，不符合题意．
故选：A．
√ y √ x
3．已知x+ y=−9，xy=9，则x❑ + y❑ 值是（ ）
x y
A．6 B．−6 C．3 D．−3
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的混合运算，先根据x+ y=−9，
可得 ， ，再根据二次根式的性质可得 ， ，再利用二
xy=9 x<0 y<0 ❑√x2=−x ❑√y2=−y
次根式的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵x+ y=−9，xy=9，
∴x<0，y<0，
∴ ， ，
❑√x2=−x ❑√y2=−y
√ y √ x
∴x❑ + y❑
x y
√ y √ x
=−❑√x2 ⋅❑ −❑√y2 ⋅❑
x y
=−❑√xy−❑√xy
=−2❑√xy
=−2❑√9
=−6，
故选：B．
√a √ 1
4．计算：❑ ÷❑√ab⋅❑ 等于（ ）
b ab
1 1 1
A． ❑√ab B． ❑√ab C． ❑√ab D．b❑√ab
ab2 ab b
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质
√a
❑√a·❑√b=❑√ab(a≥0,b≥0),❑√a÷❑√b=❑ (a≥0,b≥0)，熟练掌握相关运算法则是解
b题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即
可．
√a √ 1
【详解】解：❑ ÷❑√ab⋅❑
b ab
√a 1
=❑ ÷ab×
b ab
√a 1 1
=❑ × ×
b ab ab
√ 1
=❑
ab3
√ ab
=❑
a2b4
1
= ❑√ab，
ab2
故选：A．
5．计算
(❑√2+1) 2026 ⋅(❑√2−1) 2025
的结果为（ ）
A．❑√2+1 B．❑√2−1 C．1 D．3
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的运算，积的乘方的逆用，平方差公式，将原式变形为
，再利用积的乘方的逆运算和平方差公式求解即可．
(❑√2+1)(❑√2+1) 2025 (❑√2−1) 2025
【详解】解：
(❑√2+1) 2026 ⋅(❑√2−1) 2025
=(❑√2+1) 1+2025 ⋅(❑√2−1) 2025
=(❑√2+1)(❑√2+1) 2025 (❑√2−1) 2025
2025
=(❑√2+1)[(❑√2+1)(❑√2−1))
=(❑√2+1)(2−1) 2025
，
=(❑√2+1)故选：A．
6． 的整数部分是 ，小数部分是 ，则 的值是（ ）
❑√10 x y y(x+❑√10)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算和二次根式的性质，由于3<❑√10<4，由此可确定
❑√10的整数部分x，接着确定小数部分y，然后代入所求代数式中恰好利用平方差公式
计算出结果．
【详解】解：∵9<10<16，
∴3<❑√10<4，
∴x=3，y=❑√10−3，
∴
y(x+❑√10)= (❑√10−3)(❑√10+3)=1
故选A．
7．若实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 的结果是（ ）
a ❑√(a−2) 2−|a−1|
A．－1 B．1 C．3−2a D．2a−3
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是
解题关键．根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值
的性质化简，最后计算．
【详解】解：由图知：10，
∴❑√(a−2) 2−|a−1)
=2−a−(a−1)
=2−a−a+1
=3−2a．
故选：C．
8．已知实数a满足|2024−a|+❑√a−2025=a，则a−20242的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．20242 D．20252【答案】B
【分析】本题主要考查了代数式求值，算术平方根的定义，根据算术平方根的定义得
到a≥2025，则2024−a<0，进而得到
|2024−a)+❑√a−2025=a−2024+❑√a−2025=0，即可求得a−20242=2025．
【详解】解：∵❑√a−2025要有意义，
∴a−2025≥0，
∴a≥2025，
∴2024−a<0，
∴|2024−a)+❑√a−2025=a−2024+❑√a−2025=a，即❑√a−2025=2024，
∴a−2025=20242，
∴a−20242=2025，
故选：B．
9．已知实数a、b，定义“△”运算如下：a△b=
{a+b a≥b)
，计算
a−b a
【分析】本题主要考查了实数大小比较，正确将原数变形是解题的关键．
直接利用二次根式的性质将原数变形进而得出答案．
【详解】解：∵2❑√3=❑√12，
∴❑√12>❑√11，
即2❑√3>❑√11，
故答案为：>．
14．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，
例如：❑√❑√3,❑√6−❑√3,❑√6+2❑√5等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次
根式可以进行化简，例如：
．
❑√6+2❑√5=❑√1+2❑√5+5=❑√12+2×1×❑√5+(❑√5) 2=❑√ (1+❑√5) 2=1+❑√5
请利用上述运算法则化简： ．
❑√7−❑√21+4❑√5=
【答案】❑√5−1
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简
等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是
解题的关键．由题意知， ，则
❑√21+4❑√5=❑√(1+2❑√5) 2=1+2❑√5
，求解作答即可．
❑√7−❑√21+4❑√5=❑√7−(1+2❑√5)=❑√6−2❑√5=❑√(❑√5−1) 2
【详解】解：由题意知， ，
❑√21+4❑√5=❑√(1+2❑√5) 2=1+2❑√5
∴ ，
❑√7−❑√21+4❑√5=❑√7−(1+2❑√5)=❑√6−2❑√5=❑√(❑√5−1) 2=❑√5−1
故答案为：❑√5−1．
√ 6
15．将x❑− 根号外的因式移到根号内得 ．
x
【答案】−❑√−6x
【分析】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而
完成求解．
根据二次根式的性质，得x<0，再根据二次根式的性质计算，即可得到答案．
6
【详解】解：根据题意，得− ≥0，
x
∵−6≠0，
6
∴− >0，
x
∴x<0，
√ 6 √ 6
∴x❑− =−❑− ×x2=−❑√−6x，
x x
故答案为：−❑√−6x．
16．设
M=(5+❑√24) 2
，N是M的小数部分，则
M(1−N)
的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查二次根式的运算，先求得M=49+20❑√6，再估算M的取值范围，
求得N，再代入代数式进行计算即可．掌握用逼近法估算无理数的大小是解题的关键．
【详解】解： ，
M=(5+❑√24) 2=25+10❑√24+24=49+20❑√6
∵20❑√6=❑√2400，且❑√2304<❑√2400<❑√2401
∴48<20❑√6<49，则97<49+20❑√6<98
∵N是M的小数部分，∴N=49+20❑√6−97=20❑√6−48，
则
M(1−N)=(49+20❑√6)[1−(20❑√6−48))
=(49+20❑√6)(49−20❑√6)
=492−(20❑√6) 2
=2401−2400
=1，
故答案为：1．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（6分）计算：
(1) (2)
(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2 3❑√3−❑√8+❑√2−❑√27
【答案】(1)2❑√3−3
(2)−❑√2
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式的除法的法则进行运算即可；
（2）先化简，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：
(4❑√6−6❑√2)÷2❑√2
=4❑√6÷2❑√2−6❑√2÷2❑√2
=2❑√3−3；
（2）3❑√3−❑√8+❑√2−❑√27
=3❑√3−2❑√2+❑√2−3❑√3
=−❑√2．
18．（8分）已知
a，b，c
满足
(a−❑√8) 2+❑√b−5+|c−3❑√2)=0
．
(1)求 a，b，c的值；
(2)试问以a，b，c为边长能否构成三角形？若能构成，求出三角形的周长；若不能
构成三角形，请说明理由．
【答案】(1)a=2❑√2，b=5，c=3❑√2．
(2)能构成三角形，周长为5❑√2+5【分析】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、
二次根式（算术平方根），熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据非负数的性质可求出a，b，c的值；
（2）根据a2=8，b2=25，c2=18，可得ab，
∴以a，b，c为边长能构成三角形，
∴此时三角形的周长为a+b+c=2❑√2+5+3❑√2=5❑√2+5．
19．（8分）已知x=❑√5+1，y=❑√5−1，
(1)求x2−xy+ y2的值；
y x
(2)求 + 的值．
x y
【答案】(1)8
(2)3
【分析】此题考查了二次根式的混合运算．
（1）先求出 ， ，把 变形为 ，利用整体代入
x+ y=2❑√5 xy=4 x2−xy+ y2 (x+ y) 2−3xy
求值即可；
（2）把y x变为(x+ y) 2−2xy，利用整体代入求值即可．
+
x y xy
【详解】（1）解：∵x=❑√5+1，y=❑√5−1，
∴ ， ，
x+ y=❑√5+1+❑√5−1=2❑√5 xy=(❑√5+1)(❑√5−1)=4
∴x2−xy+ y2
=(x+ y) 2−3xy=(2❑√5) 2 −3×4
=8；
y x
（2） +
x y
x2+ y2
=
xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
(2❑√5) 2 −2×4
=
4
=3．
20．（8分）如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m，宽AB为
❑√32m，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为
，宽为 ．
(❑√10+1)m (❑√10−1)m
(1)求矩形空地ABCD的周长；（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元/m2的地砖，
要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)长方形ABCD的周长为20❑√2米
(2)购买地砖需要花费234元
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则
是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解．
【详解】（1）解：
(❑√72+❑√32)×2=(6❑√2+4❑√2)×2
=10❑√2×2
=20❑√2（米）．
答：长方形ABCD的周长为20❑√2米．
（2）解：
❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
=6❑√2×4❑√2−(10−1)
=48−9
=39（平方米）．
6×39=234（元）．
答：购买地砖需要花费234元．
21．（10分）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一
个式子的平方，如：
；
5+2❑√6=(2+3)+2❑√2×3=(❑√2) 2+(❑√3) 2+2×❑√2×❑√3=(❑√2+❑√3) 2
．
8+4❑√3=8+2❑√12=(2+6)+2❑√2×6=(❑√2) 2+(❑√6) 2+2×❑√2×❑√6=(❑√2+❑√6) 2
【类比归纳】
（1）请你仿照小聪的方法将3+2❑√2化成另一个式子的平方；
（2）请你运用小聪的方法化简❑√11−6❑√2；
【类比归纳】
（3）若
a+2❑√15=(❑√m+❑√n) 2
，且
a,m,n
均为正整数，
m>n
，求
a
的值．
【答案】（1）
(1+❑√2) 2
；（2）
3−❑√2
；（3）
a=16
或8
【分析】本题主要考查了二次根式的性质和完全平方公式的使用：
（1）将3转化为1+2，进行求解即可；
（2）将11−6❑√2转化为完全平方的形式，再化简即可；
（3）根据
a+2❑√15=(❑√m+❑√n) 2
，得到
m+n=a,mn=15
，结合
a,m,n
均为正整数，
m>n，求出正整数解即可．
【详解】解：（1）3+2❑√2=(1+2)+2❑√1×2=12+(❑√2) 2+2×1×❑√2
=(1+❑√2) 2
（2）❑√11−6❑√2=❑√11−2❑√18
=❑√(2+9)+2❑√2×9
=❑√ (❑√2) 2+32−2×❑√2×3
=❑√ (❑√2−3) 2
=3−❑√2
（3）
∵a+2❑√15=(❑√m+❑√n) 2
∴a+2❑√15=m+n+2❑√mn
∴a=m+n,mn=15
∵a,m,n均为正整数，m>n
∴m=15,n=1或m=5,n=3
∴a=16或8．
22．（12分）【阅读】我们将❑√a+❑√b与❑√a−❑√b称为一对“对偶式”，因为
，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地
(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=(❑√a) 2 −(❑√b) 2=a−b
将 和 中的“ ”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：
(❑√a+❑√b) (❑√a−❑√b) ❑√❑
2+❑√2 (2+❑√2) 2 ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的
= =3+❑√2
2−❑√2 (2−❑√2)⋅(2+❑√2)
根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
1 1
(1)比较大小： _______ ．（用“＞”“＜”或“=”填空）
❑√7−2 ❑√6−❑√31 1
(2)已知x= ，y= ，求x2y+x y2的值；
❑√6−❑√5 ❑√6+❑√5
(3)解方程：❑√24−x−❑√8−x=2．（利用“对偶式”相关知识，提示：令
❑√24−x−❑√8−x=t）．
【答案】(1)>
(2)2❑√6
(3)x=−1
【分析】（1）由 1 ❑√7+2 ❑√7+2，
= =
❑√7−2 (❑√7−2)(❑√7+2) 3
1 ❑√6+❑√3 ❑√6+❑√3， ，可得
= = ❑√7+2>❑√6+❑√3
❑√6−❑√3 (❑√6−❑√3)(❑√6+❑√3) 3
❑√7+2 ❑√6+❑√3
> ，进而可得结果；
3 3
1 1
（2）由题意知，x= =❑√6+❑√5，y= =❑√6−❑√5，根据
❑√6−❑√5 ❑√6+❑√5
，代值求解即可；
x2y+x y2=xy(x+ y)
（3）令❑√24−x+❑√8−x=t，则
，即 ，
(❑√24−x−❑√8−x)(❑√24−x+❑√8−x)=2(❑√24−x+❑√8−x) 24−x−(8−x)=2t
可求t=8，则❑√24−x−❑√8−x=2，❑√24−x+❑√8−x+❑√24−x−❑√8−x=10，整理
得，2❑√24−x=10，则4(24−x)=100，计算求出满足要求的解即可．
【详解】（1）解：由题意知， 1 ❑√7+2 ❑√7+2，
= =
❑√7−2 (❑√7−2)(❑√7+2) 3
1 ❑√6+❑√3 ❑√6+❑√3，
= =
❑√6−❑√3 (❑√6−❑√3)(❑√6+❑√3) 3
∵❑√7+2>❑√6+❑√3，
❑√7+2 ❑√6+❑√3
∴ > ，
3 31 1
∴ > ，
❑√7−2 ❑√6−❑√3
故答案为：>．
（2）解：由题意知， 1 ❑√6+❑√5 ，
x= = =❑√6+❑√5
❑√6−❑√5 (❑√6−❑√5)(❑√6+❑√5)
1 ❑√6−❑√5 ，
y= = =❑√6−❑√5
❑√6+❑√5 (❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)
∴ ，
x2y+x y2=xy(x+ y)=(❑√6+❑√5)(❑√6−❑√5)[❑√6+❑√5+❑√6−❑√5)=2❑√6
∴x2y+x y2的值为2❑√6；
（3）解：令❑√24−x+❑√8−x=t，
∴ ，即
(❑√24−x−❑√8−x)(❑√24−x+❑√8−x)=2(❑√24−x+❑√8−x)
24−x−(8−x)=2t，
解得，t=8，
∵❑√24−x−❑√8−x=2，
∴❑√24−x+❑√8−x+❑√24−x−❑√8−x=2+8=10，整理得，2❑√24−x=10，
∴4(24−x)=100，
解得，x=−1，
经检验，x=−1是原方程的解．
【点睛】本题考查了分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差等知识．
熟练掌握分母有理化，无理数的大小比较，代数式求值，平方差是解题的关键．
