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第 21 章 一元二次方程（单元提升卷）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项正确）
1．（2023•泸县校级一模）一元二次方程x2﹣6x﹣11＝0配方后是（ ）
A．（x﹣3）2＝2 B．（x﹣3）2＝20 C．（x+3）2＝2 D．（x+3）2＝20
【分析】先把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
【解答】解：x2﹣6x＝11，
x2﹣6x+9＝20，
（x﹣3）2＝20．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接
开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
2．（2021秋•洪山区校级月考）已知m是方程x2+6x﹣2＝0的一个根，则2m2+12m的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】把x＝m代入方程求出m2+6m＝2，把2m2+12m化成2（m2+6m），整体代入求出即可．
【解答】解：∵m是方程x2+6x﹣2＝0的一个根，
∴m2+6m﹣2＝0，
∴m2+6m＝2，
∴2m2+12m＝2（m2+6m）＝2×2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程
的解．利用整体代入的方法计算可简化计算．
3．（2021秋•洪山区校级月考）关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣ 且k≠0 D．k≥﹣ 且k≠0
【分析】由于k的取值范围不能确定，故应分k＝0和k≠0两种情况进行解答：①当k＝0时得x＝ ；
②当k≠0时根据△≥0且k≠0，求得k的取值范围．
【解答】解：①当k＝0时，3x﹣1＝0，解得x＝ ；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×（﹣1）k≥0，解得k≥﹣ ；
由①②得，k的取值范围是k≥﹣ ．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式，能够分k＝0和k≠0两种情况进行讨论是解决问题的关键．
4．（2022•德江县四模）近年来，快递业成为我国经济的一匹“黑马“，2018年我国快递业务量为507亿
件，2020年快递量将达到700亿件，设快递量平均每年增长率为x．则下列方程中正确的是（ ）
A．507（1+x）＝700 B．507（1+2x）＝700
C．507（1+x）2＝700 D．700（1﹣x）2＝507
【分析】设快递量平均每年增长率为x，根据我国2018年及2020年的快递业务量，即可得出关于x的
一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设快递量平均每年增长率为x，
依题意，得：507（1+x）2＝700．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的
关键．
5．（2023春•霍邱县期末）若 是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【解答】解：由题意得： ，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知一元二次方程的定义：一般地，形
如ax2+bx+c＝0（a、b、c都是常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程．6．已知不等式组 有 3 个整数解，则一元二次方程 ax2+（2a+1）x+a+2＝0 的解的情况是
（ ）
A．无实数解 B．有两个相等的实数解
C．有两个不相等的实数解 D．无法判断
【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有3个整数解确定出a的值，然后根据根的判别式的值
即可判断．
【解答】解：不等式组整理得： ，
由不等式组有3个整数解，得到4＜a＜5，
∴Δ＝（2a+1）2﹣4a（a+2）＝﹣4a+1＜0，
∴一元二次方程ax2+（2a+1）x+a+2＝0无实数解，
故选：A．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解以及一元二次方程根的判别式，求得a的取值范围是解
题的关键．
7．（2019•滨州）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0时，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝5 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝3
【分析】移项，配方，即可得出选项．
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
8．（2022秋•南关区校级期末）若关于x的一元二次方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，则a的值是（
）
A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根据题意得Δ＝16﹣4a＝0，进行计算即可得．
【解答】解：∵方程x2+4x+a＝0有两个相等实数根，
∴Δ＝16﹣4a＝0，∴a＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的个数与根的判别式的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的个数
与根的判别式的关系．
9．（2020•长丰县二模）近年来，我国石油对外依存度快速攀升，2017年和2019年石油对外依存度分别
为64.2%和70.8%，设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，则下列关于x的方程正
确的是（ ）
A．64.2%（1+x）2＝70.8%
B．64.2%（1+2x）＝70.8%
C．（1+64.2%）（1+x）2＝1+70.8%
D．（1+64.2%）（1+2x）＝1+70.8%
【分析】设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为 x，根据：2017年石油对外依存度×
（1+增长率）2＝2019年石油对外依存度，列出方程即可．
【解答】解：设2017年到2019年中国石油对外依存度平均年增长率为x，
由题意，得64.2%（1+x）2＝70.8%．
故选：A．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，由题意准确抓住相等关系并据此列出方程是解
题的关键．
10．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0；
②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则
0
⑤存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；
其中正确的（ ）
A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③
【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的
求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
【解答】解：①若a+b+c＝0，则x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知Δ＝b2﹣4ac≥0，故①正确；②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，
∴Δ＝0﹣4ac＞0，
∴﹣4ac＞0，
则方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根，故②正确；
③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，
则ac2+bc+c＝0，
∴c（ac+b+1）＝0
若c＝0，等式仍然成立，
但ac+b+1＝0不一定成立，故③不正确；
④若x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，
0
则由求根公式可得：
x ＝ 或x ＝
0 0
∴2ax +b＝ 或2ax +b＝﹣
0 0
∴
故④正确．
⑤令y＝ax2+bx+c，则存在实数m、n（m≠n），使得am2+bm+c＝an2+bn+c；正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是
解题的关键．
二、填空题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
11．（2022秋•泸县校级月考）若a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，则a2+ab﹣2b＝ 4 ．
【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣2，ab＝﹣ ，再变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a，b是方程2x2+4x﹣3＝0的两根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣ ，
∴a2+ab﹣2b＝a（a+b）﹣2b＝﹣2a﹣2b
＝﹣2（a+b）
＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了根与系数的关系，能够整体代入是解此题的关键．
12．（2020•呼伦贝尔）已知关于x的一元二次方程（ m﹣1）x2﹣x+1＝0有实数根，则m的取值范围是
m ≤ 5 且 m ≠ 4 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到△≥0且二次项系数≠0，然后求出两不等式的公
共部分即可．
【解答】解：∵一元二次方程有实数根，
∴Δ＝ ≥0且 ≠0，
解得：m≤5且m≠4，
故答案为：m≤5且m≠4．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．
13．当x＝ 或 2 时，代数式x2+2x+3与3x2+3x﹣7的值相等．
【分析】根据题意得出方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：根据题意得：x2+2x+3＝3x2+3x﹣7，
即2x2+x﹣10＝0，
（2x+5）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣ 或x＝2，
故答案为：﹣ 或2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
14．（2023•恩阳区 模拟）关于x的方程2x2+mx+4＝0没有实数根，则m的取值范围是 m ＜ 4 或 m
．【分析】利用一元二次方程根的判别式，Δ＝b2﹣4ac解答即可．
【解答】解：∵方程没有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝m2﹣4×2×4＜0，即m2﹣32＜0，
解得m＜4 或m ；
故答案为：m＜4 或m ．
【点评】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）Δ＞0 方
程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．⇔
⇔ ⇔
15．（2023春•蒙城县期末）设x ，x 是方程x2﹣4x﹣5＝0的两个根，则 ＝ 2 6 ．
1 2
【分析】根据根与系数的关系得到 x +x ＝4，x x ＝﹣5，然后利用整体代入的方法计算 + ＝
1 2 1 2
（x +x ）2﹣2x x 的值．
1 2 1 2
【解答】解：根据题意得x +x ＝4，x x ＝﹣5，
1 2 1 2
所以 + ＝（x +x ）2﹣2x x ＝16+10＝26．
1 2 1 2
故答案为：26．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2
16．（2023•徐州二模）关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，则另一根为 x ＝﹣ 4 ．
【分析】设这个一元二次方程的另一根为x ，根据一元二次方程的根与系数的关系可得结果．
2
【解答】解：设这个一元二次方程的另一根为x ，
2
∵关于x的方程x2+mx﹣4＝0的一根为x＝1，
∴
∴x ＝﹣4
2
故答案为：x＝﹣4．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本
题的关键．
17．（2023春•岱岳区期末）用配方法解一元二次方程时，需将方程配方化成（x+m）2＝n的形式，一元二次方程x2﹣3x+1＝0用配方法解时化成该形式是 （ x ﹣ ） 2 ＝ ．
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0
∴x2﹣3x＝﹣1，
∴x2﹣3x+ ＝﹣1+ ，
∴（x﹣ ）2＝ ，
故答案为：（x﹣ ）2＝ ．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
18．（2023春•滁州期末）某服装厂生产一批服装，2020年该类服装出厂价为200元/件，2021年、2022
年连续两年改进技术，降低成本，2022年该类服装的出厂价调整为162元/件．若这两年此类服装的出
厂价下降的百分率相同，则2021年此类服装的出厂价为 18 0 元/件．
【分析】设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为x，利用2022年该类服装的出厂价＝2020年该类
服装的出厂价×（1﹣这两年此类服装的出厂价下降的百分率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之
取其符合题意的值，即可得出x的值，再利用2021年该类服装的出厂价＝2020年该类服装的出厂价×
（1﹣这两年此类服装的出厂价下降的百分率），即可求出2021年此类服装的出厂价．
【解答】解：设这两年此类服装的出厂价下降的百分率为x，
根据题意得：200（1﹣x）2＝162，
解得：x ＝0.1＝10%，x ＝1.9（不符合题意，舍去），
1 2
∴2021年此类服装的出厂价为200×（1﹣10%）＝180（元/件）．
故答案为：180．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
19．（2022春•河口区期末）对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝
32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则 + 的值为 ．
【分析】根据新定义先将方程化为一元二次方程，由根与系数的关系求得m+n＝﹣10，mn＝7，再结合
分式的加减及完全平方公式代入计算可求解．
【解答】解：由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴ + ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，新定义，代数式求值，根据新定义将等式化为一
元二次方程是解题的关键．
20．（2021秋•平邑县校级期中）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一
个根，则此三角形的周长是 1 4 ．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符
合的所有情况是解此题的关键．
三、解答题（共60分）
21．解方程：
（1）2x2+x﹣2＝0；
（2）（x+1）2+3（x+1）+2＝0．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）Δ＝12﹣4×2×（﹣2）＝17＞0，
∴ ，
∴ ， ．
（2）（x+1）2+3（x+1）+2＝0，
（x+1+1）（x+1+2）＝0，
∴x+2＝0或x+3＝0，∴x ＝﹣2，x ＝﹣3．
1 2
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解
题的关键．
22．（2023春•蚌埠期中）已知关于x的方程 是一元二次方程，求这个一元
二次方程的解．
【分析】根据一元二次方程解的定义求得m的值，进而根据因式分解法即可求解．
【解答】解：∵关于x的方程 是一元二次方程，
∴m2+1＝2，m+1≠0，
解得：m＝1，
∴原方程为2x2﹣3x﹣2＝0，
即（2x+1）（x﹣2）＝0，
解得： ．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关
键．
23．（2021秋•洪山区校级月考）关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x ，x 是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x 2+x 2＝8，求m的值．
1 2 1 2
【分析】（1）由题意Δ＞0，列出不等式，解不等式即可解决问题；
（2）根据x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝4﹣4m＝8，构建方程即可解决问题；
1 2 1 2 1 2
【解答】解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4﹣8m＞0，
解得：m＜ ．
故m的取值范围为m＜ ．
（2）根据根与系数的关系得：x +x ＝﹣2，x •x ＝2m，
1 2 1 2
∵x 2+x 2＝（x +x ）2﹣2x x ＝4﹣4m＝8，
1 2 1 2 1 2
所以m＝﹣1验证当m＝﹣1时Δ＞0．
故m的值为m＝﹣1．
【点评】本题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式等知识，解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题，属于中考常考题型．
24．（2023•西乡塘区校级模拟）当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在
直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x
（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案．
【解答】解：（1）设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b，
根据题意可得： ，
解得： ，
故y与x之间的函数关系式为：y＝﹣10x+400；
（2）根据题意可得：（﹣10x+400）（x﹣10）＝2160，
整理得：x2﹣50x+616＝0，
（x﹣28）（x﹣22）＝0，
解得：x ＝28（不合题意，舍去），x ＝22，
1 2
答：应将销售单价定为22元．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
25．（2022秋•承德县月考）某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长18m），墙对面
有一个2米宽的门，另外三边用木栏围成，木栏长33m．
（1）若养鸡场面积为150m2，求鸡场长和宽各为多少米？
（2）养鸡场面积能达到200m2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由．【分析】（1）、（2）设垂直于墙的边长为未知数，则平行于墙的边长为木栏长﹣2垂直于墙的边长，
鸡场的面积＝垂直于墙的边长×平行于墙的边长，把相关数值代入，看是否有合适的解即可．
【解答】解：设垂直于墙的边长为xm．
（1）x（33+2﹣2x）＝150，
解得x ＝10，x ＝7.5．
1 2
当x＝7.5时，35﹣2x＝20＞18，不合题意，舍去．
当x＝10时，35﹣2x＝15．
∴x＝10．
答：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为15米时，鸡场的面积为150m2；
（2）鸡场的面积不能达到200m2．理由如下：
x（33+2﹣2x）＝200，
2x2﹣35x+200＝0．
∵Δ＝（﹣35）2﹣4×2×200＝﹣375＜0，
∴此方程无解．
答：鸡场的面积不能达到200m2．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用．得到平行于墙的边长的代数式是解决本题的易错点．
26．（2022秋•伊川县期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别
为△ABC三边的长．
（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【分析】（1）把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，整理得a＝b，从而可判断三角形的形状；
（2）根据判别式的意义得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，然后根据勾股定理可判
断三角形的形状；
（3）利用等边三角形的性质得a＝b＝c，方程化为x2+x＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；（2）△ABC为直角三角形；
理由：根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2+x＝0，解得x ＝0，x ＝﹣1．
1 2
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无
实数根．
27．（2021•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核
算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售．
（1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？
（2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会
决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售 m%；为了保护农户的收益与种植积极性，
政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为
49000元，求m的值．
【分析】（1）设打x折销售，根据利润率＝ ≥10%，列方程可得结论；
（2）等量关系为：（售价﹣成本）×销售量＝利润；原售价基础上每箱降价 3m%，每天可多销售
m%，依此列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设打x折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%，
由题意得： ≥10%，
x≥8.8，
答：最多打8.8折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%；
（2）由题意得：5000（1+ m%）[50（1﹣3m%）+m﹣40]＝49000，
5（1+ ）（50﹣ m+m﹣40）＝49，
m2﹣5m﹣6＝0，m ＝6，m ＝﹣1（舍）．
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【点评】本题考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程与不等式，再求解．
28．（2022秋•北票市期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、
2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，
问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止
时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【分析】（1）如图，过点P作PE⊥CD于E，设x秒后PQ＝10cm，利用勾股定理得出即可．
（2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，即（16﹣5x）2＝64，
∴16﹣5x＝±8，
∴x ＝ ，x ＝ ；
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∴经过 s或 sP、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当0≤y≤ 时，则PB＝16﹣3y，
∴ PB•BC＝12，即 ×（16﹣3y）×6＝12，
解得y＝4；②当 ＜y≤ 时，
BP＝3y﹣AB＝3y﹣16，QC＝2y，则
BP•CQ＝ （3y﹣16）×2y＝12，
解得y ＝6，y ＝﹣ （舍去）；
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③ ＜y≤8时，
QP＝CQ﹣PQ＝22﹣y，则
QP•CB＝ （22﹣y）×6＝12，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．
【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质
是解题关键．
