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培优专题 13 旋转综合的 4 大几何变换
（本专题难度较大，部分解题方法需要后面学习内容，根据情况选做）
◎类型一：线段问题
1．（2021·重庆市綦江区赶水中学三模）如图①，在等腰 和等腰 中，
， ， ， 为 的中点， 为 的中点，连接 ， ， ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)若将 绕点 旋转到如图②所示的位置，请证明 ， ；
(3)如图③，在 绕点 旋转的过程中，再将 绕点 逆时针旋转 到 ，连接 ，若
，请直接写出 的最大值．
【答案】(1)(2)见解析
(3)
【分析】（1）在等腰直角三角形 中求出 的长，在等腰直角三角形 中求出 ，再利用勾股定
理求出 即可；
（2）延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，先证明 ≌ ，从而证得 ≌
，进一步命题得证；
（3）取 的中点 ，连接 ， ，将 逆时针旋转 至 ，连接 ，可证得 ≌ ，进
而得出点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，连接 并延长交 于 ，当 在点 时， 最
大，然后解 和 ，进而求得结果．
（1）
解：在等腰 中， ， ， ，
， ，
点 为 的中点，
，
在等腰 中， ， ， ，
，
在 中， ， ， ，
；
（2）
证明：如图 ，延长 至 ，使 ，连接 ， ， ，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
≌ ，
， ，
，，
是等腰直角三角形，
，
， ；
（3）
如图 ，
取 的中点 ，连接 ， ，将 逆时针旋转 至 ，连接 ，
，
，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
， ，
≌ ，
，点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
连接 并延长交 于 ，当 在点 时， 最大，
作 于 ，
在 中， ， ，
， ，
，
．
即 的最大值 ．
【点睛】本题考查等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，三角形中位线性质，确定圆的条件等知
识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
2．（2022·湖南·永州市剑桥学校八年级期中）如图①，在平行四边形 ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，
∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交 AB 于点 E，点 P 从 A 点出发，沿 AB 方向以 1cm/s 的速度运动，
连接 CP，将 绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到 ，连接 PQ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)如图②，当点 P 在线段 EB 上运动时， 的周长是否存在最小值？若存在，求出 周长的
最小值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)见解析
(2)（2＋ ）cm．【分析】（1）根据旋转的性质，证明 PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定证明
即可； △
（2）利用平行四边形的性质证得 BCE为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到 PBQ的周长为
2+CP，然后垂线段最短可由直角三△角形的性质求解即可； △
（1）
证明：∵ 绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到 ，
∴△PCE≌△QCB，
∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，
∴ CPQ是等腰三角形，
∵△∠BCD=120°，CE平分∠BCD，
∠DCE＝∠BCE＝ ∠BCD＝60°，
∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝ ∠BCD＝60°，
即∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形.
（2）
存在
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE= ，
∵在平行四边形ABCD 中，
∴AB CD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴△BCE为等边三角形，
∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°，
∵ 绕点 C 逆时针旋转 60°，使 CE 与 CB 重合，得到 ，
∴△PCE≌△QCB，
∴EP=BQ，
∴ PBQ的周长＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP，
△∴CP⊥AB时， PBQ周长最小，
当CP⊥AB时，△∠CPB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°，
∴PB＝ BC＝1cm，
∴CP＝ cm，
∴△PBQ周长最小为（2＋ ）cm．
【点睛】此题主要考查了旋转图形变化的应用、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角
形的判定与性质、勾股定理、30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
◎类型二：面积问题
3．（2021·辽宁丹东·八年级期末）如图在 中， ，点D，E分别在边 上，
，连接 ， ，点M，P，N分别为 的中点，连接 ， ．
(1)图1中，线段 与 的数量关系是___________；位置关系是____________．
(2)将 绕点A按逆时针方向旋转到图2位置，连接 ，判断 的形状，并说明理由．
(3)将 绕点A在平面内自由旋转，若 ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】(1)PM＝PN，PM⊥PN
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM= CE，PN= BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再
利用三角形的中位线得出PM CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出 ABD≌△ACE，得出BD=CE，同（1）的方法得出PM= BD，PN= BD，即可得出
△
PM=PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出BD最大时， PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD=10，即可得出结论．
（1） △
解：∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN BD，PN= BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM CE，PM= CE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC+∠ACD=90°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM=PN，PM⊥PN；
（2）
解： PMN是等腰直角三角形．
证明△：由旋转性质可知∠BAD＝∠CAE
又∵AB＝AC，AD＝AE
∴△BAD≌△CAE
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE∵点P，M分别是DC，DE的中点
∴PM是 DCE的中位线
△
∴PM＝ CE且PM CE
同理PN＝ BD且PN BD
∴PM＝PN，∠MPD＝∠ECD，∠PNC＝∠DBC
∴∠MPD＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE＝∠ACD＋∠ABD
∠DPN＝∠PNC＋∠PCN＝∠DBC＋∠PCN
∴∠MPN＝∠MPD＋∠DPN＝∠ACD＋∠ABD＋∠DBC＋∠PCN＝∠ABC＋∠ACB＝90°
∴△PMN是等腰直角三角形．
（3）
解：由（2）知， PMN是等腰直角三角形，PM=PN= BD，
△
∴PM最大时， PMN面积最大，
∴点D在BA的△延长线上，
∴BD=AB+AD=11，
∴PM=5，
∴S PMN = PM2= ×( )2= ．
最大
△
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出PM= CE，PN= BD，
解（2）的关键是判断出 ABD≌△ACE，解（3）的关键是判断出MN最大时， PMN的面积最大．
4．（2022·山东·潍坊市寒△亭区教学研究室八年级期末）如图1，在 中△， ， ，点
， 分别在边 ， 上， ，连接 ，点 ， ， 分别为 ， ， 的中点．
(1)观察猜想：图1中，线段 与 的数量关系是__________，位置关系是__________；(2)探究证明：把 绕点 逆时针方向旋转到图2的位置，连接 ， ， ，判断 的形状，
并说明理由；
(3)拓展延伸：把 绕点 在平面内自由旋转，若 ， ，请直接写出 面积的最大值．
【答案】(1) ，
(2)等腰直角三角形，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 ， ，进而判断出 ，即可得出结论，
再利用三角形的中位线得出 ， 得出 ， ，最后用互余即可
得出结论；
（2）先判断出 ，得出 ，同（1）的方法得出 ， ，即可得出
，同（1）的方法即可得出结论；
（3）先判断出 最大时， 的面积最大，而 最大值是 ，即可得出结论．
（1）
解： 点 分别是 ， 的中点，
， ，
点 是 ， 的中点，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为： ， ．
（2）
解： 是等腰直角三角形．理由如下：
，
，即 ，
， ，
，
， ，
由三角形的中位线得， ， ， ， ，
， ，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形．
（3）
解：由（2）知， 是等腰直角三角形， ，
则 面积为 ，
最大时， 面积最大，
如图，点 的运动轨迹是以点 为圆心， 长为半径的圆上，则当点 在 的延长线上时， 最大，最大值为 ，
所以 面积的最大值为 ．
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了三角形中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
◎类型三：角度问题
5．（2022·山东聊城·八年级期末）如图，平行四边形ABCD中， ．对角线
相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交 于点E，F．
(1)证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；
(2)证明：在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
(3)在旋转过程中，当AC绕点O顺时针旋转多少度时，四边形BEDF是菱形，请给出证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)45°，见解析
【分析】（1）根据平行四边形的性质得 ,根据已知条件可得 ，根据两组对边分别平行的
四边形是平行四边证明即可；
（2）通过证明△AOF≌△COE（ASA）．即可得证；（3）根据题意与勾股定理求得 ,根据平行四边形的性质可得 ,得到 ，结合
菱形的性质和判定求解．
（1）
证明：如图，
∵平行四边形ABCD中，AD BC，
∴AF BE，
∵旋转角为90°时，∠AOF＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAC＝∠AOF，
∴AB EF，
∴四边形ABEF是平行四边形．
（2）
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
∵∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE（ASA）．
∴AF＝CE．
∴在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等．
（3）
当AC绕点O顺时针旋转45度时，四边形BEDF是菱形．
理由如下：
由（2）知：AF＝CE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，AD＝BC，∴DF＝BE，DF BE，
∴四边形BEDF是平行四边形．
如图：
∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝ AC＝1，
∴AO＝AB，
∵AB⊥AC，
∴∠AOB＝45°
∵AC绕点O顺时针旋转45度，
∴∠AOF＝45°，
∴∠BOF＝90°，
∴EF⊥BD．
∴四边形BEDF是菱形．
【点睛】本题考查旋转的性质及菱形性质和判定，掌握平行四边形，全等三角形的性质与判定，菱形的性
质和判定是求解本题的关键．
6．（2022·河北唐山·八年级期末）如图1所示，将一个边长为2的正方形 和一个长为2、宽为1的
长方形 拼在一起，构成一个大的长方形 ．现将小长方形 绕点C顺时针旋转至 ，
旋转角为 ．(1)当点 恰好落在边 上时，点 到边 的距离为____________，旋转角 ____________ ；
(2)如图2，G为 的中点，且 ，求证： ；
(3)小长方形 绕点C顺时针旋转一周的过程中， 与 能否全等？若能，直接写出旋转角
的值；若不能，说明理由．
【答案】(1)1，30
(2)见解析
(3)能， 为 或
【分析】（1）根据矩形的性质可知点 到边 的距离等于F到边 的距离，即DF=1，可知点 到边
的距离为1；根据旋转的性质得 ，即可判定 ，然后根据平行线的性质即可得
到 ；
（2）由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS” 可判断 ，则 ；
（3）根据正方形的性质得CB=CD，而 ，则 和 为腰相等的两等腰三角形，当两顶
角相等时它们全等，当 和 为钝角三角 形时，可计算出α=135°，当 和 为锐角
三角形时，可计算得到α=315°．
（1）
解：由题意可知，当点 恰好落在边 上时，点 到边 的距离等于F到边 的距离，即DF=1，
∴点 到边 的距离为：1，
∵CE=1， ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ ，故答案为：1，30；
（2）
证明：∵G为 中点，
∴ ，
∴ ，
∵长方形 绕点C顺时针旋转至 ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∵
∴ ，
∴ ；
（3）
能，理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，
∵ ，
∴ 和 为腰相等的两等腰三角形，
当 时， ，
当 和 为钝角三角形时，则旋转角 = ，
当 和 为锐角三角形时， ，
则 = ，
即旋转角 的值为135°或315°时， 和 全等．
【点睛】此题属于四边形的综合题，考查了旋转的性质、正方形的性质、矩形的性质以及三角形全等的判
定与性质，注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．◎类型四：其它问题
7．（2022·四川省成都市七中育才学校八年级期中）如图1，在 ABC中， ，点DE、分别在边
AB、AC上， ，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC△、DC的中点，连接MQ、PM．
(1)求证： ；
(2)当 时，求PMQ的度数；
(3)将 ADE绕点A沿逆时针方向旋转到图2的位置，若 ，判断 ADE的形状，并说明理由．
△ △
【答案】(1)见解析
(2)
(3)△ADE是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用三角形中位线定理解决问题；
（2）证明∠PMQ =∠B+∠ACB，可得结论；
（3）证明△BAD≌△CAE(SAS)，∠ ABD=∠ACE，再证明∠PMQ =∠ABC+∠ACB= 120°，推出∠BAC =
60°，可得结论．
（1）
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵P，M分别为DE，DC的中点，∴ ， ，
∵M，Q分别为DC，CB的中点，
∴ ， ，
∴ ；
（2）
解：∵点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴
；
（3）
解：△ADE是等边三角形，理由如下：
由旋转的性质可知， ，
∴ ，
在 BAD和 CAE中，
△ △
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴ ， ，
∵P，M为DE，DC的中点
∴
∴
∵M，Q为DC，BC的中点
∴
∴∴
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ADE是等边三角形．
【点睛】本题是几何旋转变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等边三角形的判定，等腰三角形
的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题
型．
8．（2022·江苏淮安·二模）二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，与 轴交于
点 ，顶点为 ．
(1)二次函数的表达式为________，点 的坐标为_________；
(2)如图①， 是该二次函数图像的对称轴上一个动点，当 的垂直平分线恰好经过点 时，求点 的坐
标；
(3)如图②， 是直线 上方的二次函数图像上的一个动点，连接 ，取 中点 ，连接 ， ，
，当 的面积为 时，求点 的坐标．
(4)连接 ， 是平面内一点，将 绕点 沿逆时针方向旋转 后，得到 ，点 、 、
的对应点分别是点 、 、 ．若 的 、 两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点 的横坐标．
【答案】(1) ；
(2)点 的坐标为 或
(3)点 的坐标为 或
(4)点 的横坐标为
【分析】（1）由于二次函数的图像与 轴交于 ， 两点，把 ， 两点坐标代入
，求出 ， 的值即可得出拋物线解析式，由配方法可求出点 的坐标；
（2）由线段垂直平分线的性质可得出 ，设 ，由勾股定理可得 ，解方
程可得出答案；
（3）设 交抛物线的对称轴于点 ，设 ，则 ，设直线 的解析
式为 ，则 ，解得 ，求出 ， ．由
面积公式可求出 的值，则可得出答案；
（4）设 ，根据 ， ，可确定点 向右平移6个单位，再向下平移3个单
位与点 重合，再根据将 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，可确定点 向右平移3个
单位，再向上平移6个单位与点 重合，从而得到 ，再根据点 在抛物线上，
可得到 ，最后解方程求出 的值即可．
(1)解：∵二次函数 的图像与 轴交于 ， 两点，
∴ ，
解得： ，
∴二次函数的解析式为 ，
∵ ，
∴ ．
故答案为： ； ．
(2)
如图1，如图2，连接 ， ，设 是 的垂直平分线，
∴ ，
∵二次函数 的图像与 轴交于点 ，
∴ ，且对称轴 ，
∵点 是该二次函数图像的对称轴上一个动点，设 ，
又∵ ，
∴由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴点 的坐标为 或 ．(3)
如图3，设 交抛物线的对称轴于点 ，
设点 ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
整理得： ，
解得： ， ，
当 时， ，
当 时， ，
∴点 的坐标为 或 ．
(4)
旋转后点 、 两个顶点在抛物线 上，设 ，
∵ ， ，
∴点 向右平移6个单位，再向下平移3个单位与点 重合，
∵将 绕点 沿逆时针方向旋转 后得到 ，即线段 绕点 沿逆时针方向旋转 后可得到 ，
∴点 向右平移3个单位，再向上平移6个单位与点 重合，
∴ ，
∴ ，
解得： ．
∴点 的横坐标为 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了图形的旋转及性质，平移方式的确定，待定系数法，二次函数图
像与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，一元二次方程，二元一次方程组等知识．熟练
掌握二次函数的性质，图形变换的性质及方程思想是解题的关键．
