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第二十七章 相似（单元测试）
一、单选题（每题3分，共30分）
1．若线段a，b，c，d是成比例线段，且 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据比例线段的定义，注意成比例的线段有顺序性，如a，b，c，d是成比例线段，那么只能写成
或 ，不能随便更改位置，列出比例式（方程）求解即可．
【详解】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，且 ， ， ，
∴ ，即 ，
解得： ．
故选：A．
【点睛】本题考查了比例线段的定义，列出比例式（方程）求解是解题的关键．
2．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个矩形都相似 B．任意两个正六边形都相似
C．任意两个正方形都相似 D．有一个角对应相等的菱形相似
【答案】A
【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断．
【详解】解：A、任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定成比例，所以不一定相似，故本选项
符合题意；
B.任意两个正六边形的对应角都是 ，对应边的比成比例，所以一定相似，故本选项不符合题意；
C.任意两个正方形的对应角都是 ，对应边的比成比例，所以一定相似，故本选项不符合题意；
D.一个角对应相等的两个菱形满足四个角分别对应相等，四条边对应成比例，所以一定相似，故本选项不
符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键．
3．如图是老师画出的 ，已标出三边的长度，下面四位同学画出的三角形与老师画出的 不一定
相似的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和 相似，故选项不符合题意；
B.因为 ，且 ，则可得画出来的三角形和 相似，故选项不符合题意；
C.知道两边和邻角，画出来的三角形不一定和 相似，故选项符合题意；
D.因为 ，则可得画出来的三角形和 相似，故选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
4．如图， 中，D是 边上一点， 交 于点E，连接 ， 交 于点F，则
下列结论错误的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ， ，∴ ， ，
∴选项A、B、C正确，选项D错误；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例
定理、相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
5．如图，在 中，D、E分别是边 的中点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】D
【分析】根据中位线定理得出DE： ：2，根据面积比等于相似比的平方得出 的面积即可得出
四边形 的面积．
【详解】解： 点D、E分别是线段AB、AC的中点，
是 的中位线，
，DE： ：2，
，
，
，
四边形BCED的面积是 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查中位线定理和相似三角形的性质，根据面积比等于相似比的平方得出三角形 的
面积是解题的关键．
6．如图， ， ， ， ， 与 的面积分别是 和 ，
与 的周长分别是 和 ，则下列等式一定成立的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比
解答．
【详解】解： 、 ，
，
，本选项错误；
、 ，
，
，本选项错误；
、 ，
，
，本选项错误；
、 ，
，
，本选项正确；
故选： ．
【点睛】根据相似三角形的对应边的比相等，对应角相等，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比
解答．
7．如图，在菱形 中，E为 上一点， 、 交于点O，若 ，则 等
于（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据菱形的性质得到 ， ，再证明 ，利用相似三角形的面积比等于
相似比的平方得到 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，利用相似三角形的性质求解是
解答的关键．
8． 是两个全等的等腰直角三角形， ，现将两条直角边 重合，把
绕点A逆时针旋转α角（ ）到如图所示的位置时， 分别与 相交于点F、G，则图中
相似三角形共有（ ）A．1对 B．2对 C．3对 D．
【答案】D
【分析】根据题可得 ， ，再由三角形外角的性质可得
，从而得到 ，即可．
【详解】解：∵ 是两个全等的等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
综上所述：图中相似的三角形共有4对．
故选D．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
9．如图， 中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是 ．以点C为位似中心，在x轴的下
方作 的位似图形 ，并把 的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点 的横坐标是a，
则点B的横坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】过点B作 轴于D，过点 作 轴于 ，根据相似三角形的性质求出 的长，得到
点B的横坐标．
【详解】解：如图所示，过点B作 轴于D，过点 作 轴于 ，
∵点C的横坐标是 ， 的横坐标是 ，
∴ ，
由题意得， ，相似比为1：2，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的横坐标是 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上
的点E处．点E到地面的高度 ，点F到地面的高度 ，灯泡到木板的水平距离
，墙到木板的水平距离为C ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、
B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度 为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先证明 得到 ，然后代值可得 ，则 ，再证
明 得到 ，代值计算出 即可．
【详解】解：由题意可得： ，
∴
∴ ，即 ，
解得： ，
∴ ，
∵光在镜面反射中的入射角等于反射角，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
，即 ，
解得： ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共20分）
11．如图，在 中， 是 边上一点，连接 ，要使 与 相似，应添加的条件是 ．【答案】 或 或 或 ．
【分析】根据公共角 ，若两个三角形相似，则需添加一组对应角相等，或夹 的两组对应边成比例．
【详解】∵公共角 ，
当 或 时， ；
当 时， ，
故答案为： 或 或 或 ．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定，解题的关键是正确理解如果一个三角形的两个角与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相
等，那么这两个三角形相似．
12．如图， 的直角边 ，斜边 ，则 ＝ ；它的内接正方形 的边长为
．
【答案】
【分析】由勾股定理可求出 的长度，由正方形的性质证明 ，利用相似三角形的性质即可
求出正方形的边长．
【详解】解：∵ 的直角边 ，斜边 ，
∴ ，
设正方形 的边长为x，则 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，故答案为： ； ．
【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理，正方形的
性质，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
13．在平面直角坐标系中，有三个点 ， ， ．以点O为位似中心，在第三象限内作与
的位似图形 ，位似比为 ，则点C的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【详解】解： 以点O为位似中心，在第三象限内作与 的位似图形 ，位似比为 ，且 ，
点 的坐标为 ，即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，
相似比为 ，那么位似图形对应点的坐标的比等于 或 ．
14．如图，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿 及其影长 和旗杆 的影长
进行了测量，测得 ， ， ，根据这些数据计算出旗杆 的高度为
m．
【答案】12
【分析】根据同一时刻的阳光光线平行，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：如图，根据题意， ，则 ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，则 ，
故答案为：12．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
15．如图，在 中， ， ， ，点 、 分别在边 、 上，连接 ，沿
折叠该三角形，使点 的对应点 落在边 上，若 是直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】由勾股定理可知， ，由折叠的性质可知， ，设 ，分两种情况讨论：①当
时；②当 时，利用相似三角形的判定和性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：在 中， ， ， ，
，
由折叠的性质可知， ，
设 ，则 ， ，
①如图，当 时，此时 是直角三角形，， ，
，
，
，
解得： ，即 ；
②如图，当 时，此时 是直角三角形，
， ，
，
，
，
解得： ，即 ；
综上可知， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论的思想，熟练掌握
相似三角形的判定和性质是解题关键．
三、解答题（16-18题每题4分，19题6分，20题7分，21、22题每题8分，23题9分，共50分）
16．如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形 的顶点均在格点上．(1)请以点 为位似中心，在网格图中作出四边形 ，使四边形 与四边形 位似，且
；
(2)填空：线段 的长为 ， 的面积为 ．
【答案】(1)见解析；
(2) ； 的面积为 ．
【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出 的对应点 即可；
（2）利用勾股定理求得 的长，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，四边形 即为所求，
（2）线段 的长 ；
的面积 ．
【点睛】本题考查了位似变换（作图），勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是掌握位似变换的
性质，正确作出图形．17．如图，点 在一条直线上， 与 相交于点
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先证明出 ，根据相似三角形的性质定理得到 ，即可证明
；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵ = = ，
∴ ；
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
18．四边形 ∽四边形 ， ， ，若四边形 的面积为12，求四边形
的面积．
【答案】
【分析】由题意可求出四边形 与四边形 的相似比为 ，再根据相似图形面积比等于
相似比的平方求解即可．
【详解】解：∵四边形 ∽四边形 ， ， ，∴四边形 与四边形 的相似比为 ，
∴ ，即 ，
∴ ．
【点睛】本题考查相似图形的性质．掌握相似图形面积比等于相似比的平方是解题关键．
19．如图，在 中， ，高 ，正方形 一边在 上，点 ， 分别在 ， 上，
交 于点 ，求 的长．
【答案】
【分析】设正方形 的边长 ，易证四边形 是矩形，则 ，根据正方形的性质
得出 ，推出 ，根据相似三角形的性质计算即可得解．
【详解】解：设正方形 的边长 ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∵ 是 的高，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质．解题的关键是掌握相似三角形的判定和
性质，矩形的判定和性质的运用，注意：相似三角形的对应高的比等于相似比．
20．如图所示，矩形 为台球桌面， ， ，球目前在 点位置， ，
如果小丁瞄准 边上的点 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到 点位置，求 的长．
【答案】
【分析】首先根据台球桌面的轴对称问题和矩形性质可证明 ，得到 ， ，
则 ，即可求出 的长．
【详解】解： ，
．
又 ，
，
，
设 ，则 ，
解得 ．
答： 的长为 ．
【点睛】本题考查了轴对称，矩形性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形对应边成比例求边长
是解答本题的关键．
21．如图，在 中， ， ， ．点P从点A开始沿 边向点B以 的
速度移动，点Q从点B开始沿 边向点C以 的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一
个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当t为何值时， 的面积等于 ？
(2)探究经过多少秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与 相似？
【答案】(1)5或7
(2) 或
【分析】（1）分别用含t的代数式表示 的长，利用面积公式列方程求解即可．
（2）分两种情况讨论，结合相似三角形的性质，即可得到答案．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
∵ 的面积等于 ，
∴ ，
即 ，
整理，得 ，
解得 ，
故当t为5或7时， 的面积等于 ．
（2）解：根据题意得： ，
当 时， ， ，
∴ ，解得： ；
当 时， ，
∴ ，
解得：
综上所述，经过 或 秒后，以点B，P，Q为顶点的三角形与 相似．
【点睛】本题考查的是在运动过程中应用一元二次方程解决实际问题，建立正确情境下的几何模型是解决
问题的关键，特别是最后一问，关键是利用分类思想讨论．
22．如图，矩形 边 ，在直角坐标系中点A的坐标为 ，点 的坐标为 ，反比例函
数 的图象经过点 ，连接 ．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求四边形 的面积．
【答案】(1)
(2)13
【分析】（1）通过辅助线，构造相似三角形，求得 点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
（2）根据四边形 的面积是 和 的面积的和，求得 和 的面积即可．【详解】（1）解：∵点 ， ，
， ，
过点 作 轴的垂线，垂足为 ，连接 ，如图：
是矩形，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∽ ，
∴ ，
， ，
∴ ，
， ，
∴ ，
，
反比例函数 的图象经过点 ，
∴ ，反比例函数的表达式为 ；
（2）解： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
四边形 的面积 ．
【点睛】考查反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、相似三角形的性质以及不规则四边形的面积
等知识，求得 点的坐标是解题的关键．
23．【问题原型】华师版教材八年级下册第121页有这样一道题：
如图①，在正方形 中， ．求证： ．
请你完成这一问题的证明过程．
【问题应用】如图，在正方形 中， ，E、F分别是边 、 上的点，且 ．
（1）如图②，连接 、 交于点G，H为 的中点，连接 ， ．当E为 的中点时，四边形
的面积为______；
（2）如阳③，连接 、 ，当点E在边 上运动时， 的最小值为______．
【答案】问题原型：见解析；
问题应用（1） ；（2） ；
【分析】问题原型：证明 和 全等即可；
问题应用
（1）证明 ，得到 ，再证明 ，求出 ，再分别求出 ，分别表
示 ，则四边形 的面积可求；（2）证明 ，得到 ，将 的最小值转化为 的最小值问题，由最短路
径模型求出 最小值，则问题可解．
【详解】问题原型
证明：由已知，在正方形 中，
， ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
问题应用
（1）∵ ， ，
∴
∵
又∵
∴ ，
∴ ，
由已知， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∵H为 的中点，∴ ，
∴ ，
四边形 的面积为：
；
故答案为：
（2）连 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
则 的最小值为即为 的最小值，
如下图，取点 关于 的对称点 ，连 ，交 于点 ，连 ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定，勾股定理和最
短路径问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
