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期末检测卷 03（冲刺满分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1． 相反数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵和为零的两个数称作互为相反数
∴ 的相反数是 .
故选D.
2．2022年3月11日，新华社发文总结2021年中国取得的科技成就．其中包括：中国高铁运营里程超
40000000米，将数40000000用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：40000000用科学计数法表示为 ，
故选：D．
3．下列各式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 是最简二次根式，故本选项符合题意；
D、 ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C4．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、是中心对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
故选：B．
5．已知二次函数 如图所示，那么 的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：二次函数 的图象，开口向下，对称轴在 轴左侧，则 ，
∴ ，
∴
则 的图象，开口向上，对称轴为直线 ，与 轴交于点 ，
故选：D．
6．我校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数/页 2 3 4 5 6
人数/人 2 6 5 4 3这些学生日练字页数的中位数、众数分别是（ ）A．3，4 B．3，5 C．4，3 D．5，4
【答案】C
【详解】解：共有 个数，最中间两个数的平均数是 ，则中位数是 ；
出现了 次，出现的次数最多，则众数是 ．
故选：C．
7．一个不透明的袋子中装有18个小球，其中12个红球、6个绿球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋
子中随机摸出一个小球．则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有18个小球，其中12个红球、6个绿球，
∴从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为 ．
故选：A．
8．观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算 （n是正整数）的结
果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：图（1）： ；
图（2）： ；
图（3）： ；
…；
那么图（n）： ．故选：A．
9．如图，已知 的面积为10， 平分 ，且 于点 ，则 的面积是
（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【详解】解：延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
故选：C．
10．如图，点 ， ， 在同一直线上， 和 均是等边三角形， 与 交于点 ， ，
分别与 ， 交于点 ， ，有如下结论： ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中正确的结论有：（ ）A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【详解】解： 和 均是等边三角形，
， ， ，
，即 ．
在 和 中，
，
，
， ，故①正确．
，
．
在 和 中，
，
，故②正确，
， ，
，即 ，故③正确．
， ，
是等边三角形，
，
，
，故④正确．
，
．中， ，
．
，
，故⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③④⑤，共5个．
故答案为：A．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．已知 ， ，且 ，则 ________．
【答案】 或 ## 或
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
当 时， ，
当当 时， ，
综上所述， 或
故答案为： 或 ．
12．若抛物线 与 轴没有交点，则 的取值范围为______．
【答案】
【详解】解： 抛物线 与 轴没有交点，
一元二次方程 没有实数根，
，
．
故答案为： ．
13．如图等边 内接于⊙O，若⊙O的半径为1，以阴影部分为侧面围成一个圆锥，从剩余部分剪出一个圆作为圆锥底面，则圆锥的全面积为______．
【答案】 ##
【详解】解：∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ， ，
设圆锥的底面半径为r，
则 ，
∴ ，
∴圆锥的底面积 ，
∴圆锥的全面积 ．
故答案为： ．
14．如图，点 为双曲线 在第二象限上的动点， 的延长线与双曲线的另一个交点为 ，以
为边的矩形 满足 ，对角线 ， 交于点 ，设 的坐标为 ，则 ， 满足的
关系式为______．【答案】
【详解】解：连接 ，分别过点 、 作 轴的垂线，垂足为 、 ，
，
四边形 是矩形，
， ，
，
， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
点 为双曲线 在第二象限上的动点，
设点 的坐标为 ，
，
，
的坐标为 ，，
，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（6分）计算： ．
【答案】
【详解】解：
16．（8分）解方程组：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解： ，
由②得 ③，
把③代入①得， ，
解得， ，把 代入③得 ，
所以方程组的解为 ；
（2） ，
① 得， ③，
③ ②得， ，
解得， ，
把 ，代入②得， ，
解得， ，
所以方程组的解 ．
17．（8分）如图，在四边形 中， ， 是对角线， 是等边三角形．线段 绕点 顺时
针旋转 得到线段 ，连接 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)8
【详解】（1）证明：由旋转可知 ， ，
∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
（2）解：在 和 中，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在 中， ．
18．（10分）为了更好地贯彻落实国家关于“强化体育课和课外锻炼，促进青少年身心健康、体魄强健”
的精神，某校大力开展体育活动．该校抽查了部分同学对于足球、篮球、乒乓球、跳绳四个体育活动的参
与情况．经调查，人数分布情况的扇形图和条形图如下：
(1)该班学生有 人，跳绳人数所占扇形圆心角的度数 ．
(2)请你补全条形图；
(3)若该校有 人，估计该校参与足球活动的学生有多少人？．
【答案】(1) ，
(2)见解析
(3) 人
【详解】（1）解：由扇形图可知，乒乓球小组人数占全班人数的 ．
由条形图可知，乒乓球小组人数为 ．故全班人数为 ．
篮球人数为： 人，则跳绳的人数为： （人）
因为跳绳小组人数占全班人数的 ，所以，它所占扇形圆心角的大小为 ．
故答案为： ， ．
（2）补全条形统计图如图．
（3） （人）
答：估计该校参与足球活动的学生有 人
19．（10分）时隔多日，为“弘扬雷锋精神，传承红色基因”我校开展了志愿者服务活动，2020级初三年
段的6位历史老师们又扛起了这一大梁，他们自告奋勇，打算从1位女老师和5位男老师中随机选取若干
位担任志愿者．
(1)若只需选择一位担任志愿者，恰好选中这位女老师的概率是 ；
(2)这5位男老师分别记为 ， ， ， ， ，其中 ， ， 三位老师是班主任．若要从这5位男老师
中随机抽取两位担任志愿者，请用列表法或画树状图的方法求抽到的两位都是班主任的概率．
【答案】(1)
(2) ．
【详解】（1）解：从1位女老师和5位男老师中随机选取若干位担任志愿者，
若只需选择一位担任志愿者，恰好选中这位女老师的概率是 ；
故答案为： ；
（2）解：画出树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中抽取的两个老师恰好都是班主任的结果数为6，
所以抽取的两个老师恰好都是班主任的概率 ．20．（10分）甲、乙两支工程队修建公路，已知甲队每天修路的长度是乙队的2倍，如果两队各自修建公
路600米，甲队比乙队少用5天．
(1)求甲、乙两支工程队每天各修路多少米？
(2)现在需要修建一段长4800米的公路，因工程需要，需由甲、乙两支工程队施工完成．若甲队每天所需
费用为1.2万元，乙队每天所需费用为0.5万元，求在总费用不超过45万元的情况下，至少安排乙队施工
多少天？
【答案】(1)甲队每天修120米，乙队每天修60米
(2)30
【详解】（1）解：设乙队每天修x米，则甲队每天修2x米，根据题意列方程
解得： ；
经检验， 是原方程的解；
，
答：甲队每天修120米，乙队每天修60米．
（2）解：设安排乙队施工m天，则甲队需施工 天．
依题意可得：
∴ ，
解得： ；
答：至少安排乙队施工30天．
21．（12分）四边形 内接于 ， 为 的中点， 交 于点 ， 于点 ．已知
， ．
(1)求弦 的长．
(2)若 ，求四边形 的面积．
【答案】(1)8(2)
【详解】（1）解：连接 ，如图所示：
， ，
，
为 的中点，
， ，
，
，
；
（2）解：作直径 ，连接 ，如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
是 的直径，
，
，，
，
，由勾股定理得： ，
．
22．（12分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”(如图所示)就是一例．这个
三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方（左右）两数之和．事实上，这个三角
形给出了 (n为正整数)的展开式(按a的次数由大到小的顺序排列)的系数规律．例如，在三角形中第
行的三个数1，2，1，恰好对应 展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，
1，恰好对应 展开式中各项的系数等等．
（1）请写出 的展开式 = ；
（2）根据规律计算： ；
（3）若（2x﹣1）2018＝ax2018+ax2017+ax2016+……+a x2+a x+a ，求a+a+a+……+a +a 的值．
1 2 3 2017 2018 2019 1 2 3 2017 2018
【答案】(1) ，（2）-1，（3）1【详解】解:(1)根据题意得：（a+b）5的展开式中各项系数分别为1，5，10，10，5，1，
∴ ，
故答案为： ；
(2) ；
(3) 当x＝0时，a ＝1，
2019
当x＝1时，a+a+a+…+a +a +a ＝1，
1 2 3 2017 2018 2019
∴a+a+a+…+a +a ＝0．
1 2 3 2017 2018
23．（14分）已知如图，直线 与两坐标轴分别交于点 、 ，点 关于 轴的对称点是点
，直线 经过点 ，且与 轴相交于点 ，点 是直线 上一动点，过点 作 轴的平行线交直线
于点 ，再以 为边向右边作正方形 ．
(1)①求 的值；
②判断 的形状，并说明理由；
(2)连接 、 ，当 的周长最短时，求点 的坐标；
(3)在（2）的条件下，在 轴上是否存在一点 ，使得 是等腰三角形，若存在，请直接写出点 的
坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)① ②等边三角形，理由见解析
(2)(3)在 轴上存在一点 ，使得 是等腰三角形， 点坐标为 或 或
或
【详解】（1）解：①令 ，则 ，
，
直线 经过点 ，
；
② 是等边三角形，理由如下：
令 ，则 ，
解得 ，
，
点 关于 轴的对称点是点 ，
，
， ， ，
是等边三角形；
（2）解： ，
直线 ，
令 ，则 ，
，
设 点关于直线 的对称点为 ，
，
，
，
，，
连接 ，则 与直线 的交点为 点，
，
的周长 ，
当 、 、 三点共线时， 的周长最小，
设直线 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
联立方程组 ，
解得 ，
，
轴，
，
，
四边形 是正方形，；
（3）解：在 轴上存在一点 ，使得 是等腰三角形，理由如下：
设 ，
， ， ，
当 时， ，
解得 或 ，
或 ；
当 时， ，
解得 ，
；
当 时， ，
解得 或 舍 ，
；
综上所述： 点坐标为 或 或 或 ．
