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期末检测卷 05（冲刺满分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．若火箭发射点火前 记作 ，则火箭发射点火后 记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若火箭发射点火前 记作 ，则火箭发射点火后 记作 ，
故选：A．
2．已知一个几何体如图所示，则该几何体的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：从上面可看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，实线的两侧分别有一条纵向的虚
线．
∴俯视图是：
故选：A．
3．下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．审核教科书中的错别字 B．疫情期间对全班学生的体温检测
C．调查某批汽车的抗撞击能力 D．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量
【答案】C
【详解】A．审核教科书中的错别字，适合全面调查，故A不符合题意；B．疫情期间对全班学生的体温检测，适合全面调查，故B不符合题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力时具有破坏性，适宜采用抽样调查，故C符合题意；
D．检测“神舟十四号”载人飞船零件的质量，适合全面调查，故D不符合题意．
故选：C．
4．为了估计鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放回鱼
塘，再从中打捞 条鱼，如果在这 条鱼中有 条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵打捞a条鱼，发现其中带标记的鱼有b条，
∴有标记的鱼占 ，
∵共有n条鱼做上标记，
∴鱼塘中估计有 （条）．
故选：A．
5．已知抛物线 经过点 ， ， ，且 ，则 ，
， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线 ，开口向上，
，
点B离对称轴最近，其次是点C，点A离对称轴最远，
，
故选：B．
6．如图， 是 的直径，过 外一点 作 的两条切线，切点为 ， ．若 ，则的大小是（ ）
A．70° B．65° C．75° D．60°
【答案】A
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 是 的两条切线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
7．王师傅用角尺平分一个角，如图①，学生小顾用三角尺平分一个角，如图②，他们都在 两边上
分别取 ，前者使角尺两边相同刻度分别与 ， 重合，角尺顶点为 ；后者分别过 ， 作
， 的垂线，交点为 ，则射线 平分 ，均可由 得知，其依据分别是（
）
A． ； B． ； C． ； D． ；
【答案】C
【详解】∵王师傅用角尺平分一个角，在 两边上分别取 ，使角尺两边相同刻度分别与
， 重合，角尺顶点为 ；∴ ， ， ，
∴ ，
故王师傅的依据为： ；
∵学生小顾用三角尺平分一个角，在 两边上分别取 ，分别过 ， 作 ， 的垂
线，交点为 ，
∴ ， ，且 ，
∴ ，
故学生小顾的依据为： ；
故答案为：C
8．如图，在 和 中，已知 ， ，再添加一个条件，如果仍不能证明
成立，则添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故A，D都正确，不符合题意；
∵ ，
∴ ，
故C正确，不符合题意；
当添加 时，不符合任何一个判定定理，无法判定 ，
故B符合题意，
故选：B．
9．兴义市进行城区规划，工程师需测某楼 的高度，工程师在D得用高 的测角仪 ，测得楼顶端A
的仰角为 ，然后向楼前进 到达E，又测得楼顶端A的仰角为 ，楼 的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：在 中， ， ，
，
在 中， ， ，
．
又 ，
即 ，
，
．
故选：A．
10．数轴上点 ， ， ， 分别表示实数 ， ， ， ，点 ， 分别从 ， 出发，沿数轴正方向
移动，点 从 出发，在线段 上往返运动（ 在 ， 处掉头的时间忽略不计），三个点同时出发，点
， ， 的速度分别为2，1，1个单位长度每秒，点 ， 重合时，运动停止．当点 为线段 的
中点时，运动时间 为（ ）
A．2 B． C． D． 或【答案】B
【详解】解：依题意， 秒后， 点表示的数为 ， 点表示的数为 ，
设 点表示的数为 ，
当 相遇时， ，解得 ，
∴相遇点在 ，
∴当点 为线段 的中点时，点 在点 的右侧，
∴
解得：
∵点 从 出发，在线段 上往返运动
∴
∴
当 时，此时点 从2往3运动，
∴点 表示的数为
∴
解得： （舍去）
当 时，此时点 从3往2运动，
∴点 表示的数为
∴
解得： ，
故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．2013年12月2日，“嫦娥三号”从西昌卫星发射中心发射升空，并于12月14日在月球上成功实施软
着陆．月球距离地球平均为384401000米，用四舍五入法取近似值，精确到百万位，并用科学计数法表
示，其结果是_________________米．
【答案】
【详解】解： ．
故答案为： ．
12．函数 的自变量 的取值范围是______．
【答案】 ##
【详解】解：由 有意义可得：
，即 ，
解得： ，
故答案为： ．
13．已知二次函数 的图像经过点 ，且与 轴交点的横坐标分别为 和 ，其中
， ，下列结论：① ；② ；③ ；④若点 ，
（其中 ）在此函数图象上，则 ．其中正确的结论有______（只填序号）．
【答案】②③
【详解】解：如图，
由图象得，当 时， ，故结论①错误；
∵抛物线与x轴的交点的横坐标为 ，其中 ．
∴ ，即抛物线的对称轴直线 ．∴
∴ ．故②正确；
∵二次函数 图象经过点 ，
∴ ，
∴ ．
∵由图象可得，当 时， ，
∴ ．解得 ．故③正确．
∵抛物线开口向下，对称轴满足 ，点 ， （其中 ）在此函数图象上，
∴当 时，点 到对称轴的距离小于点 的距离，
∴ ，故④错误；
所以，正确的结论是②③，
故答案为：②③
14．如图，在直角 中， ， ， ， ， 平分 ， 是 上一
动点（不与 重合）， 是 上一动点（不与 重合），则 的最小值为________．
【答案】
【详解】解：如图，在 取点E，使 ，连接 ，过点C作 于点F，
∵ 平分 ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即当点C，M，E三点共线时， 的值最小，
∵点到直线，垂线段最短，
∴当点E与点F重合时， 的值最小，
即 的最小值为 的长，
∵ ，
即 ，
解得： ，即 的最小值为 ．
故答案为：
三、解答题（本大题共9小题，满分90分）
15．（8分）计算：
（1）计算：
（2）解方程：
【答案】（1） （2）
【详解】（1）
；（2）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得， ．
16．（8分）先化简后再求值： ，其中
【答案】 ，
【详解】解：
将 代入 中可得
原式
17．（9分）学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术，科普和其他四个类别进行了抽样调查（每位
同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下
列问题：(1)本次调查中，一共调查了多少名同学；
(2)求条形统计图中m，n的值；
(3)扇形统计图中，求艺术类读物所在扇形的圆心角的度数．
【答案】(1)200
(2) ，
(3)
【详解】（1） ，
∴一共调查了200名同学；
（2）最喜爱科普类读物的人数为 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：艺术类读物所在扇形的圆心角的度数为 ．
18．（9分）一个不透明的口袋中有 个完全相同的小球， 把他们分别标号为 ．随机摸取一个小球
然后放回，再随机摸取一个小球．请用列表法或画树状图法求下列事件的概率．
(1)两次取出的小球的标号相同；
(2)两次取出的小球的标号和是 的倍数．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）画树状图如下：
∴共 种等可能的结果数，其中两次取出的小球的标号相同的结果有 种
∴两次取出的小球的标号相同的概率为 ；
（2）由（1）可知，共有 种等可能的结果数；
∴两次取出的小球的标号的和等于 的倍数结果有 种∴取出的小球的标号的和等于 的倍数的概率为：
19．（10分）随着冬奥会的完美落幕，文创店李老板计划购进三种含有冬奥元素的产品进行售卖，其进价
和标价如下表：
种类
A B C
价格
进价（元/件） 20 35 45
标价（元/件） 35 50 65
(1)已知李老板第一次只购进了B，C两种纪念品，共花费3650元，全部售出后获得1600元的利润，则李
老板第一次购进B，C两种纪念品各多少件？
(2)由于销售情况良好，李老板准备再次以3650元的成本购进这三种纪念品共100件，且A种纪念品的数
量不低于28件，则共有几种购进方案？
【答案】(1)李老板第一次购进B种纪念品40件，购进C种纪念品50件
(2)共有3种购进方案
【详解】（1）解：设李老板第一次购进B种纪念品m件，购进C种纪念品n件，由题意，得
，解得 ，
答：李老板第一次购进B种纪念品40件，购进C种纪念品50件．
（2）解：设再次购进A种纪念品x件，B种纪念品y件，则购进C种纪念品 件，由题意，
，
整理得 ，所以 ，
因为x，y， 均为正整数，所以y是5的倍数
当 时，
当 时，
当 时，因为 ，所以x随y的增大而减小，
所以当 时， ，不符合题意．
所以共有3种购进方案：
方案一：购进A种纪念品32件，B种纪念品5件，C种纪念品63件；
方案二：购进A种纪念品30件，B种纪念品10件，C种纪念品60件；
方案三：购进A种纪念品28件，B种纪念品15件，C种纪念品57件．
20．（10分）如图，在四边形 中， ， ， ，O是对角线 的中点，
连接 并延长交边 于点E．
(1)①求证： ；
②若 ，求 的值：
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【详解】（1）①证明：如图1，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 是 斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ；
②解：如图2，若 ，
在 中， ，
∴ ．
过点D作 于点H，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：设 ，
则 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
将 代入 ，
整理得， ，
解得 或 （舍去）．
∴ ．
21．（10分）如图， 为 的直径， ， 为弦， ， 为 延长线上的点，
．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为6，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）证明：连接 ，
，
，
，
，
，即 ，
是半径，
是 的切线；
（2）解：在 中， ， ，
， ，
图中阴影部分的面积
．
22．（12分）如图①，已知抛物线 的图象经过点 ，与 轴交于点 ，其对称轴为直
线 ： ，过点 作 轴交抛物线于点 ， 的角平分线交线段 于点 ，点 是抛物线上
的一个动点，设其横坐标为 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若动点 在直线 下方的抛物线上，连接 、 ，当 为何值时，四边形 面积最大，并求出
其最大值；
(3)如图②， 是抛物线的对称轴 上的一点，在抛物线上是否存在点 使 成为以点 为直角顶点的
等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当 时，四边形 面积最大，最大值为
(3) 点的坐标为 ： ， ， ，
【详解】（1）解：依题意， ，∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
将点 代入得
解得： ，
抛物线的解析式； ；
（2）如图2，设
平分 ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
, ，
设直线 的解析式为 ，
，
解得： ，
则直线 的解析式为： ，
过 作 轴，交 于点 ，
，
，
，
，，
，
，
，
当 时， 有最大值是 ；
（3）如图3，过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ，
是等腰直角三角形，且 ，
，
，
，
则 ，
解得： 或 ，
∴ 的坐标为 或 ；
如图4，过 作 轴于 ，过 作 于 ，连接PF．同理得 ，
，
则 ，
解得： 或 ；
的坐标为 ， 或 ， ；
综上所述，点P的坐标是： ， ， ，
．
23．（14分）四边形ABCD和四边形AMPN有公共顶点A，连接BM和DN．
(1)如图1，若四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，当正方形AMPN绕点A旋转 角（
）时，BM和DN的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图2，若四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，且 ，判断BM和DN的数量关系和
位置关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若 ，矩形AMPN绕点A逆时针旋转 角（ ），当
时，求线段DN的长．
【答案】(1)相等；垂直；
(2)数量关系： ；位置关系：BM⊥DN；理由见解析；
(3)3或 ．
(1)
解：相等；垂直．理由如下：
如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是正方形，∴ ， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
∴BM＝DN， ．
延长BM交AD、DN于点E、F，
在 和 中，
∵ ， ，且 ，
∴ ，
∴ ．
(2)
解：数量关系： ；位置关系：BM⊥DN．理由如下：
如图，∵四边形ABCD和四边形AMPN都是矩形，
∴∠BAD=∠MAN=90°，
∴∠BAD-∠MAD=∠MAN-∠MAD，
∴∠BAM=∠DAN，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴DN= BM．
延长BM交AD于点O，交DN于点H，
∵ ，
∴∠ABM=∠AND，
又∵∠AOB=∠DOH，
∴∠OHD=∠OAB=90°，即BM⊥DN．(3)
解：∵AB= ，AM=1， ，
∴AN= ，
分类讨论：连结MN．
①如图，当MN位于AB上方时，
在 中，由勾股定理得 ，
∴AB=MN，
又∵MN∥AB，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∴BM=AN= ，
∵DN= BM，
∴DN=3．
②如图，当MN位于AB下方时，连结BN，
同理可得，四边形ABNM是平行四边形，
∴BN=AM=1，BN∥AM，
∴
又 ，
∴B、N、P在一条直线上，
∴∠BPM=90°，
∴BP=BN+NP=2，MP=AN= ，∴在Rt△BPM中， ，
∵DN= BM，
∴DN= ．
综上所述，DN的长为3或 ．
