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第20讲 乘法公式的变形及应用（解析版）
第一部分典例剖析+针对训练
类型一 平方差公式的变形及应用
典例1（2022春•泗洪县期中）若m2﹣n2＝3，则（m+n）2（m﹣n）2的值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．18
思路引领：根据平方差公式和积的乘方求解即可．
解：∵m2﹣n2＝3，
∴（m+n）（m﹣n）＝3，
∴[（m+n）（m﹣n）]2＝9，
∴（m+n）2（m﹣n）2＝9．
故选：C．
点睛：本题考查了平方差公式，掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键．
典例2（2022•石城县模拟）（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
思路引领：在代数式前面乘以（2﹣1），代数式的值不变，连续使用平方差公式，找到规律即可求出代
数式的值；通过列举，找到2n的个位数字的循环规律即可．
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1
＝264﹣1﹣1
＝264﹣2，
∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，
25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，
∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．
∵64÷4＝16，
∴264﹣2的个位数字是4．
故选：B．
点睛：本题考查了平方差公式，尾数特征，解题的关键是在代数式前面乘以（2﹣1），构造平方差公式．
针对训练1
1．（2022•益阳）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．思路引领：观察已知和所求可知，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），将代数式的值代入即可得出结论．
解：∵2m+n＝3，2m﹣n＝1，
∴4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝3×1＝3．
故答案为：3．
点睛：本题主要考查代数式求值，平方差公式的应用，熟知平方差公式的结构是解题关键．
类型二 平方差公式的几何背景
典例2（2021秋•川汇区期末）如图，在边长为（x+a）的正方形中，剪去一个边长为a的小正方形，将余
下部分对称剪开，拼成一个平行四边形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于 x，a
的恒等式是（ ）
A．x2﹣a2＝（x﹣a）（x+a） B．x2+2ax＝x（x+2a）
C．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） D．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x）
思路引领：分别列式表示出两图中阴影部分的面积，则可选出正确的结果．
解：由题意得，左图可表示阴影部分的面积为（x+a）2﹣a2，
由右图可表示阴影部分的面积为x（x+2a），
∴（x+a）2﹣a2＝x（x+2a），
故选：C．
点睛：此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据不同图形列式表示阴影部分的面积．
典例3（2021秋•通榆县期末）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1所示），然后将
剩余部分拼成一个长方形（如图2所示）．根据图形的变化过程，写出的一个正确的等式是（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．b（a﹣b）＝ab﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
思路引领：根据图1和图2分别用作差的方法和整体方法表示出阴影部分的面积列出等式即可．解：根据图1和图2可得阴影部分的面积为：a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：D．
点睛：此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据题意用不同整式表示出阴影部分的面
积．
针对训练2
2．（2022春•江都区期末）我们知道，借助图形可以验证公式．下列图形可以用来验证平方差公式 a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）的是（ ）
A． B．
C． D．
思路引领：根据各选项图形所表达的整式运算进行判断、选择．
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴选项A不符合题意；
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
∴选项B符合题意；
∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴选项C不符合题意；
∵（a+x）（b+x）＝a2+ax+bx+x2，
∴选项D不符合题意，
故选：B．
点睛：此题考查了整式乘法几何背景问题的解决能力，关键是能根据图形准确列式并正确运算．
3．（2022春•晋中期末）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．将图1中的阴影部
分拼成了一个长方形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证平方差公式（a+b）
（a﹣b）＝a2﹣b2，这种验证方法体现的数学思想是（ ）A．数形结合思想 B．方程思想
C．统计思想 D．分类思想
思路引领：根据平方差公式的几何背景的探究方式可确定此题结果．
解：根据平方差公式的几何背景是运用数形结合数学思想探究问题，
故选：A．
点睛：此题考查了探究数学问题解决问题的能力，关键是能根据数学问题的探究方式进行准确判断．
4．（2022春•肥东县期末）我们可以利用图形的面积来解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部
分面积说明的等式是（ ）
A．a（a+9）＝a2+9a B．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9
C．（a+6）（a﹣6）＝a2﹣36 D．（a+3）2＝a2+6a+9
思路引领：分别通过阴影部分面积的整体和部分和差的求解方式就能得到此题结果．
解：由题意得，该阴影部分的面积面积为（a+3）（a﹣3）或a2﹣9，
∴（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9，
故选：B．
点睛：此题考查了平方差几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示图形的尺寸，并能进行计算归纳．
5．（2021秋•宜宾期末）如图所示，将如图一所示的大小相同的四个小正方形按图二所示的方式放置在一
个边长为a的大正方形中，中间恰好空出两条互相垂直的宽都为b的长方形，根据图二中阴影部分的面
积计算方法可以验证的公式为（ ）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab
思路引领：图二中阴影部分的面积运用整体方法和和差方法表示，就可得到此题结果．
解：由题意得，图二中阴影部分的面积可表示为：（a﹣b）2和a2﹣2ab+b2，
故选：C．
点睛：此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．
6．（2021秋•长春期末）如图，在边长分别为a，b的两个正方形组成的图形中，剪去一个边长为（a﹣
b）的正方形，通过用两种不同的方法计算剪去的正方形的面积，可以验证的乘法公式是（ ）
A．a（a+b）＝a2+ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
思路引领：减去正方形的面积从整体直接列式和从部分和差计算列式表示，可得到此题的结果．
解：∵所减去正方形的面积可表示为（a﹣b）2和a2+b2﹣2ab，
即（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
故选：D．
点睛：此题考查了完全平方公式的几何背景的应用能力，关键是能根据图形列出不同整式表示其面积．
三．完全平方公式
典例4（2022春•沙坪坝区校级月考）若（2a+b）2＝11，ab＝1，则（2a﹣b）2的值是（ ）
A．3 B．7 C．9 D．11
思路引领：利用完全平方公式得出（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab计算即可．
解：∵（2a+b）2＝4a2+4ab+b2＝4a2﹣4ab+b2+8ab＝（2a﹣b）2+8ab，
∴（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab，∵（2a+b）2＝11，ab＝1，
∴（2a﹣b）2＝（2a+b）2﹣8ab＝11﹣8＝3，
故选：A．
点睛：本题主要考查完全平方公式的应用，熟练利用完全平方公式得出（2a+b）2＝（2a﹣b）2+8ab是
解题的关键．
典例5（2022春•滨江区期末）若x满足（x﹣2021）（2022﹣x）＝0.25，则（x﹣2021）2+（2022﹣x）2＝
（ ）
A．0.25 B．0.5 C．1 D．﹣0.25
思路引领：根据完全平方公式计算即可．
解：（x﹣2021）2+（2022﹣x）2
＝（x﹣2021+2022﹣x）2﹣2（x﹣2021）（2022﹣x）
＝1﹣2×0.25
＝0.5，
故选：B．
点睛：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
针对训练3
7．（2022春•通道县期末）已知x+y＝4，xy＝2，则x2+y2的值为 ．
思路引领：通过完全平方公式的变形找出题中所含式子的关联，进而求解．
解：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝42﹣2×2＝16﹣4＝12，
故答案为：12．
点睛：本题考查了完全平方公式，关键在于能够通过完全平方公式的变形解出答案．
8．（2022春•黑山县期中）计算（a+2b﹣3）2的结果正确的是（ ）
A．a2+4b2+4ab+6a+12b+9 B．a2+4b2+4ab+6a+12b﹣9
C．a2+4b2﹣4ab+6a+12b+9 D．a2+4b2+4ab﹣6a﹣12b+9
思路引领：括号内分组，再利用完全平方公式计算即可．
解：原式＝[（a+2b）﹣3]2
＝（a+2b）2﹣6（a+2b）+32
＝a2+4ab+4b2﹣6a﹣12b+9
＝a2+4b2+4ab﹣6a﹣12b+9．
故选：D．
点睛：本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．9．（2021秋•江津区期末）已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
思路引领：根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵m﹣n＝3，
∴m2＝（n+3）2，
∴m2＝n2+6n+9，
∴m2﹣n2﹣6n＝9，
故选：C．
点睛：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
10．（2021秋•丰台区期末）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成
就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a
的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着
（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开
式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么（a﹣
）9的展开式中a7的系数是（ ）
A．9 B．﹣9 C．36 D．﹣36
思路引领：由（a+b）n计算规律可得，（a﹣ ）9的展开式中字母部分因式依次为a9，a7，a5，…，所
以含a7的为第二项，又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，所以（a﹣ ）9
的展开式中a7的系数是﹣9．
解：由（a+b）n计算规律可得，（a﹣ ）9的展开式中字母部分因式依次为a9，a7，a5，…，∴含a7的为第二项，
又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，
∴（a﹣ ）9的展开式中含a7的项为﹣9a7，
故选：B．
点睛：此题考查了杨辉三角的应用能力，关键是能发现完全平方公式与杨辉三角的规律解决问题．
四．完全平方公式的几何背景
典例6（2022春•太原期中）通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个数学等式，用这种方法
可得到整式乘法中的一些运算法则或公式，例如，由图1可得等式（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd，即
为多项式乘法法则．利用图2可得的乘法公式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2
C．（a+b）2＝a2+b2+ab D．（a+b）（a+b）＝a2+b2
思路引领：根据面积的两种表示方法即可得出．
解：根据图2可得，（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故选：B．
点睛：本题主要考查完全平方公式的几何背景，熟练利用面积的两种表示方法得出完全平方公式是解题
的关键．
典例7（2021秋•石狮市期末）用4个长为a，宽为b的长方形拼成如图所示的大正方形，则用这个图形可
以验证的恒等式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab
思路引领：根据求阴影部分面积的两种不同方法可得此题正确结果．解：∵此题阴影部分面积可表示为：（a+b）2﹣（a﹣b）2和4ab，
∴可得等式（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
故选：D．
点睛：此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列出算式，并得到正确的
结论．
针对训练4
11．（2021秋•西城区校级期末）有两个正方形A、B．现将B放在A的内部得图甲；将A、B并列放置后，
构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，则A、B两个正方形的面积之
和为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
思路引领：设正方形A和B的边长各为a和b，得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝
2ab＝12，可求得此题结果是13．
解：正方形A的边长为a，正方形B的边长b，
由题意得，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab，
∴a2+b2＝1+2ab＝1+12＝13，
即：A、B两个正方形的面积之和为13，
故选：D．
点睛：此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式，并根据完全平方公
式灵活变形解决问题．
12．（2021秋•越秀区期末）小张利用如图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片4张，拼成了如图②所
示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（2a+b）2＝4a2+4ab+b2
C．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2思路引领：图②的面积可以整体表示为（a+b）2，也可将各部分求和表示为（a﹣b）2+4ab，由此可得
此题结果．
解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a+b）2和（a﹣b）2+4ab，
∴可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故选：C．
点睛：此题考查对完全平方公式几何意义的理解，关键是能从整体和部分两方面来理解完全平方公式的
几何意义．
13．（2022春•毕节市月考）如图，两个正方形的边长分别为 a，b（a＞b），如果a+b＝10，ab＝16，则
阴影部分的面积是（ ）
A．16 B．13 C．26 D．30
思路引领：由题意得阴影部分的面积是a2+b2﹣ ﹣ ＝ ，将a+b＝10，ab＝16
代入计算即可．
解：由题意得阴影部分的面积是：a2+b2﹣ ﹣
＝﹣
＝﹣ ﹣ ﹣
＝ ，
当a+b＝10，ab＝16时，
原式＝＝
＝
＝26，
故选：C．
点睛：此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能根据几何图形对完全平方公
式进行准确变形．
14．（2022春•南山区校级期中）如图，两个正方形边长分别为a、b，如果a+b＝7，ab＝10，则阴影部分
的面积为（ ）
A．25 B．12.5 C．13 D．9.5
思路引领：用含有a和b的代数式表示出阴影部分的面积，然后整理计算即可．
解：由题意知，阴影部分的面积＝a2﹣ ﹣ （a﹣b）b＝ a2+ b2﹣ ab＝ （a+b）2﹣ ab，
∵a+b＝7，ab＝10，
∴阴影部分的面积＝ ×72﹣ ×10＝ ＝9.5，
故选：D．
点睛：本题主要考查完全平方公式的几何背景，用含有a和b的代数式表示出阴影部分的面积是解题的
关键．
五．完全平方式
典例8（2022春•恭城县期末）已知x2+6x+m是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．1 B．4 C．9 D．12
思路引领：根据完全平方公式的结构特征进行求解．
解：∵完全平方式的特征是：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，
∴m等于6的一半的平方．∴m＝9．
故选：C．
点睛：本题考查了完全平方式，掌握完全平方式的结构特点是解题的关键．
典例9（2022春•锦江区校级期中）一个多项式的平方是x2+（m﹣2）x+36，则m＝（ ）
A．﹣10或14 B．﹣14或14 C．12 D．6
思路引领：根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵（x±6）2＝x2±12xy+36，
∴m﹣2＝±12，
∴m＝14或m＝﹣10，
故选：A．
点睛：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
针对训练5
15．（2022春•零陵区期末）如果4x2﹣mx+16是一个完全平方式，则实数m的值是（ ）
A．16 B．﹣16 C．±8 D．±16
思路引领：根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵（2x±4）2＝4x2±16x+16，
∴﹣m＝±16，
∴m＝±16，
故选：D．
点睛：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
16．（2022春•滨海县期中）如果x2﹣6x+k（k是常数）是完全平方式，那么k的值为（ ）
A．3 B．9 C．12 D．18
思路引领：根据完全平方公式即可求出答案．
解：∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9，
∴k＝9，
故选：B．
点睛：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
17．（2022春•达川区校级期中）如果x2﹣（a﹣1）x+9是一个完全平方式，则a的值为（ ）
A．7 B．﹣4 C．7或﹣5 D．7或﹣4
思路引领：根据完全平方公式分类讨论求值即可．
解：∵x2﹣（a﹣1）x+9是一个完全平方式，即x2﹣（a﹣1）x+9＝（x+3）2 或x2﹣（a﹣1）x+9＝（x﹣3）2，
∴a﹣1＝±6，
解得a＝﹣5或a＝7，
故选：C．
点睛：本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的两种形式是解题的关键．
六．配方法的应用
典例10（2022春•江北区期末）下列配方中，变形正确的是（ ）
A．x2+2x＝（x+1）2 B．x2﹣4x﹣3＝（x﹣2）2+1
C．2x2+4x+3＝2（x+1）2+1 D．﹣x2+2x＝﹣（x+1）2﹣1
思路引领：用配方法，通过式子变形把不是完全平方式的多项式变成完全平方式与一个数的和的形式．
解：x2+2x
＝x2+2x+1﹣1
＝（x+1）2﹣1，
A错误．
x2﹣4x﹣3
＝x2﹣4x+4﹣4﹣3
＝（x2﹣4x+4）+（﹣4﹣3）
＝（x﹣2）2﹣7．
B错误．
2x2+4x+3
＝2（x2+2x）+3
＝2（x2+2x+1﹣1）+3
＝2（x2+2x+1）﹣2×1+3
＝2（x+1）2﹣2+3
＝2（x+1）2+1．
C正确．
﹣x2+2x
＝﹣（x2﹣2x+1﹣1）
＝﹣（x2﹣2x+1）+1
＝﹣（x+1）2+1
D错误．故选：C．
点睛：本题考查配方法，熟悉完全平方式的式子特点，加上一个数然后再减去一个相同的数式子不变是
配方的关键．
针对训练6
18．（2022•乐山）已知m2+n2+10＝6m﹣2n，则m﹣n＝ ．
思路引领：根据完全平方公式得出m和n的值即可得出结论．
解：∵m2+n2+10＝6m﹣2n，
∴m2﹣6m+9+n2+2n+1＝0，
即（m﹣3）2+（n+1）2＝0，
∴m＝3，n＝﹣1，
∴m﹣n＝4，
故答案为：4．
点睛：本题主要考查完全平方公式，根据完全平方公式得出m和n的值是解题的关键．
七．代数式求值
典例11（2022•松阳县二模）数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
题目：已知p+q+2r＝1，p2+q2﹣8r2+6r﹣5＝0，求代数式pq﹣qr﹣rp的值．
通过你的运算，代数式pq﹣qr﹣rp的值为 ．
思路引领：运用整体思想计算出p+q、pq的值就可．
解：pq﹣qr﹣rp＝pq﹣r（p+q），
∵p+q+2r＝1，
∴p+q＝1﹣2r，
（p+q）2＝（1﹣2r）2
p2+2pq+q2＝1﹣4r+4r2①
∵p2+q2﹣8r2+6r﹣5＝0，
∴p2+q2＝8r2﹣6r+5②把②代入①得，8r2﹣6r+5+2pq＝1﹣4r+4r2，
∴2pq＝1﹣4r+4r2﹣8r2+6r﹣5＝﹣4r2+2r﹣4，
∴pq＝﹣2r2+r﹣2，
∴pq﹣qr﹣rp＝pq﹣r（p+q）＝﹣2r2+r﹣2﹣r（1﹣2r）＝﹣2r2+r﹣2﹣r+2r2＝﹣2．
故答案为：﹣2．
点睛：考查了整体思想的运用，熟练用整体思想，完全平方公式是解题的关键．
针对训练7
196．（2021秋•茂南区期末）已知（x﹣1）2＝2，则代数式x2﹣2x+5的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
思路引领：根据完全平方公式可求出x2﹣2x的值，然后代入原式即可求出答案．
解：∵（x﹣1）2＝2，
∴x2﹣2x+1＝2，
∴x2﹣2x＝1，
∴原式＝1+5
＝6，
故选：C．
点睛：本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．
第二部分专题提优训练
1．（2022春•岱岳区期末）下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是（ ）
A．（x+2）（2+x） B．（x+y）（﹣x﹣y）
C．（2x+y）（y﹣2x） D．（2x﹣y）（x+2y）
思路引领：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．
解：A、（x+2）（2+x）＝（x+2）2，不能用平方公式计算，故A不符合题意．
B、（x+y）（﹣x﹣y）＝﹣（x+y）2，不能用平方公式计算，故B不符合题意．
C、（2x+y）（y﹣2x）＝y2﹣（2x）2，故C符合题意．
D、（2x﹣y）（x+2y）不能用平方差公式，故D不符合题意．
故选：C．
点睛：本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
2．（2022春•新田县期中）下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．（a+b）（b+a） B．（﹣m+n）（m﹣n）C．（x2﹣y）（x+y2） D．（2x﹣y）（y+2x）
思路引领：根据完全平方公式和平方差公式判断即可．
解：（a+b）（b+a）＝（a+b）2用完全平方公式计算，故A选项不符合题意；
（﹣m+n）（m﹣n）＝﹣（m﹣n）2用完全平方公式计算，故B选项不符合题意；
（x2﹣y）（x+y2）用多项式乘多项式计算，故C选项不符合题意；
（2x﹣y）（y+2x）＝（2x﹣y）（2x+y）用平方差公式计算，故D选项符合题意；
故选：D．
点睛：本题主要考查完全平方公式和平方差公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．
3．（2022春•仪征市期中）将正方形的南北方向增加 3m，东西方向缩短3m，则改造后的长方形面积与原
来相比（ ）
A．减少9m2 B．增加9m2 C．保持不变 D．无法确定
思路引领：根据题意列式，运用平方差公式进行计算比较即可．
解：设原来正方形的边长为am，
则其面积为a2 m2，
改造后的长方形面积为（a+3）（a﹣3）＝（a2﹣9）m2，
∴改造后的长方形面积与原来相比减少了9m2，
故选：A．
点睛：此题考查了运用平方差公式解决面积问题的能力，关键是能根据题意列式，并运用公式进行计算．
4．（2021秋•济源期末）如图1，将长为（x+2），宽为（x﹣2）的长方形沿虚线剪去一个宽为2的小长方
形（阴影部分），得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示图形．这两个图能解释下列哪个等
式（ ）
A．（x﹣2）2＝x2﹣2x+1 B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
C．x（x﹣2）＝x2﹣2x D．（x+2）2＝x2+2x+1
思路引领：分别表示出图1和图2的面积，就能得到此题的结果了．
解：由题意得，图1的面积为（x+2）（x﹣2），图2的面积为x2﹣4，
∴（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，故选：B．
点睛：此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能准确列式表示出各图形的面积．
5．（2021秋•卧龙区期末）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中沿虚线剪去一个边长为（a+1）cm
的小正方形（a＞0），剩余部分沿虚线剪开，并拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则这块长方形较长
边的长为（ ）
A．（2a+5）cm B．（2a+8）cm C．（2a+2）cm D．（a+5）cm
思路引领：因为所剪成的两个梯形的两底各为a+4和a+1，所以此题结果为（a+4）+（a+1）＝2a+5．
解：由题意得，所剪梯形的两底各为a+4和a+1，
∴该长方形较长边的长为：
（a+4）+（a+1）＝a+4+a+1＝2a+5，
故选：A．
点睛：此题考查了整式运算的几何背景应用能力，关键是能根据图形准确列式并计算．
6．（2021秋•綦江区期末）根据图中的图形面积关系可以说明的公式是（ ）
A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a﹣b）＝a2﹣ab
思路引领：通过计算图中变化前后阴影部分的面积可得到此题结果．
解：由题意得，图中阴影部分变化前后的面积分别为（a+b）（a﹣b）和a2﹣b2，
故选：B．
点睛：此题考查了平方差公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式表示阴影部分的面积，并得到公式．
7．（2021秋•鼓楼区校级期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后构
造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和42，则正方形A，B的面积之和为（
）
A．40 B．45 C．50 D．55
思路引领：分别设正方形A，B的边长为a，b，再表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，最后通过整式
的计算可得此题结果．
解：设正方形A，B的边长为a，正方形B的边长为b，
可得（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝3，
（a+b）2﹣a2﹣b2＝a2+2ab+b2﹣a2﹣b2＝2ab＝42，
∴a2+b2＝2ab+3＝42+3＝45，
故选：B．
点睛：此题考查了完全平方公式几何背景问题的解决能力，关键是能准确表示相关图形面积，并能进行
计算归纳．
8．（2021秋•台州期末）如图一，在边长为a的正方形纸片中，剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的
部分沿虚线剪开，再将得到的两部分拼成一个长方形（如图二）．根据这两个图形中阴影部分的面积关
系，可以验证一个等式，这个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．（a﹣b）＝a2﹣2ab+b2
D．（a+2b）（a﹣b）＝a2+ab﹣2b2
思路引领：先用两种方法表示同一个图形面积，根据面积相等得到代数恒等式．
解：S阴影 ＝a2﹣b2，还可以表示为：S阴影 ＝（a+b）（a﹣b）．
∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
故选：A．
点睛：本题考查完全平方差公式的几何背景，用两种方法表示阴影图形的面积是求解本题的关键．
9．（2021秋•方城县期末）观察图中的两个图形，利用它们之间的关系可以验证的等式是（ ）
A．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab B．（a﹣b）2+2ab＝a2+b2
C．（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
思路引领：先用两种方法表示阴影部分的面积，再根据面积相等得到代数恒等式．
解：S阴影 ＝4× ab＝2ab，还可以表示成：S阴影 ＝（a+b）2﹣（a2+b2）．
∴（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab．
故选：C．
点睛：本题考查完全平方公式的几何背景，用两种方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
10．（2022春•茌平区期末）若x+y＝2，x2﹣y2＝4，则2x﹣2y的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
思路引领：利用平方差公式将x﹣y计算出来，再代入所求式子中即可得出答案．
解：∵x+y＝2，x2﹣y2＝4，
∴（x+y）（x﹣y）＝4，
∴x﹣y＝2，
∴2x﹣2y＝2（x﹣y）＝2×2＝4，
故选：C．
点睛：本题考查代数式求值，平方差公式，解题的关键是利用平方差公式求出x﹣y的值．
11．（2021秋•咸丰县期末）已知m﹣n＝3，mn＝1，则m2+n2的值为（ ）
A．9 B．11 C．7 D．不能确定思路引领：根据m﹣n＝3，两边平方得到（m﹣n）2＝9，根据完全平方公式展开变形即可得出答案．
解：∵m﹣n＝3，
∴（m﹣n）2＝9，
∴m2﹣2mn+n2＝9，
∴m2+n2＝9+2mn＝9+2＝11，
故选：B．
点睛：本题考查了完全平方公式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解题的关键．
12．（2021秋•岳麓区校级期末）若（a+b）2＝25，a2+b2＝13，则ab的值为（ ）
A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
思路引领：利用完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，且a2+b2＝13，即可求ab．
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝25，a2+b2＝13，
∴2ab＝25﹣13＝12，
∴ab＝6，
故选：A．
点睛：本题考查了完全平方公式，关键在于熟记知识点应用．
13．（2021秋•内江期末）已知（m﹣2022）（m﹣2020）＝25，则（m﹣2020）2+（m﹣2022）2的值为（
）
A．54 B．46 C．2021 D．2022
思路引领：根据条件得m2﹣4022m＝25﹣2020×2022，原式用完全平方公式展开，整体代入进行计算即
可．
解：∵（m﹣2022）（m﹣2020）＝25，
∴m2﹣4022m+2020×2022＝25，
∴m2﹣4022m＝25﹣2020×2022，
∴原式＝m2﹣4040m+20202+m2﹣4044m+20222
＝2m2﹣8084m+20202+20222
＝2（m2﹣4042m）+20202+20222
＝2（25﹣2020×2022）+20202+20222
＝20202﹣2×2020×2022+20222+50
＝（2020﹣2022）2+50
＝4+50
＝54，故选：A．
点睛：本题主要考查了多项式乘多项式以及完全平方公式，熟记完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2
是解题的关键．
14．（2022春•碑林区校级期中）已知（a+b）2＝29，（a﹣b）2＝13，则ab的值为（ ）
A．42 B．16 C．8 D．4
思路引领：利用完全平方公式进行变形即可．
解：∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，
∴29﹣13＝4ab，
∴ab＝4．
故选：D．
点睛：本题考查的是完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的各种变式．
15．（2022•重庆模拟）下列四种说法中正确的有（ ）
①关于x、y的方程2x+6y＝199存在整数解．
②若两个不等实数a、b满足2（a4+b4）＝（a2+b2）2，则a、b互为相反数．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c．
④若x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，则x＝y＝z．
A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④
思路引领：①对数的讨论，利用小学知识可解决；
②利用完全平方公式，整理得到两个数的平方相等，则两数相等或者互为相反数；
③重新整理，得到完全平方公式，即得结论；
④两两组合，相等两数差为0，然后因式分解，即得结论．
①因为x、y为整数时，2x+6y＝2（x+3y）是偶数，而199是奇数，它们不可能相等；
故①错误．
②由2（a4+b4）＝（a2+b2）2得：
2a4+2b4＝a4+2a2b2+b4，
a4+b4﹣2a2b2＝0，
（a2﹣b2）2＝0，
∴a2﹣b2＝0，
∴a2＝b2，
∵a≠b，∴a＝﹣b，
即a、b互为相反数；
故②正确．
③若（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，则2b＝a+c，
（a﹣c）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）＝0，
a2﹣2ac+c2﹣4ab+4ac+4b2﹣4bc＝0，
a2+2ac+c2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2＝0，
（a+c﹣2b）2＝0，
∴a+c﹣2b＝0，
∴2b＝a+c；
故③正确．
④∵x2﹣yz＝y2﹣xz＝z2﹣xy，
∴x2﹣yz﹣y2+xz＝0，
y2﹣xz﹣z2+xy＝0，
∴（x+y+z）（x﹣y）＝0，
（x+y+z）（y﹣z）＝0．
∴x+y+z＝0或x﹣y＝0，y﹣z＝0，
∴x＝y＝z或x+y+z＝0，
故④错误．
综上所述，四种说法中正确的有②③，
故选：B．
点睛：本题考查的是完全平方公式、因式分解的相关知识．关键是要找完全平方公式中的 a，b，即可
代表单项式，也可代表多项式．例如③④中就是代表的多项式．
16．（2022春•济南期中）如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果a+b＝8，ab＝12，则阴影部分的面
积为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16思路引领：根据图形列出阴影部分面积的代数式，利用完全平方公式求值即可．
解：由题知，阴影部分的面积＝ a2﹣ （a﹣b）b＝ a2﹣ ab+ b2＝ （a+b）2﹣ ab，
∵a+b＝8，ab＝12，
∴阴影部分的面积为 （a+b）2﹣ ab＝ ＝14，
故选：C．
点睛：本题主要考查完全平方公式的知识，利用数形结合思想和完全平方公式求解是解题的关键
17．（2022春•鄞州区校级期中）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B并排放置后
构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和52，则正方形A，B的面积之和为
（ ）
A．48 B．56 C．64 D．72
思路引领：分别设出正方形A，B的边长，再分别表示图甲、乙中的阴影部分面积，变形即可得出答案．
解：设正方形A的边长为x，B的边长为y，
由图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和52，可列方程组为 ，
将②化简，得2xy＝52③，
由①得x2+y2﹣2xy＝4，将③代入可得x2+y2＝56．
故选：B．
点睛：本题考查完全平方公式，表达出阴影部分面积再变形即可得出答案．
18．（2022春•合肥期末）将4张长为a，宽为b（a＞b）的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为
（a+b）的正方形，图中空白部分的面积为m，阴影部分的面积为n．若m＝3n，则a、b满足（ ）A．a＝3b B．a＝4b C．a＝5b D．a＝6b
思路引领：先用a、b的代数式分别表示m和n，再根据m＝3n，建立等式即可求解．
解：m＝ b（a+b）×2+ ab×2+（a﹣b）2＝a2+2b2，
n＝（a+b）2﹣m＝（a+b）2﹣（a2+2b2）＝2ab﹣b2，
∵m﹣3n＝0，
∴a2+2b2＝3（2ab﹣b2），
整理，得a2﹣6ab+5b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣5b）＝0，
∴a＝b或a＝5b，
∵a＞b，
∴a＝5b．
故选：C．
点睛：本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
19．（2022•许昌一模）现有A、B、C三种不同的矩形纸片若干张（边长如图），小智要用这三种纸片无
重合无缝隙拼接成一个大正方形，先取A纸片4张，再取B纸片1张，还需取C纸片的张数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
思路引领：4张A，1张B，还有C，拼成正方形，如图：可知C需要4张．
解：把4张A，1张B，若干张C，拼成大正方形，如图所示：
所以C有4张．
故选：D．
点睛：本题考查完全平方公式的应用．关键是对完全平方公式的三项有深刻理解．
20．（2022春•临渭区期末）若x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，则b的值为（ ）
A．3或﹣1 B．﹣3或1 C．±3 D．±1
思路引领：根据完全平方式的特点2（b﹣1）＝±4，解关于b的方程即可．
解：∵x2+2（b﹣1）x+4是完全平方式，
∴2（b﹣1）＝±4．
当2（b﹣1）＝4时，解得b＝3；
当2（b﹣1）＝﹣4时，解得b＝﹣1．
故选：A．
点睛：本题考查了完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特征是解题的关键．21．（2022•重庆模拟）已知多项式A＝x2+4x+n2，多项式B＝2x2+6x+3n2+3．
①若多项式x2+4x+n2是完全平方式，则n＝2或﹣2；
②B﹣A≥2；
③若A+B＝2 ，A•B＝﹣6，则A﹣B＝±8；
④若（2022﹣A）（A﹣2018）＝﹣10，则（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；
⑤代数式5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031的最小值为2022．
以上结论正确的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①②⑤ D．①④⑤
思路引领：①利用完全平方公式的形式求解；
②利用整式的加减运算和配方法求解；
③利用完全平方和和完全平方差公式求解；
④利用完全平方和和完全平方差公式求解；
⑤利用完全平方公式和配方法求解．
解：①∵多项式x2+4x+n2是完全平方式，
∴n＝±2，故结论正确；
②∵B﹣A＝2x2+6x+3n2+3﹣（x2+4x+n2）＝x2+2x+2n2+3＝（x+1）2+2n2+2，
而（x+1）2+2n2≥0，
∴B﹣A≥2，故结论正确；
③∵A+B＝2 ，A•B＝﹣6，
∴（A﹣B）2＝（A+B）2﹣4AB＝ ﹣4×（﹣6）＝64，
∴A﹣B＝±8，
根据②A﹣B＝﹣8故结论错误；
④∵（2022﹣A+A﹣2018）2＝（2022﹣2018）2＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2（2022﹣A）（A﹣
2018）＝（2022﹣A）2+（A﹣2018）2+2×（﹣10）＝16，
∴（2022﹣A）2+（A﹣2018）2＝36；故结论正确；
⑤5A2+9B2﹣12A•B﹣6A+2031＝4A2+9B2﹣12A•B+A2﹣6A+9+2022＝（2A﹣3B）2+（A﹣3）2+2022，
∵（2A﹣3B）2≥0，（A﹣3）2≥0，
当A＝3，B＝2时有最小值为2022，
但是根据②B﹣A≥2，∴结论错误．
故选B．
点睛：本题主要考查了完全平方公式和配方法的应用，同时也利用非负数的性质求最值，题目比较难．
22．（2022春•东至县期末）如图，长方形ABCD的周长为6，面积为1，分别以BC，CD为边作正方形，
则图中阴影部分的面积为 ．
思路引领：设BC＝a，CD＝b，可得a+b＝3，ab＝1，由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，代入即可求得此题结果．
解：设BC＝a，CD＝b，
可得a+b＝ ＝3，ab＝1，
由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得，
a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝32﹣2×1
＝9﹣2
＝7，
故答案为：7．
点睛：此题考查了运用完全平方公式几何背景解决问题的能力，关键是能根据图形和完全平方公式准确
列式变形计算．
23．（2022春•钱塘区期末）如图，边长为6的正方形ABCD中放置两个长和宽分别为a，b（a＜6，b＜
6）的长方形，若长方形的周长为16，面积为15.75，则图中阴影部分面积S +S +S ＝ ．
1 2 3
思路引领：由长方形的周长16，面积为15.75，确定a+b＝8，ab＝15.75，通过观察图形分别用含有a和b的式子表示出阴影部分的面积S 、S 、S ，然后整理化简S +S +S ，通过完全平方公式计算出a2+b2，
1 2 3 1 2 3
从而求出值．
解：由题知，a+b＝16÷2＝8，ab＝15.75．
∴（a+b）2＝64，
a2+2ab+b2＝64，
a2+b2＝64﹣2ab＝64﹣2×15.75＝32.5，
∵S ＝（6﹣b）2，S ＝（6﹣a）2，S ＝[b﹣（6﹣a）]2＝（a+b﹣6）2，
1 3 2
∴阴影部分面积S +S +S ＝（6﹣b）2+（6﹣a）2+（a+b﹣6）2
1 2 3
＝36﹣12b+b2+36﹣12a+a2+（8﹣6）2
＝a2+b2﹣12b﹣12a+76
＝a2+b2﹣12（b+a）+76
＝32.5﹣12×8+76
＝12.5．
故答案为：12.5．
点睛：本题考查利用完全平方公式解决求阴影面积的问题，其中阴影部分的面积通过整理化简出 a+b和
ab的形式是本题的关键，由a+b＝8和ab＝15.75，利用完全平方公式变形计算出a2+b2，从而求出面积．
