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第二十二章 函数 知识清单
22.1 函数的概念
一、用表格表示变量间的关系
基本概念
• 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量。
• 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量。
• 表格表示法：用表格列出自变量与因变量的对应值，直观反映两者的关系。
解题技巧
• 读取对应值：精准定位自变量，直接读取匹配的因变量。
• 分析趋势：观察因变量随自变量的增减变化规律。
典型例题
例1：某汽车行驶的路程与时间的关系如下表：
时间 t（h） 1 2 3 4 5
路程 s（km） 60 120 180 240 300
（1）当 t=3 时，s = __；
（2）路程 s 随时间 t 的增大而_ （填“增大”或“减小”）。
解：（1）180；（2）增大。
例2：某小组做“弹簧伸长量”实验，记录弹簧总长度 y（cm）与所挂物体质量 x（kg）
的关系如下表（弹簧在弹性限度内）：
物体质量 x（kg） 0 2 4 6 m
弹簧总长度 y（cm） 12 13 14 15 18
（1）求弹簧的原长及每挂1kg物体的伸长量；
（2）求 m 的值；
（3）若弹簧总长度不超过20cm，求所挂物体质量的最大值。
解：（1）当 x=0 时，y=12，∴ 弹簧原长为12cm；
每挂2kg物体，弹簧伸长1cm，∴ 每挂1kg物体伸长 0.5 cm。
（2）由规律得 y=12+0.5x，代入 y=18，得 18=12+0.5m，解得 m=12。
（3）由 12+0.5x≤20，解得 x≤16，∴ 所挂物体质量的最大值为16kg。
二、用关系式表示变量间的关系
基本概念
• 函数关系式：用数学式子精准刻画自变量与因变量的唯一对应关系，如 s=60t。
解题技巧
• 列关系式：紧扣实际问题的等量关系，用自变量表示因变量。
• 代入求值：将自变量数值代入，直接计算函数值。
典型例题例1：某商店售卖笔记本，每本进价3元，售价5元。设卖出的本数为 x，总利润为 y 元，
求 y 与 x 的关系式。
解：每本利润 = 5 - 3 = 2元，∴ y=2x。
例2：某城市出租车收费标准如下：3km以内（含3km）收费10元；超过3km的部分，每
千米收费2.4元（不足1km按1km计算）。设行驶路程为 x km（x>0），车费为 y 元。
（1）分别写出 03 时，y 与 x 的函数关系式；
（2）若小明付车费26.8元，求他行驶的最远路程。
解：（1）① 当 03 时，y=10+2.4(x-3)=2.4x+2.8。
（2）∵ 26.8>10，∴ 代入 y=2.4x+2.8，得 26.8=2.4x+2.8，解得 x=10。
∵ 不足1km按1km计算，∴ 他行驶的最远路程为10km。
三、用图象表示变量间的关系
基本概念
• 图象表示法：在平面直角坐标系中，用图形直观呈现自变量与因变量的关系，横轴表
自变量，纵轴表因变量。
解题技巧
• 读图核心：找起点、转折点、终点，分析每一段图象的变化趋势。
典型例题
例：如图是某一天气温随时间变化的图象。
（1）这一天的最高气温是 ℃，出现在 时；
（2）气温从4时到14时的变化趋势是 。
解：（1）8，14；（2）逐渐升高。
四、函数的概念
基本概念
1. 函数定义：在一个变化过程中，有两个变量 x 和 y，若对于 x 的每一个确定值，y
都有唯一确定的值与之对应，则 x 是自变量，y 是 x 的函数。
2. 函数值：自变量取 a 时，对应的 y 值记为 f (a)。
解题技巧
• 判定函数：核心验证“一个 x 对应唯一 y”。
易错点拨
• 若一个 x 对应多个 y，则 y 不是 x 的函数（如 y2=x）。
典型例题例1：判断下列关系式中，y 是否为 x 的函数：
（1）y=2x-5；（2）x= y2。
解：（1）是，每一个 x 对应唯一 y；
（2）不是，如 x=4 时，y=±2，不满足唯一对应。
{3x-1 (x≥1)
例2：已知函数 f (x)= 。
2x+5 (x<1)
（1）判断 y=f (x) 是否为 x 的函数，并说明理由；
（2）求 f (0)+f (2)-f (-1) 的值；
（3）若 f (x)=8，求 x 的值。
解：（1）是函数；理由：对于任意一个 x，都能根据取值范围确定唯一的 y 值。
（2）f (0)=2×0+5=5，f (2)=3×2-1=5，f (-1)=2×(-1)+5=3，
∴ 原式 = 5+5-3=7。
（3）① 当 x≥1 时，3x-1=8，解得 x=3（符合范围）；
② 当 x<1 时，2x+5=8，解得 x=1.5（舍去）。
综上，x=3。
五、求自变量的取值范围
基本概念
• 自变量取值范围：使函数解析式有意义，且符合实际问题要求的自变量所有取值。
解题技巧
解析式类型 限制条件 示例
整式 全体实数 y=2x+1，x 为任意实数
分式 分母≠0 1
y= ，x≠1
x-1
实际问题 符合实际意义（非负、整数等） 人数 x，x 为正整数
典型例题
例1：求下列函数中自变量 x 的取值范围：
5
（1）y=3x2-2x；（2）y= ；（3）若 x 表示购买笔的数量，y=2x。
x+2
解：（1）全体实数；（2）x≠-2；（3）正整数。
❑√x+2
例2：函数y= 的自变量 x 的取值范围是 .
x-4
{x+2≥0
解：由题意得 ，解得 x≥-2 且 x≠4。
x-4≠0
六、求自变量的值或函数值
解题技巧• 已知自变量求函数值：直接代入计算；
• 已知函数值求自变量：列一元一次方程求解。
典型例题
例：已知函数 y=4x-1。
（1）当 x=2 时，求 y 的值；
（2）当 y=15 时，求 x 的值。
解：（1）y=4×2-1=7；
（2）4x-1=15，解得 x=4。
22.2 函数的表示
一、函数图象识别
基本概念
• 函数图象：由函数的所有对应点 (x,y) 组成的图形，八年级重点识别一次函数（直
线）和分段函数（折线）。
解题技巧
• 结合实际情境匹配图象：静止对应“水平线段”，匀速变化对应“倾斜直线”。
典型例题
例：如图所示，两个体积不等的圆柱形水杯，大小水杯口均朝上，现往大水杯中均匀注水，
注水过程中小水杯始终在原来位置，设水面上升高度为h，注水时间为t，下列图象能正确
反应注水高度随时间变化关系的是（ ）
解：开始往大水杯中均匀注水，h 的值由 0 逐渐增大，当水漫过小水杯向小水杯注水，此
时 h 的值保持不变，小烧杯注满后，水再次进入大水杯中直至到大水杯顶部时，h 的再次
增大，但变化比开始时变慢。
观察四个图象，选项 C 符合题意。
故选：C.
二、用描点法画函数图象
基本步骤
1. 列表：选取自变量的关键值（含0、整数），计算对应函数值；
2. 描点：在坐标系中精准标出 (x,y) 对应的点；
3. 连线：一次函数连“直线”，分段函数连“折线”。
解题技巧
• 画分段函数图象时，标注端点的虚实（包含端点用实心，不包含用空心）。
典型例题例1：画出函数 y=2x-3 的图象。
解：列表：
x 0 1 2
y -3 -1 1
描点：在坐标系中标出 (0,-3)、(1,-1)、(2,1)；
连线：用直线连接三点，得到函数图象。
三、从函数的图象获取信息
解题技巧
• 核心信息：起点（初始状态）、交点（等量状态）、趋势（增减变化）。
典型例题
例：甲、乙两位同学住在同一小区，学校与小区相距2700米．一天甲从小区步行出发去学
校，12分钟后乙也出发，乙先骑公交自行车，途经学校又骑行一段路到达还车点后，立即
步行走回学校．已知步行速度甲比乙每分钟快5米，图中的折线表示甲、乙两人之间的距
离y（米）与甲步行时间x（分钟）的函数关系图象．则（ ）
A．乙骑自行车的速度是180米/分 B．乙到还车点时，甲，乙两人相距850米
C．自行车还车点距离学校300米 D．乙到学校时，甲距离学校200米
【答案】C
【分析】根据函数图象中的数据可以求得甲步行的速度、乙骑自行车的速度、乙一共所用
的时间，从而得出乙步行的速度、自行车还车点与学校的距离，求出乙到还车点时，甲、
乙所用的时间，即可得出路程差，根据乙到学校时，所用时间为19分，此时甲所用的时间
为31分，则可求出甲距学校的路程．【详解】由图可得：
甲步行的速度为：960÷12=80（米/分），
乙骑自行车的速度为：[960+（20-12）×80]÷（20-12）=200（米/分），故A错误；
乙步行的速度为：80-5=75（米/分）
乙一共所用的时间：31-12=19（分）
设自行车还车点距学校x米，则：
，解得：x=300．
故C正确；
乙到还车点时，乙所用时间为：（2700+300）÷200=15（分）
乙到还车点时，甲所用时间为：12+15=27（分）
路程差=2700+300-80×27=840（米），故B错误；
乙到学校时，所用时间为19分，而甲所用的时间=12+19=31（分），甲距学校的路程
=2700-80×31=220（米），故D错误．
故选C．
【点睛】本题考查了根据函数图象获取信息，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合
的思想解答．
四、动点问题的函数图象
基本概念
• 动点问题：点沿直线/多边形边匀速运动，分阶段分析动点位置，研究距离、面积随时
间变化的函数关系，图象多为折线（分阶段变化）。
解题技巧
• 分阶段分析：确定动点的运动阶段，写出每一段的函数关系式，再匹配图象。
典型例题
例：如图，正方形 的边长为 ，点 为正方形边上一动点，沿 的路
径匀速运动，设 点经过的路径长为 ， 的面积为 ，则下列图象能大致反映 与
的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，考查了函数图象所代表的实际意义，应用了数
形结合的数学思想，关键是将图中点P的运动与选项中的函数图象进行对应．根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：由点P的运动可知， 点在边 上运动时， 的面积 逐渐变大，可
以判断选项 不符合题意；
点在边 上运动时， 的面积 不变，
点在边 上运动时， 的面积 逐渐变小，
符合题意的选项为A，
故选：A．
五、函数的三种表示方法
基本概念
1. 列表法：直观具体，适合有限个对应值；
2. 解析式法：精准通用，适合计算；
3. 图象法：直观形象，适合分析趋势。
• 核心结论：三种表示法可以互相转化。
重难题型突破
题型1：函数图象与实际情境的综合分析（中等难度）
典型试题
小丽和小明从甲地出发沿一条笔直的公路匀速前往乙地，甲、乙两地相距45千米，其中小
丽步行，小明骑车．已知小丽先出发，小丽和小明之间的距离 与小丽出发时间
之间的部分函数关系如图中折线段 所示．
(1)小丽步行的速度是__________和小明骑车的速度是__________；
(2)当两人都到达乙地时，请补全图中的函数图象，并标出必要的数据．
(3)求小丽出发多长时间后，两人相距 ．
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，能从图象获取信息
是解题的关键．
（1）由函数图象可知， 段表示小丽出发，小明未出发的情形， 段表示小明追赶小
丽的情形，据此根据路程等于速度乘以时间先求出小丽的速度，进而求出小明的速度即可；
（2）根据（1）所求分别求出小明和小丽到达终点需要的时间，再求出小明到达终点时，
小丽的出发时间，以及此时二人的距离，据此补全函数图象即可；
（3）分三种情况求解：①小丽出发，而小明还未出发；②小明出发，但两人还未相遇；③
小明追上小丽后，列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知， 段表示小丽出发，小明未出发的情形， 段表示小明追赶小丽的情形，
∴小丽的速度为 ，
∴小明的速度为 ；
故答案为： ； ．
（2）解：小明到达终点需要的时间为 ，
小丽到达终点需要的时间为 ，
∴小丽出发6小时时，小明到达终点，此时二人相距 ，
如图所示，即为所求．
（3）解：当小丽出发，而小明还未出发，若两人相距 ，小丽已经出发了 ；
当小明出发，但两人还未相遇时，若两人相距 ，则
，解得 ；
当小明追上小丽后，若两人相距 ，则 ，
解得 ；
综上所述，小丽出发 或 或 时，两人相距 ．
题型2：动点问题的函数解析式与取值范围
典型试题
如图，在长方形电子屏 中， ， ，动态效果设计如下：动点 从点
出发沿长方形的边 ， 以 的速度向点 运动，随着 的移动，逐渐展开主体
广告画面．设点 的运动时间为 （单位： ），展开的画面面积为 （单位： ）(1)当 时， ．
(2)写出展开的画面面积 关于点 的运动时间 的函数表达式；
(3)当屏幕展开面积达到电子屏面积的 时开始播放广告语，播放时间持续 ，求播放结束
时未展开的画面面积．
【分析】本题主要考查了动点问题的函数关系、三角形面积公式以及长方形面积公式，熟
练掌握分段讨论动点位置并正确应用面积公式是解题的关键．
（1）先判断 时点 的位置，再利用 的面积和公式计算展开的画面面
积
（2）分点 在 上运动和在 上运动两种情况，分别用 和 的
面积公式建立 与 的函数关系．
（3）先求出电子屏总面积，再根据展开面积达到总面积 的条件，分情况求出开始播放的
时间 ，计算 时的展开面积，最后用总面积减去该值得到未展开面积．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
， 在 上运动的时间为 ，
，
点 在 上， ，
，
故答案为： ；
（2）解：如图，当 时，点 在 上， ，，
如图，当 时，点 在 上， ，连接 ，
，
∴ ；
（3）解：电子屏总面积： 展开面积达到 时， ，
，解得 ，
播放结束时 ，
∴
∴未展开面积：
